2014-2015学年人教版九年级数学期末试卷2

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2014-2015学年度九年级数学期末试卷

第I卷（选择题）

一、选择题

1．抛物线y??x?2??3的顶点坐标是（ ）

A.（－2，3） B.（2，3） C.（－2，－3） D.（2，－3） 2??○ __○?___?_?___??__?：?号?订考_订_?___??___??___??：级?○班_○?___?_?__?_?___??：名?装姓装_?__?_?___??___??_:校?○学○????????外内????????○○????????【答案】A 【解析】

试题分析：二次函数y?a(x?h)2?k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（－2，3）， 故选A.

考点：本题考查的是二次函数的性质

点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的顶点坐标，即可完成． 2．平移改变的是图形的_____。 （ ） A、大小 B、形状 C、位置 D、大小形状和位置 【答案】C 【解析】平移是指某物体上所有的点都向着一个方向运动，物体的大小和形状都不改变，只改变图形的位置。故选C

3．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°。以上四位同学的回答中，错误的是（ ）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁 【答案】B

【解析】圆被平分成八部分，旋转45°的整数倍，就可以与自身重合，因而甲，丙，丁都正确；错误的是乙．故选B． 4．方程x?x?1???x?1?的根为

A.x1?1,x2??1 B.x1?0,x2??1

C.x?0 D.x??3 【答案】A

【解析】分析：根据方程的特点，由于方程两边都含有x+1，所以移项后，用提公因式法解答．

解：原式可化为：x（x+1）=（x+1） （x+1）（x-1）=0 x+1=0或x-1=0

试卷第1页，总17页

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解得x1=-1；x2=1． 故选A．

点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

5．已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥的表面展开图的面积为（ ）

A．18?cm2 B．36?cm2 C．24?cm2 D．27?cm2 【答案】D 【解析】

???线????○???? 试题分析：先根据圆锥的侧面积公式求得侧面积，再加上底面圆面积即可. 由题意得，此圆锥的表面展开图的面积为??3?6???32?18??9??27?cm2 故选D.

考点：本题考查的是圆锥的表面展开图的面积

点评：解答本题的关键是熟记圆锥的侧面积公式：S??Rl，同时注意圆锥的表面展开图包含侧面和底面.

6．已知关于x方程x2?kx?6?0的一个根是x?3，则实数k的值为（ ） A.1

B.－1

C.2

D.－2

【答案】A

【解析】因为关于x的方程x2?kx?6?0的一个根是x?3，则3×3-3k-6=0，所以k=1，故选A。 7． 函数y?mx与y?mx?m(m?0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

【答案】C

【解析】A、由双曲线在一、三象限，得m＞0．由直线经过一、二、四象限得m＜0．错误；

B、由双曲线在二、四象限，得m＜0．由直线经过一、二、三象限得m＞0．错误； C、正确；

D、由双曲线在二、四象限，得m＜0．由直线经过二、三、四象限得m＞0．错误． 故选C．

8．如图，有三条绳子穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子．若每边每段绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为

试卷第2页，总17页

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1111A. 2 B.3 C. 6 D.9

【答案】B

【解析】考点：等可能事件的概率． 分析：列举出所有情况，让两人选到同一条绳子的情况数除以总情况数即为所求的概率． 解答：解：将三条绳子记作1，2，3，则列表得：

??○ __○?___?_?___??__?：?号?订考_订_?___??___??___??：级?○班_○?___?_?__?_?___??：名?装姓装_?__?_?___??___??_:校?○学○????????外内????????○○????????可得共有9种情况，两人选到同一条绳子的有3种情况， ∴两人选到同一条绳子的机率为

39=13． 故选B．

点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

9．已知点P在半径等于3的O上，则OP的长（ ）

A、OP?3 B、OP?3 C、OP?3 D、无法确定 【答案】B

【解析】此题考查圆的性质；考查了点和圆的位置关系； 圆周上的点到圆心的距离都相等都等于半径，所以此题中OP的长等于半径，即OP?3；所以选B；

此题的【变式1】：已知点P在半径等于3的O的外部，则OP的长（ ）A、OP?3 B、OP?3 C、OP?3 D、无法确定

【变式2】：已知点P在半径等于3的O的内部，则OP的长（ ）

A、OP?3 B、OP?3 C、OP?3 D、无法确定

10．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠O)的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0 ②b2

