2013年中考数学压轴题预测参考试题（试题及解答）

2013年中考数学压轴题预测参考试题

一、几何规律探究类型题——课题实践探究【规律探究是精髓，类比思想方法解题是关键】 (一) 已知如图：?ABC中，点D、E分别是边AC、BC上的点，连结AE、BD相交于点F。 (1)若BE:CE?1:1，CD:AD?1:1，求EF:AF与BF:FD； (2)若BE:CE?1:m，CD:AD?1:n，求EF:AF与BF:FD； (3)若EF:AF?1:m，BF:FD?1:n，求BE:CE与CD:AD；

A (4)若EF:AF?1:m，BE:CE?1:n，求BF:FD与CD:AD； ＊(5)判断：“已知EF:AF、BE:CE、BF:FD、CD:AD中 的任意两组的比，一定可求出另外两组的比。” 是真命题还是假命题，若是真命题，请选一个

BE第24题图PFDC 命题进行证明你的判断；若是假命题，请说明理由。

(二) 中点四边形问题：

命题：1。 顺次连结 ①任意 的四边形各边中点的中点四边形是 ②平行四边形 。 2。 顺次连结 ①对角线相等 的四边形各边中点的中点四边形是 ②菱形 。 3。 顺次连结 ①对角线垂直 的四边形各边中点的中点四边形是 ②矩形 。

4。 顺次连结 ①对角线垂直且相等 的四边形各边中点的中点四边形是 ②正方形 。 (三) 特殊图形（特别是两个直角三角板或两个正多边形）的旋转问题： 【具体详见2013年龙岩市中考适应性试卷】

(四) “特殊

一般”的几何探究问题【寻找共同的或相似的解题思想方法】

例如：探究平行四边形、矩形、菱形、正方形被两条直线分得的三角形面积问题

ABCD?ABCD中， 若BE:EM:MC?1:m:n，求BF:FN:ND与S?AFN:S?ABCD的值。 ① 由“正方形ABCD② 由“正方形ABCD

矩形ABCD菱形ABCDABCDABCD四边ABCD”； 四边ABCD”；

③由“三个等边三角形组成的等腰梯形ABCD

对角线互相垂直的梯形ABCD

对角线互相垂直的等腰梯形ABCD

梯形ABCD”等方式进行探究。

A直角梯形ABCD

DNFBEMC2013年中考数学压轴题预测参考试题

“函数与几何”综合题探究类型——数型结合压轴题探究

【侧重运动观点考察，存在性问题，分类讨论思想是命题的热点也是焦点】

【A】已知如图：在平面直角坐标系XOY中，梯形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0)、A(- 4,- 4)、B(4,- 4)、

0) C(43?4,，AB交X轴于点D。

Yl (1) 求∠OAC的度数；

C(43?4,0)O (2)求经过点O、B、C的抛物线c解析式；

(3)点P是抛物线c的一点，点Q是抛物线c的对称轴l上的一点， X问：是否同时存在点P、Q，使得△APQ与△AOC全等？

若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。 (4)点M从点A出发，沿着AC方向以每秒1个单位

的速度向点C运动，同时，点N从点A出发，沿着

DA(?4,?4)B(4,?4)射线AB方向以每秒m个单位的速度运动，当点A到达

点C时同时停止运动，当运动t秒时，△AMN与△AOC相似，求m的值。 （5）是否存在直线AC上方的抛物线c上的一点P，使得△ACP的面积最大？ [A]图 若存在，写出满足条件的点P坐标和△ACP的最大面积；若不存在，请说明理由。

【B】已知如图：在平面直角坐标系XOY中，⊙G内接正方形ABCD内有一折线A-E-O-C，⊙G交y轴于F， AE⊥X轴于点E，直线AF⊥Y轴于点F，A(4,-3)，C(0,5)。 Y (1) 求⊙G过点A的切线MN解析式；

(2)写出点B、D的坐标，B( , ), D( , ) , C(0,5) 并求出经过点O、E、B的抛物线c解析式；

(3)点P是X轴上的一点，点Q是抛物线c的对称轴

B 上的一点，问：是否同时存在点P、Q，使得以

D、F、P、Q为顶点的四边形周长最小？ ?GEN 若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标，

