2013中考数学综合题训练

2013中考数学综合题训练

1.如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC。点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4O米，点B到水平面距离为2米，OC=8米。 （1） （2）

请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、

PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明） （3）

为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是

多少？（请写出求解过程）

【答案】

解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系………………1分

设抛物线的函数解析式为y?ax2,………………2分

由题意知点A的坐标为（4，8）。且点A在抛物线上，………………3分 所以8=a×4，解得a=

2112,故所求抛物线的函数解析式为y?x………………4分 22（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D, ………………5分 则点A、D关于OC对称。

连接BD交OC于点P，则点P即为所求。………………6分 （3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上， 所以点B的坐标为（2，2）………………7分

又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（-4，8）………………8 设直线BD的函数解析式为 y=kx+b，………………9 则有??2k?b?2………………10

??4k?b?8解得k=-1,b=4.

故直线BD的函数解析式为 y=-x+4，………………11 把x=0代入

y=-x+4，得点P的坐标为（0，4）

- 1 -

两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米。………………12

2.某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表： 月份x 1 2 3 4 620 5 640 6 660 7 680 8 700 9 720 价格y1(元/件) 560 580 600 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：

(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1 与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；

(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数)，10至12月的销售量p2(万件)p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润； (3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1 a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992＝9801，982＝9604，972＝9409，962＝9216，952＝9025) 【答案】(1)y1 与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630． (2)去年1至9月时，销售该配件的利润w＝ p1(1000－50－30－y1)＝(0.1x＋1.1)(1000?50?30?20x?540) ＝(0.1x＋1.1)(380?20x)＝－2x2＋160x＋418＝－2( x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整数) ∵－2＜0，1≤x≤9，∴当x＝4时，w最大＝450(万元)；

去年10至12月时，销售该配件的利润w＝ p2(1000－50－30－y2)＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630) ＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝( x－29)2，(10≤x≤12，且x取整数)， 当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x增大，函数值w减小，

∴当x＝10时，w最大＝361(万元)，∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元． (3)去年12月份销售量为：－0.1×12+0.9=1.7（万件），

今年原材料的价格为：750+60=810（元），今年人力成本为：50×（1+20﹪）=60（元）， 由题意，得5×[1000（1+a﹪）－810－60－30]×1.7（1－0.1a﹪）=1700，

- 2 -

99±9401设t= a﹪，整理，得10t2－99t+10=0，解得t=，∵972＝9409，962＝9216，而9401更接近9409．∴9401

20=97．

∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980．∵1.7（1－0.1a﹪）≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10． 答：a的整数值为10．

3. 2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.

（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；

（2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？

（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？ 【解】（1）当1≤x≤7时，设y?kx?m，

将点（1，8）、（7，26）分别代入y?kx?m，得??k?m?8,?m?5,解之，得?

?7k?m?26.?k?3.∴函数解析式为y?3x?5.当7≤x≤12时，设y?ax2?bx?c， 将（7，26）、（9，14）、（12，11）分别代入y?ax?bx?c，得：

2?49a?7b?c?26,?a?1,??81a?9b?c?14,解之，得??b??22, ?144a?12b?c?11.?c?131.??∴函数解析式为y?x?22x?131.

（2）当1≤x≤7时，函数y?3x?5中y随x的增大而增大， ∴当x最小值?1时，y最小值?3?1?5?8.

2当7≤x≤12时，y?x?22x?131??x?11??10，

22∴当x?11时，y最小值?10.

所以，该农产品平均价格最低的是1月，最低为8元/千克. （3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数， ∴x?4时的月平均价格17是前7个月的平均值.

将x?8，x?10和x?11分别代入y?x?22x?131，得y?19，y?11和y?10.

- 3 -

2

∴后5个月的月平均价格分别为19，14，11，10，11. ∴年平均价格为y?17?7?19?14?11?10?1146??15.3（元/千克）.

123当x?3时，y?14?15.3，

∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格.

4.某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．

(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)．当x为何值时，S取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值；

(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要

A围墙O1O2DBC留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S取得最大值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．

【答案】（1）S?x(120?2x)??2(x?30)2?1800，当x?30时，S取最大值为1800． （2）如图所示，过O1、O2分别作到AB、BC、AD和CD、BC、AD的垂直，垂足如图，根据题意可知，

AEB围墙JO1IO2DHCO1E?O1F?O1J?O2G?O2H?O2I；当S取最大值时，

AB=CD=30，BC=60，

所以O1F?O1J?O2G?O2I?∴O1E?O2H?15，

∴O1O2?EH?O1E?O2H?60?15?15?30，

FG1AB?15， 2∴两个等圆的半径为15，左右能够留0.5米的平直路面，而AD和BC与两圆相切，不能留0.5米的平直路面. 5.张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C)。

y (1)求y与x之间的函数关系式；

(2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，

- 4 -

0 20 40 8 000 4 000 A B C x

老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】

解：(1)当0 < x ≤ 20时，y = 8000．……………………………………………………(1分)

?20k + b = 8 000

当20 < x ≤ 40时，设BC满足的函数关系式为y = kx + b，则? ．………………(2分)

