第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算

第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算

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§1. 第一类曲线积分的计算

1.计算下列第一型曲线积分：

(1) .?(x?y)ds，其中L是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形；

L22 （2）.

?eLx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?a2，直线y?x,及x轴在第一象限内所围成的扇形的

整个边界. (3).

2（4）．计算?yds.其中l为y?2x自点(0, 0)到点(2, 2)的一段弧.

l?Lxyzds，其中L为螺线x?acost,y?asint,z?bt(0?a?b),0?t?2?；

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(5) .?yds，其中L为摆线的一拱x?a(t?sint),y?a(1?cost),0?t?2?；

L2

?x2?y2?4（6）. ?ds,其中L:?.

z?2?L

2222(7) .?xyds，其中L为球面x?y?z?a与平面x?y?z?0的交线；

L

222(x?y)dsL:x?y?a（8）．?,其中. ?22L

2.设曲线L的方程为

x?etcost,y?etsint,z?et (0?t?t0)，

它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为1，求它的质量．

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§2. 第一类曲面积分的计算

1．计算下列第一型曲面积分： (1) . （2）. (3) .??S2222x?y?z?1的边界曲面； ，其中是立体(x?y)dSS??S??(x?2?y2?z2)dS, 其中?：x2?y2?z2?a2在第一卦限部分.

dSx2?y2，其中S为柱面x?y?R被平面z?0和z?H所截取的部分；

222

(4).

??zdS，其中S为螺旋面的一部分：x?ucosv,y?usinv,z?v (0?uS2?a,0?v??2；)

2.求下列空间曲面的面积：

?x?Rcos?cos??????（1）．求以为半径R的球面面积S，此球的方程为?y?Rcos?sin?，?????,0???2??.

2?2??z?Rsin??

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2222（2）．求球面x?y?z?a含在柱面x?y?ax?a?0?内部的面积S.

22

3.求抛物面壳z? .

12(x2?y2)，0?z?1的质量．设此壳的密度??z．

§3. 第二类曲线积分

1．计算下列第二型曲线积分：

?x2?y2?z2?5（1）. ?zdy，其中L:?.

y?2?L

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(2) .?(2a?y)dx?dy，其中L为摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost),(0?t?2?)沿t 增加的方向

L

（3）.xe?ydy,其中L是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭区域的边界线，取逆时针方向.

?2L (4). ??xdx?ydyx2?y2，其中LL为圆周x2?y2?a2依逆时针方向；

（5）. ?ABxdy,其中曲线AB是半径为r的圆上半部分，其中A(-r, 0), (6). ?Lxdx?ydy?zdz，其中L为从（1,1,1）到（2,3,4）的直线段；

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B(r, 0).

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