《线性代数》讲稿(1)

1 第一章 行列式

本章说明与要求:

行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：

(1) 行列式的定义；

(2) 行列式的基本性质及计算方法；

(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．

本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式．

计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．

行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件． 。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。

。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。

1.1 二阶与三阶行列式

行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．

设有二元线性方程组 ???=+=+22221211112111b x a x a b x a x a (1)

用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22 – a 12a 21≠0 时，有

??????

?--=--=2112221121

12112211222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2)

这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号

2112221122211211

a a a a a a a a -=

为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．

根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成

2

22

2

121212221a b a b b a a b =

-，2

21

111211211b a b a a b b a =

-，

如果记 22

21

1211a a a a D =

，22

2

1211a b a b D =，2

21

1112b a b a D =

则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成

22

21

1211222121

11a a a a a b a b D

D x =

=

， 22

21

1211221

111

22

a a a a

b a b a D

D x ==， (3)

象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．

首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x 1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x 2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．

例1 用二阶行列式解线性方程组 ???=+=+2

31422121x x x x

解：这时 0214323

1

42≠=?-?==

D ，

5

24313

2

411-=?-?==

D ，311222

1

122=?-?==

D ，

因此，方程组的解是 2

511-==D

D x ，2

322==D

D x ，

对于三元一次线性方程组

???

??=++=++=++33332321

3123232221211

313212111b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (4)

作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号

31

221333211232231132211331231233221133

32

31

23222113

1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= (5)

为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．

例2 5

3

2

134

212

-10

62012242301325)4(123223)4(211532=-+--+==??-?-?-??-??-+??+??=

令 33

32

31

232221

131211a a a a a a a a a D =33

32

3

23222

131211a a b a a b a a b D =，33

3

31

23221

131112a b a a b a a b a D =，

3

3

32

31

22221

1

1211

3b a a b a a b a a D =． 当 D ≠0时，(4)的解可简单地表示成 D

D x 11=

，D

D x 22=

，D

D x 33=

(6)

它的结构与前面二元一次方程组的解类似．

例3 解线性方程组 ???

??=-+=-+=+-4

23152302321

321321x x x x x x x x x

解：282

3

1

523

112

=---=D ， 1323

4

521

1101=---=D ，472

4

1

5131022=--=D ，

214

3

1

1230

123=-=D ．

所以，28

1311=

=

D

D x ，28

4722==D

D x ，4

328

2133===

D

D x ．

例4 已知01

1

00

=-a b

b a

，问a ，b 应满足什么条件？(其中a ，b 均为实数)． 解：2

21

1

00

b a a b

b a

+=-，若要a 2+b 2

=0，则a 与b 须同时等于零．因此，当a =0且b =0时给定行列式等于零．

为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．

1.2 排列

在n 阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识． 定义1由数码1，2，…，n 组成一个有序数组称为一个n 级排列．

例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．

数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列．

定义2在一个n 级排列i 1i 2…i n 中，如果有较大的数 i t 排在较小的数 i s 的前面(i s

例如， 在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N (3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N (52341)=7．

容易看出， 自然序排列的逆序数为0．

定义3 如果排列i 1i 2…i n 的逆序数N (i 1i 2…i n )是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列．

4

例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列． 自然排列123…n 是偶排列．

定义4 在一个n 级排列i 1…i s …i t …i n 中， 如果其中某两个数i s 与i t 对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n 级排列i 1…i t …i s …i n ，这样的变换称为一个对换，记作(i s ，i t )．

如在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214． 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214． 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412．

一般地，有以下定理：

定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变．

定理2 在所有的n 级排列中(n ≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为2

!n 个．

1.3 n 阶行列式

本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手．引出n 阶行列式的定义． 已知二阶与三阶行列式分别为

2112221122211211a a a a a a a a -= 111213

21222311223312233113213211233212213313223131

32

33

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 其中元素a ij 的第一个下标i 表示这个元素位于第i 行，称为行标，第二个下标j 表示此元素位于第j 列，称为列标．

我们可以从中发现以下规律：

(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；

(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；

(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号．

作为二、三阶行列式的推广我们给出n 阶行列式的定义．

定义1 由排成n 行n 列的n 2个元素a ij (i ，j =1，2，…，n )组成的符号

nn

n n n n a a a a a a a a a

2

1

2222111211

称为n 阶行列式．它是n !项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n 个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号．于是得

5

nn

n n n n a a a a a a a a a

2

1

2222111211＝

∑

n

j j j 21n n nj j j j j j N a a a 212121)

()

1(- (1)

其中

∑

n

j j j 21表示对所有的n 级排列j 1j 2…j n 求和．

(1)式称为n 阶行列式按行标自然顺序排列的展开式．)