OX P( , ), Q( , ) , D 并求此四边形的周长；若不存在，请说明理由。

A(4,?3)F (4)点P是抛物线c的一点，点Q是抛物线c的

对称轴上的一点，问：是否同时存在点P、Q， M[B]图 使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。 【（4）变式1】是否存在点P(t,t2?t)、Q(m,0)，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， 若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。

【（4）变式2】是否存在点P(t,t2?t)、Q(0,m)，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， 若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。

【（4）变式3】是否存在点P(t,t2?t)、Q(m,?3)，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， 若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。

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2013年中考数学压轴题预测参考试题

“函数与几何”综合题探究类型——数型结合压轴题探究

【侧重运动观点考察，存在性问题，分类讨论思想是命题的热点也是焦点】

【A】已知如图：在平面直角坐标系XOY中，梯形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0)、A(- 4,- 4)、B(4,- 4)、

0) C(43?4,，AB交X轴于点D。 Yl (1) 求∠OAC的度数；

C(43?4,0)O (2)求经过点O、B、C的抛物线c解析式；

(3)点P是抛物线c的一点，点Q是抛物线c的对称轴l上的一点， X问：是否同时存在点P、Q，使得△APQ与△AOC全等？

若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。 (4)点M从点A出发，沿着AC方向以每秒1个单位

的速度向点C运动，同时，点N从点A出发，沿着 ?DA(?4,?4)B(4,?4)射线AB方向以每秒m个单位的速度运动，当点A到达 M点C时同时停止运动，当运动t秒时，△AMN与△AOC相似，求m的值。 （5）是否存在直线AC上方的抛物线c上的一点P，使得△ACP的面积最大？ 图[A]?1 若存在，写出满足条件的点P坐标和△ACP的最大面积；若不存在，请说明理由。 解：依题意得： (1) 过点C做CM⊥AB于点M，如图【A】-1：

?O(0,0)、A(- 4,- 4)、B(4,- 4)、C(43?4,0)，AB交X轴于点D。

?AB∥X轴，AD=OD=CM=4，AC=AB=8，?Rt△ACM中，∠CAM=30°，Rt△AOD中，∠OAD=45°， ?∠OAC=∠OAD-∠CAM=15°；

（2）设经过点O、B、C的抛物线c解析式为：y?ax(x?43?4)，?4?a?4?(4?43?4)，

解得：a??2?3，y??2?3x(x?43?4)； 44YlOC(43?4,0) (3) 如图【A】-2： 存在点P(23?2,t)，点Q(4,?4)，使得△APQ≌△AOC。 ?由（1）得：AP平分∠CAB=30°，AC=AB=8，使得△APQ≌△AOC，

即点P是∠CAB平分线与对称轴x?23?2的交点，点Q为B（4，-4）， X?PAP是△ABC中BC的中线解析式为y?(2?3)x?4?43， 当x?23?2时，y?23?6,?P(23?2,23?6)，

A(?4,?4)D?EQB(4,?4)??P?图[A]-2P(23?2,23?6)关于直线y??4的对称点为P?(23?2,?2?23) ?P(23?2,23?6)；P?(23?2,?2?23)，Q(4,?4)时，△APQ≌△AOC。 Y (4) 如图【A】-3： 由（1）可得：∠ACO=∠CAM=30°，OC?43?4，AC=AB=8， O 由运动可得：AM= t,AN= m t (t为运动时间，0

M ① 当?NMA∽?AOC时,

OC?AM, 即 : 43?4?t，解得：m?3?1;

ACAN8mtlC(43?4,0)X? ②当?MNA∽?AOC时,

A(?4,?4)?D?N图[A]-3B(4,?4)43?4mtOCAN,即 : ，解得：m?3?1。 ??8tACAM2 ?存在m?3?1或m?3?1时，?AMN与?AOC相似。 2 （5） 如图【A】-4：设P(t,?2?3t(t?43?4))，

