2020_2021学年新教材高中数学第五章数列5.2.2.2等差数列习题课课时素养评价含解析新人教B

课时素养评价六等差数列习题课

(25分钟·50分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=16,S m=25,a1=1(m≥2,且m∈N),则m的值是

( )

A.4

B.5

C.6

D.7

【解析】选B.设等差数列{a n}的公差为d,

因为S m-1=16,S m=25,a1=1(m≥2,且m∈N),

所以a m=S m-S m-1=25-16=9=1+(m-1)d,

m+错误!未找到引用源。d=25,联立解得m=5,d=2.

2.数列{a n}的通项公式是a n=错误!未找到引用源。,若前n项和为10,则项数为 ( )

A.11

B.99

C.120

D.121

【解析】选C.因为a n=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。, 所以S n=a1+a2+…+a n=(错误!未找到引用源。-1)+(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)+…+(错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。)=错误!未找到引用源。-1,令错误!未找到引用源。-1=10,得n=120.

3.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+1,则|a1|+|a2|+…+|a10| 的值为( )

A.61

B.62

C.65

D.67

【解析】选D.对n分情况讨论当n=1时,S1=a1=-2.当n≥2时,

a n=S n-S n-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5,

所以a n=错误!未找到引用源。

由通项公式得a1<a2<0<a3<a4<…<a10

所以|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=102-4×10+1-2×(-3)=67. 4.据科学计算,运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭,在点火后1分钟通过的路程为2 km,以后每分钟通过的路程增加2 km,在达到离地面240 km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是( )

A.10分钟

B.13分钟

C.15分钟

D.20分钟

【解析】选C.由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列,设第n分钟后通过的路程为a n,则a1=2,公差d=2,a n=2n,S n=错误!未找到引用源。·n=240,解得n=15或n=-16(舍去).

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n,则a5=______,a n=________.

【解析】因为S n=3+2n,

所以a5=S5-S4=3+25-(3+24)=16.

a1=S1=5,

n≥2时,a n=S n-S n-1

=(3+2n)-(3+2n-1)=2n-1,

当n=1时,上式不成立,所以a n=错误!未找到引用源。

答案:16 错误!未找到引用源。

6.(2020·南通高二检测)设S n为等差数列{a n}的前n项和.若S9=-a5,a1>0,则使得a n>S n的n的最小值为________.

【解析】因为S n为等差数列{a n}的前n项和,S9=-a5,所以S9=9a5=-a5,所以S9=-a5=0,

所以a1+4d=0,a1=-4d,

由a n>S n,得a1+(n-1)d>na1+错误!未找到引用源。d,

即-4d+(n-1)d>-4nd+错误!未找到引用源。d,

因为d<0,所以整理得n2-11n+10>0,

解得n>10,所以n的最小值为11.

答案:11

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.已知等差数列{a n}的前n项的和为S n,a3=5,S10=100.

(1)求数列{a n}的通项公式.

(2)设b n=错误!未找到引用源。,求数列{b n}的前n项和T n.

【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,

由题意知错误!未找到引用源。解得a1=1,d=2.

所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1.

(2)b n=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。所以T n

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。. 8.(2019·全国Ⅰ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S9=-a5.

(1)若a3=4,求{a n}的通项公式.

(2)若a1>0,求使得S n≥a n的n的取值范围.

【解析】(1)设{a n}的公差为d.

由S9=-a5得a1+4d=0.

由a3=4得a1+2d=4.

于是a1=8,d=-2.

因此{a n}的通项公式为a n=10-2n.

(2)由S9=-a5得a1=-4d,

故a n=(n-5)d,S n=错误!未找到引用源。.

由a1>0知d<0,故S n≥a n等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.

所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.

【加练·固】

若等差数列{a n}的首项a1=13,d=-4,记T n=|a1|+|a2|+…+|a n|,求T n.

【解析】因为等差数列{a n}的首项a1=13,d=-4,

所以a n=13+(n-1)×(-4)=17-4n,

等差数列{a n}的前n项和S n=13n+错误!未找到引用源。×(-4)=15n-2n2, 由a n=17-4n>0,得n<错误!未找到引用源。,

a4=17-16=1,a5=17-4×5=-3,

因为T n=|a1|+|a2|+…+|a n|,

所以n≤4时,T n=S n=15n-2n2,

n≥5时,T n=-S n+2S4=2n2-15n+56.

所以T n=错误!未找到引用源。

(15分钟·25分)

1.(5分)已知数列{a n}:错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,…,那么数列{b n}=错误!未找到引用源。的前n项和S n为( )

A.4错误!未找到引用源。

B.4错误!未找到引用源。

C.1-错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。【解析】选A.因为a n=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以b n=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=4错误!未找到引用源。.

所以S n=41-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+…+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=4错误!未找到引用源。.

【加练·固】

一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n 等于( )

A.12

B.16

C.9

D.16或9

【解析】选C.a n=120°+5°(n-1)=5°n+115°,a n<180°,所以n<13,n∈N+,由n边形内角和定理得(n-2)×180=120n+错误!未找到引用源。×5,解得n=16或n=9,又n<13,n∈N+,所以n=9.

2.(5分)(多选题)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1>0,公差d≠0,则下列说法正确的是

( )

A.若S5=S9,则必有S14=0

B.若S5=S9,则必有S7是S n中的最大项

C.若S6>S7,则必有S7>S8

D.若S6>S7,则必有S5>S6

【解析】选ABC.根据题意,依次分析选项:

对于A,若S5=S9,必有S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,则a7+a8=0,

S14=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=0,A正确;

对于B,若S5=S9,必有S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,又由a1>0,则必有S7是S n中的最大项,B正确;

对于C,若S6>S7,则a7=S7-S6<0,又由a1>0,必有d<0,则a8=S8-S7<0,必有S7>S8,C正确; 对于D,若S6>S7,则a7=S7-S6<0,而a6的符号无法确定,故S5>S6不一定正确,D错误.

3.(5分)已知数列{a n}满足a1+2a2+…+na n=n(n+1)(n+2),则a n=________.

【解析】由a1+2a2+…+na n=n(n+1)(n+2),①

当n≥2,n∈N+时,得a1+2a2+…+(n-1)a n-1

=(n-1)n(n+1),②

①-②,得na n=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1),

所以a n=3(n+1)(n≥2,n∈N+).

又当n=1时,a1=1×2×3=6也适合上式,

所以a n=3(n+1),n∈N+.

答案:3(n+1)(n∈N+)

4.(10分)数列{a n}满足a n=6-错误!未找到引用源。(n∈N+,n≥2).

(1)求证:数列错误!未找到引用源。是等差数列.

(2)若a1=6,求数列{lg a n}的前999项的和S.

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