2019年黑龙江省鸡西市中考数学试卷（答案解析版）

2019年黑龙江省鸡西市中考数学试卷

题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列各运算中，计算正确的是（ ）

A. B. C. D.

2. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ）

A. B.

C.

D.

3. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的

主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

4. 某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相

同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差 5. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支

干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边

形OABC的顶点A在反比例函数y= 上，顶点B在反比例函数y= 上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（ ）

A. B. C. 4 D. 6

7. 已知关于x的分式方程 =1的解是非正数，则m的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

BD相交于点O，AB：BC=3：2，8. 如图，矩形ABCD的对角线AC、过点B作BE∥AC，

过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC=（ ）

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A.

B.

C.

D.

9. 某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班

级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 10. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，过点

A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE=1：3；③DE= BC；④S四边形OCEF=S△AOD，正确的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11. 中国政府提出的“一带一路”倡议，近两年来为沿线国家创造了约180000个就业

岗位．将数据180000用科学记数法表示为______． 12. 在函数y= 中，自变量x的取值范围是______． 13. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，在不添加任何辅

助线的情况下，请你添加一个条件______，使四边形ABCD是平行四边形． 14. 在不透明的甲、乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中有2个白球、

1个黄球，乙盒中有1个白球、1个黄球，分别从每个盒中随机摸出1个球，则摸

出的2个球都是黄球的概率是______．

15. 若关于x的一元一次不等式组 的解集为x＞1，则m的取值范围是______．

16. 如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC=30°，

则∠AOB的度数为______．

17. 若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆

心角度数是______．

18. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是矩形ABCD

内一动点，且S△PAB=S△PCD，则PC+PD的最小值为______． AB=10，AC=6，19. 一张直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，点D为BC边上的任一点，

沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为______．

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20. 如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角

线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到

△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则S2019=______． 三、解答题（本大题共8小题，共60.0分）

+1． 21. 先化简，再求值：（ - ）÷，期中x=2sin30°

22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系

中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上． （1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标； （2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标； （3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

2

23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx+c与x轴交

于点A（3，0）、点B（-1，0），与y轴交于点C． （1）求拋物线的解析式；

（2）过点D（0，3）作直线MN∥x轴，点P在直线NN上且S△PAC=S△DBC，直接写出点P的坐标．

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24. “世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校学

生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题： （1）求本次调查中共抽取的学生人数； （2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是______； （4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？

25. 小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，

立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y（米）与小强所用时间t（分钟）之间的函数图象如图所示． （1）求函数图象中a的值； （2）求小强的速度；

（3）求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

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26. 如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，

BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．

（1）如图①所示，若∠ABC=30°，求证：DF+BH= BD；

（2）如图②所示，若∠ABC=45°，如图③所示，若∠ABC=60°（点M与点D重合），猜想线段DF、BH与BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

27. 为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文

具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元． （1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？

（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？

（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？

28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是

2

一元二次方程x-7x+12=0的两个根（BC＞AB），OA=2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED-DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S．

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（1）求点D的坐标；

（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】

222

解：A、a+2a=3a，故此选项错误；

B、b10÷b2=b8，故此选项错误；

C、（m-n）2=m2-2mn+n2，故此选项错误； D、（-2x2）3=-8x6，故此选项正确； 故选：D．

直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得出答案．

此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及完全平方公式、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2.【答案】C

【解析】

解：A、不是中心对称图形，本选项错误； B、不是中心对称图形，本选项错误； C、是中心对称图形，本选项正确； D、不是中心对称图形，本选项错误． 故选：C．

根据中心对称图形的概念求解即可．

本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3.【答案】B

【解析】

解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有1个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个． 故选：B．

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主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．

考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数． 4.【答案】B

【解析】

解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，

所以将最低成绩写得更低了，计算结果不受影响的是中位数， 故选：B．

根据中位数的定义解答可得．

本题主要考查方差、极差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义． 5.【答案】C

【解析】

解：设这种植物每个支干长出x个小分支，

2

依题意，得：1+x+x=43，

解得：x1=-7（舍去），x2=6． 故选：C．

设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6.【答案】C

【解析】

解：如图作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E， ∵四边形OABC是平行四边形，

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∴AB∥OC，OA=BC， ∴BE⊥y轴，

∴OE=BD，

∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），

根据系数k的几何意义，S矩形BDOE=5，S△AOE=， ∴四边形OABC的面积=5--=4， 故选：C．

根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得． 本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、平行四边形的性质等，有一定的综合性 7.【答案】A

