二次函数经典解答题及答案 (1)

二次函数经典解答题

1．如图，抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y 轴，且经过点（，），P为抛物线上一点，A （0，）．

（1）求抛物线解析式；

（2）Q为直线AP上一点，且满足AQ＝2AP．当P运动时，Q在某个函数图象上运动，试写出Q点所在函数的解析式；

（3）如图2，以P A为半径作⊙P与x轴分别交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求点P的横坐标．

【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y轴，则b＝0，将点（，），代入y＝ax2，即可求解；

（2）分点Q在点P下方（点Q位置）、点Q在点P上方（点Q′位置），两种情况分别求解；

（3）分AM＝AN、AM＝MN、AN＝MN，三种情况分别求解．

【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y轴，则b＝0，

将点（，），代入y＝ax2并解得：a ＝，

故抛物线的表达式为：y ＝x2；

（2）设点Q的坐标为（x，y），点P（m ，m2），

①当点Q在点P下方时（点Q位置），

∵AQ＝2AP，

∴P为AQ的中点，

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由中点公式得：m ＝x ，m2＝，

整理得：y ＝x2﹣；

②当点Q在点P上方时（点Q′位置），

同理可得：y ＝﹣x2+；

Q点所在函数的解析式为：y ＝x2﹣或y ＝﹣x2+；

（3）过点P作PH⊥x轴于点H，设点P（m ，m2），

则PM＝PN＝P A ＝＝，

MH＝NH ＝＝＝，则MN＝3，设点M（m ﹣，0），则N（m +，0），

AM2＝（m ﹣）2+，AN2＝（m +）2+，MN2＝9，

①当AM＝AN时，

AM2＝（m ﹣）2+＝（m +）2+，解得：m＝0；

②当AM＝MN时，

同理可得：m ＝（负值已舍去）；

③当AN＝MN时，

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同理可得：m ＝（负值已舍去）；

故点P的横坐标为：0或或．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、勾股定理运用等知识，要注意分类求解，避免遗漏．

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