直线与圆大题训练

1．已知点A（a，3），圆C的圆心为（1,2），半径为2. （I）求圆C的方程；

（II）设a=3，求过点A且与圆C相切的直线方程；

（III）设a=4，直线l过点A且被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程； （IV）设a=2，直线l1过点A，求l1被圆C截得的线段的最短长度，并求此时l1的方程.

2．已知圆C:?x?1???y?2??4，直线l:y?kx?1?2k。

（Ⅰ）求证：直线l与圆C恒有两个交点；

（Ⅱ）求出直线l被圆C截得的最短弦长，并求出截得最短弦长时的k的值；

22?????????（Ⅲ）设直线l与圆C的两个交点为M，N，且CM?CN??2（点C为圆C的圆心），求直线l的方程。

3．已知圆C经过两点A（3，3），B（4，2），且圆心C在直线x?y?5?0上。 （Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）直线l过点D（2，4），且与圆C相切，求直线l的方程。

4．已知圆M：x2+（y-2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。 （1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程； （2）求四边形QAMB面积的最小值； （3）若|AB|=

42，求直线MQ的方程。 35．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x?3y?2?0均与圆C相切． (1)求圆C的标准方程；

(2)设点P?0,1?，若直线y?x?m与圆C相交于M，N两点，且?MPN为锐角，求实数m的取值范围．

参考答案

1．（I）?x?1???y?2??4； （II）3x?4y?21?0或x?3； （III）y?223x或y?3； 4（IV）22；x?y?5?0.

【解析】试题分析：（I）由圆心和半径可得圆C的方程为?x?1???y?2??4；（II）设切线方程的点斜式为（III）y?3?k?x?3?，利用点到直线的距离为圆的半径2，可解出k??，当直线的斜率不存在时也满足题意；由直线被圆截得的弦长为23，故而圆心到直线的距离为d?22342?2?3?2?1，利用点到直线的距离解出k的值

即可得直线方程；（IV）首先判断点在圆内，当l1与AC垂直时，直线截圆所得线段最短，可得直线l1的方程，再求出点到直线的距离即可求出弦长.

试题解析：（I）圆C的方程为?x?1???y?2??4；

（II）当直线斜率存在时，设切线方程的点斜式为y?3?k?x?3?，即kx?y?3k?3?0则圆心到直线的距离为

22d?k?2?3k?31?k2?1?2k3?2，解得k??，即切线方程为3x?4y?21?0，当斜率不存在时，直线方程为

41?k2x?3，满足题意，故过点A且与圆C相切的直线方程为3x?4y?21?0或x?3；

（III）设直线方程为y?3?k?x?4?，即kx?y?4k?3?0，由于直线被圆截得的弦长为23，故而弦心距为d?22???32?1，k?2?4k?31?k22?1?3k1?k2?1，解得k?0或k?33，即直线l的方程为y?x或y?3； 44（IV）∵?2?1???3?2??4，∴点A在圆内，当l1与AC垂直时，直线截圆所得线段最短，∵kAC?1，∴直线

2l1的斜率为?1，故直线l1的方程为x?y?5?0，圆心到直线l1的距离为22?21?2?51?1?2，故弦长为

?2?2?22. 2．(1)见解析；(2) 22，k??1 (3) y??1

【解析】试题分析：（1）直线l:y?kx?1?2k可化为y?1?k?x?2?，证明直线过圆C:?x?1???y?2??4的

22?????????内部定点，即可证明结论；(2)弦的中点与圆心连线与弦垂直时弦长最小，利用勾股定理可得结果；(3)设CM与CN的夹角为?，由CM?CN??2，可得cos????????????1，从而??120?，可得点C到直线l的距离为1，利用点到直线2距离公式求出列方程求得k?0，从而可得直线l的方程.

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