(21)1(n j j j

N

-n nj j j a a a 2121称为行列式的一般项．

当n =2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中用对角线法则定义的是一致的．当n =1时，一阶行列为|a 11|= a 11．如

当n =4时，4阶行列式

44

34241443

42

41

333231232221131211

a a a a a a a a a a a a a a a a ，表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元

素的乘积恰为4！项．根据n 阶行列式的定义，4阶行列式为

44

34241443

42

41

333231232221131211 a a a a a a a a a a a a a a a a ∑-４

４４＝

j j j j j j j j j j j N a a a a 213214321321)

()

1(

例如a 14a 23a 31a 42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N (4312)=5，所以该项取负号，即–a 14a 23a 31a 42是上述行列式中的一项．

为了熟悉n 阶行列式的定义，我们来看下面几个问题． 例1 在5阶行列式中，a 12a 23a 35a 41a 54这一项应取什么符号？

解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514．因 N (23514)=4 故这一项应取正号．

例2 写出4阶行列式中，带负号且包含因子a 11a 23的项． 解：包含因子a 11a 23项的一般形式为４４j j j j N a a a a 34332311)

13()

1(-，按定义，j 3可取2或4，j 4可取4或2，因

此包含因子a 11a 23的项只能是a 11a 23a 32a 44或a 11a 23a 34a 42 ，但因 N (1324)=1为奇数，N (1342)=2为偶数 所以此项只能是 –a 11a 23a 32a 44．

例3 计算行列式

h

g

v

u

f e y x d c b a

0000

解 这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项．但只有以下四项adeh ，adfg ，bceh ，bcfg 不为零．与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N (1234)=0，N (1243)=1，N (2134)=1和N (2143)=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即

6

h

g

v

u

f e y x d c b a 0000= adeh –adf

g –bce

h +bcfg

例4 计算上三角形行列式 nn

n

n

a a a a a a D 21221211 0

0=

其中a ii ≠０ (i =1， 2，…， n )． 解：由n 阶行列式的定义，应有n !项，其一般项为n

nj j j a a a 2

1

21但由于D 中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可．在D 中，第n 行元素除a nn 外，其余均为０．所以j n =n ；在第n –1行中，除a n –1n –1和a n –1n 外，其余元素都是零，因而j n –1只取n –1、n 这两个可能，又由于a nn 、a n –1n 位于同一列，而j n =n ．所以只有j n –1 = n –1．这样逐步往上推，不难看出，在展开式中只有a 11a 22…a nn 一项不等于零．而这项的列标所组成

的排列的逆序数是N (12…n )=0故取正号．因此，由行列式的定义有nn

n n a a a a a a D 21221211

0=

=a 11a 22…a nn

即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积．

同理可求得下三角形行列式

nn

n n a a a a a a

00 02

1

222111

=a 11a 22…a nn

特别地，对角形行列式

nn

a a a 00

002211

=a 11a 22…a nn

上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积．

例5 计算行列式

000000

1

121

n n n a a a -

解 这个行列式除了a 1n a 2n –1…a n 1这一项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号，列标的n 级排列为n (n –1)…21，N (n (n –1)…21)= (n –1)+ (n –2)+…+2+1=

2

)

1(-?n n ，所以

0000001

121

n n n a a a -=11212

)

1()

1(n n n n n a a a ---

7

同理可计算出

01

12222111211

n n n a a a a a a a -=

nn

nn n n n n a a a a a a 1

1

2121000

--

=11212

)

1()

1(n n n n n a a a ---

由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n 个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0．

在n 阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把n 个元素的行标排成自然序排列，即n

nj j j a a a 2

1

21．事

实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n 个元素的次序是可以任意写的，一般地，n 阶行列式的项可以写成

n n j i j i j i a a a 2211 其中i 1i 2…i n ，j 1 j 2…j n 是两个n 阶排列，它的符号由下面的定理来决定．

1.4 行列式的性质

当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n 阶行列式的值是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算．

将行列式D 的行列互换后得到的行列式称为行列式D 的转置行列式，记作D T

，即若

nn

n n n n a a a a a a a a a D

2

1

2222111211

=

， 则nn

n

n

n n T a a a a a a a a a D

212221212111=

．

反之，行列式D 也是行列式D T 的转置行列式，即行列式D 与行列式D T 互为转置行列式．

性质１ 行列式D 与它的转置行列式D T 的值相等． 性质２ 交换行列式的两行(列)，行列式变号．

例１ 计算行列式0

5

3

7

0400800005

17536

03924

--=

D

解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得0

5

0400805307

03924

17536)1(2---=D 将第一、五列互换，得120!5543215

8400075300

4

3920

67531)1(3

-=-=????-=---=D

8

推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零． 性质３ 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．即

nn

n n in i i n nn

n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a

2

1

11112112

1

1111211= 此性质也可表述为：用数k 乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数k 乘此行列式． 推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零．