4 过点P作PQ∥y轴交AC于 点Q(t,3t?43?4)，

33 ∵点P在点Q的上方，

∴PQ??2?3t(t?43?4)?(3t?43?4)，

433 即： PQ??2?3(t?23)2?14?33，

433A(?4,?4)YOP?lC(43?4,0)?QDX?M图[A]-4B(4,?4)112?323214?33S?S?S?PQ?AM，∴ S?APQ?CPQ ∵ ?ACP??[?(t?)?]?43 ?ACP22433 即：S?ACP??23?3(t?23)2?283?18，∴ 当仅当t?23，P(23,3?4)时，S?ACP?283?18。 2333333

【B】已知如图：在平面直角坐标系XOY中，⊙G内接正方形ABCD内有一折线A-E-O-C，⊙G交y轴于F， AE⊥X轴于点E，直线AF⊥Y轴于点F，A(4,-3)，C(0,5)。 Y (1) 求⊙G过点A的切线MN解析式；

(2)写出点B、D的坐标，B( , ), D( , ) , C(0,5) 并求出经过点O、E、B的抛物线c解析式； (3)点P是X轴上的一点，点Q是抛物线c的对称轴

B 上的一点，问：是否同时存在点P、Q，使得以 D、F、P、Q为顶点的四边形周长最小？ ?GEN 若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标，

OX P( , ), Q( , ) , D 并求此四边形的周长；若不存在，请说明理由。

A(4,?3)F (4)点P是抛物线c的一点，点Q是抛物线c的

对称轴上的一点，问：是否同时存在点P、Q， M[B]图 使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。

解：连接AC，如图【B】-1： Y ∵ 直线AF⊥Y轴于点F，点F在⊙G上，∴ AC是⊙G的直径， ∵ 直线MN切⊙G于点A，∴ MN⊥AC于A， C(0,5) ∵ AE⊥X轴于点E，∴ 四边形AEOF是矩形，

∵ ⊙G内接正方形ABCD内有一折线A-E-O-C，A(4,-3)，C(0,5)， B ∴ AF?OE?4,AE?OF?3,CF?8,AC?45，

?GEONAFFM4FM? ∴ △AFM∽△CFA ，∴ ，即：?， CFAF84 解得：FM?2,OM?5,M(0,?5)，

DXA(4,?3)?TFM图[B]-1（1）∴ 直线MN：y?1x?5。 2YC(0,5)（2） ∵ 正方形ABCD内接⊙G，∴AC⊥BD于O， ∴MN∥BD，∴ △ADT∽△CFA ，

∴ AT?6,DT?2， ∴ FT?2， ∴ D(?2,?1)， 同理：B(6,3)，

∴ 经过点O、E、B的抛物线c解析式y?ax(x?4)， ∴ 3?a?6?(6?4)，a?DD??BP?OF?GEN?QA(4,?3)X11， ∴ 抛物线c：y?x(x?4)。 44M图[B]?25（3）如图【B】-2：存在满足条件的点Q(2,?)、P(?1,0)；

32 ∵ 抛物线c的对称轴为直线x?2，∴ F（0，-5）与A(4,-3)关于直线x?2对称 ，

21 取D?(?2,1)，则D?(?2,1)与D(?2,?1)关于x轴对称 ，∴ 直线AD?:y??x?

331215 ∴ 直线AD?:y??x?与直线x?2、x轴分别交于Q(2,?)、P(?,0),

2333 此时，最小的C四边形DPQF?DF?AD??22?213； Y （4）同时存在点P1（0,0）、Q1（2,6）；P2（4,0）、Q2（2,- 6）满足条件。 如图【B】-3： 过B作BR⊥AF于R，

C(0,5)?Q1 由（1）、（2）得：Rt△ABR中，∠ARB=90°，AR=2，BR=6， ∵点P是抛物线c的一点，点Q是抛物线c的对称轴上的一点， 以A、B、P、为顶点的四边形是平行四边形，

∴ Q(t,t?t) 到直线x?2的距离为2，

OBN142?GEDFX ∴ t?2?2，解得：t1?0,t2?4，

RA(4,?3) ∴ 当t1?0时，点P1（0,0）、Q1（2,6），四边形ABQP时□ABQP； ∴ 当t4?4时，点P2（4,0）、Q2（2,- 6），四边形ABQP时□ABQP；