?40k + b = 4 000

解得k = ?200，b = 12 000，∴y = ?200x + 12 000． ………………(4分) (2)当0 < x ≤ 20时，老王获得的利润为w = (8000 ? 2800)x …………(5分) =5 200x ≤ 104 000，此时老王获得的最大利润为104 000元．…………(6分)

当20 < x ≤ 40时，老王获得的利润为w = (?200x + 12 000 ? 2800)x …………(7分) = ?200(x2 ? 46x) = ?200(x ? 23)2 + 105 800．………………………………(8分) ∴当x = 23时，利润w取得最大值，最大值为105 800元．………………………(9分)

∵105 800 > 104 000，∴当张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105 800元．………………………………………………………(10分)

6.星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围．

【答案】解：（1）y=30－2x(6≤x＜15)

（2）设矩形苗圃园的面积为S则S=xy=x(30－2x)=－2x2＋30x

∴S=－2(x－7.5)2＋112.5由（1）知，6≤x＜15∴当x=7.5时,S最大值＝112.5

即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 （3）6≤x≤11

7.我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P??12．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规?x?60??41（万元）

100划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润

Q??992942?10?x???100?x??160（万元） 1005- 5 -

⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？

【答案】解：⑴当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．

⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．

后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x， 所以y=P＋Q=??2?1?992294?+ ?x?x?160?x?60??41????5?100??100?22=?x?60x?165=??x?30??1065，

表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元， 故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元． ⑶有极大的实施价值．

8. 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图○1○2○3中的一种）．

设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）

（1）在图○1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？（4分） （2）在图○2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？（4分）

（3）在图○3中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？

【答案】解：

12-3x（1）当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC==4-x，∴x（4-x）=3．解得，x=1或3．

312-4x12-4x42

（2）当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积S=x·=-x+4x．

33343

当x=-=时，S=3． 422×（-）

3

- 6 -

3

∴当x=时时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米．

2

a-nx

（3）当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积

3a-nxn2aaa2S=x·=-x+x．当x=-=时，S= 333n2n12n

2×（-）3

aa2

∴当x=时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为平方米

2n12n

9．利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:

信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元； 信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元， 乙商品零售单价比进货单价的2倍少 1元． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

【答案】（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元． 根据题意，得?

?x+y=5?x=2

解得?

?3(x+1)+2(2y-1)=19?y=3

a

3

3：按零售单价购买 信息甲商品3件和乙商品2件， 共付了19元.

答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元． （2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则 mm

s=(1-m)(500+100×)+(5-3-m)(300+100×)

0.10.1即 s=-2000m2+2200m+1100 =-2000(m-0.55)2+1705. ∴当m=0.55时，s有最大值，最大值为1705.

答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元. 10.我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P??12．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，?x?60??41（万元）

100其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每

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年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润

Q??992942?10?x???100?x??160（万元） 1005⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？

【答案】解：⑴当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．

⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．

后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x， 所以y=P＋Q =??2?1??992294?+ x?60?41?x?x?160?????5?100??100?22=?x?60x?165=??x?30??1065，

表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元， 故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元． ⑶有极大的实施价值．

11. 2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.

型 号

金 额

投资金额x（万元） 补贴金额y（万元）

x y1=kx (k≠0)

（1）分别求出y1和y2的函数解析式；

（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额. 【答案】解：（1）由题意得：①5k=2，k=∴y1?

Ⅰ型设备 Ⅱ型设备

5 2

x y2=ax2+bx (a≠0)

2 2.4

4 3.2

2 52x 5- 8 -

1?a????4a?2b?2.4128?5②?，解之得：?，∴y2??x?x

55?16a?4b?3.2?b?8?5?（2）设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10-t）万元，共获补贴Q万元

2218(10?t)?4?t，y2??t2?t 5555218129Q?y1?y2?4?t?t2?t??(t?3)2?

5555529∴当t=3时，Q有最大值为，此时10-t=7(万元)

5∴y1?即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元.

12.在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C. （1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；

（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O， ①试求出当n=3时a的值； ②直接写出a关于n的关系式.

yyCDy = 1.1厘MNBOCBCx… OAFEACOx… ABx图1 图2 y C 图3 B 解：（1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x=∴?1， 2O y A b1?,得b= 1； ……2分 2a22x （2）设所求抛物线解析式为y?ax?bx?1， - 9 - C O M F N B E A x

由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（

1，2） 24?a??,?1?4a?2b?1，???3∴? 解得? 1182?a?b?1.??b?.?42?3?∴所求抛物线解析式为y??428x?x?1；……4分 33y （3）①当n=3时，OC=1，BC=3， 设所求抛物线解析式为y?ax2?bx，

过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD， ∴OD?OC?1, CDBC3C B O D A x 设OD=t，则CD=3t， ∵OD?CD?OC， ∴(3t)2?t2?12， ∴t?222110, ?1010

∴C（31010）, 又 B（10，0），， 1010∴把B 、C坐标代入抛物线解析式，得

?0?10a?10b，10? 解得:a=； ……2分 ??3110310?a?b.?1010?10n2?1②a??. ……2分

n13.已知,如图11,二次函数y?ax2?2ax?3a(a?0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、

B关于直线l:y?3x?3对称.