－4ac<0 ⑤c<4b ④a＋b>0，则其中正确结论的个数是【 】

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B。

【解析】由抛物线的开口向下，得到a＜0， ∵?b2a＞0，∴b＞0。 又∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0。 ∴abc＜0。结论①错误。

又∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2

－4ac＞0。结论②错误。 又∵对称轴为直线x=1，∴?b2a=1，即b=－2a。结论④正确。 ∵当x=－2时，对应的函数值y＜0，

∴4a－2b+c＜0，即－2b－2b+c＜0，即c＜＜4b。结论③正确。

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∴其中正确的结论有③④。故选B。

???线????○???? ???线????○???? 试卷第4页，总17页??○ ?※○※??题※??※?答?※?订※内订?※??※线??※?※?订?○※※○?装??※※??在※??※?装要※装?※不??※??※请??※?○※○????????内外????????○○????????

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第II卷（非选择题）

二、填空题 11．请写出一个开口向上，且对称轴为直线x=2的二次函数解析式__________________. 【答案】y=x-2x

【解析】此题考查二次函数的解析式

二次函数开口向上，则a?0。对称轴为直线x=2的解析式为y?a(x?2)2?c， 令a?1,c?0，则二次函数的解析式为y?(x?2)2 2??○ __○?___?_?___??__?：?号?订考_订_?___??___??___??：级?○班_○?___?_?__?_?___??：名?装姓装_?__?_?___??___??_:校?○学○????????外内????????○○????????答案 y?(x?2)2

点评：答案不唯一，只要将a,c赋上满足题意的值即可。 12．反比例函数y??1x的图象在第 象限。

【答案】二，四 【解析】：∵k=-1＜0，∴反比例函数y=-1/x 中，图象在第二、四象限

13．如图，已知抛物线y?x2?bx?c的对称轴为直线x?1，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为??0，3???2?，则点B的坐标为___________.

【答案】??2，3???2?. 【解析】

试题分析：由题意可知抛物线的y?x2?bx?c的对称轴为x?1，∵点A的坐标为

??3??0，2??，且AB与x轴平行，可知A、B两点为对称点，∴B点坐标为???2，3?2??．故答案为：???2，3?2??． 考点：二次函数的性质．

14．关于x的一元二次方程x2?4x?m?0的两实数根为2?3和2?3，则m的值

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为 。 【答案】-1

【解析】根据韦达定理得：（2?3）（2?3）=-m，解得m=-1.

15．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 20个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15％和45％，则口袋中白色球的个数很可能是_______． 【答案】8

【解析】此题考查频率与频数

白球的频率稳定在1-15％-45％=40％，所以频数为：20?40%?8 答案 8

???线????○???? 16．已知抛物线y?ax2?bx?c（

a＞0）的对称轴为直线x?1，且经过点

??1，y1?，?2，y2?，试比较y1和y2的大小：

y1 _y2（填“>”

，“<”或“=”） 【答案】＞

【解析】略 抛物线考口向上，即点横坐标到对称轴的距离越远，纵坐标越大。-1到1的距离为2,2到1的距离为1.即y1?y2

17．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ．

【答案】（6，2）． 【解析】

试题分析：本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标． 试题解析: 设圆心坐标为（x，y）,依题意得， A（4，6），B（2，4），C（2，0）

则有(4?x)2?(6?y)2?(2?x)2?(4?y)2?(2?x)2?(?y)2，

即（4-x）2

+（6-y）2

=（2-x）2

+（4-y）2

=（2-x）2

+y2

， 化简后得x=6，y=2， 因此圆心坐标为（6，2）．

考点: 1.三角形的外接圆与外心；2.坐标与图形性质．

三、解答题（题型注释）

18．已知关于x的一元二次方程x2?4x?k2?2k?3?0的一个根为0，求k的值和

方程的另外一个根。

【答案】k的值为1或-3，方程的另一个根为-4

【解析】解：∵方程x2+4x+k2

+2k-3=0的一个根为0， ∴k2

+2k-3=0，

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解得k1=1，k2=-3，

2

∴原方程为x+4x=0， 解得 x1=0，x2=-4，

∴k的值为1或-3，方程的另一个根为-4．

由于一根为0，把x=0代入方程即可求得k的值．然后根据两根之和为?一根． 19．（1）探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 根

