深圳十年中考真题汇编——二次函数

深圳十年中考真题汇编,按年度排版,包括答案和题型分析

深圳十年中考真题汇编——二次函数

2002年

5、（2002 深圳）如果实数a、b满足（a+1）=3﹣3（a+1）（b+1）=3﹣3，（b+1），那么+的值为． 考点：根与系数的关系。

分析：当a和b相等时，原式=2；当a和b不相等时，a和b为（x+1）2=3﹣3（x+1）的两根，化简方程得x2+5x+1=0，那么a+b=﹣5，ab=1，然后把所求代数式化成根与系数的关系的形式即可求出其值．

解答：解：当a和b相等时，原式=2；

当a和b不相等时，a和b为（x+1）2=3﹣3（x+1）的两根， 化简方程得x+5x+1=0， 那么a+b=﹣5，ab=1，

2

2

2

则原式=

（ + ）﹣2

2

．故填空答案：23或2．

点评：解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式．此题应注意应分两种情况分析．

19、（2002 深圳）已知：如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C，抛物线y=﹣x+bx+c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点． （1）求B、C两点的坐标和抛物线的解析式；

（2）若点P在线段BC上，且 △ = △ ，求点P的坐标．

2

1

考点：二次函数综合题。

专题：综合题。 分析：（1）根据直线y=﹣x+3可分别令x=0，y=0求出C，B两点的坐标；把B，C两点的坐标分别代入抛物线y=﹣x2+bx+c

可求出b，c的值，从而求出函数的解析式．

（2）因为P在直线线段BC上，所以可设P点坐标为（x，﹣x+3），再利用三角形的面积公式及△ABC、△PAC、△PAB之间的关系即可求出x的值，从而求出P点坐标． 解答：解：（1）令x=0，则y=0，令y=0，则x=3， 故C（0，3）、B（3，0）．

=3，

把两点坐标代入抛物线y=﹣x+bx+c得，

﹣9+3 +3=0

2

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解得

=3， =2

故抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；

（2）设P点坐标为（x，﹣x+3）， ∵C（0，3）

∴S△PAC=S△ABC﹣S△PABS△PAB，

即﹣|AB|×（﹣x+3）=|AB|×（﹣x+3）， 解得x=1， 故P（1，2）．

1

111

点评：此题考查的是一次函数及二次函数图象上点的坐标特征，属比较简单的题目．

2003年

8、（2003 深圳）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6=0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1+x2，0）、B（0，x1 x2），则直线l的解析式为（ ） A、y=2x﹣3 B、y=2x+3

C、y=﹣2x﹣3 D、y=﹣2x+3

考点：待定系数法求一次函数解析式；根与系数的关系。

分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，求出A，B的坐标，代入直线的解析式，求出k，b的值，从而确定直线的解析式． 解答：解：由题意知，x1+x2=x1 x2=﹣3， ∴A（0），B（0，﹣3），

设直线l的解析式为：y=kx+b，把点A，点B的坐标代入，解得，k=2，b=﹣3， ∴直线l的解析式为：y=2x﹣3．

故选A．

点评：本题主要考查了两个内容：1、一元二次方程的根与系数的关系，若方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a、b、c都是常数），有两个实数根x1和x2，则x1+x2=﹣，x1 x2=

②利用待定系数法求函数的解析式． 14、（2003深圳）如图，已知A（5，-4），⊙A与x 轴分别相交于点B、C，⊙A与y

轴相且

3

3

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于点D，

（1）求过D、B、C三点的抛物线的解析式； （2）连结BD，求tan∠BDC的值；

（3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，∠PFD的平分线

FG交DC于G，求sin∠CGF的值。

提示：（2）1、求BD是我长；2、求B到CD的距离，进而求出tan∠BDC；（3）1、求F的

坐标；2、求FG与线段AP的交点；3、利用三角形内角平分线定理即可求出sin∠CGF 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）已知了A点坐标，即可得出圆的半径和OD的长，连接AB，过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标．然后可用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）可取弧BC的中点H，连接AH、AB，那么根据垂径定理和圆周角定理不难得出∠BDC=BAC=∠BAH，由此可求出∠BDC的正切值．（也可通过求弦切角∠PCO的正切值来得出∠BDC的正切值）