3(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上; (2)求二次函数解析式;

(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、

MK,求HN?NM?MK和的最小值.

- 10 -

yylHKHKlAOBxAOBx图11 备用图

2【答案】解:(1)依题意,得ax?2ax?3a?0(a?0)

解得x1??3,x2?1 ∵B点在A点右侧

∴A点坐标为(?3,0),B点坐标为(1,0) y?3x?33∵直线l:

y?3?(?3)?3?03当x??3时,

∴点A在直线l上

(2)∵点H、B关于过A点的直线l:y?3x?3对称

3 ∴AH?AB?4

过顶点H作HC?AB交AB于C点 则AC?1AB?2,HC?23

2 ∴顶点H(?1,23)

把H(?1,23) 代入二次函数解析式,解得a??3 2 ∴二次函数解析式为y??3x2?3x?33

22(3)直线AH的解析式为y?3x?33 直线BK的解析式为y?3x?3 ??y?3x?3x?3 解得y?23 即K(3,23),则BK?4 由?3??y?3x?3AHyKCOBx

? - 11 -

∵点H、B关于直线AK对称

∴HN?MN的最小值是MB,过K作KD?x轴于D点。KD?KE?23 过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E 则QM?MK,QE?EK?23,AE?QK

∴BM?MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN?NM?MK的最小值 ∵BK∥AH

∴?BKQ??HEQ?90? 在Rt?BKQ 由勾股定理得QB?8 ∴HN?NM?MK的最小值为8 （不同解法参照给分）

AQyEKMHlNOBD

x14. 已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）． （1）求c的值； （2）求a的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数． 【答案】（1）c=1

（2）将C（0，1），A（1，0）得 a＋b＋1=0 故b=―a―1 由b2－4ac＞0，可得 (－a－1)2－4a＞0 即(a－1)2＞0 故a≠1，又a＞0

所以a的取值范围是a＞0且a≠1．

b

（4） 由题意0＜a＜1，b=―a―1可得－＞1，

2a

b

故B在A的右边，B点坐标为(－－1，0)

ab

C（0，1），D（－，1）

a

- 12 -

bb

|AB|=－－1－1=－－2

aab

|CD|=－

a

11

S1－S2＝S△CDA－SABC=×|CD|×1－×|AB|×1

22

1b1b

=×（－）×1－×（－－2）×1

2a2a =1

所以S1－S2为常数，该常数为1． 15.如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=

k，点A在第一象 相交于点A，B. 已知点B的坐标为（-2，-2）

x限内，且tan∠AOx=4. 过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）把点B（-2，-2）的坐标，代入y=

k， x得：-2=

k，∴k=4． ?24 ． x即双曲线的解析式为：y=

设A点的坐标为（m，n）。∵A点在双曲线上，∴mn=4．…① 又∵tan∠AOx=4，∴m=4， 即m=4n．…② n又①，②，得：n2=1,∴n=±1.

∵A点在第一象限，∴n=1,m=4 ， ∴A点的坐标为（1，4） 把A、B点的坐标代入y=ax2+b x，得：??4?a?b,解得a=1，b=3；

??2?4a?2b∴抛物线的解析式为：y=x2+3x ；（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y=4， 代入y=x2+3x，得方程x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1（舍去）． ∴C点的坐标为（-4，4），且AC=5， 又△ABC的高为6，∴△ABC的面积=

1×5×6=15 ； 2（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积. 过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D ．

- 13 -

因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（-4，4），CD∥AB， 所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12.

?y?x2?3x,?x?3,解方程组? 得?所以点D的坐标是（3，18）

?y?18,?y?2x?12,16.如图，在直角坐标系中，抛物线y?ax2?bx?c（a≠0）与x轴交与点A（-1,0）、B（3,0）两点，抛物线交y轴于点C（0,3），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．

(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？

(3)设E为线段OC上的三等分点，链接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．

【答案】：（1）由题意，得：

?a?b?c?0??9a?3b?c?0?c?3? 解得：

?a??1??b?2?c?3?

22y??x?2x?3?(x?1)?4，顶点坐标为（1，4）. ∴=

（2）由题意，得 P(x, x-1) ，Q (x, ?x?2x?3)，

2121?(x?)?42224 ∴ 线段PQ=?x?2x?3-( x-1)= ?x?x?4 = 114 当x=2时，线段PQ最长为4。

（3）∵E为线段OC上的三等分点，OC=3, ∴E(0，1)，或E(0，2) ∵EP=EQ，PQ与y轴平行，

∴ 2×OE=?x?2x?3+( x-1)

- 14 -

2

当OE=1时，x1=0，x2=3，点P坐标为（0，-1）或（3，2）。 当OE=2时，x1=1，x2=2， 点P坐标为（1，0）或（2，1）。

17.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．

(1)求△OAB的面积；

(2)若抛物线y??x2?2x?c经过点A． ①求c的值；

②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）． 【答案】 解：(1) ∵点A的坐标是（－2，4），AB⊥y轴， ∴AB=2，OB＝4， ∴S?OAB?11?AB?OB??2?4?4 22(2)①把点A的坐标（－2，4）代入y??x2?2x?c， 得?(?2)2?2?(?2)?c?4，∴c＝4 ②∵y??x2?2x?4??(x?1)2?4，

∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是（－1，4），OA的中点F的坐标是（－1，2）， ∴m的取值范围为l

18.在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C. (1)当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；

(2)当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

(3)将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O， ①试求出当n=3时a的值； ②直接写出a关于n的关系式.