b即可求得另a二次三项式

x2?25?0 x1?5,x2??5 x2?25?(x?5)(x?5) ??○ __○?___?_?___??__?：?号?订考_订_?___??___??___??：级?○班_○?___?_?__?_?___??：名?装姓装_?__?_?___??___??_:校?○学○????????外内????????○○????????x2?6x?16?0 x1?2,x2??8

x2?6x?16?(x?2)(x?8) 3x2?4x?0 ________________

3x2?4x?3(x?___)(x?___)

5x2?4x?1?0

x1?1,x2??15 5x2?4x?1?5(x?1)(x?15) 2x2?3x?1?0

_________________

2x2?3x?1?_____________

（2）仿照上表把二次三项式ax2?bx?c（其中b2?4ac?0）进行分解？ 【答案】

（1）x41?0,x2?3,0,43; x111?1,x2?2,2(x?1)(x?2); （2）a(x??b?b2?4ac?b?b2?4ac2a)(x?2a) 【解析】（1）考查了二次三项式为0时，方程的根与二次三项式的因式分解的关系，

按照题目所给规律填空即可；

（2）利用配方法解方程ax2+bx+c=0，再根据规律把ax2

+bx+c因式分解． 解：（1） 一元二次方程 根 二次三项式 x2-25=0 x=5，xx212=-5 -25=（x-5）（x+5） x2+6x-16=0 x21=2，x2=-8 x+6x-16=（x-2）（x+8） x3x2-4x=3（x-0）（x- 1=0，x2= 3x2-4x=0 4 4 3 3 ） 5x2-4x-1=0 x21=5，x2=- 5x-4x-1=5（x-1）（x+） x1=1，x2= 2x2-3x+1=2（x-1）（x- 2x2-3x+1=0 1 1 2 2 试卷第7页，总17页

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） 故本题答案为：x1=0，x2=

2

（2）方程ax+bx+c=0，

2

移项，得ax+bx=-c， 化系数为1，得x+ x??，

2

4411，0，；x1=1，x2=，2（x-1）（x-）； 3322bacabb2cb22 x?配方，得x+a4a2=-a+4a2， ???线????○???? （x+b2a）2= b2?4ac4a2，

解得，x ?b?b2?4ac?b?b2?4ac1=2a，x2= 2a，

∴ax2

+bx+c=a（x- ?b?b2?4ac2a）（x- ?b?b2?4ac2a）．

20．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O

经过点E，且交BC于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 试题分析：（1）连接OE，证明∠OEA=90°即可；

（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长． 试题解析：（1）连接OE．

∵OE=OB，

∴∠OBE=∠OEB，

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∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE=∠EBC， ∴∠EBC=∠OEB， ∴OE∥BC， ∴∠OEA=∠C， ∵∠ACB=90°， ∴∠OEA=90°

∴AC是⊙O的切线；

（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，

??○ __○?___?_?___??__?：?号?订考_订_?___??___??___??：级?○班_○?___?_?__?_?___??：名?装姓装_?__?_?___??___??_:校?○学○????????外内????????○○????????

由题意可知四边形OECH为矩形， ∴OH=CE， ∵BF=6， ∴BH=3，

在Rt△BHO中，OB=5， ∴OH=4， ∴CE=4．

考点：切线的判定与性质．

21．抛物线y?x2?bx?c过点（2，-2）和（-1，10），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式． （2）求△ABC的面积．

【答案】(1) y?x2?5x?4;（2）6.

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数y=x2

+bx+c的图象过点（2，-2）和点（-1，10）两点，把两点坐标代入二次函数解析式，即可求出b、c的值，从而确定抛物线的解析式． （2）令y=0,求出A、B两点的横坐标，进而可求△ABC的面积． 试题解析：（1）把点（2，-2）和（-1，10）代入y?x2?bx?c中，得

??4?2b?c??2,?b??5?1?b?c?10. 解得?,?c?4. ∴所求二次函数解析式为y?x2?5x?4． （2）在y?x2?5x?4中，令x=0，得y=4． ∴C(0，4)．

令y=0，得x2?5x?4?0，

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解得x=1或x=4．

∴A(1，0) ，B(4，0)． ∴AB=3，OC=4 ∴S?ABC?AB?OC3?4??6 22考点: 待定系数法求二次函数解析式．

22．已知二次函数y?x2?bx?c，其图像抛物线交x轴的于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于点C.直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）.