性质４ 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即

nn

n n in i i n nn

n n in i i n nn

n n in in i i i i n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a

2

1

21112112

1

21

112112

1

2

21

111211+=+++ 性质5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以数k 加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变．即

nn

n n sn s s in

i i n a a a a a a a a a a a a D

2

1

2121

11211= nn

n n sn

in s i s i in i i n a a a a ka a ka a ka a a a a a a

2

1

2

21121

11211+++

作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子．

例2 计算行列式 3

1

1

1

131111311113

=

D

解：这个行列式的特点是各行４个数的和都是６，我们把第２、３、４各列同时加到第１列，把公因子提

出，然后把第１行3(–1)加到第２、３、４行上就成为三角形行列式．具体计算如下：

48262

0200002011116

31

1

1

1311113111116

31

1

6

1316113611163

=?====

D

i 行3k 加 到第s 行

9

例3 计算行列式0

112

012120112110-----=

D

例4 试证明：01

1=++++=

c b a

d

b a d c

d a c b d c b a D １１

例5 计算n +1阶行列式 x

a a a a x a a a a x a a a a x

D n n n

3

2

1

21

21

21= 例6 解方程

0)1(1

1

1

1

1)2(1111121111111

11111=------x

n x

n x x

例7 试证明奇数阶反对称行列式 00

00

21212112=---=

n n

n n a a a a a a D

证：D 的转置行列式为0

00

21212112

n n

n n T

a a a a a a D

---=

，从D T 中每一行提出一个公因子(–1)，于是有

D a a a a a a D

n

n

n

n n n

T

)1(0

00

)

1(21212112-=----=

，但由性质1知道D T =D

∴ D =(–1)n D 又由n 为奇数，所以有D = –D ，即 2D =0， 因此 D =0．

1.5 行列式按一行(列)展开

本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法——降阶法．为此，先介绍代数余子式的概念．

10

定义 在n 阶行列式中，划去元素a ij 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按原来的位置构成一个n –1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记作Ｍij ．元素a ij 的余子式Ｍij 前面添上符号(–1)i+j 称为元素a ij 的代数余子式，记作A ij ．即A ij ＝(–1)i +j

M ij ．

例如：在四阶行列式

44

43

42

41

343332312423222114131211

a a a a a a a a a a a a a a a a D =

中a 23的余子式是M 23=44

42

41

343231

141211a a a a a a a a a 而 A 23=(–1)2+3M 23= –44

42

41

343231

14

1211a a a a a a a a a 是a 23的代数余子式． 定理１ n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+…+a in A in (i =1，2，…，n )

或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a nj A nj (j=1，2，…，n )．

定理２ n 阶行列式D 中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即：

a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =0 (i ≠s )

或 a 1j A 1t +a 2j A 2t +…+a nj A nt =0 (j ≠t )．

定理1表明，n 阶行列式可以用n –1阶行列式来表示，因此该定理又称行列式的降阶展开定理．利用它并结合行列式的性质，可以大大简化行列式的计算．计算行列式时，一般利用性质将某一行(列)化简为仅有一个非零元素，再按定理1展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶．这在行列式的计算中是一种常用的方法．

例１ 计算行列式 5

1

1

242170131312

-----=

D

例２ 计算n 阶行列式 a

b

b a a b a b a D 0

0000000000

000

=

例３ 计算y

y x x D -+-+=

11

1

1

111111111111，其中 xy ≠０．

11

例４ 试证 ∏≤<≤-----=

n

i j j i

n n

n n n n n a a

a a a a a a a a a a a a 11

1

3

1

2

1

1

2

2

32

22

1

321

)(1111

(1)

式中左端叫范德蒙行列式．结论说明，n 阶范德蒙行列式之值等于a 1， a 2， …， a n ，这n 个数的所有可能的差a i –a j (1≤j

例５ 计算n 阶行列式1

2

3

2

1100000

10000010000001n n

n n n x x x D x a a a a a a x

------=

-+

例6 证明

22

21

121122

21

121122

21

22

21

12111211222112110000b b b b a a a a b b c c b b c c a a a a ?=（拉普拉斯展开）

本例题的结论对一般情况也是成立的，即

mm m m mk

m m m k kk k k k b b b c c c b b b c c c a a a a a a

2

1

2

1

112111121121112110000

00mm

m m m kk

k k k b b b b b b a a a a a a

2

1

112112

1

11211?=

1.6 克莱姆法则

前面我们已经介绍了n 阶行列式的定义和计算方法，作为行列式的应用，本节介绍用行列式解n 元线性方程组的方法——克莱姆法则．它是§１中二、三元线性方程组求解公式的推广．

设含有n 个未知量n 个方程的线性方程组为?????