【解析】

解：=1，

方程两边同乘以x-3，得 2x-m=x-3，

移项及合并同类项，得 x=m-3， ∵分式方程∴

解得，m≤3， 故选：A．

根据解分式方程的方法可以求得m的取值范围，本题得以解决．

本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方程的方法． 8.【答案】A

【解析】

=1的解是非正数，x-3≠0， ，

解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC=3：2， ∴设AB=3x，BC=2x．

如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延

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长线于点F，连接OE交BC于点G． ∵BE∥AC，CE∥BD，

∴四边形BOCE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OC，

∴四边形BOCE是菱形． ∴OE与BC垂直平分， ∴EF=AD=

=x，OE∥AB，

∴四边形AOEB是平行四边形， ∴OE=AB，

∴CF=OE=AB=x． ∴tan∠EDC=故选：A．

如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=OG，CF=QE=AB．所以由锐角三角函数定义作答即可．

本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9.【答案】B

【解析】

==．

解：设一等奖个数x个，二等奖个数y个， 根据题意，得6x+4y=34， 使方程成立的解有∴方案一共有3种； 故选：B．

设一等奖个数x个，二等奖个数y个，根据题意，得6x+4y=34，根据方程可得三种方案；

，

，

，

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本题考查二元一次方程的应用；熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键． 10.【答案】D

【解析】

解：①∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴BF=CF，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DE，

∴∠BAF=∠CEF， ∵∠AFB=∠CFE，

∴△ABF≌△ECF（AAS）， ∴AB=CE，

∴四边形ABEC是平行四边形， ，AB=AC， ∵∠BAC=90°

∴四边形ABEC是正方形，故此题结论正确； ②∵OC∥AD，

∴△OCF∽△OAD，

∴OC：OA=CF：AD=CF：BC=1：2， ∴OC：AC=1：3，∵AC=BE， ∴OC：BE=1：3，故此小题结论正确； ③∵AB=CD=EC， ∴DE=2AB，

， ∵AB=AC，∠BAC=90°∴AB=∴DE=2×

④∵△OCF∽△OAD， ∴∴

∵OC：AC=1：3，

∴3S△OCF=S△ACF，∵S△ACF=S△CEF， ∴∴故选：D．

，

，故此小题结论正确．

， ，

BC，

，故此小题结论正确；

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①先证明△ABF≌△ECF，得AB=EC，再得四边形ABEC为平行四边形，进而由∠BAC=90°，得四边形ABCD是正方形，便可判断正误；

②由△OCF∽△OAD，得OC：OA=1：2，进而得OC：BE的值，便可判断正误； ③根据BC=

AB，DE=2AB进行推理说明便可；

④由△OCF与△OAD的面积关系和△OCF与△AOF的面积关系，便可得四边形OCEF的面积与△AOD的面积关系．

本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，第一小题关键是证明三角形全等，第二小题证明三角形的相似，第三小题证明BC与AB的关系，DE与AB的关系，第四小题关键是用△OCF的面积为桥梁． 11.【答案】1.8×105

【解析】

105， 解：将180000用科学记数法表示为1.8×105． 故答案是：1.8×

10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的科学记数法的表示形式为a×

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 10n的形式，其此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12.【答案】x≥2

【解析】

解：在函数y=中，有x-2≥0，解得x≥2，

故其自变量x的取值范围是x≥2． 故答案为x≥2．

根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0即可求解．

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本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 13.【答案】AD∥BC（答案不唯一）

【解析】

解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD∥BC． 故答案为：AD∥BC（答案不唯一）．

可再添加一个条件AD∥BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．

此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键． 14.【答案】 【解析】

解：画树状图为：，

共有6种等可能的结果数，其中2个球都是黄球占1种， ∴摸出的2个球都是黄球的概率=； 故答案为：．

先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出2个球都是黄球所占结果数，然后根据概率公式求解．

本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 15.【答案】m≤1

【解析】

解：解不等式x-m＞0，得：x＞m， 解不等式2x+1＞3，得：x＞1， ∵不等式组的解集为x＞1，

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∴m≤1， 故答案为：m≤1．

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

16.【答案】60°【解析】

解：∵OA⊥BC， ∴

=

，

∴∠AOB=2∠ADC， ， ∵∠ADC=30°， ∴∠AOB=60°故答案为60°．

利用圆周角与圆心角的关系即可求解．

此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．

17.【答案】150°【解析】

解：∵圆锥的底面圆的周长是45cm， ∴圆锥的侧面扇形的弧长为5πcm， ∴

=5π，

解得：n=150 故答案为150°．

利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出弧长．

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18.【答案】2 【解析】

解：

∵ABCD为矩形， ∴AB=DC 又∵S△PAB=S△PCD

∴点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P线段AD垂直平分线MN上， 连接AC，交MN与点P，此时PC+PD的值最小， 且PC+PD=AC=故答案为：2