- 15 -

yCDyM = 1.1厘NCBCB… FEOAxOAx图1 图2 【解】(1)由题意可知，抛物线对称轴为直线x=12， ∴－b12a=2，得b=1； (2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+1， 由对称性可知抛物线经过点B(2，1)和点M(12，2)， ??1=4a+2b+1，4∴??a=－3，??2=14a+1解得2b+1.??b=8 3.∴所求抛物线解析式为y=－43x2+83 x+1；

(3)①当n=3时，OC=1，BC=3， 设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx，

过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD， ∴ODCD=OC1BC=3，

设OD=t，则CD=3t， ∵OD2+CD2=OC2， ∴（3t）2+ t 2=12，∴ t=110

10=10

， ∴C(1010，31010)，又B(10，0)， ∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得

??0=10a+10b， ?310=110解得：a=－1010a+10b.

3； ??10 ②a=－n2+1n.

- 16 -

yCBO… xA图3

19.将抛物线c1：y=-3x2+3沿x轴翻折，得抛物线c2,如图所示. （1）请直接写出抛物线c2的表达式.

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

【答案】

【答案】解：(1)y=3x2-3.

(2)①令-3x2+3=0，得x1=-1,x2=1,则抛物线c1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0）.∴A（-1-m，0），B（1+m,0）.

111AE时，如图①，（-1+m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)], ∴m= 33211当AB=AE时，如图②，（1-m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)], ∴m=2.

33当AD=

∴当m=

1或2时，B，D是线段AE的三等分点. 2②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M（-m，-3）.即M，N关于原点O对称，∴OM=ON.∵A（-1-m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE，∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四

- 17 -

边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA，即m2+(3）2=[-(-1-m)]2, ∴m=1. ∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.

20.如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y?ax2?bx?c经过点A、B和D（4，?（1）求抛物线的表达式。

（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s 的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设S=PQ2（cm2）。 ①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； ②当S取

2）。 35时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，4求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由。

（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标。 【答案】（1）由题意得A（0，－2），B（2，－2），抛物线y?ax2?bx?c过A、B、D三点得

1?a???4a?2b?c??26??12???16a?4b?c??解得?b??

33???c??2??c??2??121x?x?2 6322222（2）①S=PQ2=BP?BQ?(2?2t)?t?5t?8t?4（0≤t≤1） 抛物线的表达式为y?②由5t?8t?4?2y C O A P Q B D x 1511解得t=或t=（不合题意，舍去）

2410此时，P（1，－2），B（2，－2），Q（2，?3） 2533）或（1，－）或（1，?）

222若以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R（3，?经代入抛物线表达式检验，只有点R（3，?所以抛物线上存在点R（3，?3）在抛物线上 23）使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形。 2y （3）过B、D的直线交抛物线对称轴于点M，则该点即为所求。 因为如在对称轴上另取一点N，则

ND－NA=ND－NB

- 18 -

C O N A P M Q B D x

故点M到D、A的距离之差最大。 由B（2，－2）、D（4，?2210）求得直线BD的解析式为y?x? 33388x?1时，y??，故点M的坐标为（1，?）

3321．如图9，已知抛物线经过定点，它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为．．A（1，0）．．P′，过P′ 作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：

（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；

（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．

【答案】解：⑴ 设抛物线的解析式为y?ax2?1(a?0) ，

?抛物线经过A?1,0? ，?0?a?1,a??1 ， ?y??x2?1.

?P?、P关于x轴对称,且P?0,1?,?P?点的坐标为?0，－1?

y ?P?B∥x轴,?B点的纵坐标为?1, 由?1??x2+1 解得x??2， ?B. C P . O D ?2,?1,?P?B?2.

?1 . A B . x ?OA??P?B，??CP?B∽?COA，

?CAOA12???． CBP?B22. P?. 图9 ⑵ 设抛物线的解析式为y?ax2?m(a?0) ?抛物线经过A?01，?，?0＝a?m,a??m ?y??mx2?m．

?mx2?m??m ?P?B∥x轴?B点的纵坐标为?m， 当y??m时，2?m?x2?2??0，?m?0，?x?2?0，?x??2，

?B?2,?m，?P?B?2，

? - 19 -

同⑴得CAOA12???. CBP?B22CA2?m为任意正实数时，?．

CB2

22.孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y?ax2(a?0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1）若测得OA?OB?22（如图1），求a的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标； ．．．

（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

【答案】解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， ∵ OA?OB?22，∠AOB=90°，

∴AC=OC=BC=2，∴B(2，-2)， 将B(2，-2)代入抛物线y?ax2(a?0)得，a??（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E， ∵点B的横坐标为1，∴B (1，?∴BF?1. 21)， 21. 又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，又∠AEO=∠OFB=90°， 2∴△AEO∽△OFB，∴AEOF1???2 ∴AE=2OE， OEBF12设点A（?m，?