??=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221

12

222212*********

(1)

它的系数a ij 构成的行列式 nn

n n n n a a a a a a a a a D

2

1

2222111211

=

称为方程组(1)的系数行列式．

定理１ (克莱姆法则) 如果线性方程组(1)的系数行列式D ≠０，则方程组(1)有唯一解：

12

, , , ,2211D

D x D

D x D

D x n n =

=

=

(2)

其中D j (j=1，2，…，n ，)是D 中第j 列换成常数项b 1，b 2，…，b n ，其余各列不变而得到的行列式．

这个法则包含着两个结论：方程组(1)有解，解唯一．下面分两步来证明． 第一步：在D ≠０的条件下，方程组(1)有解，我们将验证由(2)式给出的数组 ,

,

,21D

D D

D D

D n 确实是方程

组(1)的解．第二步：若方程组有解，必由(2)式给出，从而解是唯一的．

例１ 解线性方程组?????

??=+--=-++-=+-+=+-+2

466428433

3521234321

432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x

解：因为0172

13

11500011012312

6

19

12130011012314

6

1

6

2843

2352

1231

≠=----=----=------=D

所以方程组有唯一解，又,04

6

2

6

284323321211

,344

6

1

2

28442353123121=-----=

-=-----=

D D

852

6

1

6

484333521231

,174

2

1

6

244323521131

43=-----=

=---=

D D ．

即得唯一解：517

85 ,117

17 ,017

0 ,217

344321==

==

==

-=-

=x x x x ．

注意：用克莱姆法则解线性方程组时，必须满足两个条件：一是方程的个数与未知量的个数相等；二是系数行列式D ≠０．

当方程组(1)中的常数项都等于０时，称为齐次线性方程组．即??

???

??=+++=+++=+++0

221

122221*********n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a

称为齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组(3)总是有解的，因为x 1=0， x 2=0，…， x n =0必定满足(3)，这组解称为零解，也就是说：齐次线性方程组必有零解．

在解x 1=k 1， x 2=k 2，…， x n =k n 不全为零时，称这组解为方程组(3)的非零解． 定理2 如果齐次线性方程组(3)的系数行列式D ≠０，则它只有零解． 推论 如果齐次线性方程组(3)有非零解，那么它的系数行列式D ＝０．

13 例2 若方程组：?????=++=++=++0200321

3213211x bx x x bx x x x x a 只有零解，则a 、b 应取何值？

解：由定理２知，当系数行列式D ≠０时，方程组只有零解，)1(1211111a b b b a D

-==

所以，当a ≠1且b ≠０时，方程组只有零解． 第二章矩阵

说明与要求:

矩阵是一个表格，作为表格的运算与数的运算既有联系又有区别．要熟练掌握矩阵的加法、乘法与数量乘法的运算规则，并熟练掌握矩阵行列式的有关性质．线性方程组的一些重要性质都反映在它的系数矩阵和增广矩阵上，所以我们可以通过矩阵来求解线性方程组，通过矩阵来判断解的情况等．但是矩阵的应用不仅限于线性方程组，而是多方面的．因此矩阵在线性代数中是一个重要而且应用广泛的概念

正确理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件．会用伴随矩阵求矩阵的逆．熟练掌握用初等变换求逆矩阵的方法．

。本章重点：矩阵的运算及性质；初等矩阵；矩阵可逆的判定及求法；分块矩阵．

。本章难点：初等矩阵的性质；求矩阵的逆；分块矩阵．

2.1 矩阵的概念

矩阵的定义，即由数域P 中的m 3n 个数a ij (i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n )排成一个m 行，n 列的表

??????

?

???????????????????????mn m m n

n a a a a a a a a a 212222111211称为数域P 上的一个m 3n 矩阵．a ij 称为第i 行，第j 列的元素． 矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个数学概念．除了我们所熟知的线性方程组的系数及常数项可用矩阵来表示外，在一些经济活动中，也常常用到矩阵．

以后我们用字母A 、B 、C 等表示矩阵，有时为了表明A 的行数和列数，可记为A m 3n 或( a ij ) m 3n ，为了表明A 中的元素，可简记为A =( a ij )．

当m =n 时，矩阵A =(a ij )n 3n ＝??

??

? ???????????????????????nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211称为n 阶矩阵或n 阶方阵． 当m =1时，矩阵A =(a ij )13n ＝(a 11 a 11 … a 1n )称为行矩阵．

14

当n =1时，矩阵A =(a ij )m 31＝?????

