平面直角坐标系知识点总结

平面直角坐标系

平面直角坐标系的有关概念

夯实基础

一．有序数对

在日常生活中，可以用有序数对来描述物体的位置，这样可以用含有两个数的组合来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作()b a ,。

温馨提示

()b a ,与()a b ,顺序不同，含义就不同。例如：用()5,3表示第3列的第5位同学，那么()3,5就表示第5列的第3位同学。

例1：（1）在一层的电影院内如何找到电影票上所指的位置（2）在电影票上，如果把“5排8号”简记为（5,8），那么“4排9号”如何表示（8,3）表示什么含义

二．平面直角坐标系

三．象限

x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图。 第一象限 第二象限

第三象限 第四象限 y

O

x

温馨提示

如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义，一般在表示横轴、纵轴的字母后附上单位。 例2：设()b

a M ,为平面直角坐标系中的点。

（

1）当0,0<>b a 时，点M 位于第几象限

（2）当0>ab 时，点M 位于第几象限

四．点的坐标

对于坐标平面内的任意一点A ，过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点A 的横坐标和纵坐标，有序数对()b a ,叫做点A 的坐标，记作()b a A ,，如图。

1.已知坐标平面内的点，确定点的坐标

先由已知点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，设垂足分别为A 、B ，再求出垂足A 在x 轴上的坐标a 与垂足B 在y 轴上的坐标b ，最后按顺序写成()b a ,即可。

2.已知点的坐标确定点的位置

若点P 的坐标是()b a ,，先在x 轴上找到坐标为a 的点A ，在y 轴上找到坐标为b 的点B ；再分别过点A 、点B 作x 轴、y 轴的垂线，两垂线的交点就是所要确定的点P 。 例3：如图所示，在平面直角坐标系内有两点A 、B 。

（1）分别写出它们的坐标；

（2）在平面内找出一点C ，使它的坐标为()5,3-。

掌握方法

一．有序数对的应用方法

表示物体的位置需要用两个数，这两个数顺序不同，表示的位置也不同。用有序数对表

示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义。

例1：如图是中国象棋一次对局时的部分示意图，若“帅”所在的位置用有序数对（5,1）表示，请你用有序数对表示其他棋子的位置。

二．坐标平面中点的位置的确定

确定点在坐标平面中的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断横坐标、纵坐标是大于0，等于0，还是小于0，就可以确定点在坐标平面中的位置。 例2

：如图小明从点O 出发，先向西走40南走30米到达点M ，如果点M 的位置用(,40-表示，那么()20,10表示的是（ ）

A.点A

B.点B

C.点C

D.点D

三．用坐标表示地理位置的方法

用坐标表示地理位置时，一是要选择适当的位置为坐标原点，要以能简洁地确定平面内的点的坐标为原则；二是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这样可以使东南西北方向与地理位置方向一致；三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度。

北

南

例3：根据以下条件画一幅示意图，指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置。 小刚家：出校门向东走1500米，再向北走2000米。

小强家：出校门向西走2000米，再向北走3500米，最后再向东走500米。 小敏家：出校门向南走1000米，再向东走3000米，最后向南走750米。 平面直角坐标系

点的坐标的有关性质 夯实基础 一．各象限内点的坐标的符号特征

1.点()y x P ,在第一象限???>>?.

0,0y x 2.点()y x P ,在第二象限???>

0,0y x 4.点()y x P ,在第一象限?

?

?<>?.0,0y x 温馨提示

四个象限之间均没有公共点。 例1：若点()n m P ,在第三象限，则点()n m Q --,在（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

二．坐标轴上点的坐标特征

坐标轴上点的坐标特征：

1.点()y x P ,在x 轴上?

??=?.0,y x 为任意实数 2.点()y x P ,在y 轴上???=?.,0为任意实数

y x y O x ()

+-,()++,()--,()-+,

3.点()y x P ,是坐标原点??

?==?.

0,0y x 温馨提示 ①原点既是x 轴上的点，又是y 轴上的点。

②点的横坐标或纵坐标为0，说明点在y 轴或x 轴上。 例2：指出下列各点所在象限或所在坐标轴：

()0,5-A ，??? ??--31,2B ，??? ?

?21,2C ，()0,0D ，()3,0E ，()23,32--F 。 三．象限角的平分线上的点的坐标特征

1.第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等。

2.第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。 温馨提示

①原点既是x 轴上的点，又是y 轴上的点。

②点的横坐标或纵坐标为0，说明点在y 轴或x 轴上。 例3：已知点()1,52--m m P ，当m 为何值时：

（1）点P 在第二、四象限的角平分线上

（2）点P 在第一、三象限的角平分线上

四．与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征

1.平行于x 轴的直线上的点的纵坐标都相等。

2.平行于y 轴的直线上的点的横坐标都相等。

温馨提示

①若AB ∥x 轴，则()11,y x A ，()22,y x B 的纵坐标相等，即21y y =；若()11,y x A ，()22,y x B ， 且21x x ≠，021≠=y y ，则AB ∥x 轴。 ②若CD ∥y 轴，则()11,n m C ，()22,n m D 的横坐标相等，即21m m =；若()11,n m C ，()22,n m D ， 且021≠=m m ，21n n ≠，则CD ∥y 轴。 例4：已知平面直角坐标系内两点()a M ,5，()2,-b N 。

（1）若直线MN ∥x 轴，则a ，b ；

（2）若直线MN ∥y 轴，则a ，b 。

五．点到坐标轴的距离

点P 的坐标为()y x ,，那么点P 到x 轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即y 。点P 到y 轴的距离为这点横坐标的绝对值，即x 。

温馨提示

①已知点的坐标可以求出点到x 轴、y 轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值。 ②由点到x 轴、y 轴的距离可以求出点的坐标，但要注意讨论。

③点()y x P ,到原点的距离为22y x +。

例5：已知P 点到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是1，求P 点的坐标。

六．平面直角坐标系内的图形变换

1.用坐标表示对称

（1）点P 与点1P 关于x 轴（横轴）对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）点P 与点2P 关于y 轴（纵轴）对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）点P 与点3P 关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数。

简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”。

温馨提示

①点()b a P ,关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标为()a b ,；关于第二、四象限角平分线对称的点的坐标为()a b --,。

②在平面直角坐标系中，作已知图形关于x 轴或y 轴对称的图像，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形。

例6：已知在平面直角坐标系中，()2,2n m A +、()m n B -,1。

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