121212m）（m＞0），则OE=m，AE?m，∴m?2m 222- 20 -

∴m=4，即点A的横坐标为-4.

解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，∵点B的横坐标为1，∴B (1，?∴tan?OBF?

1)， 2OF1??2 BF12∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF， ∴AE?tan?AOE?tan?OBF?2，∴AE=2OE， OE121212m）（m＞0），则OE=m，AE?m，∴m?2m 222设点A（-m，?∴m=4，即点A的横坐标为-4. 解法三：过点A作AE⊥x轴于点E， ∵点B的横坐标为1，∴B (1，?设A（-m，?1)， 212m）（m＞0），则 215111OB2?12?()2?，OA2?m2?m4，AB2?(1?m)2?(??m2)2，

24422∵∠AOB=90°，∴AB?OA?OB， ∴(1?m)?(?2222112211?m)?(1?m)2?(??m2)2， 2222解得：m=4，即点A的横坐标为-4.

（3）解法一：设A（?m，?1212m）（m＞0），B（n，?n）（n＞0）， 22 - 21 -

12??mk?b??m (1) ??2设直线AB的解析式为：y=kx+b， 则?，

?nk?b??1n2 (2) ??2(1)×n+(2)×m得，(m?n)b?? ∴b??121(mn?mn2)??mn(m?n)， 221mn 2AEOE0.5m2m??又易知△AEO∽△OFB，∴，∴，∴mn=4， 2OFBFn0.5n∴b??1?4??2.由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2）， 21212m）（m＞0），B（n，?n）（n＞0）， 22（说明：写出定点C的坐标就给2分） 解法二：设A（?m，?直线AB与y轴的交点为C，根据S?AOB?S梯形ABFE?S?AOE?S?B0F?S?AOC?S?BOC，可得

11212111111?(n?m)(m?n)??m?m2??n?n2??OC?m??OC?n， 222222222化简，得OC?1mn. 2AEOE0.5m2m??又易知△AEO∽△OFB，∴，∴，∴mn=4，∴OC=2为固定值.故直线AB恒过其与y2OFBFn0.5n轴的交点C（0,-2）

说明：mn的值也可以通过以下方法求得. 由前可知，OA?m?2214111m，OB2?n2?n4，AB2?(m?n)2?(?m2?n2)2， 44222222由OA?OB?AB，得：(m?14111m)?(n2?n4)?(m?n)2?(?m2?n2)2， 4422化简，得mn=4. 23.如图，抛物线y?(1)求a的值； (2)求A,B两点的坐标;

(3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上?请说明理由.

12x?x?a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=－2x上. 2 - 22 -

12b4ac?b2,)，∴【答案】解：(1)∵二抛物线y?x?x?a的顶点坐标为(?x=1,∵顶点在直线y=-2x上，

22a4a所以y=-2,即顶点坐标为（1，-2），∴-2=时，

13123-1+a,即a=-4;(2)二次函数的关系式为y?x?x?，当y=02222123x?x??0，解之得：x1??1,x2?3，即A（-1，0），B（3，0）；（3）如图所示：直线BD//AC,AD//BC,223333因为A(-1.0),C(0,?),所以直线AB的解析式为y??x?,所以设BD的解析式为y??x?b,因为

222293911B(3,0),所以b=,直线BD的解析式为:y??x?,同理可得:直线AD的解析式为:y?x?,因此直线

22222331233BD与CD的交点坐标为:(2,),则点D关于x轴的对称点D′是(2,-),当x=2时代入y?x?x?得,y=?,

22222123所以D′在二次函数y?x?x?的图象上.

22

24.如图9所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD= 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1．0），B( -1.2)，D( 3.0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到O/V，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N。 （1）求抛物线的解析式

（2）抛物线上是否存在点P．使得PA= PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。 （3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有

QE?QC最大？并求出最大值。

【答案】（1）解：由题意可得M（0．2），N（-3．2）

N B y M C - 23 -

E A 图9 O D x

2?c??a?3b?c ∴ ?2?9?0?9a?3 b?c?1?a???9?1? 解得：?b??3?

?c?2??∴y=?121x??293

（2）∵PA= PC ∴P为AC的垂直平分线上，

依题意，AC的垂直平分线经过（-1．2）（1．0） 所在的直线为y=－x+1

?y??x?1? ?121y??x?x?2 ?93???x1?3?32解得：???y1??2?32??x2?3?32???y2??2?32 ∴P1（3?32,?2?32）P2（3?32,?2?32） （3）D为E关于对称轴x=1.5对称 CD所在的直线y=－x+3 ∴yQ=4.5

∴Q（-1.5．4.5）

QE?QC最大值为QC=2.52?2.52=

52 225.已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0,a为常数），并经过点（2a,2a）,点D(0，2a)为一定点． ⑴求含有常数a的抛物线的解析式；

⑵设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD=PH；

⑶设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且S?ABD?42,求a的值． 【答案】解：⑴设抛物线的解析式为y?kx2?a ∵点D（2a，2a）在抛物线上，4a2k?a?2a ∴k?