(1)求此二次函数关系式；

???线????○???? (2)若直线l1经过抛物线顶点D，交x轴于点F，且l1∥l，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由. (3)若过点A作AG⊥x轴，交直线l于点G，连OG、BE，试证明OG∥BE.

【答案】（1）此二次函数关系式为：y=x2

-4x+3；

（2）以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形；点E的坐标为（2+3，2），（2-3，2），（2+5，4），（2-5，4）．

（3）证明见解析． 【解析】

试题分析：（1）由二次函数y=x2

+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），直接利用待定系数法求解即可；

（2）以点C、D、E、F为顶点的四边形构成平行四边形，有两种情形，分类讨论即可； （3）先过点E作EH⊥x轴于点H，设直线CE的解析式为：y=kx+3，然后分别求得点G与E的坐标，即可证得△OAG∽△BHE，则可得∠AOG=∠HBE，即可．

试题解析：（1）∵二次函数y=x2

+bx+c，图象交x轴于点A（1，0），B（3，0）， ∴??1?b?c＝09?3b?c＝0，

?解得：??b??4，

?c?3∴此二次函数关系式为：y=x2

-4x+3；

试卷第10页，总17页

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???线????○???? ???线????○????

（2）当CD为平行四边形对角线时，过点D作DM⊥AB于点M，过点E作EN⊥OC于点N，

??○ __○?___?_?___??__?：?号?订考_订_?___??___??___??：级?○班_○?___?_?__?_?___??：名?装姓装_?__?_?___??___??_:校?○学○????????外内????????○○????????

∵y=x2

-4x+3=（x-2）2

-1， ∴点D（2，-1），点C（0，3）， ∴DM=1， ∵l1∥l，

∴当CE=DF时，四边形CEDF是平行四边形， ∴∠ECF+∠CFD=180°， ∵∠OCF+∠OFC=90°， ∴∠ECN+∠DFM=90°， ∵∠DFM+∠FDM=90°， ∴∠ECN=∠FDM， 在△ECN和△FDM中，

???CNE＝?DMF＝90???ECN＝?FDM， ??CE＝DF∴△ECN≌△FDM（AAS）， ∴CN=DM=1，

∴ON=OC-CN=3-1=2，

当y=2时，x2

-4x+3=2， 解得：x=2±3，

∴点E（2+3，2）或（2-3，2）； 当CD为平行四边形一条边时，

则EF∥CD，且EF=CD．

试卷第11页，总17页

???线????○????

过点D作DM⊥y轴于点M，则DM=2，OM=1，CM=OM+OC=4； 过点E作EN⊥x轴于点N．

易证△CDM≌△EFN，∴EN=CM=4． 2

∴x-4x+3=4， 解得：x=2±5．

综上所述，以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形；点E的坐标为（2+3，2），（2-3，2），（2+5，4），（2-5，4）． （3）如图，过点E作EH⊥x轴于点H，

???线????○????

设直线CE的解析式为：y=kx+3， ∵A（1，0），AG⊥x轴， ∴点G（1，k+3）， 即OA=1，AG=k+3，

∵E是直线与抛物线的交点， ∴??y＝kx?3?y＝x2?4x?3，

解得：??x＝?k?4??y＝?k?1??k?3?，

∴点E（k+4，（k+1）（k+3）），

∴BH=OH-OB=k+3，EH=（k+1）（k+3）， ∴OAAG1BH?EH?k?1， ∵∠OAG=∠BHE=90°， ∴△OAG∽△BHE， ∴∠AOG=∠HBE， ∴OG∥BE．

考点：二次函数综合题．

23．如图，一次函数y?kx?2的图象与反比例函数y?mx的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、