??

? ??12111m a a a 称为列矩阵． 当矩阵中 所有元素都是零时，称该矩阵为零矩阵，记作O 或O m 3n ．即O =n

m ?????

???

?

?00

0000

000

当n 阶矩阵的主对角线上的元素都是1，而其它元素都是零时，则称此n 阶矩阵为单位矩阵，记为E 或E n ．即

E =????

??

?

?

?10

0010001

对于矩阵A =(a ij ) m 3n ，称(–a ij ) m 3n 为A 的负矩阵，记为 –A ，即：–A =??????

?

??-???--???????????????-???---???--mn m m n

n

a

a a a a a a a a 212222111211 注意：矩阵和行列式虽然在形式上有些类似，但他们是两个完全不同的概念，一方面行列式的值是一个数，而矩阵只是一个数表．另一方面行列式的行数与列数必须相等，而矩阵的行数与列数可以不等．

定义１ A =( a ij )，B =( b ij )都是m 3n 矩阵，若它们的对应元素相等，即a ij ＝b ij ，(i =1，2， …，m ，j =1，2…，

n )则称矩阵A 与B 相等，记为A =B ．如，由 ??

?

??=???

??-60

35

4

1

34

z

y x

立即可得x =5， y =6， z = –1． 2.2 矩阵的运算

矩阵的运算可以认为是矩阵之间最基本的关系．下面介绍矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法和矩阵的转置．

一. 矩阵的加法

定义 设A =???????

???????????????????????mn m m n

n

a

a a a a a a a a 2122221

11211， B =?????

?

?

???????????????????????mn m m n n

b

b b b b b b b b

21

2222111211是两个m 3n 矩阵，则矩阵 C =???????

???????????????????????mn m m n

n

c

c c c c c c c c 21

222

2111211=?????

?

?

??+???++????????????+???+++???++mn

mn m m m m n n n n b a b a b a

b a b a b a b a b a b a 221122222221211112121111称为A 与B 的和，记为 C =A +B ． 注意：相加的两个矩阵必须具有相同的行数和列数．

15

例１ ???

?

?

?=???? ?

?=30

4133 ,33

412B A ，则 ???

?

??=???? ??++++++=???? ??+???? ?

?=+63

4

545

330

34

014313

230

4133

33

412

B A 由矩阵的加法和负矩阵的定义，可以定义矩阵的减法：A –B =A +(–B ) 二. 矩阵的数量乘法

定义2 设有矩阵?????

?

?

???????????????????????==?mn m m n n n

m ij a

a a a a a a a a a A )

(21

2222111211，k 是数域P 中任一个数， 矩阵 ???

??

?

?

???????????????????????=?mn

m m n n

n

m ij ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka )

(212222111211 称为数k 与矩阵A =(a ij )

m 3n 的数量乘积．记为k A ． 注意：用数乘一个矩阵，就是把矩阵的每个元素都乘上k ，而不是用k 乘矩阵的某一行（列）． 例3 求矩阵X 使2A +3X =2B ，其中??

?

??--=??? ??-=12

13

1,01

6

502B A 三. 矩阵的乘法

定义3 设矩阵A = (a ik )m 3s ，B = (b kj )s 3n ，则由元素c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j +…+a is b sj (i =1，2，…，m ； j =1，2，…，n )构成的m 3n 矩阵C =(c ij )m 3n 称为矩阵A 与B 的乘积，记为C =AB ．

从这个定义，我们可看出，应注意矩阵乘法有以下三个特点：

(1)左矩阵A 的列数必须等于右矩阵B 的行数，矩阵A 与B 才可以相乘，即AB 才有意义；否则AB 没有意义．(2)矩阵A 与B 的乘积C 的第i 行、第j 列的元素等于左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列的对应元素的乘积之和(i =1，2，…，m ； j =1，2，…，n )．(3)在上述条件下，矩阵A m 3s 与B s 3m 相乘所得的矩阵C 的行数等于左矩阵A 的行数m ，列数等于右矩阵B 的列数n ，即 A m 3S B S 3n = C m 3n ．

例5 设???

?

? ?

?--=???? ?

?=11

3

121032,31

2

021B A ，求AB ． 解： 因为A 的列数与B 的行数均为 3 ，所以AB 有意义，且AB 为233 矩阵．

???

?

?

?--???

??=11

312103231

2

021

A ??

?

???+-?+??+-?+??+?+??+-?+??+-?+??+?+?=13)1(1021

3)2(132********)1(2011

0)2(2313

01221 ??

?

