高数证明题的提纲

一、极限存在准则

1． 准则I （夹逼准则）：如果数列xn,yn及zn满足下列条件: （1）yn?xn?zn(n?1,2,3,?); （2）limyn?a,limzn?a,

n??n??那末数列xn的极限存在, 且limxn?a.

n??思路提示：

1）利用夹逼准则求极限，关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限相同且容易求. 2）一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项（右边取分母最小，左边取分母最大） 例题1 证明limn?(n??1n?12?1n?22???1n?n2)?1

解：因为

n22n?nn22?n?(1n?1n22?1n?22???1n?n12)?n22n?11n?22，

2而limn??n?1?limn??n?n?1?limn?(n??n?12????1n?n2)?1。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题2 计算lim?n?????1n?12?1n?22?????. ?2n?n?1解：因为???2n?n?nn?lim1n?1n2?1n?22??????2n?n?11n?12nn?112，

而limn??n?n2n????1，所以lim?2n??n?1??n?22??????1。 2n?n?1---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题3 计算lim??n???1?n2?1(n?1)2?????. 2?(n?n)?1解：由于

?1?11n??????， ?2222?2(n?n)(n?1)(n?n)?n?nn而limn(n?n)2n???limn???1?11lim?????0。 ，于是?0?222?2n??n(n?1)(n?n)n??n例题4 证明lim(n??1n?n?12?1n?n?22???1n?n?n2)?1

1

解：由于2nn?n?n?1n?n?12?1n?n?2?1,

2???1n?n?n2?nn?n?12，

而limnn?n?n12n???1,limnn?n?112n??所以lim(n??n?n?12?n?n?22???1n?n?n2)?1.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题5 计算lim?n???21?n?n?1?2n?n?22???? 2n?n?n?n解：由于

1?2???nn?n?n212n??1?2???n， ??2?2??2??2n?n?n?n?n?1?n?n?1n?n?2而lim1?2???nn?n?n?2n??2n(n?1)11?2???n122， ?lim2?,limlim?22n??n?n?nn??n??2n?n?1n?n?12?2n?n?221n(n?1)1所以lim?n??1?n?n?1???1??。 2n?n?n?2n-------------------------------------------------------------------------- 例题6 计算lim(n??1n2?1(n?1)2???1(2n)2)

解：因为n?1(2n)2?1n2?1(n?1)2???1(2n)2?n?1n2?1n

而limn?n??1(2n)2?0,limn?n??1n2?0，根据极限存在准则，

lim(n??1n2?1(n?1)2???1(2n)2)?0。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题7 证明limx?[]?1

x?0?1x1111?[]??(1?x)?x?[]?x??1，

xxxxxxx11而lim?(1?x)?1,lim?x??1，所以lim?x?[]?1。 x?0x?0x?0xx解：由于

1?1?[x]?1，?(1?x)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2

例题8 证明lim(1?n??1n?1n2)?e

n解：由于(1?11n)?(1?n1n?1n)?(1?21n?1n?1n1n?1n(n?1)1)?[1?n1n?11nn]，

而lim(1?n??n?11n)n?1?1?lim(1?n??n)(1?n?1)?e，lim(1?n??)?e

n所以lim(1?n???1n2)?e。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题9 计算lim(1?2?3)n??nn1/n.

1nnnnnnn1nn1n11nnn1n解：由于(3)?(0?0?3)?(1?2?3)?(3?3?3)?(3?3)?3n?3

1nn??n??1nnnn??1而lim(3)n?lim3n?3?3，所以 lim(1?2?3)n?3。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1例题10 设a1,a2,...,am为正数，求证lim(a?a2?...?am)n?max?a1,a2,...,am?。

n??n1nn解：不妨设a1?max{a1,a2,?an}，此时有

a1?(a1?a2???am)nnn1n?a1[1?(1a2a1)?(na3a1)??(nama1)]n1n?a1(m)1n，

由于m是一个正的常数，而limmn??1n1nnn?1，所以

lim(a?a2?...?am)n?a1?max?a1,a2,...,am?。

n??---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2． 准则II（单调有界准则）：单调有界数列必有极限.

