高中数学 3.1 不等关系与不等式 第2课时课件 新人教A版必修5

第三章

不等式

第2课时 课时

不等式的性质

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不等式

性质1 性质2 性质3 性质4

a>b b<a a>b,b>c a>b a+c> a>b,c>0 ac<bc a>c b+c ac>bc 或

a>b,c<0

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不等式

性质5 性质6 性质7 性质8

a>b,c>d a+c>b+d a>b>0,c>d>0 ac>bd a>b>0,n∈N,n≥2 a>b>0,n∈N,n≥2 an>bn

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不等式

1.已知a>b,c>d,且c、d不为零，那么 A.ad>bc C.a-c>b-d B.ac>bc D.a+c>b+d

(

)

解析：同向不等式相加，不等号不变. 答案：D

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不等式

2.若a<b<0,则下列不等式关系中不能成立的是

(

)

1 1 解析：∵a<b<0,∴a-b>a,∴ < . a-b a答案：B

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不等式

π π 3.若α、β满足- <α<β< ,则α-β的取值范围是( 2 2 A.-π<α-β<π π π C.- <α-β< 2 2 B.-π<α-β<0 π D.- <α-β<0 2

)

π π 解析：∵- <α<β< ,∴-π<α-β<0. 2 2答案：B

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不等式

4.已知a+b>0,b<0,则a,b,-a,-b的大小关系为 ( A.a>b>-b>-a C.a>-b>b>-a B.a>-b>-a>b D.a>b>-a>-b )

解析：∵a+b>0且b<0,∴a>0且a>-b或b>-a,对于-b与b, ∵b<0,∴-b>b.由不等式传递性知a>-b>b>-a. 答案：C

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不等式

5.已知a>b>0,0>c>d,求证：ad<bc.

证明：∵0>c>d, -d>-c>0 ∴ a>b>0

(-d)a>(-c)b>0.

∴-ad>-bc>0.∴bc>ad,即ad<bc.

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不等式

[例1] 判断下列各题的对错 c c (1)a<b且c>0 a>b (2)a>b且c>d ac>bd (3)a>b>0且c>d>0 a b (4)c2>c2 a>b人 教 A 版 · 数 学

( ( a d> b c ( (

) ) ) )

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不等式

[解] (1)

c c < 1 1 a b < ,当a<0,b>0,此式成立，推不出 a b c>0

a>b,∴(1)错. (2)当a=3,b=1,c=-2,d=-3时，命题显然不成 立.∴(2)错. a>b>0 a b > >0 (3) c>d>0 d c a > d b 成立.∴(3)对. c

(4)显然c2>0,∴两边同乘以c2得a>b.∴(4)对.

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[评析]

解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其

实质是看是否满足性质所需要条件，若要判断一个命题是假命题， 可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否 定.

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迁移变式1

对于实数a、b、c,给出下列命题：

①若a>b,则ac2>bc2; ②若a<b<0,则a2>ab>b2; ③若a>b,则a2>b2; ④若a<b<0,则>. 其中正确命题的序号是______. 答案：②④

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e e [例2] 已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证 > . a-c b-d[分析] < e e 1 要证明 > ,由于e<0,所以只需证明 a-c b-d a-c

1 .如果a-c与b-d同号，只需证明a-c>b-d,从已知条 b-d

件可以得到这个不等式，因此本题可证.

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[证明]

∵a>b>0,c<d<0,∴-c>-d>0,

1 1 ∴a-c>b-d>0,即0< < . a-c b-d e e > . 又∵e<0,∴ a-c b-d

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不等式

[点评]

在证明本题时，连续用到不等式的三个性质：一是不

等式的乘法性质，由c<d<0,得-c>-d>0,即不等式两边同 乘一个负数，改变不等号的方向；二是不等式的加法性质， 由a>b,-c>-d,得a-c>b-d,即同向不等式可以相加；三 是倒数性质，由a-c>0,b-d>0,且a-c>b-d,得 1 a-c

1 < .最后再次用到不等式的乘法性质，不等式的两边同乘负 b-d 数e,改变不等号的方向，即 e e > .所以，灵活运用不等 a-c b-d

式的基本性质是对不等式进行变换的关键.人 教 A 版 · 数 学

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1 1 1 迁移变式2 试证：若a>b>c,则 + + >0. a-b b-c c-a

1 1 解：由a>b>c,得-c>-b,∴a-c>a-b>0, > a-b a-c >0,即 1 1 + >0. a-b c-a

1 1 1 1 由b>c,得b-c>0,∴ >0,从而 + + b-c a-b c-a b-c 1 1 1 1 > >0,即 + + >0. a-b b-c c-a b-c

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