平面几何（竞赛题定理）

平面几何的定理

模型1：【内心与外接圆】设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之， 点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆也成立). A

I

BC

A' 模型2【内切圆与旁切圆】 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常 常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切. A 性质：（1）设AIA的连线交△ABC的外接圆于D，则DIA＝DI＝DB＝DC； （2）△ABC的∠A的内角平分线交外接圆于点D，以点D为圆心，DC 为半径作圆，与直线AD相交于两点I和IA，则这两点I和IA恰好是△ABC 的内心和旁心。 I BC

D

IA

模型【3垂心性质】△ABC 垂心H关于三边的对称点在△ABC的外接圆上，关于三边中点的对称点在△ABC

的外接圆上；三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的2倍(AH＝|2RcosA|)。

A

B'F

E

O H M DBC

H'

1

模型4【圆幂定理】 从一定点P引直线与定圆O交于两点A、B，(A、B可能重合为一个点)，（记OP=d）， 则PA·PB等于点P对于⊙O的幂:d2－r2 ??0，P在圆外?P的幂???0，P在圆上??0，P在圆内?所以上面的几个定理(相交弦定理、切割线定理、割线定理及切线长定理)也统称圆幂定理． 模型5【多圆问题】 相交两圆的性质 性质1：相交两圆的连心线垂直平分公共弦。 性质2：相交两圆的公共弦所在直线平分外公切线线段。 性质3：过相交两圆的两个交点分别作割线，交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行。 性质4：相交两圆的内接三角形（以一交点为顶点，过另一交点的割线为对边的三角形）相似。 性质5：蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。 模型6【密克点】 密克定理：设在一个三角形每边所在直线上取一点，过三角形的每个顶点与两条邻边所在直线所取的点作圆，则这三个圆交于一点。该点称为密克点。 ADFBEC2

推论：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。 ABCEMDF模型7【调和点列与阿波罗尼斯圆】如下三个条件由其中两个可推得第三个： 1.PC（或PD）为∠APB内（外）角平分线； 2. CP⊥PD； 3.A、C、B、D构成调和点列 ； PACBOD定理 完全四边形对角线互相调和分割。即AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列。 ABGDCEHFI3

模型8【四点共圆的完全四边形】 8.1如图，在完全四边形ABCDEF中，若ABCD四点共圆于圆O，AC交BD于G，则过E，F，G三 点中任意两点的直线，分别是另一点关于圆O的极线，且E，F，G，O构成垂心组（即任意一点是 其余三点的垂心）。

A

O

GD

B CF

模型9 【调和四边形】 E

对边积相等的圆内接四边形称为调和四边形。（因圆上任意一点对此四点的线束为调和线束，故以此命名）

定理：过圆外一点引圆的两条切线与一条割线，与圆所交四点形成的凸四边形为调和四边形，图中PDQC

为调和四边形。

A 性质：若四边形ABCD内接于圆，且满足AB?CD=BC?DA，在圆上 任取一点P 求证：PA，PB，PC，PD 为调和线束 C

AQAB. ? 证明：设PD, PC分别交边AB于点Q, R，下面只要证QPQRBRB

O 1AP?PQsin?APDAQS?APQ2

而=＝?1 QRS?RPQPR?PQsin?DPCD 2APsin?APDAPAD

??， PRsin?DPCPRDCAPPRABAPAB

???又由△PAR∽△BCR得, 所以 BCBRBRPRBC

AQAB这样就得到=所以PA, PD, PC, PB构成了调和线束.

QRBR

模型10【等角共轭】△ABC中，点P、Q满足：∠BAP＝∠CAQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BCP＝∠ACQ 则P,Q称为这个三角形的等角共轭点。 【上述定义中三组等式只需满足任意两组即可推得第三组】 A

PQ

BC

4

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