思路提示：1）直接对通项进行分析或用数学归纲法验证数列{xn}单调有界；

2）设{xn}的极限存在，记为limxn?a，代入给定的xn的表达式中，则该式变

n??为a的代数方程，解之即得该数列的极限。 例题11 设x1?2,xn?1?2?xn,(n?N)，证明数列{xn}的极限存在，并求此极限。

?解：显然xn?xn?1，设x1?2?2，若xk?2,xk?1?2?xk?2?2?2，

所以对一切n，有xn?2。因此它是单调递增且有上界！因此极限limxn存在。

n?? 3

设limxn?A，对xn?1?n??2?xn，两边求极限，有A?2?A，

(A?2)(A?1)?0?A1?2,A2??1，由于A?0，所以极限为2 。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题12 已知数列{xn}中的每一项都是正的，并且(1?xn)xn?1?是单调的，并证明limxn?n??14证明数列{xn} (n?N)，

?12。

14xn?1?1，

解：由题意1?xn?14xn?1,?xn?所以xn?1?xn?xn?1?1414xn?1?1?2xn?1?1412xn?1?1?0，即{xn}单调上升；

又xn?1xn?xn?1???xn?1(xn?1)???0，?xn?1?0,?xn?1?{xn}有界。

14所以limxn存在。设limxn?A，因为(1?xn)xn?1?n??2n??2，两边取极限

12A?A?14?(A?12)?0，显然只能A?12?0?A?。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题13 若序列{an}的项满足：a1?试证：{an}有极限，并求出它。

12aa1a1?a2a112(ak?2，且an?1?a(a为正的常数）

12(an?aan（n?1,2,?） )，

解：由a1?a，又a2?(a1?)??2a1a2a12?a；

下面用数学归纳法证ak?12aana：ak?1?an?a2an2aak)?ak?a2ak?2ak2aka?a，

又an?an?1?(an?)??0，故{an}单调且有下界，从而其极限存在，令其为A

由an?1?12(an?aan)?liman?1?n??12lim(an?n??aan)?A?12(A?aA)，

2即A?a?A?a(A?0)，所以liman?n??a。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题14 设x1?a,a?0,xn?1?a?xn,n?1,2,3,?，求limxn。

n?? 4

解：x1?a,x2?a?a?a,x3?a?a?a?a?a,?xn?1?a?xn?

因a?0，故a?a?aa??，这说明数列单调增加。

下面证明它有上界。显然，x1?xn?1?a?xn?a?a?1?a?a?1，假设xn?2a?1，则

(a?1)?a?1，所以数列有上界为a?1。

根据单调增加有上界数列必有极限的存在准则可知，limxn存在，设limxn?A，

n??n??对关系式xn?1?a?xn两边取极限得，A?a?A，解得A?1?1?4a2。

因数列各项均为正数，根据极限的保号性定理，它的极限值不可能为负数，因此，

1?1?4a2limxn?n??。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题15 求lim2nn??n!

解：先证lim2nn??n!2存在，设xn?n!n2nn!，

因为

xn?1xnn?1?(n?1)!2??2n?1?1(n?1,2,3,?)

所以xn?1?xn(n?1,2,3,?)；又xn?n2nn!?0，故数列{xn}单调减少且有下界0，

根据单调有界准则知，lim2n??n!存在。设limxn?A,?limxn?1?A，

n??n??对等式xn?1?xn?2n?1两边求极限，得到A?A?0，即A?0。所以lim2nn??n!?0。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题16 求lim(2n?1)!!(2n)!!n??

解：令an?1?3?5?(2n?1)2?4?6?(2n)?2462n1352n?1，bn????， ???3572n?12462n 5

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