??--=27

14

214

如果将矩阵B 作为左矩阵， A 作为右矩阵相乘，则没有意义，即BA 没意义，因为B 的列数为3 ，而 A 的行数为2 ．

此例说明： AB 有意义，但 BA 不一定有意义．

16

例６ 设A ＝n n n n b b b B a a a ??=????

??

??1211

2

1),,(, ，求AB 和BA ． 解：n

n n

n n n n n n n

b a b a b

a b a b a b

a b a b a b a b b b a a a AB ?????

?? ??=????

??

??=

2

1

2221

212111212

1),,( n n n n n n a b a b a b a b a b a b a a

a b b b BA +++=+++=????

?

? ??= 221122112

1

21)(),,( 注：在运算结果中，我们可以将一级矩阵看成一个数．此例说明，即使AB 和BA 都有意义，AB 和BA 的行数及列数也不一定相同．

例7 设A =????

??--11

11， B =????

??--1111

，求AB 和BA ． 解：AB =???

?

??--11

11???? ?

?--1111=???? ??00

00， BA =???

?

?

?--1111

???? ?

?--1111

=???

?

??--22

22 此例说明，即使AB 和BA 都有意义且它们的行列数相同，AB 与BA 也不相等．另外此例还说明两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．

例8 设 A =??? ??64

13， B =??? ??64

12， C =???

??1100

，求AC 和BC 解：AC =???

??64

13??? ??11

00

＝??? ??66

11

；BC =??? ??64

12??? ??11

00

=???

?

??66

11

此例说明，由AC =BC ，C ≠0，一般不能推出A =B ．

以上几个例子说明了数的乘法的运算律不一定都适合矩阵的乘法．对矩阵乘法请注意下述问题： (1) 矩阵乘法不满足交换律，一般来讲 AB ≠BA

(2) 矩阵乘法不满足消去律．一般来说，当AB =AC 或BA =CA 且A ≠0时，不一定有B =C ． (3) 两个非零矩阵的乘积，可能是零矩阵．因此，一般不能由AB =0推出 A =0 或B =0． 若矩阵A 与B 满足AB =BA ，则称A 与B 可交换．

E m 、E n 为单位矩阵，对任意矩阵A m 3n 有 E m A m 3n ＝A m 3n ，A m 3n E n ＝A m 3n

特别地，若A 是n 阶矩阵，则有EA =AE =A ， 即单位矩阵E 在矩阵乘法中起的作用类似于数1在数的乘法中的作用．

利用矩阵的乘法运算，可以使许多问题表达简明．

例9 若记线性方程组 ?????

??=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221

12222212111212111 的系数矩阵为 A =??

?????

???????????????????????mn m m n

n a a a a a a a a a 212222111211 并记未知量和常数项矩阵分别为

17

?

????? ??=n x x x X 2

1，B ＝?????

?

??m b b

b 2

1则有 AX =????

? ???????????????????????mn m m n

n

a a a a

a a a a a

2122221

11211?????? ??n x x x 2

1=????

? ??+???++????????????+???+++???++n mn m m n

n n n x a x a x a x

a x a x a x a x a x a 221

122221

211212111 所以上面的方程组可以简记为矩阵形式 AX =B ． 有了矩阵的乘法，可以定义n 阶方阵的幂．

定义4 设A 是n 阶方阵，规定 A 0 =E ， A k+1=A k A (k 为非负整数)． 因为矩阵的乘法满足结合律，所以方阵的幂满足 A k A l =A k +l ， (A k )l =A kl

其中k 、l 为非负整数，又因为矩阵的乘法一般不满足交换律，所以对于两个n 阶方阵A 与B 。

一般来说，(AB )k ≠A k B k ．此外，若A k =0，也不一定有A ＝0． 例如A =???

??--11

11

≠０，但A 2=??? ??--11

11

??? ??--11

11

＝??

?

??0000

例10 设A ，B 均为n 阶方阵，计算(A +B )

2．

解：(A +B )2 =(A +B )(A +B )= (A +B )A +(A +B )B =A 2+BA +AB +B 2 四. 矩阵的转置

定义 5 设 m 3n 矩阵 A =??????

?

???????????????????????mn m m n

n

a

a a a a a a a a 2

12222111211 将A 的行变成列所得的n 3m 矩阵?

?????? ???????????????????????mn n

n m m a a a a a a a a a

212221212111 称为矩阵A 的转置矩阵，记为A T

． 例如 A =???? ?

?--21

5

3

0421，则 A T =????

??

?

?

?--20145231

矩阵的转置满足以下规律：(1) (A T )T =A (2) (A +B )T =A T +B T (3) (kA )T =kA T (k 为常数) (4) (AB )T =B T A T

例11 设A =????

?

?-11

211

， B =????

