勾股定理的证明方法

篇一：勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明（看前5个就可以了）

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11

a2?b2?4?ab?c2?4?ab

22， 整理得 a2?b2?c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1ab

等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.

2

??a?b∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴

【证法3】（赵爽证明）

?a?b?2

1

?4?ab?c2

222

2. ∴ a?b?c.page 1 of 9

以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角

1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o.

2

??b?a∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

12

4?ab??b?a??c2

∴ 2.

∴ a?b?c. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面

1ab2积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

222

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.

∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

12c2它的面积等于.

又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,

∴ AD∥BC.

1

?a?b?2

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2. 1

?a?b?2?2?1ab?1c2

22. ∴ 2

222

∴ a?b?c.

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【证法5】（辛卜松证明）DD

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为

?a?b?2?a2?b2?2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的

面积为

222

∴ a?b?2ab?2ab?c,

222

∴ a?b?c.

【证法6】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.

又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.

即∠CBD= 90o. A

又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

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?a?b?2

1

?4?ab?c2

2

2 =2ab?c.

设多边形GHCBE的面积为S，则

1

a2?b2?S?2?ab,

2 1

c2?S?2?ab

2,

∴ a?b?c.

【证法7】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条

直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， C∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法8】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点

在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点

KL. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 12

a

∵ ΔFAB的面积等于2222

ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，

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∴ 矩形ADLM的面积 =a.

2

同理可证，矩形MLEB的面积 =b.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222

∴ c?a?b ，即 a?b?c. 【证法9】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，

∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB，

2AC?AD?AB即 .

2

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC?BD?AB.

222222??AC?BC?AD?DB?AB?AB∴ ，即 a?b?c.

2

【证法10】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o， ∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

由作法可知， PBCA 是一个矩形，

所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

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篇二：勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

a?b?4?

2

2

12

， 整理得 a?b?c.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

2

ab?c?4?

2

1

ab

222

1

等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 2

正方形. 它的面积等于c.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.

2

??a?b∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

ab

2∴ . ∴ a

【证法3】（赵爽证明）

?a?b?2

?4?

1

ab?c

2

2

?b?c

22

.page 1 of 9

以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角

1

三角形的面积等于2

. 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o.

2

??b?a∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

ab

∴ 2.

222

∴ a?b?c. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面

1

4?

1

ab??b?a??c

2

2

积等于2

. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.

∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. E∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

1c

2

ab

它的面积等于2.

又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC.

1

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2

1

?a?b?2

.

22∴ 2.

222

∴ a?b?c. 【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于

?a?b?2

?2?

1

ab?

1

c

2

邮箱：iskao.cn@gmail.com page 2 of 9

点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.

又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.

即∠CBD= 90o. BA

又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则

a?bc

22

2

?S?2?

12ab

12

ab,

?S?2?

2

2

∴ a?b

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条

直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，

邮箱：iskao.cn@gmail.com page 3 of 9

, 2

?c.

又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点

在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点

L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 1

∵ ΔFAB的面积等于2ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，

2

∴ 矩形ADLM的面积 =a2同理可证，矩形MLEB的面积 =b. ∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222

∴ c?a?b ，即 a?b?c. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，

∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB， B2

即 AC?AD?AB.

2

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC?BD?AB.

∴ AC

2

a

2

?BC

2

??AD?DB??AB?AB

2

，即 a

2

?b?c

22

.

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

邮箱：iskao.cn@gmail.com page 4 of 9

∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o， ∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

由作法可知， PBCA 是一个矩形，

所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = T

CA = b，AP= a，从而PH = b―a.∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. EB∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

c

2

?S1?S2?S3?S4?S5

①

=

b?

2

∵

S8?S3?S4?

12

?b??b?a????a??b?a??

12

ab

，

S5?S8?S9

2

，

12ab?S8

∴

把②代入①，得

c

2

2

2

2

9

S3?S4?b?

=

b?S1?S8

2

. ②

?S1?S2?b?S1?S8?S8?S9

2

2

= b?S?S = b?a. 222

∴ a?b?c.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，

BT = BE = b， page 5 of 9

篇三：勾股定理的十六种证明方法

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，

设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11

a2?b2?4?ab?c2?4?ab222

22， 整理得 a?b?c.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角

1ab2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点

在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.

2

??a?b∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴

?a?b?2

1

?4?ab?c2

222

2. ∴ a?b?c.

【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

1

ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o.

2

??b?a∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

12

4?ab??b?a??c2

2∴ .

222

∴ a?b?c. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角

1ab

形的面积等于2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点

在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

12c2它的面积等于.

又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC.

1

?a?b?2

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.

1

?a?b?2?2?1ab?1c2

22. ∴ 2

222

∴ a?b?c.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则

11

c2?S?2?aba2?b2?S?2?ab,

2, 2

222

∴ a?b?c.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点

L.

K∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 12a∵ ΔFAB的面积等于2， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，

2

a∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =b.

∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222

∴ c?a?b ，即 a?b?c.

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB，

2

即 AC?AD?AB. 2

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC?BD?AB.

222222

∴ AC?BC??AD?DB??AB?AB，即 a?b?c.

2

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o， ∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

c2?S1?S2?S3?S4?S5 ①

1

?b??b?a????a??b?a??b2?1ab22， =

∵

S8?S3?S4?

S5?S8?S9， ∴

把②代入①，得

S3?S4?b2?

1

ab?S822= b?S1?S8 . ②

c2?S1?S2?b2?S1?S8?S8?S9

222

= b?S2?S9 = b?a. 222

∴ a?b?c.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE.

R又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，

BT = BE = b，

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a.

又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠

∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b―a，

∠HGF = ∠BDC = 90o，

∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7?S2.

过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0hhb.html