2018届高三三诊考试数学(理)试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。） 1．已知集合M?3,2A．?0,2,3? C．?0,1,2? 2．复数z??a?，N??a,b?，若MN??2?，则MN?

B．?1,2,3? D．?0,1,3?

2?4i（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是 1?iA．?3,?1? B．??1,3? C．?3,1? D．?2,4? 3．设a,b?R，则“?a?b?a?0”是“a?b”的

2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示，则此机械部件的表面积为 A．(7?2)? B．(7?2)? C．(6?2)? D．(7?3)?

5．已知函数f(x)?(cosx?1?sinx)tanA．函数f(x)在[?B．函数f(x)在[?C．函数f(x)在[?D．函数f(x)在[?2x，那么下面说法正确的是 2????????,]上是增函数，且最小正周期为? 44,]上是减函数，且最小正周期为? 44,]上是减函数，且最小正周期为2? 44,]上是增函数，且最小正周期为2? 44

?x?2?x?2y6．若?y?2错误！未找到引用源。，则目标函数z?错误！未找到引用源。的取值范围

x?x?y?3?是

A．?2,5? B．?1,5? C．?,2? D．?2,6?

27． 如图，在?ABC中，AD?AB，BC?3BD，AD?1，

则AC?AD?

A．23 B．?1???

3 2C．3 D．3 3

8．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为 A．120 B．84 C．56 D．28

x29．已知P是双曲线?y2?1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近

3线的垂线，垂足分别为A、B，则PA?PB的值是 A．?

38B．

3 16C．?3 8D．不能确定

10．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一

台机器的费用为2000元，则所需检测费的均值为 A．6400元 B．6800元 C．7000元 D．7200元

11．已知A，B，C，D四点均在以点O1为球心的球面上 ，且

AB?AC?AD?25，BC?BD?42，CD?8.若球O2在球O1内且与平面BCD相切，

则球O2表面积的最大值为

A．? B．4? C．16? D．64?

12．设函数f(x)是定义在(??,0)上的可导函数，其导函数为f'(x)，且有2f(x)?xf'(x)?x2，

则不等式(x?2018)2f(x?2018)?4f(?2)?0的解集为 A．(?2020,0) B．(??,?2020) C．(?2016,0) D．(??,?2016)

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a?(4,?2)，b?(x,1)，若a//b，则|a?b|? ▲ ．

14．已知在?ABC中，a?3,b?1且bcosC?ccosB，则?ABC的面积为 ▲ ． 15．直线y?kx?3被圆x2?y2?4x?6y?9?0截得的弦长为23，则直线的倾斜角为

▲ ．

16．f(x)是R上可导的奇函数，f?(x)是f(x)的导函数.已知x?0时f(x)?f?(x),f(1)?e，不等

2ln(x?式0?fln(x?1?x)?e??1?x2)的解集为M，则在M上g(x)?sin6x的零点的个数为

▲ .

三、解答题 （本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）

设数列?an?的前n项和为Sn.已知2Sn?3n?3. （1）求?an?的通项公式；

（2）若数列?bn?满足anbn?log3an，求?bn?的前n项和Tn.

▲ 18．（本小题满分12分）

为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：

[5,1年龄 5) 频数 支持“生 4 育二胎” 5 [15,25) 10 5 [25,35)[来源:学&科&网Z&X&X&K][35,45) 10 8 [45,55) 5 2 [55,65) 5 1 15 12 （1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：

年龄不低于45 岁的人数 支持 不支持 合计 的人数 年龄低于45岁合计 a? ▲ b? ▲ ▲ c? ▲ d? ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ （2）若对年龄在[5,15),[35,45)的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为?，求随机变量?的分布列及数学期望.

参考数据：P(K2?3.841)?0.050，P(K2?6.635)?0.010，P(K2?10.828)?0.001

▲

19．（本小题满分12分）

如图所示的几何体中，ABC?A1B1C1为三棱柱，且AA1?平面

ABC，四边形ABCD为平行四边形，

AD?2CD,?ADC?60?．

（1）若AA1?AC， 求证：AC1?平面A1B1CD；

（2）若CD?2,AA1??AC，二面角C?A1D?C1的余弦值为[来源学科网ZXXK]2，求三棱锥C1?ACD的体积． 14

▲

20．（本小题满分12分）

x2y23已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，其右顶点A在圆x2?y2?12上.

ab2（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l:x?my?3(m?0)交椭圆C于M，N两点. （i）若以弦MN为直径的圆过坐标原点O，求实数m的值；

（ii）设点N关于x轴的对称点为N1（点N1与点M不重合)，且直线N1M与x轴交于点P，试问?PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

▲

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)?ae2x?ex?x，a?R． （1）若f(x)在x?0处取得极值，求a的值；

（2）设g(x)?f(x)-(a+3)ex，试讨论函数g(x)的单调性； （3）当a?2时，若存在实数x1,x2满足f(x1)?f(x2)?3ex1ex2?0，

xx1求证：e1?e2?．

2

▲

请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.