?

??-12

3101， 求(AB )T 和A T B T 解：因为 A T =????

?

?

?-1211

01

， B T =???? ??-13

211所以 (AB )T =B T A T =???

?

?

?-13

0211????

?

??-121101=???

?

??-41

32 A T B T

=????

? ?

?-1211

01

???? ?

?-13

0211

=????

?

??---55

2

121211

18 注意：一般情况下 (AB )T ≠A T B T ，显然，(2)和(4)可以推广到n 个矩阵的情形．即：

(A 1+A 2+…+A n )T =A T 1+ A T 2+…+ A

T n (A 1A 2…A n –1A n )T = A T n A T n –1… A T 2 A T 1

五. 方阵的行列式

定义6 由n 阶方阵A =(a ij ) 的元素按原来位置所构成的行列式，称为n 阶方阵A 的行列式，记为|A |． 设 A ，B 是n 阶方阵，k 是常数，则n 阶方阵的行列式具有如下性质：

(1) |A T |=|A |； (2) |kA| =k n |A |； (3) |AB |=|A |.|B |．

把性质(3)推广到m 个n 阶方阵相乘的情形，有 |A 1A 2…A m |=|A 1||A 2||…||A m |

例12 设A =???? ??-2101，B =???? ??0113 验证 |A ||B |=|AB |=|BA |． 定义7 设 A 是n 阶方阵，当|A |≠0时，称A 为非奇异的(或非退化的)；当|A |=0时，称A 为奇异的(或退化的)

由性质(3)可以得到

定理：设A ， B 为n 阶方阵，则 AB 为非奇异的充分必要条件是A 与B 都是非奇异的．

2.3 可逆矩阵

在§2.2中已详细介绍了矩阵的加法、乘法．根据加法，我们定义了减法．因此我们要问有了乘法，能否定义矩阵的除法，即矩阵的乘法是否存在一种逆运算？如果这种逆运算存在，它的存在应该满足什么条件？下面，我们将探索什么样的矩阵存在这种逆运算，以及这种逆运算如何去实施等问题．

我们知道，在数的运算中，对于数a ≠0，总存在唯一的一个数a –1使得 a a –1=a –1a =1

类似地，在矩阵的运算中我们也可以考虑，对于矩阵A ，是否存在唯一的一个类似于a –1的矩阵B ，使得 AB =BA =E

为此引入逆矩阵的概念．

定义1 对于n 阶矩阵A ，如果存在一个n 阶矩阵B ，使得 AB =BA =E ，则称A 为可逆矩阵，称B 为A 的逆矩阵．

例1 已知矩阵???? ??=1302A ，?????? ??-=12

3021B 因为 ???? ??=1302AB ?????? ??-123021???? ?

?=1001，?????? ??-=123021BA ??? ??1302??

? ??=1001 故A 为可逆矩阵，B 为A 的逆矩阵．

例2 因为EE =E ，所以E 是可逆矩阵，E 的逆矩阵为其自身．

例3 因为对任何方阵B ，都有B ?0=0?B =0，所以零矩阵不是可逆矩阵．

在定义1中，由于矩阵A 与B 在等式AB =BA =E 中的地位是平等的，所以，若A 可逆，B 是A 的逆矩阵，那么B 也可逆，且A 是B 的逆矩阵，即A 、B 互为逆矩阵．

可逆矩阵具有下列性质：

19

性质1 若矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的． 性质2 如果矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵A

–1

也可逆，且(A –1)–1

=A ．

性质3 如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则AB 也可逆，且(AB )–1

=B –1

A –1

． 此性质可推广到有限个可逆矩阵相乘的情形．即：

如果A 1、A 2、…、A n 为同阶可逆矩阵，则 (A 1A 2…A n )–1

=A n –1

A n –1–1

…A 2–1

A 1–1

性质4 如果A 可逆，数k ≠0，则kA 也可逆，且(kA )–1=

k

1A –1

．

性质5 如果矩阵A 可逆，则A 的转置矩阵A T

也可逆，且(A T

)–1

=(A –1

)T

对于一个n 阶矩阵A 来说，逆矩阵可能存在，也可能不存在．我们需要研究：在什么条件下n 阶矩阵A 可逆？如果可逆，如何求逆矩阵A –1？为此先介绍一个概念．

定义2 设A i j 是n 阶方阵A =(a i j )n 3n 的行列式|A |中的元素a ij 的代数余子式，矩阵

?????

?

?

???????????????????????=nn n n

n n A

A A A A A A A A A

212221212111*

称为矩阵A 的伴随矩阵． 例4 设????

?