（3）由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+

x

1

1

CFD，而∠PCO=∠PFD=∠BDC，那么∠

∠CGF=∠CDF+∠∠BDC=∠HDF，在直角三角形AOH中，DA=AH，因此∠HDF=45°，即∠CGF=45°，据此可求出其正弦值．

解答：解：（1）D（0，﹣4），B（2，0），C（8，0）； ∴抛物线的解析式为y=﹣x2x﹣4 ∴y=﹣（x﹣5）2+

（2）由垂径定理，作弧BC的中点H，连接AH、AB，则∠BDC=∠∠BAC， ∴tan∠BDC=tan∠，

（3）由（1）可知：P（5，，

1

15

19

1

3

9

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可求得直线PC的解析式为y=﹣．

设M为直线PC与y轴的交点，则M的坐标为（0，6）． ∴MD=MC=10， ∴∠MCD=∠MDC， ∴∠MCA=∠MDA=∠MDC+∠CDA=90°， ∴∠MCO=∠BDC=∠PFD，

∴∠CGF=∠GDF+PFD=∠GDF+BDC=∠HDF=45°， ∵DA=AH=半径， ∴sin∠CGF=sin45°=．

3

11

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、弦切角定理和垂径定理等知识．

2004年

7、（04深圳）函数y=x2-2x+3的图象顶点坐标是 (C)

A、（1，-4） B、（-1，2） C、（1，2） D、（0，3）

10、（04深圳）抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛

物线于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是（B） A、2 B、4 C、5 D、6 19、（04深圳）已知x1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115，

（1）求k的值；（7分） （2）求x1+x2+8的值.（3分） 答案：(1)k=11; (2)66

2

2

2005年

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3、（05深圳）方程x= 2x的解是(C )

A、x=2 B、x1= 2，x2= 0 C、x1=2，x2=0 D、x = 0 21、（05深圳）已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点

A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合） （1）（2分）求点A、E的坐标； （2）（2分）若y=

637

x bx c过点A、E，求抛物线的解析式。

2

2

（3）（5分）连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最

小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

21、解：（1）连结AD，不难求得A（1，23） OE=

12

AD，得E（0，

637

2

x

3）

（2）因为抛物线y= x bx c过点A、E 137

2

由待定系数法得：c=3，b=抛物线的解析式为y=

637

x

313

37

x

3

x

（3）大家记得这样一个常识吗？

“牵牛从点A出发，到河边l喝水，再到点B处吃草，走哪条路径最短？”即确定l上的点P

方法是作点A关于l的对称点A'，连结A'B与l的交点P即为所求.

B

A

l

本题中的AC就是“河”，B、D分别为“出发点”和“草地”。

由引例并证明后，得先作点D关于AC的对称点D'， 连结BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，

D'

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即△PBD的周长L取最小值。 不难求得∠D'DC=30º DF=3，DD'=23

求得点D'的坐标为（4，3） 直线BD'的解析式为：y

35

x+

35

直线AC的解析式为：y 3x 33 求直线BD'与AC的交点可得点P的坐标（，

37

233

）。

此时BD'=BG

2

D'G

2

=52 (3)2=27

所以△PBD的最小周长L为27+2 把点P的坐标代入y=

637

x

2

137

3

x

3成立，所以此时点P在抛物线上。

2006年

21．（06深圳）(10分)如图9，抛物线y ax2 8ax 12a(a 0)与x轴交于A、B两点（点，抛物线上另有一点C在第一象限，满足 ∠ACB为直角,且恰使△A在点B的左侧）

