倒向随机微分方程理论

数学专业线性代数方面的参考书。适用于大学理科专业的高年级学生或相关科研工作者。

倒向随机微分方程理论的一段往事 (2008-07-18 22:04:36)

转载

标签： 分类： 数学江湖

杂谈

转自：/

文章是中国金融数学届的狂牛的老头子：彭实戈写的，在这里转给大家欣

赏。 按：这个文章回顾了倒向随机微分方程理论产生的一段往事，同样是数学上一个让人愉悦的故事。

当年，我和Ｐａｒｄｏｕｘ写的关于倒向随机微分方程简称ＢＳＤＥ 理论的那篇文章发表在一个叫《Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ ＣｏｎｔｒｏｌＬｅｔｔｅｒｓ》的“小杂志”上。那是一个“有心栽花花不开，无意插柳柳成荫”的故事。

ＢＳＤＥ的文章发表于１９９０年，而这项研究的实际完成是在１９８９年４月。其时我从法国回来，正在复旦大学做博士后１９８８年开始 。数学系的李训经教授在复旦组织了一个每周一次的控制论讨论班，讨论班的一个重点是随机系统的最优控制问题。当时雍炯敏刚从美国回来，在复旦任副教授，陈叔平在浙大，经常到复旦来参加讨论班。李老师有两个博士生胡瑛和周迅宇我刚到复旦时，周迅宇还在日本Ｎｉｓｉｏ教授那里，大概属于联合培养 ，他们都具备了非常好的概率论和随机分析的基础。我说非常好，是相对于我这个刚从法国著名的Ｐａｒｄｏｕｘ研究团体回来的“洋博士”而言的。当时从国外回来的“洋博士”还不算多，大家都对我们“另眼相待”。回国后看到复旦的这些博士生的基础打得如此之牢固，令我十分佩服。

讨论班的学术气氛很热烈，有两个主攻方向：一是无穷维系统最优控制的最大值原理；一是随机最优控制问题，扩散项含时间的随机控制系统最大值原理是当时大家关心的公开难题之一。那是一个硕果累累的年代，产生了一批令国际同行刮目相看的研究成果，称其为“Ｆｕｄａｎ Ｇｒｏｕｐ”。

复旦对于博士后的生活安排得非常周到。我有一个二室一厅的套间，里面是整套全新的家具。胡瑛是这里的常客——几乎每天都来。经常是进门后没说几句话就坐下来，拿出纸和笔来讨论问题，累了就到校园里去散一会儿步，饿了就出去找个饭店或到食堂吃一顿。我们两个合作写了好几篇文章，当时的主攻方向是广义的和无穷维随机系统的最大值原理。李训经和雍炯敏先生也经常来访，我们也经常去李老师家。我们有一些合作的具体题目。休息的时候，也经常谈及几个“大

数学专业线性代数方面的参考书。适用于大学理科专业的高年级学生或相关科研工作者。

问题”，其中之一就是Ｂｉｓｍｕｔ在讨论随机最大值原理的时候引入的一个非常奇特的线性的倒向随机微分方程。我在巴黎留学时的导师Ａ．Ｂｅｎｓｏｕｓｓａｎ对这个问题有一个非常系统的研究。但它的真正含义是什么﹖在—般非线性情况下的情况有没有解﹖还有一个是扩散项含控制时的最大值原理，这个问题十几年来一直没有被解决，困难的实质在哪里﹖这些都还很不清楚。但是我当时的态度比较现实：问题很有趣，值得聊聊。但是这些问题太大，太难，而且复旦的随机控制研究还只是在起步阶段，没有名师可以请教，所以这些问题不能作为我目前的主攻方向。我那时的感觉是，这些都是很远的将来才可能被解决的事情。

但是有一天，我对胡瑛说，我感到我找到了解决扩散项含控制的随机最大值原理困难的关键，就是说，一般随机控制系统的最大值原理可以解决了，而且其最终的形式是很奇特的！我在如何引二阶项的共轭方程方面遇到了—些困难，但很快就找到了—个巧妙的解决办法，这个共轭方程是矩阵值的线性的ＢＳＤＥ。此后我用了将近两个星期的时间将结果整理写出，并且在讨论班上报告了这个结果。

我完成了—般随机最大值原理的证明 之后，整理打印好文章，于１９８９年２月寄到《ＳＩＡＭＣｏｎｔｒｏｌ》杂志。ＳＩＡＭ编委对此结果给以很高的评价，很快接受并于第二年发表。这是我第一次解决一个公认的公开的难题，我想这一点对接下来解决ＢＳＤＥ的存在唯一性定理是很有影响的。首先，处理—般最大值原理一个关键就是矩阵值的线性ＢＳＤＥ。更重要的是心理方面的，我的自信心提高了很多，不再把前面提到的那些难题作为“很远的将来才可能被解决的事情”了。