22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

点P是曲线??2（0????）上的动点，A?2,0?，AP的中点为Q.

（1）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；

?3?（2）若C上点M处的切线斜率的取值范围是??3,??，求点M横坐标的取值范围.

3??

▲

23.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数f?x??x?1．

（1）解不等式f?x??f?x?4??8；

（2）若f(a?1)?1，f(b?1)?1，且a?0，

f(ab)b?f()． 求证：aa

▲

参考答案及评分意见

一、选择题（12×5=60分）

4题号 1 2 3 ZXXK][来源:学科网11 5 6 7 8 9 10 D12 [来源学科答案 B C A B D A D B A C 网] B 二、填空题（4?5=20分） 13.

5 14.

?5?3 15. 或 16. 2

664三、解答题 （本大题共6小题，共70分．） 17. （本小题满分12分）

n解：（1）因为2Sn?3?3，所以2a1?3?3 ，故a1?3, …………1分

当n?1 时，2Sn?1?3n?1?3, 此时，2an?2Sn?2Sn?1?3n?3n?1, 即an?3n?1,

?3,n?1,a? …………5分 所以，n?n?1?3,n?1,（2）因为anbn?log3an ，

11?nn?11?n；当n?1 时，bn?3log33??n?1??3 ， 3

1所以T1?b1? …………7分

31?1?21?n当n?1 时，Tn?b1?b2?b3??bn???1?3?2?3???n?1?3?

3所以b1?

0?1所以3Tn?1?1?3?2?3????n?1?32?n?

221?31?n0?12?n1?n两式相减，得2Tn???3?3?3???n?1??3 ????n?1??31?n ?1331?3136n?3? …………10分 n62?3136n?3? …………11分 所以Tn?124?3n?经检验，n?1 时也适合，

综上可得：Tn?

136n?3? …………12分 n124?318．（本小题满分12分） 解：（1）2乘2列联表

支持 不支持 合 计 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 32 18 50 …………3分

a?3 c?29 b?7 10 d?11 40 50?(3?11?7?29)2K??6.27＜6.635

3?729?113?297?11????????2所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异

…………5分

（2）?所有可能取值有0,1,2,3 …………6分

2C8262884C4P???0??2?2???,

C5C1010452251112C82C4C8CC4428616104P???1??2?2?2?22?????,

C5C10C5C101045104522511122C8C2C4C4C24166135P???2??2?2?2?2?????,

C5C10C5C101045104522512C4C2412??, …………10分 P(??3)?2?2?C5C101045225所以?的分布列是

? P 0 1 2 3 84104352 2252252252251047064???. …………12分 所以?的期望值是E??0?2252252255

19．（本小题满分12分）

解：（1）证明：连接A1C交AC1于E，因为AA1?AC，又AA1?平面ABCD，

所以AA1?AC，所以四边形A1ACC1为正方形，

所以A1C?AC1，在?ACD中，AD?2CD,?ADC?60?， 由余弦定理得AC2?AD2?CD2?2AD?CDcos60，

所以AC?3CD，所以AD2?AC2?CD2，所以CD?AC，又AA1?CD， 所以CD?平面A1ACC1， 所以CD?AC1，又因为CDAC?C,从而AC1?平面A1B1CD ………5分 1 （2）如图建立直角坐标系，则D(2,0,0),A(0,23,0),C1(0,0,23?),A1(0,23,23?)?DC1?(?2,0,23?),DA1?(?2,23,23?)

设平面A1C1D的法向量为n1?(x1,y1,z1)，由

??2x1?23?z1?0??n1?DC1?0? ?即?解得x1?3?z1,y1?0?n1?(3?,0,1)

??n1?DA1?0???2x1?23y1?23?z1?0设平面A1CD的法向量为n2?(x2,y2,z2) …………8分

?2x2?0?n2?CD?0??由?得?解得x2?0,y2???z2,?n2?(0,??,1) ??23y2?23?z2?0?n2?CA1?0?…………10分

由cos??n1?n212??得??1，所以AA1?AC, ……11分

224|n1|?|n2|3??1???111V?V??(?23?23)?2?4 此时CD?2,AAD?A1CC11,?AC?23,所以C1?A1CD32…………12分

20.（本小题满分12分）

解：（1）因为椭圆C的右顶点在圆O：x2?y2?12上，所以a?23，又离心率为

3， 2

所以e?c3，所以c?3，则有b2?a2?c2?3， ?a2x2y2所以椭圆C的方程为??1 …………4分

123（2）（i）设M(x1,y1)，N(x2,y2).

