传热传质学复习题(冯喜平)

传热传质复习题

1、 说明导热、对流换热和辐射换热三种热传递方式之间的联系和区别。

导热：物体各部分之间不发生宏观相对运动，而仅依靠分子、自由电子、原子粒子的微观运动而产生的热量传递。

在不透明的固体中，导热是唯一的热量传递形式；流体中，存在导热，但热量的传递是和对流相结合的。气体、液体和固体导热机理不同。

对流：由于流体的宏观运动，使得流体各部分之间发生相对运动，冷热流体相互掺混引起的热量传递。工程关心问题是固体和流体之间的换热。对流分为自然对流和强迫对流。 辐射：通过电磁波形式实现能量传递。

特点：是无需接触，把热量从高温物体传给低温物体；能量形式发生变化。

2、 说明傅里叶定律、牛顿冷却公式和斯蒂芬－波尔兹曼定律，三种热流密度计算公式，符号意义，计

算单位。

Fourier导热定律：在物体内发生纯导热时，单位时间内导过垂直于热流方向面积为dA的热流量，与等温面法线方向的温度增量成正比，而与法向距离成反比。

q=-?gradt=-??tn，单位为W，?为物体的导热系数，gradt为温度梯度。 ?x牛顿冷却公式:对单位面积有q=h?t,对于面积为A的接触面Q?Ah?tm，其中?tm为换热面A上流体育固体表面的平均温差，h为对流传热表面系数。 斯蒂芬－波尔兹曼定律：

3、 说明导热系数的意义，气体、液体和固体的导热机理，变导热系数概念和变导热系数对平板中温度

分布的影响。

①导热系数是材料重要的物理参数，反应材料导热的本领，大小由材料的性质确定。定义为：

?qndQ?????gradTgradT?dA表示：单位温度梯度下，物体内所产生的热流密度。

②固体导热机理：

（热传导现代理论对金属和非金属热传导机理作了严格区分）

金属：自由电子运动、晶体的震动（弹性波）等形式实现热量的传递。

非金属（半导体）：晶体的震动形式实现热量的传递，热传导系数完全由晶体的震动引起。 气体导热机理：分子不规则运动形式实现热量的传递。 液体导热机理：两种理论：

（1）类似气体，分子运动形式实现热量的传递，不过情况更复杂。

1

（2）类似非导电固体，依靠晶体的震动（弹性波）的作用。 ③在特定小的范围内，导热系数描述成为温度函数，下列公式表示为：

???0?1?a?T?

其中：a：温度系数；

?0：基准温度下的导热系数。

4、 固体中热流密度的矢量形式，各分量的计算公式。

5、 推导直角坐标系中导热微分方程，说明Laplace方程，Poisson方程和Fourier方程。 导热微分方程由微元体能量守恒得到。

在导热体中取出一无限小的平行六面体，微元体的体积为：

v?dx?dy?dz

设该单元体中存在一热源 中十分重要。

X，Y，Z面上流入的热量分别为：

Q。

该源项在计算

.?dQx??dydz(??t)d??x

?tdQy??dxdz(?)d??y

?tdQz??dxdy(?)d??z

控制体x??x面上的流出的热量：

dQx??x??dydz[??t??(??t)dx]d??x?x?x在y和z方向同样有其热增量，其形式相同。

dQy??y??dxdz[??t??(??t)dy]d??y?y?y

dQz??z??dxdy[??t??(??t)dz]d??z?z?z 2

d?时间内微元体内内能增加量： dE?c??tdxdydzd???

内热源所产生的热量为：

dQS?Qdxdydzd?

微元体内的能量平衡方程：

?dQX?dQy?dQz?dQs?dQX??X?dQy??y?dQz??z?dE则一般的热传导微分方程为：

???t??t??t?t(?)?(?)?(?)?Q??c?x?x?y?y?z?z??

当?与空间无关时，并令：

22????c，上述方程为：

??t?t?tQ1?t????222?x?y?z????? Fourier方程

材料内部不存在热源时：热传导微分方程为，

2

?2t?2t?2t1?t???222?x?y?z???该式称为Fourier导热方程。 ? Poisson方程

当存在内热源，而温度场稳定时，称为Poisson方程：

?t?t?tQ????0222?x?y?z?? Laplace方程

222?

当材料内部无热源，而且是稳定导热时，方程变为Laplace方程：

3

?2t?2t?2t???0222?x?y?z

2?引入Laplace算子，则方程为：

?t?0

或引入算子

2?，则方程为： ?t?0

6、 说明求解热传导问题的定解条件，常用的四类边界条件。

?tQ??2?方程:???t????c?，

?条件:初始条件、边界条件?建立在能量守衡定律和傅立叶定律基础上的热传导方程，是导热物体内温度场的一般描述，就是说导热现象的各种温度场都应满足热传导方程。但是，导热微分方程本身并不能给出各种特定条件下物体内具体的导热现象，或者说，不能给出具体的温度场。具体的温度场是由方程的解提供的，而方程的解不仅有赖于方程本身,还有赖于足以使解确定下来的条件，即定解条件。换言之，除了有导热微分方程外，还得有定解条件，才能得到具体的温度场。从数学的角度来说，由方程与定解条件共同构成一个定解问题，由它确定唯一解（即温度分布），定解条件包括初始条件与边界条件。

? 初始条件： 导热现象开始时物体内的温度分布。

初始条件是比较容易给定的，只要给出初始瞬间导热物体内的温度分布即可。 ? 边界条件： 物体边界上的热状况。

边界条件比初始条件要复杂得多。从实际传热的过程来看，边界上的热状况可分为：与环境进行对流热交换；与环境进行辐射热交换；以及边界与另一固体接触而进行导热的交换等，考虑到数学处理方面的习惯与方便，作为定解问题的边界条件常分四类，分别为：

t1．第一类边界条件：已知边界温度，即 s2．第二类边界条件：已知边界热流，即

?ts?f2(?)?x亦可表示为：

?f1(?)t。 简单的情况， s。简单的情况，

?常数

qs?fs(?)q?常数

3．第三类边界条件：对流换热条件，即：

?K?ts?h(ts?t?) 或 ?x 4

K?ts?h(t??ts)?x

亦可表示为：

hts?K

?t?xs?ht?

s?tc1ts?cs?x

?f3(?)