D，且S△PBD=4，OCOA?12．

试卷第12页，总17页

??○ ?※○※??题※??※?答?※?订※内订?※??※线??※?※?订?○※※○?装?※?※??在※??※装要?※装?※不??※??※请??※※?○○????????内外????????○○???????????线????○???? ???线????○????

y B P D C O A x （1）求点D的坐标；

（2）求一次函数与反比例函数的解析式；

（3）根据图象写出当x?0时，一次函数的值大于反比例 函数的值的x的取值范围. ??○ __○?___?_?___??__?：?号?订考_订_?___??___??___??：级?○班_○?___?_?__?_?___??：名?装姓装_?__?_?___??___??_:校?○学○????????外内????????○○????????【答案】 （1）（0，2） （2）一次函数：y?2x?2 反比例函数y?12x （3）x＞2

【解析】（1）把x=0代入一次函数y?kx?2得y=2,故D坐标为（0，2）

（2）∵OC?1OCOA2∴BP?12,又??COA∽△BDP?OCOD1BP?BP?2所以BD=2OD=4又∵S△PBD=4，所以BP=2,∴（-2,6）所以代入y?kx?2得一次函数：y?2x?2 反比例函数y?12x (3)x＞2

如图，以AB为直径的⊙O经过点C，D是AB延长线上一点，且DC=AC，∠CAB=30°24．

试判断CD所在的直线与⊙O的位置关系，并说明理由25．

若AB=2，求阴影部分的面积

【答案】

24．CD与⊙O相切 ????????????????????? 1分 理由如下：连接OC

∵OA=OC，∠CAB=30°?????? 2分

试卷第13页，总17页

???线????○????

∴∠ACO=∠CAB=30°

又∵AC=BC，∴∠ACD=180°-2∠CAB=120°? 3分 ∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=120°-30°=90°

∴CD与⊙O相切 ????????? 5分 25．∵∠COD=2∠CAB=60°，OC=1AB?1??????????????? 6分 2在Rt△OCD中，CD＝OC×tan60°=3 ???????????????? 7分 ∴S阴影?S?OCD?S扇形OCB ????????????????????? 8分

160??123????线????○???? =2?1?3?360?2?6 ?????????????? 10分 【解析】（1）连接OC，证明∠OCD=90°，从而判断CD与⊙O相切．易证∠A=30°，∠OCD=90°，从而得证；

（2）根据图中阴影部分的面积等于S△OCD-S扇形OCB可得出答案．

26．如图，已知抛物线y=ax2

+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

【答案】（1）y=﹣x2

+2x+3 （2）（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3

）、（0，3﹣3）

（3）当0＜m≤时，S=﹣m2

+3m；当＜m＜3时，S=m2

﹣3m+．

【解析】 试题分析：（1）根据对称轴x=1、与x轴的一个交点为A（3，0）、与y轴的交点为B（0，3）可得关于a、b、c的方程组，解出即可

（2）分①MA=M；②AB=AM；③AB=BM三种情况讨论可得点M的坐标．

（3）记平移后的三角形为△PEF．由待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．

试卷第14页，总17页

??○ ?※○※??题※??※?答?※?订※内订?※??※线??※?※?订?○※※○?装?※?※??在※??※装要?※装?※不??※??※请??※※?○○????????内外????????○○???????????线????○???? ???线????○????

??9a?3b?c?0?a??1??试题解析：（1）由题意可知，?c?3，解得?b?2，经检验均为方程组的

?c?3?b????1?2a解，

2

故抛物线的解析式为y=﹣x+2x+3． （2）①当MA=MB时，M（0，0）； ②当AB=AM时，M（0，﹣3）；

③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）． ??○ __○?___?_?___??__?：?号?订考_订_?___??___??___??：级?○班_○?___?_?__?_?___??：名?装姓装_?__?_?___??___??_:校?○学○????????外内????????○○????????所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．

（3）平移后的三角形记为△PEF． 设直线AB的解析式为y=kx+b，则

，

解得

．

则直线AB的解析式为y=﹣x+3．

△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF， 易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m． 设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则

，

解得

．

则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．

连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）． 在△AOB沿x轴向右平移的过程中． ①当0＜m≤时，如图1所示．

设PE交AB于K，EF交AC于M． 则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m， 联立

，

解得，

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