OCA∽OBC. △(1)(3分)求线段OC的长. 解：

(2)(3分)求该抛物线的函数关系式． 解：

(3)(4分)在x轴上是否存在点P， 使△BCP为等腰三角形？若存在， 求出所有符合条件的P点的坐标； 若不存在，请说明理由. 解：

21．（１）解：由ax2－8ax+12a＝０（a＜0）得

ｘ1＝２，ｘ2＝６

即：ＯＡ＝２，ＯＢ＝６ ……1分 ∵△OCA∽△OBC

∴ＯＣ2＝ＯＡ·ＯＢ＝２×６ ……2分

……3分

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（２）解：∵△OCA∽△OBC

∴

ACBC

OAOC

由ＡＣ

2＋ＢＣ2＝ＡＢ2得 ｋ＝（６－２） 解得ｋ＝２（－２舍去）

……1分 过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ ∴ＯＤ＝

12

2

2

2

ＯＢ＝３

∴ＣＤ＝

……2分 将C

点的坐标代入抛物线的解析式得

（３－６）

∴ａ＝－

3

∴抛物线的函数关系式为： ｙ＝－

3

ｘ2＋

3

……3分

（３）解：①当Ｐ1与Ｏ重合时，△ＢＣＰ1为等腰三角形 ∴Ｐ

1的坐标为（０，０）……1分

②当Ｐ2Ｂ＝ＢＣ时(Ｐ2在B点的左侧)，△ＢＣＰ2为等腰三角形 ∴Ｐ2，０）……2分

③当Ｐ3为ＡＢ的中点时，Ｐ3Ｂ＝Ｐ3Ｃ，△ＢＣＰ3为等腰三角形 ∴Ｐ3的坐标为（４，０）……3分 ④当Ｂ

4

＝ＢＣ时(Ｐ4在B点的右侧)，△ＢＣＰ4为等腰三角形

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∴Ｐ4

，０）

∴在ｘ轴上存在点Ｐ，使△ＢＣＰ为等腰三角形，符合条件的点Ｐ的坐标为： （０，０），

，（４，０），

……4分

2007年

23．（07深圳）如图7，在平面直角坐标系中，抛物线y B两点．

（1）求线段AB的长．

（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，

最大面积是多少？

（3）如图8，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C、D两点，垂足为点M，分

别求出OM、OC、OD的长，并验证等式

1OC

2

14

x 6与直线y

2

12

x相交于A、

1OD

2

1OM

2

是否成立．

图7

图8

C

a

（4）如图9，在Rt△ABC中， ACB 90，

CD AB，垂足为D，设BC= a，AC= b，AB= c

111

CD= h，试证明：2 2 2．

abh

h D

23．（1）解：依题意得

y y

1412

x6 x2

图9

B

解之得x1 4x2 6y1 2y2

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∴A（-4，-2），B（6，3） 1分 分别过A、B两点作AE x轴，BF y轴，垂足分别为E、F

∴AB=OA+OB

4 2

2

2

6 3

22

55 2分

（2）解：设扇形的半径为x，则弧长为(55 2x)，扇形的面积为y 则y

x

2

12

x(55 2x) 3分

52

5x

(x

554

)

2

12516

∵a 1 0 ∴当x

554

时，函数有最大值y最大

12516

4分

（3）解：过点A作AE⊥x轴，垂足为点E ∵CD垂直平分AB，点M为垂足

∴OM

12

AB OA

552

25

52

∵ AEO OMC, EOA COM ∴△AEO∽△CMO ∴

OEOM

AOCO

∴

452

25CO

∴CO

52

25

52

14

54

同理可得 OD ∴∴

1OC1OM

2

5分

1OD45

2

4222204 () () 55255

2

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∴

1OC

2

1a

1OD

2

2

1OM1h

2

2

6分

（4）解：等式

1b

2

成立．理由如下：

证法一：∵ ACB 90 ,CD AB ∴

1ab

1AB h

AB

2

a b 7分

22

22

∴ab c h

∴a2b2 c2 h2 ∴a2b2 (a2 b2)h2

a2

b

2 ∴

a2 b2)h2

a2

b2h2

(a2

b2

h

2

12

2

∴h

2

a ba2b

2

∴111h2

a2

b2

∴

111a

2

b

2

h

2

证法二：tan∠CAB=

ab

h

b2

h

2

22

∴ab

2

h

b2

h

2

∴a2b2 (a2 b2)h2

∴

a2

b

2a2 b2)h2

a2

b2h

2

(a2b2h

2

∴1a

2

11b

2

h

2

证法三：∵ ACB 90

，CD AB

∴△ACD∽△ABC

∴

ACAB

ADAC

∴AC2

AD AB

8分 7分

8分

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∴b2 AD c 7分 同理a2 BD c，

2

h AD BD

∴∴

1a1a

2

1b1b

2

1AD c1h

2

1BD c

1c

AD BDAD BD

1c

ch

2

22

8分

2008年

9．（08深圳）将二次函数y x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是(A )