４月份，我用博士后基金邀请Ｐａｒｄｏｕｘ教授来访（博士后可以有基金来邀请外国专家，这也可以算是一个中国的特色）。我的打算是：利用这段时期与他合作解决一个“Ｍａｌｌｉａｎｖｉｎ导数”意义下的无穷维的“偏微分方

程”问题。但是Ｐａｒｄｏｕｘ到复旦以后我们两个进行了几次讨论，都没有什么实质性进展，前景似乎有一些不妙。

一天，我陪Ｐａｒｄｏｕｘ去上海城隍庙，在南翔馒头店吃过那颇负盛名的小笼蒸包之后，又去了豫园外面的九曲桥上的茶楼。在二楼上喝着茶，看着楼里的茶客、跑堂和楼外的湖水，别有一番情趣。闲聊中话题又转到了那个仍在云里雾里的“Ｍａｌｌｉａｖｉｎ方程”上来了。这时Ｐａｒｄｏｕｘ对于这个问题本身的提法是否适当提出了质疑，他说：“一般的抛物性 偏微分方程和随机偏微分方程之所以有解，主要是因为这些方程中都有一个强制性Ｃｏｅｒｃｉｖｅ 结构。但在这个问题中，我看不出哪里会有这种强制性。”我很理解他所说的“强制性”的重要性。事实上我也下意识地在寻找这一点。而他的一席话使问题更明确，困难更加表面化，而解决问题的前景似乎也更加渺茫了。我又考虑了一下，觉得无言以对，话题又转到了其他方面去了。

晚上回到家里，又想到了这个问题，但仍觉得无从下手。第二天早上醒得比往常要早，又想到了这个可望而不可及的“Ｍａｌｌｉａｖｉｎ方程”的“强制

数学专业线性代数方面的参考书。适用于大学理科专业的高年级学生或相关科研工作者。

性”。而这时又转而想到一个完全不相关的问题，即前面提到的ＢＳＤＥ存在性问题，“这个问题是否有强制性”﹖躺在床上，用Ｉｔｏ公式心算了一下，忽然发现了问题的关键：长期以来人们总是在想方设法通过取期望消去的随机积分项，其实恰好就起到了强制项的作用。

想到这里，爬起来就找出纸和笔来验证，只花了几分钟，就利用这种强制性证明 解出了ＢＳＤＥ解的唯一性。我立刻感到这个问题已经可以解决了，剩下的任务就是要进行Ｐｉｃａｒｄ迭代，并再利用这强制性来证明解的存在性了而我对此很有信心这种信心也来自几年以前孙经先博士和我的一次闲聊 。

我感到很激动，当即打电话给住在复旦东招二楼的Ｐａｒｄｏｕｘ。他接电话后就问：“你知道现在才几点吗”﹖我说：“我知道，但我想我也知道怎样证明ＢＳＤＥ的存在唯一性方法了”他对我说了一句“Ｍｏｎｔｅ”上来吧。

Ｐａｒｄｏｕｘ理解了唯一性的证明后，觉得很有道理。我们就拿出笔和纸，讨论如何利用这种强制性来证明解的存在性。存在性的证明要麻烦一些，我们需要在Ｐｉｃａｒｄ迭代的一些技术细节上仔细地推导和验证，而Ｐａｒｄｏｕｘ当天上午还有学术报告以及其他活动，所以我们决定在这些活动结束以后再仔细讨论。这些活动结束以后已经是晚上，我对他说，我草算了一遍，存在性也是成立的，但还需要仔细地完整地写出来，以防证明有漏洞。

第二天上午，我就把这个ＢＳＤＥ的存在唯一性结果文章的第一稿原稿是用铅笔写的 给Ｐａｒｄｏｕｘ看。他仔细读完以后对我说，证明通得过并值得发表。但他接着说：“我对这个结果没有什么贡献，应该以你一个人的名义发表”。我这时对他谈起了他在上海城隍庙关于“Ｍａｌｌｉａｖｉｎ方程”的强制性的一番话对我想到ＢＳＤＥ的强制性的影响。

我解释得可能不太清楚，但他同意两人联名发表。我们商定由他执笔写第一稿的引言这是数学文章的特点：往往是先有文章的主体，最后再写引言部分 。然后由他带回法国写出修改稿并且负责打印。

一般而言，一个“好的数学方程”要具备两个条件，解的存在性和解的唯一性，其中解的存在性当然是第一重要的。但为什么我在解的唯一性成立后就信心十足了呢﹖这当然首先是因为我感觉到发现了ＢＳＤＥ的强制性结构，它可以被用来解决唯一性，也可以用来解决存在性。但是我觉得，多年以前我与孙经先博士一次谈话也起了很关键的作用。一次闲聊中说到他的本行（不动点问题）时他谈到了一个很有趣的结果，大意是：“如果一个方程的解已经被证明是存在唯一的，那么就能找到一个距离函数，而问题就是这个距离下的一个压缩映象的不动