1 4a- 24 -

（24题图）

∴抛物线的解析式为y?12x?a 4a⑵设抛物线上一点P（x,y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴， 在Rt?GDP中，由勾股定理得：

PD2?DG2?PG2?(y?2a)2?x2?y2?4ay?4a2?x2

∵y?12x?a ∴x2?4a?(y?a)?4ay?4a2 4a∴PD2?y2?4ay?4a2?4ay?4a2?y2?PH2 ∴PD=PH.

⑶过B点BE⊥x轴，AF⊥y轴， 由⑵的结论：BE=DB AF=DA ∵DA=2DB ∴AF=2BE ∴AO=2BO ∴B是OA的中点 ∵C是OD的中点 连接BC ∴BC?DAAF??BE?DB 22过B作BR⊥y轴，

∵BR⊥CD ∴CR=DR, OR?a?∴B点的纵坐标是∴a3a， ?223a，又点B在抛物线上 23a12?x?a ∴x2?2a2 24a3a） 2∵x?0 ∴x?2a ∴B（2a，AO=2OB, ∴S?ABD?S?OBD?42 所以，

21?2a?2a?42 2（第24题解答图）

∴a?4， ∵a?0 ∴a?2

26.将抛物线c1：y=-3x2+3沿x轴翻折，得抛物线c2,如图所示. （1）请直接写出抛物线c2的表达式.

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.

- 25 -

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

备用图

【答案】解：(1)y=3x2-3.

(2)①令-3x2+3=0，得x1=-1,x2=1,则抛物线c1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0）.∴A（-1-m，0），B（1+m,0）.

111AE时，如图①，（-1+m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)], ∴m= 33211当AB=AE时，如图②，（1-m）-（-1-m）=[(1+m)-(-1-m)], ∴m=2.

33当AD=

∴当m=

1或2时，B，D是线段AE的三等分点. 2②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M（-m，-3）.即M，N关于原点O对称，∴OM=ON.∵A（-1-m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE，∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA，即m2+(3）2=[-(-1-m)]2, ∴m=1. ∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.

27如图，已知二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B. (1)求此二次函数关系式和点B的坐标；

(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

- 26 -

【答案】解：（1）∵二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)， ∴0= -42+4b+3， 解得b=

13， 413x+3， 47,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形.理由如下： 8∴此二次函数关系式为：y= -x2+点B的坐标为B(0,3).

（2）在x轴的正半轴上是否存在点P(

设点P(x，0)，x＞0，则根据下图和已知条件可得 x2+ 32=(4- x)2， 解得x=

7， 87,0). 87,0)，使得△PAB是以AB为底的等腰三角形. 8∴点P的坐标为P(

即，在x轴的正半轴上是否存在点P(

28.如图1，抛物线y=ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0）两点． （1）求抛物线的解析式；

- 27 -

（2）设抛物线的顶点为M，直线y=－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线y=ax2＋bx＋3经过A（－3,0），B（－1,0）两点 ∴9a－3b＋3＝0 且a－b＋3＝0 解得a＝1 ， b ＝4

∴抛物线的解析式为y=x2＋4x＋3 （2）由（1）配方得y=(x＋2)2－1 ∴抛物线的顶点M（－2，1） ∴直线OD的解析式为y=

1x 21h）， 2 于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h，∴平移的抛物线解析式为y=（x－h）2＋

1h． 21h=9， 2①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h2＋ 解得h=∴ 当

-1?145． 4-1-145-1?145≤h＜ 时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点． 44 ②当抛物线与直线CD只有一个公共点时， 由方程组y=（x－h）2＋

1h，y=－2x＋9． 21h－9=0， 2 得 x2＋（－2h＋2）x＋h2＋

1∴△=（－2h＋2）2－4（h2＋h－9）=0，

2

- 28 -

解得h=4．

此时抛物线y=（x－4）2＋2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意．

综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或 -1?145． 4-1-145≤h＜4 （3）方法1

将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2， 设EF的解析式为y=kx＋3（k≠0）．

假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H． ∵△PEF的内心在y轴上，

∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP， ∴GP/PH=GE/HF,

∴－xE/xF=(yE－t)/(yF－t)=(kxE＋3－t)/(kxF＋3－t) ∴2kxE·xF=（t－3）（xE＋xF）

由y=x2，y=－kx＋3．得x2－kx－3=0． ∴xE＋xF=k，xE·xF=－3． ∴2k（－3）=（t－3）k ∵k≠0，∴t=－3．

∴y轴的负半轴上存在点P（0，－3），使△PEF的内心在y轴上．

方法2 ：设EF的解析式为y=kx＋3（k≠0）,点E，F的坐标分别为（m，m2）（n，n2）由方法1知：mn=－3．作点E关于y轴的对称点R（－m，m2）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知∠EPQ=∠FPQ，∴点P就是所求的点．

由F，R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n－m）x＋mn． 当x=0，y=mn=－3， ∴P（0，－3）．