Ａ．y (x 1)2 2Ｂ．y (x 1)2 2 Ｃ．y (x 1)2 2Ｄ．y (x 1)2 2

21．（08深圳）“震灾无情人有情”．民政局将全市为四川受灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食

品共320件，帐篷比食品多80件． （1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？

（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已．．知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．则民政局安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．

（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元．民政局应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？ 21．解：（1）设打包成件的帐篷有x件，则

x (x 80) 320（或x (320 x) 80） 2分

解得x 200，x 80 120 3分

答：打包成件的帐篷和食品分别为200件和120件． 3分 方法二：设打包成件的帐篷有x件，食品有y件，则

x y 320

2分

x y 80

x 200解得 3分

y 120

答：打包成件的帐篷和食品分别为200件和120件． 3分 （注：用算术方法做也给满分．）

（2）设租用甲种货车x辆，则

40x 20(8 x) 200

4分

10x 20(8 x) 120

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解得2 x 4 5分

∴x＝2或3或4，民政局安排甲、乙两种货车时有3种方案． 设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；

②甲车3辆，乙车5辆；

③甲车4辆，乙车4辆． 6分

（3）3种方案的运费分别为： ①2×4000+6×3600＝29600；

②3×4000+5×3600＝30000；

③4×4000+4×3600＝30400．

8分

∴方案①运费最少，最少运费是29600元． 9分 （注：用一次函数的性质说明方案①最少也不扣分．）

22．（08深圳）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象的顶点为D点，

与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），

OB＝OC ，tan∠ACO＝

13

．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

22．（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） 1分

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a b c 0

将A、B、C三点的坐标代入得 9a 3b c 0 2分

c 3

a 1

解得： b 2 3分

c 3

所以这个二次函数的表达式为：y x2 2x 3 3分 方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） 1分 设该表达式为：y a(x 1)(x 3) 2分 将C点的坐标代入得：a 1 3分

所以这个二次函数的表达式为：y x2 2x 3 3分 （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） 4分 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y x 3 ∴E点的坐标为（－3，0） 4分 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3） 5分 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y x 3 ∴E点的坐标为（－3，0） 4分 ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3） 5分

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得R

1

2 6分

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0）， 则N（r+1，－r），

代入抛物线的表达式，解得r

1

2 7分

∴圆的半径为

1

2

或

1

2

． 7

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

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易得G（2，－3），直线AG为y x 1． 8分 设P（x，x2 2x 3），则Q（x，－x－1），PQ x2 x 2．

S APG S APQ S GPQ

12

( x x 2) 3 9分

2

当x

12

时，△APG的面积最大

1 2

15

，S APG的最大值为4

278

此时P点的坐标为

,

． 10分

2009年

8．（09深圳）二次函数y ax2 bx c的图象如图2所示，若点A(1，y1

)、图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ C ） A．y1 y2 B．y1 y2 C．y1 y2 D．不能确定

图2 22．（09深圳）（本题9分）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．

（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（4分）

（2）如果工厂招聘n(0 n 10)名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成．．一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3分） ．．．

（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？（2分）

23．（09深圳）（本题10分）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直

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角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA OB），直角顶点

C落在y轴正半轴上（如图11）．

（1）求线段OA、OB的长和经过A、B、C的抛物线的关系式．（4分）

（2）如图12，点D的坐标为(2，0，)点P(m，n)是该抛物线上的一个动点（其中

m 0，n 0），连接DP交BC于点E．

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．（3分） ．．．．

②又连接CD、CP（如图13，）△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．（3分）

图11

图

12

图13

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2010年

21．（2010深圳）（本题8分）儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8

折销售仍可获利50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x元之间的函数关系为y＝20＋4x（x＞0）

（1）求M型服装的进价；（3分）

（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值．（5分）

销售，已知每天销售数量与降价

21、（1）、设进价为a元，依题意有：a(1 50 ) 75 80 ，解之得：a 40（元） （2）、依题意，W (20 4x)(60 40 x) 4x 60x 400 4(x