点”。这番话使我对唯一性部分证明的份量产生了非常深刻的印象。此后养成一

数学专业线性代数方面的参考书。适用于大学理科专业的高年级学生或相关科研工作者。

个习惯：先解决唯一性，再证明存在性。

谈到这篇文章发表在哪一个杂志上，Ｐａｒｄｏｕｘ认为这个结果不太大，并且文章很短，很难在ＳＩＡＭ这样重要的杂志上发表。而他知道一个杂志，不像ＳＩＡＭ那样有名气，但是在控制论界有广泛的读者，就是《Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ ＣｏｎｔｒｏｌＬｅｔｔｅｒｓ》我以前不知道这个杂志 。在这种杂志上发表比较合适。我当时感到他并不像我那样地高度看待这个结果。但是同意了他的意见。

Ｐａｒｄｏｕｘ回国后不久，我写信给他，说我对ＢＳＤＥ非常感兴趣，准备将今后三年的时间用于研究这个方向。ＢＳＤＥ的第二篇文章是和胡瑛合写的，讨论的是无穷维空间中的ＢＳＤＥ。事实上，对ＢＳＤＥ的热情和兴趣使我在１９８９、１９９０和１９９１年连续写了６篇这方面的文章。

１９９０年，我结束了复旦的博士后研究工作，回到了山大数学系。一天午睡之后，突然想通了一件长期向往而不知如何下手的事情，即如何用概率方法来获得一类抛物型非线性偏微分方程组的解，而它的最简单的情况就是著名的Ｆｅｙｎｍａｎ－Ｋａｃ公式，是１９５１年Ｋａｃ在研究量子学中著名的Ｆｅｙｎｍａｎ积分问题而发现的。Ｆｅｙｎｍａｎ－Ｋａｃ公式的基本思想是将Ｍａｒｋｏｖ过程的路径的积分求数学期望，后来很多人试图将Ｆｅｙｎｍａｎ－Ｋａｃ公式推广到非线性方程。但是没有获得满意的结果。事实上，我在复旦做博士后期间与李训经、胡瑛、雍炯敏等闲聊时曾多次涉及这个问题。那天中午才突然发现，ＢＳＤＥ恰好就是解决这个问题的工具

我感到非常兴奋，自己给自己鼓掌叫好。这不仅是因为获得了非线性Ｆｅｙｎｍａｎ－Ｋａｃ公式这个许多学者近四十年以来在追求的目标，而且证实了我一年以前的感觉，ＢＳＤＥ的确是一个非常重要的一个理论

现在回过头来看，ＢＳＤＥ理论建立以后，非线性Ｆｅｙｎｍａｎ－Ｋａｃ公式应是垂手可得的事情，而我则足足用了一年的时间才发现。１９９２年５月，我在法国通过国家博士Ｈａｂｉｌｉｔａｔｉｏｎ 答辩时，回忆起两年前发现非线性Ｆｅｙｎｍａｎ－Ｋａｃ公式的经过时说“过去，这对我只是一个梦想。有一天我突然意识到，她ｅｌｌｅ，因为ｆｏｒｍｕｌｅ在法语中是阴性名词 就在我身边，睡了整整一年”

我很快地将Ｆｅｙｎｍａｎ－Ｋａｃ公 式整理成文章，投往《ＳＩＡＭＣｏｎｔｒｏｌ》杂志。记的篇幅不长，共１１页，我历来持这种观点，真正有创造性的观点的论文，其价值并不在于篇幅的长短。但不久ＳＩＡＭ杂志就寄来审稿意见，拒稿我当时感到很失望，这个国际性的权威杂志在两年多时间里接受了我

数学专业线性代数方面的参考书。适用于大学理科专业的高年级学生或相关科研工作者。

三篇文章，其中有的一般随机最大值原理 还给予非常高的评价，当我把这篇解决了近四十年来都未获得实质进展的结果寄给这个杂志时，我自认为是给他们送去的是一份答谢礼物，但得到的问答却是一个“不”

我只好 退而求其次，将稿件寄给了Ｓｔｏｃｈａｉｔｉｃｓ杂志的编委Ｐａｒｄｏｕｘ，并且说明已被ＳＩＡＭ拒稿。Ｐａｒｄｏｕｘ收到稿立刻写回信，很高兴地回信说他将推荐发表，并且问我是否有兴趣来法国和他一起在ＢＳＤＥ方面合作研究。我也很高兴，因为非线性Ｆｅｙｎｍａｎ－Ｋａｃ公式的发现使他对ＢＳＤＥ的看法完全转变了。

Ｐａｒｄｏｕｘ后来提及这段历史时写道：“１９８９年我应他即彭 的邀请访问中国，我们按他的思想一起搞出了一类新型的倒向随机微分方程。当时我还以为这不过是一个新奇想法，而彭则接着就有了一个完全创新的思想：运用倒向随机微分方程来推广Ｆｅｙｎｍａｎ－Ｋａｃ公式使之适用于非线性偏微分方程组。”

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0hc1.html