∴y轴的负半轴上存在点P（0，－3），使△PEF的内心在y轴上．

29.已知二次函数y=x2－2mx+4m－8

(1)当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围。 （2）以抛物线y=x2－2mx+4m－8的顶点A为一个顶点作该抛

- 29 -

物线的内接正三角形AMN（M、N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

（3）若抛物线y=x2－2mx+4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数．．m的值。

【答案】解：（1）∵x=?∴m≥2 A(m,-m2+4m-8)

由对称性可知∠MAC＝300 故设yAM=3x+b

把A(m,-m2+4m-8)代入yAM=3x+b 得，b=-m2+(4-3)m-8 即yAM=3x-m2+(4-3)m-8

2??yAM= x-m+(4- )m-8∴? 2??y?x － 2mx?4m－8b=m 2a解之得x1=m，x2=3+m ∴CM＝3

∴S△AMN＝

32?（23）＝33 42m?4m2?16m?32（3）x=＝m?m2?4m?8

2∵图象与x轴交点的横坐标均为整数 ∴整数m=2

30.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，抛物线对称轴l与x轴相交于点M．

(1)求抛物线的解析式和对称轴； (3分)

(2)设点P为抛物线(x?5)上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐．．．．标； (2分)

- 30 -

(3)连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． (3分)

【答案】解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y?a(x?1)(x?5)，

4， 544224416x?4?(x?3)2?， ∴y?(x?1)(x?5)?x?55555 把点A(0，4)代入上式得：a? ∴抛物线的对称轴是：x?3． (2)由已知，可求得P(6，4)．

提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO＝4、OM

＝3，又知点P的坐标中x?5，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，AM?OA2?OM2?42?32?5，

因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线x?5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM＝5，此时点P横坐标为6，即AP＝6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立， 即P(6，4)．

⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点N(t,4224t?t?4)(0?t?5)，过点N作55NG∥y轴交AC于G；由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式

444x?4；把x?t代入得：y??t?4，则G(t,?t?4)， 55544224t?4)， 此时：NG＝?t?4－(t?5554220t． ＝?t?55114220525t)?5??2t2?10t??2(t?)2?∴S?ACN?NG?OC?(?t?

225522525∴当t?时，△CAN面积的最大值为，

22554224t?4??3，∴由t?，得：y?t?N(， －3)．

2255为：y??法二：提示：过点N作x轴的平行线交y轴于点E，作CF⊥EN于点F，则S?ANC?S梯形AEFC?S?AEN?S?NFC (再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略)

31．如图，已知二次函数y??x2?bx?c的图象经过A（?2，?1），B（0,7）两点．

- 31 -

⑴求该抛物线的解析式及对称轴； ⑵当x为何值时，y?0？

⑶在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．

【答案】解：⑴把A（?2，?1），B（0,7）两点的坐标代入y??x2?bx?c，得 ??4?2b?c??1?b?2 解得 ??c?7c?7??所以，该抛物线的解析式为y??x2?2x?7，

又因为y??x2?2x?7??(x?1)2?8，所以对称轴为直线x?1． ⑵当函数值y?0时，?x2?2x?7?0的解为x?1?22， 结合图象，容易知道1?22?x?1?22时，y?0． ⑶当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为（m，n）， 则n??m2?2m?7，即CF??m2?2m?7

（第24题）

因为C，D两点的纵坐标相等，所以C，D两点关于对称轴x?1对称，设点D的横坐标为p，则1?m?p?1，所以p?2?m，所以CD=(2?m)?m?2?2m

因为CD=CF，所以2?2m??m2?2m?7，整理，得m2?4m?5?0，解得m??1或5． 因为点C在对称轴的左侧，所以m只能取?1． 当m??1时，n??m2?2m?7=?(?1)2?2?(?1)?7=4 于是，得点C的坐标为（?1，4）．

32.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0,2），点C（1,0），如图所示；抛物线

y?ax2?ax?2经过点B。

（1） （2）

求点B的坐标； 求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ΔACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所以点P的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90° ，∠ACO+∠OAC =90°；

- 32 -

∴∠BCD=∠CAO； 又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，

∴ △BDC≌△CAO=90°，∴BD=OC=1，CD=OA=2；∴点B的坐标为(3,1) （2）抛物线y?ax2?ax?2经过点B(3,1)，则得1?9a?3a?2 解得a?1，所以抛物线的解析式为2y?121x?x?2 22（3）假设存在点P，似的△ACP是直角三角形:

①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长BC至点P1 使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1）。

∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD， ∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MCP1≌△BCD ∴ CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（-1，-1）；经检验点P1（-1，-1）在抛物线为y?121x?x?2上； 22②CA，且使得若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥

AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2）。同△CAO；∴NP2=OA=2，AN=OC=1，1）理可得△AP2N≌可求得点P2（-2，，；经检验点P2（-2，1）也在抛物线y?