Q2?图[B]-3M 【（4）变式1】是否存在点P(t,t2?t)、Q(m,0)，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， 若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。

【（4）变式2】是否存在点P(t,t2?t)、Q(0,m)，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， 若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。

【（4）变式3】是否存在点P(t,t2?t)、Q(m,?3)，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， 若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。

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2013年中考数学压轴题预测参考试题

“函数与几何”综合题探究类型——数型结合压轴题探究

【侧重运动观点考察，存在性问题，分类讨论思想是命题的热点也是焦点】

【B】已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，

】

连结AD、BD、BE。

(1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中 ．．．．．．．．．．．．．．．． 的两对相似三角形。_____________，_____________。 (2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上 建立直角坐标系（如图2）， 若抛物线y?ax?2ax?3a(a?0) 经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点。

①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。 ②求抛物线的解析式。

③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P： 过点P做PN⊥x轴于N， 使得△PAN与△OAD相似？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 解：如图所示：

（1）△OAD∽△CDB ，△ADB∽△ECB……………4分 （2）①（1，－4a）…………1分 ②∵△OAD∽△CDB ，∴

2DCCB……………1分 ?OAOD ∵ax2－2ax－3a=0，可得A（3，0）………2分 又∵OC=－4a，OD=－3a，CD=－a，CB=1， ∴

1?a ∴a2?1 ∵a?0 ∴a??1 ??3a3 ∴抛物线的解析式为：y??x2?2x?3……………………2分

③存在，设P（x，－x2+2x+3）

∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形，∴ PN=AN 当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x2+2x+3)，x1=－2，x2=3(舍去)， ∴P（－2，－5）……………2分

当x>0（x>3）时，x－3= －(－x2+2x+3)， x1=0，x2=3(都不合题意舍去) …………1分 ∴ 符合条件的点P为（－2，－5）………………………………………………1分

2013年中考数学压轴题预测参考试题【一题多问——同题异构】

“函数与几何”综合题探究类型——数型结合压轴题探究

【侧重运动观点考察，存在性问题，分类讨论思想是命题的热点也是焦点】

【C】已知如图：抛物线y?ax?2ax?3a(a?0) 与x轴的一个交点为点A，与y轴交于点E，点B为其顶点，点P(t,at?2at?3a)在抛物线上设点，以AB为直径的⊙D与y轴交于点E、点F，连结AE、BE、BF。

22（1） 在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图中的两对相似三角形。_____________，_____________； ．．．．．．．．．．．．．．．．（2） 直接写出下列点的坐标：A（ ， ）、B（ ， ）、D（ ， ）、E（ ， ）、F（ ， ）， ．．

求tan∠ABF的值和抛物线的解析式；

（3） 求过点E且与⊙D相切的切线解析式l:y?kx?b；

Y （4） 是否存在点G（-1，g）,使得⊙H与直线AB和x轴都相切？ 若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由；

x??1（5） 若点M以每秒m个单位的速度，从点A出发，沿射线AE方向运动， 若点N以每秒n个单位的速度，从点A出发，沿射线AB方向运动， A 点M、N同始同终运动，问是否同时存在点M、N，,使得△AMN与 △ABE相似？若存在，求出m:n的值；若不存在，说明理由； O F X （6） 是否存在点P（t > - 3）,使得△ABP是等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

?DP?B 【C】图 E C （7） 是否存在点P,使得△ABP是Rt△？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（8） 是否存在点P,使得△ABP的面积是△ABC面积的4倍？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（9） 是否存在点G（-1，g）,使得△ADG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由； （10） 是否存在点G（-1，g）,H(h,0),使得以A、D、G、H为顶点的四边形的周长最小？

若存在，求出点G、H的坐标和其最小的周长；若不存在，说明理由；

（11） 过点P做PQ⊥ x轴于Q，是否存在点P,使得△PAQ与△OAE相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

（12） 过点P做PT⊥直线BC于T，PT交x轴 Q，将△CPT沿着CP翻转180°得到△CPL，是否存在点P, 使

得点L恰好在x轴？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

（13） 是同时否存在点G（-1，g）和点P, 使得以A、E、G、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点

G、P的坐标；若不存在，说明理由；

（14） 是同时否存在点G（-1，g）和点P, 使得以A、E、G、P为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点G、P

的坐标；若不存在，说明理由； ??