故当x

22．（2010深圳）（本题9分）如图9，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，

梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）

（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）

（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）

152

7.5（元）时，W最大 625（元）

2

152

) 625

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图9

22、（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程 ∴

4a c 0 a c 3

解之得：

a 1 c 4

；故y x2 4为所求

（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点

2k b 0 k 1

设BD的解析式为y kx b，则有 ， ，

b 2 k b 3

故BD的解析式为y x 2；令x 0,则y 2，故M(0,

2)(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，易知BN=MN=1， 易求AM BM

S ABM

12

12

2

2；设P(x,x 4)，

12

4x 4 4 2

2

2

依题意有：ADx 4 4 2，即：

解之得：x ，x 0，故 符合条件的P点有三个： P14),P2( 4),P3(0, 4)

2011年

10．（2011深圳）对抛物线y x2 2x 3而言，下列结论正确的是（D） A．与x轴有两个交点 B．开口向上

C．与y轴的交点坐标是（0，3） D．顶点坐标为（1，－2）

22．（2011深圳）（本题9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往

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大运赛场A、B馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台；运往A、B两馆的运费如表1：

表1

表2

（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总费用y（元）与x（台）的函数关系式；

（2）要使总费用不高于20200元，请你帮忙该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案； （3）当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？ 22、解：（1）表2如右图所示，依题意，得：

y＝800x＋700(18－x)＋500(17－x)＋600(x－3) 即：y＝200x＋19300（3≤x≤17）

（2）∵要使总运费不高于20200元

∴200x＋19300<20200 解得：x

92

表2

∵3≤x≤17，且设备台数x

∴x只能取3或4。

∴该公司的调配方案共有2种，具体如下表： 表3 表4

（3）由（1）和（2）可知，总运费y为：

y＝200x＋19300（x＝3或x＝4） 由一次函数的性质，可知：

当x＝3时，总运费最小，最小值为：ymin＝200×3＋19300＝19900（元）。 答：当x为3时，总运费最小，最小值是19900元。

23．（2011深圳）（本题9分）如图13，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，

交y轴于点D，其中点B

的坐标为（3，0）。 （1）求抛物线的解析式；

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使

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D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）如图15，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。 得：

a(3－1)2＋4＝0 图13

解得：a＝－1

23、

图14

图15

∴所求抛物线的解析式为：y＝－(x－1)2＋4

（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称， 在x

轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI ①

设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），

∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线

y＝－(x－1)2＋4，

得

y＝－(2－1)＋4＝3 ∴点E坐标为（2，3）

又∵抛物线y＝－(x－1)2＋4图像分别与x轴、y轴交于点A、B∴当y＝0时，－(x－1)＋4＝0，∴x＝－1或x＝3 当x＝0时，y＝－1＋4＝3,

∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3） 又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，

∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE ②

分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：

k b 0 k 1

解得：

2k b 3 b 1

2

2

图6

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1 ∴当x＝0时，y＝1

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∴点F坐标为（0，1）

∴DF 2 ③ 又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，－1）

∴EI

④

又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可 由图形的对称性和①、②、③，可知， DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小

设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1（k1≠0）， 分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：

2k1 b1 3 k1 2

解得：

b 1b 1 1 1

过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1 ∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝

12

；

1

∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）

2

∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI 由③和④，可知： DF＋EI

＝2 ∴四边形DFHG

的周长最小为2 （3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，

要使，△DNM∽△BMD，只要使

NMMD

MDBD

即可，

即：MD2＝NM×BD ⑤ 设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD， ∴

NMBD

AMAB

图7

AB＝4

再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD

＝∴MN

AM BD

AB

4

4

a)

∵MD2＝OD2＋OM2＝a2＋9，

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∴⑤式可写成： a2＋9

4

a)×解得：

a＝3或a＝3（不合题意，舍去）

2

∴点M的坐标为（3，0）

2

又∵点T在抛物线y＝－(x－1)＋4图像上， ∴当x＝3时，y＝15

2

42

4

2

∴点T的坐标为（3，15）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0gj4.html