??-=01

3311

201A ， 试求伴随矩阵A *． 解：903

31,30

1

311211=--=-==

A A 201

20,41

3112113=-=-=-=A A

11

3

01,60

3212322-=-

=-==A A 53

1

21,23

1203231-=--

=-==

A A

111

133=-=

A 所以 ????

?

??------=11

4

569223

*

A 由第一章中行列式按一行展开的公式，可得：

??????

?

???????????????????????=nn n n n n

a

a a a a a a a a AA

21

2222111211*

?????

??

???????????????????????nn n n

n n A

A A A A A A A A 212221212111????

??

?

?

?=A A A

00000=|A |E 同理，利用行列式按列展开公式可得： A *A =|A |E 。即，对任一n 阶矩阵A ，有 AA *=A *A =|A |E 若|A |≠0，则有 A (A

1 A *)=(

A

1 A *)A =E

由此我们得到：

定理1 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 是非奇异的，且当A 可逆时， A –1

=

A

1.A *

20 推论1 若A 、B 为同阶方阵，且AB =E ，则A 、B 都可逆，且A –1=B ，B –1=A ．

证：因|AB |=|A ||B |=|E |=1≠0，所以|A |≠0，|B |≠0，由定理1，A 、B 都可逆．

在等式AB =E 的两边左乘A –1，有 A –1(AB )=A –1E ， 即得B =A –1，在AB =E 的两边右乘B –1，得A =B –1 例5 设???? ?

?=d c b a A ，问：当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，矩阵A 可逆？当A 可逆时，求A –1． 解：bc ad d c b a

A -==当ad –bc ≠0时，|A |≠0，从而A 可逆．此时

???? ??---==-a c b d bc ad A A A 11*1 ?????? ??------=bc ad a bc ad c bc ad b

bc ad d ． 当ad –bc=0时，|A |=0，从而A 不可逆．

2.4矩阵的分块

在这一节里，我们将介绍一种在处理阶数较高的矩阵时常用的技巧——矩阵的分块．有时，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样．特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．

下面通过例子来说明这种方法．

???? ??=??????????

??-=2132020

00002000

1510032010

21001E A E A 其中E 2、E 3分别表示2阶和3阶单位矩阵，而???

? ??=????? ??-=0000000,1532

21 １A ． 每一个小矩阵称为矩阵A 的一个子块或子阵，原矩阵分块后就称为分块矩阵．

上述矩阵A 也可以采用另外的分块方法．例如：在矩阵A 中，如果令

ε1=???????? ??00001，ε2=???????? ??00010，ε3=???????? ??00100，α1=???????? ??-02521，α2=?????

??

? ??20132，

21

则 ),,,,(20

020*******

32010

210012132ααεεε1=?????

??

? ??-=A 采用怎样的分块方法，要根据原矩阵的结构特点，既要使子块在参与运算时不失意义，又要为运算的方便考虑，这就是把矩阵分块处理的目的．

六. 分块矩阵的加法和数量乘法

设A 、B 是两个m ?n 矩阵，对A 、B 都用同样的方法分块得到分块矩阵

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?????

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???????????????????????=st s s t

t A

A A A A A A A A A 21

2222111211，??????

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t

B B B B B B B B B B

212222111211

则 ??

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?

?

?

??+++++++++=+st st s s s s t t t t B A B A B

A B A B A B A B A B A B A B A

2

211

2222

2221

211112121111 A 、B 分块方法相同是为了保证各对应子块(作为矩阵)可以相加．

设k 为一个常数，则??????

?

?

??????????????????????=st s s t

t

kA

kA kA kA kA kA kA kA kA kA 2122221

11211

这就是说，两个行数与列数都相同的矩阵A 、B ，按同一种分块方法分块，那么A 与B 相加时，只须把对应位置的子块相加；用一个数k 乘一个分块矩阵时，只需用这个数遍乘各子块．

七. 分块矩阵的乘法

设A =(a ik )是m 3n 矩阵，B =(b kj )是n 3p 矩阵，把A 和B 分块，并使A 的列的分法与B 的行的分法相同，

即 r rs r r s s m m m A A A A A A A A A A n n n

212

1

2222111211s

21

???????

?

?=，s

st s s t t t

n n n A A A A A A A A A B p p p

21

2

1

22221

11211

21

???????

??= 其中，m i ，n j 分别为A 的子块A ij 的行数与列数，n i ，p l 分别为B 的子块B ij 的行数与列数，

p p n n m m t

l l s

j j r

i i

===∑

∑∑===1

1

1

, ，则 r

rt r r t t t

m m m C C C C C C C C C AB C p p p

21

2

1

22221

11211

21

?????

??

??== 其中 C ij =A i 1B 1j +A i 2B 2j +…+A is B sj ．