Y x??1A O F X ?DP?E B C 【C】备用1 Y x??1A O F X ?DP?E B C 【C】备用3 Y x??1A O F X ?DP?E B C 【C】备用5 Y x??1A O F X ?DP?E B C 【C】备用2 Y x??1A O F X ?DP?E B C 【C】备用4 Y x??1A O F X ?DP?E B C 【C】备用6

Y x??1A O F X ?DP?B 第 题图 E N?

C XA(4,?3)EG

O

25．【提升类型】已知如图：在平面直角坐标系XOY中，?ABC的顶点坐标分别为A（2t,-3t）、

B(2t,0)、C(?2t,0).

(1)画出?ABC绕点A顺时针90?所得的?AB?C?（点C?与C对应）和 逆时针旋转?ACB的度数所得的?AB??C??（点B??与B对应）； Y (2)是否存在t的值，使得点C、B??、B、C?在 同一条抛物线c上？若存在，求出t的值和 抛物线c的解析式；若不存在，请说明理由。 (3)点P是抛物线c的一点，点Q是抛物线c的 对称轴上的一点，问：是否同时存在点P、Q， 使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？

C???C(?2t,0)OB(2t,0)C???B??A（2t,-3t）X?B?第25题图 若存在，写出满足条件的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）右图是所求做的图形；

13（2）由旋转可得：C?(5t,t),B??(t,?t)，

55设经过C?(5t,t),B(2t,0),C(?2t,0)的抛物线为y?a(x?2t)(x?2t) ，t?a(5t?2t)(5t?2t)， 解得： a?11133111，y?(x?2t)(x?2t)；将B??(t,?t)代入得：?t?(t?2t)(t?2t)， 21t21t55521t55解得：t?35； （3）

①如图，已知PA、PB为⊙O的弦,点C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，求AE、PE与PB之间存在怎样的数量关系，并证明。

②如图，已知PA、PB为⊙O的弦,点C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，求AE、PE与PB之间存在怎样的数量关系，并证明。

①关系式是AE=PE - PB。

FE?A??P?BC?D?P??E?E??O?BA??O?D?第 ①题 C第 ② 题 证：连接DB 交AP于点F, ?弧AC=弧BC, ?∠ADC=∠BDC, 连接AD， ?DC⊥PA ，? ∠DAE=∠DFE，

?△DAF是等腰三角形，?AE=EF，?∠B和∠A对应 同一个弧 ?∠B=∠A=∠DFE=∠PFB, ?△PFB是等腰三角形。?PB=PF，?PE=PF+FE=AE+PB ∴AE=PE - PB

②关系式是AE=PE + PB。

证：延长AP与DB交于点F，?弧AC=BC ?∠EDA = ∠EDF ，?DE⊥AF于E，?∠FAD=∠F ，

?AE=EF ，连PD ，∠FBP=∠BDP +∠BPD ，?∠BDP对应的是弧BP ，∠BPD对应的弧是BD ，

弧BD + 弧BP =弧PD，而弧PD对应的角是∠FAD，? ∠FAD=∠F ，?∠F= ∠PBF， ?△PBF是等腰三角形。?PB=PF

?AE=EF=EP+PF=EP+PB，即：AE=PE+PB

②关系式是AE=PE + PB。

证：延长AP与DB交于点F，?弧AC=BC ?∠EDA = ∠EDF ，?DE⊥AF于E，?∠FAD=∠F ，

?AE=EF ，连PD ，∠FBP=∠BDP +∠BPD ，?∠BDP对应的是弧BP ，∠BPD对应的弧是BD ，

弧BD + 弧BP =弧PD，而弧PD对应的角是∠FAD，? ∠FAD=∠F ，?∠F= ∠PBF， ?△PBF是等腰三角形。?PB=PF

?AE=EF=EP+PF=EP+PB，即：AE=PE+PB

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