③CA，且使得若以AC为直角边， 点A为直角顶点；则过点A作AP3⊥

AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3）△CAO；∴HP3=OA=2，AH=OC=1，3）同理可得△AP3H≌可求得点P（，；32，经检验点P3（2，3）不抛物线y?121x?x?2上； 22121x?x?2上； 22故符合条件的点有P1（-1，-1），P2（-2，1）两个。

33.如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y 轴分别交于C、D两点 (1）求 m的值；

( 2 ）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式；

( 3 ）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S1，是四边形OACD 面积S2?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 3k【答案】⑴设反比例函数的解析式为：y?，把

x的

- 33 -

x?3,y?3代人解析式中求得k?9.

当x?6时，y?933?，所以m?； 622⑵设直线OA的解析式为yOA?k1x，把

x?3,y?3代人解析式中求得k1?1，则有yOA?x，

设直线BD的解析式为yBD?x?b，把x?6,y?3 2代人解析式中求得b??4.5，则有yBD?x?4.5， 所以B（6,1.5）、D（0，－4.5）

设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c由题意知

?32a?3b?c?3?a??0.5?2?6a?6b?c?1.5解得?b?4 ??c??4.5?c??4.5??所以y??0.5x2?4x?4.5

⑶由yBD?x?4.5求出C（4.5,0），四边形OACD 面积S?S?OAC?S?OCD=四边形 OECD 的面积S1?11135?3?4.5??4.5?4.5?， 2282213545S??? 3384经分析点E在x轴的上方，四边形 OECD 的面积S1?S?OCE?S?OCD

4519??4.5?4.5? 42819所以?OC?h?，求出h?0.5即点E的纵坐标是0.5，

28则S?OCE?把y?0.5代人y??0.5x2?4x?4.5中得出x?4?6， 所以E(4?6,11)或E(4?6,). 2234.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1， OC=4，抛物线y?x?bx?c经过A，B两点，抛物线的顶点为D． （1）求b,c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线 交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上

- 34 -

2

是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的 坐标；若不存在，说明理由. yB

AC Ox

D26题图【答案】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）------------1分∵二次函数y?x2?bx?c的图像经过点A（-1，0）B(4,5)

∴??1?b?c?0?16?4b?c?5 ------------2分

解得：b=-2 c=-3 ------------3分 （2如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0） B(4,5) ∴直线AB的解析式为：y=x+1 ∵二次函数y?x2?2x?3

∴设点E(t， t+1),则F（t，t2?2t?3） ------------4分 ∴EF= (t?1)?(t2?2t?3) ------------5分 =?(t?3)2?2524 ∴当t?32时，EF的最大值=254 ∴点E的坐标为（352，2） ------------------------6分

（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ． 可求出点F的坐标（

32，?154）,点D的坐标为（1，-4） S四边行EBFD = S?BEF + S?DEF

=

125312532?4(4?2)?2?4(2?1) =758 -----------------------------------9分

- 35 -

yBACOxD26题备用图

２６题备用图

②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m?2m?3) 则有：m?2m?3?2252－262?26 解得:m1?,m2? 222∴p1(2－2652?265,), p2(,) 22222ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n?2n?3）

n?则有：n2?2n?3??154 解得：1综上所述：所有点P的坐标：p1(13115（，－） ，n2?（与点F重合，舍去）∴P 322241152－2652?265（，－）（. 能使△EFP组成以EF,)，p2(,)P3242222为直角边的直角三角形．------------------------------------12分

35.如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y?x2?bx?c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，-5），D（4，0）. (1)求c，b（用t的代数式表示）；

（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N.

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值； ②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，s=

21； 8（3）在矩形ABCD内部（不含边界），把横纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围。 【答案】（1）C=0,b=-t

（2）①不变。当x=1时，y=1-t，故M(1，1-t)，∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°。 ②S=S?DPN?S梯形NDAM?S?PAM

AO-11DPNMBC1?t?4??4t?16??1??4t?16???t?1???3?1?t?1??t?1? 2223215t?6 =t?2232152119t?6=，得t1?，t2? 解t?2282219∵4＜t＜5，∴t1?舍去，∴t=

22711（3）＜t＜

23=

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②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m?2m?3) 则有：m?2m?3?2252－262?26 解得:m1?,m2? 222∴p1(2－2652?265,), p2(,) 22222ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n?2n?3）

n?则有：n2?2n?3??154 解得：1综上所述：所有点P的坐标：p1(13115（，－） ，n2?（与点F重合，舍去）∴P 322241152－2652?265（，－）（. 能使△EFP组成以EF,)，p2(,)P3242222为直角边的直角三角形．------------------------------------12分

35.如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y?x2?bx?c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，-5），D（4，0）. (1)求c，b（用t的代数式表示）；

（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N.

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值； ②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，s=

21； 8（3）在矩形ABCD内部（不含边界），把横纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围。 【答案】（1）C=0,b=-t

（2）①不变。当x=1时，y=1-t，故M(1，1-t)，∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°。 ②S=S?DPN?S梯形NDAM?S?PAM

AO-11DPNMBC1?t?4??4t?16??1??4t?16???t?1???3?1?t?1??t?1? 2223215t?6 =t?2232152119t?6=，得t1?，t2? 解t?2282219∵4＜t＜5，∴t1?舍去，∴t=

22711（3）＜t＜

23=

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