由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果． 本题主要考查最短路径问题，勾股定理等知识点． 19.【答案】3或

【解析】

解：分两种情况：

=∠C，CD=ED， ，则∠AED=90°①若∠DEB=90°

连接AD，则Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE=AC=6，BE=10-6=4， 设CD=DE=x，则BD=8-x，

222

∵Rt△BDE中，DE+BE=BD，

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222∴x+4=（8-x），

解得x=3， ∴CD=3；

，则∠CDE=∠DEF=∠C=90°，CD=DE， ②若∠BDE=90°

∴四边形CDEF是正方形， ，∠AEF=∠B， ∴∠AFE=∠EDB=90°

∴△AEF∽△EBD， ∴

=

，

设CD=x，则EF=DF=x，AF=6-x，BD=8-x， ∴

=

， ，

，

，

解得x=∴CD=

综上所述，CD的长为3或故答案为：3或

．

依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD的长．

本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 20.【答案】22017

【解析】

解：∵四边形OAA1B1是正方形， ∴OA=AA1=A1B1=1，

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∴S1=

=，

， ∵∠OAA1=90°

222

∴AO1=1+1=

，

∴OA2=A2A3=2， ∴S2=

=1，

=2，S4=4…，

同理可求：S3=

n-2

∴Sn=2， 2017

， ∴S2019=22017

故答案为：2．

首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键．

21.【答案】解：原式=[ - ]?（x+1）

= ?（x+1） = ，

+1=2×+1=1+1=2时， 当x=2sin30° 原式=1． 【解析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值化简代入计算可得．

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

22.【答案】解：（1）如右图所示，

点A1的坐标是（-4，1）； （2）如右图所示，

点A2的坐标是（1，-4）； （3）∵点A（4，1）， ∴OA= ，

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∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：【解析】

= ．

（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点A1的坐标； （2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点A2的坐标；

（3）根据题意可以求得OA的长，从而可以求得线段OA在旋转过程中扫过的面积．

本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

23.【答案】解：（1）将点A（3，0）、点B（-1，0）代入y=x2+bx+c，

可得b=-2，c=-3，

2

∴y=x-2x-3；

（2）∵C（0，-3）， 1=3， ∴S△DBC= 6×

∴S△PAC=3，

设P（x，3），直线CP与x轴交点为Q， AQ， 则S△PAC= 6×

∴AQ=1，

∴Q（2，0）或Q（4，0）， ∴直线CQ为y= x-3或y= x-3， 当y=3时，x=4或x=8， ∴P（4，3）或P（8，3）； 【解析】

2

（1）将点A（3，0）、点B（-1，0）代入y=x+bx+c即可；

（2）S△DBC=6×1=3=S△PAC，设P（x，3），直线CP与x轴交点为Q，则有

AQ=1，可求Q（2，0）或Q（4，0），得：直线CQ为y=x-3或y=x-3，当y=3时，x=4或x=8；

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活转化三角形面积是解题的关键．

24.【答案】72°【解析】

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30%=50（人）； 解：（1）本次调查中共抽取的学生人数为15÷40%=20（人）， （2）3本人数为50×

则2本人数为50-（15+20+5）=10（人）， 补全图形如下：

×（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是360°=72°， 故答案为：72°；

（4）估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有1200×=600（人）．

（1）由1本的人数及其所占百分比可得答案； （2）求出2本和3本的人数即可补全条形图； （3）用360°乘以2本人数所占比例； （4）利用样本估计总体思想求解可得．

本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 25.【答案】解：（1）a=

×（10+5）=900；

5=60（米/分）， （2）小明的速度为：300÷2）÷12=65（米/分）； 小强的速度为：（900-60×

（3）由题意得B（12，780），

设AB所在的直线的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 把A（10，900）、B（12，780）代入得： ，解得 ，

∴线段AB所在的直线的解析式为y=-60x+1500（10≤x≤12）． 【解析】

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（1）根据“小明的路程=小明的速度×小明步行的时间”即可求解；