?x?my?3,?直线l与椭圆C方程联立?x2y2，

?1,???123化简并整理得(m2?4)y2?6my?3?0， …………5分 ∴y1?y2??6m3yy?? ，1222m?4m?46m224∴x1?x2?m(y1?y2)?6??2， ?6?2m?4m?43m218m236?12m2. x1x2?my1y2?3m(y1?y2)?9??2??9?m?4m2?4m2?42因为以弦MN为直径的圆过坐标原点，

[来源学科网ZXXK]

所以OM?ON，∴OM?ON?0，即x1x2?y1y2?0，

1136?12m23112m? .…………8分 代入，得，解得，所以??0m??4m2?4m2?42（ii）由题意，N1(x2,?y2)，所以直线MN的方程为y?y1?令y?0，得

y1?y2(x?x1)，

x1?x2?6my1(x1?x2)x1y2?x2y1(my1?3)y2?(my2?3)y1m2?4x?x1?????3?4

?6my1?y2y1?y2y1?y2m2?4所以点P的坐标为(4,0) …………10分

?PMN的面积为S?PMN?11|PF||y1?y2|??1?(y1?y2)2?4y1y2 221?6m2?3 ?(2)?4(2?)2m?4m?4m2?1 2322m(?4)

?23m2?1?219?6m2?1?2312(m2?1)(9)?6m2?1?123?1 6?6当且仅当m?1?9，即m??2时等号成立，

m2?1故?PMN的面积存在最大值，最大值为1. …………12分

21．(本小题满分12分)

解：（1）因为f(x)?ae2x?ex?x，所以f?(x)?2ae2x?ex?1， 因为f(x)在x?0处取得极值，

?2a+1+1?0，解得a?-1． 所以f?(0）验证：当a?-1时，f?(x)??（2ex?1)(ex?1)，

易得f(x)在x?0处取得极大值． …………3分 （2）因为g(x)?f(x)-(a+3)ex=ae2x?(a?2)ex?x，

所以g?(x)?2ae2x?(a?2)ex?1?2ae2x?(a?2)ex?1=（aex?1)(2ex?1)

…………4分

①若a?0，则当x?(-?,-ln2)时，g?(x)?0， 所以函数g(x)在(-?,-ln2)上单调递增；

当x?(-ln2,??)时，g?(x)?0，?函数g(x)在(-ln2,??)上单调递减．………5分 ②若a?0，g'(x)=（aex?1)(2ex?1)，

当a?2时，易得函数g(x)在(-?,?lna)和(-ln2,??)上单调递增， 在(?lna,?ln2)上单调递减；

当a?2时，g?(x)≥0恒成立，所以函数g(x)在(-?,??)上单调递增； 当0?a?2时，易得函数g(x)在(-?,?ln2)和(-lna,??)上单调递增，

在(?ln2,?lna)上单调递减； …………8分 （3）证明：当a?2时， 因为f(x1)?f(x2)?3e1e所以2e2x1xx2?0，

?ex1?x1?2e2x2?ex2?x2?3ex1ex2?0，

所以2(e1?e2)?(e1?e2)?e1e2?x1?x2=e1令t?x1+x2，?(t)?et?t， 则??(t)?et?1?0，

xx2xxxxx+x2?(x1?x2)．

当t?(-?,0)时，??(t)?0，所以函数?(t)?et?t在(-?,0)上单调递减； 当t?(0,?)时，??(t)?0，所以函数?(t)?et?t在(0,?)上单调递增；

所以函数?(t)?et?t在t?0时，取得最小值，最小值为1． …………10分 所以2(ex1?ex2)2?(ex1?ex2)?1，

即2(ex1?ex2)2?(ex1?ex2)-1?0，所以e1?exx2?1 …………11分 2xxx?x1当x1+x2?t?0时，e1?e2?2e12?2?此时不存在x1,x2满足等号成立条件，

2所以e1?e

xx2?1． …………12分 222.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

解：（1）由??2?0?????，得x?y?4?y?0?设P?x1,y1?，Q?x,y?，

22则x?x1?2y,y?1，即x1?2x?2,y1?2y，代入x12?y12?4?y?0?， 222222得?2x?2???2y??4，∴?x?1??y?1?y?0?； …………5分

（2）轨迹C是一个以?1,0?为圆心，1半径的半圆，如图所示，

设M?1?cos?,sin??，设点M处切线l的倾斜角为?

?3?2?5????由l斜率范围??3,?， …………7分 ?，可得

336??而?????2，∴

?6????3，∴

32?3， ?1?cos??22

?32?3?所以，点M横坐标的取值范围是?,?． …………10分

22??

23.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲

??2x?2,x??3??3?x?1 解：（1）f(x)?f(x?4)?|x?1|?|x?3|??4,?2x?2,x?1?当x??3时，由?2x?2?8，解得x??5；当?3?x?1时，f(x)?8不成立； 当x?1时，由2x?2?8，解得x?3；

所以不等式f(x)?f(x?4)?8的解集为xx??5或x?3 …………5分

??f(ab)bb??f()，即f?ab??af?（2）??，即ab?1?a?b． aa?a?因为f(a?1)?1，f(b?1)?1，所以a?1，b?1，又有a?0， 所以ab?1?a?b?ab?2ab?1?a?2ab?b22?22??22???a2?1??b2?1??0，

所以ab?1?a?b，故所证不等式成立． …………10分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0hk.html