（2）根据a的值可以得出小强步行12分钟的路程，再根据“路程、速度与时间”的关系解答即可；

（3）由（2）可知点B的坐标，再运用待定系数法解答即可．

此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．

26.【答案】（1）证明：连接CF，如图①所示：

∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴CF⊥AB， ∵BH⊥AB， ∴CF∥BH，

∴∠CBH=∠BCF，

∵点M是BC的中点， ∴BM=MC，

在△BMH和△CMF中， ，

∴△BMH≌△CMF（ASA）， ∴BH=CF，

∵AB=BC，BE⊥AC， ∴BE垂直平分AC， ∴AF=CF， ∴BH=AF，

∴AD=DF+AF=DF+BH， ∵在Rt△ADB中，∠ABC=30°，

∴AD=

BD，

∴DF+BH=

BD；

（2）解：图②猜想结论：DF+BH=BD；理由如下： 同（1）可证：AD=DF+AF=DF+BH， ∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°， ∴AD=BD， ∴DF+BH=BD；

图③猜想结论：DF+BH= BD；理由如下： 同（1）可证：AD=DF+AF=DF+BH， ∵在Rt△ADB中，∠ABC=60°， ∴AD= BD， ∴DF+BH= BD． 【解析】

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（1）连接CF，由垂心的性质得出CF⊥AB，证出CF∥BH，由平行线的性质得出∠CBH=∠BCF，证明△BMH≌△CMF得出BH=CF，由线段垂直平分线的性质得出AF=CF，得出BH=AF，AD=DF+AF=DF+BH，由直角三角形的性质得出AD=

BD，即可得出结论；

（2）同（1）可证：AD=DF+AF=DF+BH，再由等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．

本题考查了全等三角形的判定与性质、垂心的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

27.【答案】解：（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得：

，解得 ，

答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；

（2）根据题意得：

955≤15x+5（120-x）≤1000， 解得35.5≤x≤40， ∵x是整数，

∴x=36，37，38，39，40． ∴有5种购买方案；

（3）W=15x+5（120-x）=10x+600， ∵10＞0，

∴W随x的增大而增大，

36+600=960（元）， 当x=36时，W最小=10×

∴120-36=84．

答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元． 【解析】

（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；

（2）根据题意列不等式组解答即可；

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（3）求出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的一次函数关系式． 28.【答案】解：（1）∵x2-7x+12=0，

∴x1=3，x2=4， ∵BC＞AB，

∴BC=4，AB=3， ∵OA=2OB，

∴OA=2，OB=1，

∵四边形ABCD是矩形， ∴点D的坐标为（-2，4）；

（2）设BP交y轴于点F， 如图1，当0≤t≤2时，PE=t，

∵CD∥AB，

∴△OBF∽△EPF， ∴

= ，即 = ， ∴OF=

，

∴S=

OF?PE= ? ?t= ； 如图2，当2＜t＜6时，AP=6-t，

∵OE∥AD，

∴△OBF∽△ABP， ∴

= ，即 = ， ∴OF=

，

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2=- t+2； ∴S= ?OF?OA= × ×

综上所述，S= ；

＜ ＜

（3）由题意知，当点P在DE上时，显然不能构成等腰三角形； 当点P在DA上运动时，设P（-2，m）， ∵B（1，0），E（0，4），

22222

∴BP=9+m，BE=1+16=17，PE=4+（m-4）2=m-8m+20，

2

2 ， ①当BP=BE时，9+m=17，解得m=±

则P（-2，2 ）；

22

②当BP=PE时，9+m=m-8m+20，解得m= ，

则P（-2， ）；

③当BE=PE时，17=m-8m+20，解得m=4± ， 则P（-2，4- ）；

综上，P（-2，2 ）或（-2， ）或（-2，4- ）． 【解析】

2

（1）解方程求出x的值，由BC＞AB，OA=2OB可得答案； （2）设BP交y轴于点F，当0≤t≤2时，PE=t，由△OBF∽△EPF知

=，据此得OF=

AP=6-t，由△OBF∽△ABP知角形面积公式可得答案；

2222

（3）设P（-2，m），由B（1，0），E（0，4）知BP=9+m，BE=1+16=17，PE=4+2

（m-4）2=m-8m+20，再分三种情况列出方程求解可得．

=，即

，根据面积公式可得此时解析式；当2＜t＜6时，=

，即

=，据此得OF=

，根据三

本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、等腰三角形的判定及两点间的距离公式等知识点．

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