第三类边界条件在某种条件下可以转化为第一，第二类边界条件。 4．第四类边界条件： 表面有热源或热汇，即：

?t1?t2??K1??K2?Q?x?x

在接触面上

仅有辐射交换的边界条件：

t1s?t2s

?tK?x?t?xs??ij?(t??ts)

44有辐射又有对流的边界条件：（火箭发动机喷管） Ks?辐射热流密度?对流热流密度

7、 说明求解热传导定解问题的方法及特点。

求解的方法很多，可从不同的角度归纳，大致归纳为四大类

（一） 分析解法---以数学分析为基础求解热传导定解问题，得到用函数形式表示的解。通常又称精确分析解法。这里说，最后得到的函数形式的解在导热区域内逐点满足导热微分方程定解问题。若导热问题可表示为较简单的常微分方程的定解问题，则用分析解法比较成熟，求解的方法也比较方便。若导热定解问题为偏微分方程，采用精确分析解法就比较复杂，求解的方法也很多。分析解法最常见的分离变量法，傅立叶积分方法，其它还有如拉普拉斯变换法，格林函数法等。一般来说，分析解法求解的问题非常有限，仅能处理简单问题。

（二） 近似分析解法---它得到的也是以函数形式表示的解，也是一种连续的温度分布。在整个求解区域，就整体上满足能量守衡而言，它与精确分析解是相同的，但对区域内的每一点而言，两者得到的解只是近似相等（后者的解近似接近精确解）。

5

近似分析解法常见有积分法，变分问题的各种近似解法。

（三） 数值解法---它是一种以离散数学为基础的一种求解方法。它得到的结果是求解区域内有限个离散点上的温度值，只要离散点分布得足够稠密，离散点上一系列的温度值能近似地代表连续的温度分布。

常见的数值解法有：有限差方法、有限元法、有限体积等。数值解法是目前传热问题广泛应用的一种方法。

（四） 图解法与各种模拟热的方法（略） （五）几种方法比较

分析解法与数值解法是目前求解导热定解问题的主要方法。精确分析解法的主要优点是：整个求解过程中物理概念与逻辑推理都比较清晰，求解过程所依据的数学基础大都已有严格的证明，求得的解精确可靠，而且能比较清楚地表示出各种因素（如坐标，时间，各定解条件）对温度分布的影响。它的缺点（特别是精确分析解法）：只能用于求解比较简单的问题。

数值解法的优点是：它在实际问题面前显示出很大的适应性，例如，对复杂的几何形状，变化的热物性，对流、辐射换热边界条件等问题都能较好的给予解决。在计算机的推动下，数值解法求解的速度与精度得到迅速的提高。它的不足之处是：数值解的数学基础很多方面尚待完善，还带有经验性的特点，所得结果的可靠性在有些情况下还缺乏理论依据。

8、 写出圆柱坐标系中导热微分方程。

圆柱坐标系中， 三个坐标为：三个矢量微：

r,?,z；

???ir,i?,iz；

正交曲线坐标系中，梯度和散度的表达式为：

grad???1??1??1??e1?e2?e3h1?q1h2?q2h3?q3

???a1?h2?h3???a2?h1?h3???a3?h2?h1??1????h1?h2?h3??q1?q2?q3?

?div???a?Fourier热传导方程矢量形式为：

?2t????t?1?t???

则Fourier方程的圆柱坐标形式为：

6

?2t1?t1?2t?2t1?t???2?22r?rr??? ?r???z9、 解释热阻概念，复合平板和复合圆管中热流量和温度分布的计算公式，及各项意义。

通过平板的热流量可以从傅立叶定律得到：

T?TT?TdTQ??kA??kA21?12?温差l热阻dxlkA （3－3）

lkA相当于电阻，并称为导热热阻。

此式与欧姆定律的表达式相比较很相似，

复合平板 热量稳定地流过连续几层壁的情况，在工程设计中经常遇到。代表性的应用是锅炉设计，其中内层为增加壁强度的增强壁（耐火砖，导热系数K?1.5w/m?K），中间层为隔热用绝缘壁（高岭土

隔热砖，导热系数K?0.07w/m?K），外层为外壁（镁土砖，导热系数K?1w/m?K）

? 给定温度边界

假设各层的表面温度已知，分别为：T1，T2，T3，T4。

通过各层热流用平板表示为：

7

T2?T3T3?T4T1?T2Q1?；Q2?；Q3??xA?xB?xCkAAkBAkCA由于各层热流相等，所以：

T1?T2T2?T3T3?T4Q1?Q2?Q3????xA?xB?xCkAAkBAkCA解上述方程，得热流为：

T1?T4Q1?Q2?Q3??xA?xB?xC??kAAkBAkCA

利用欧姆定律的类比关系，根据热阻串并联的规则。可写出热流量的表达式为：

T1?T4总温差Q?＝?xA?xB?xC总热阻??kAAkBAkCA （3--4）

? 给定对流边界 (1)

单层壁的热传导

T,T如果已知复合平板外两边流体温度AB，对流换热系数h。边界上对流换热表达式为：

Q?hA(T?T)A11?(T?T)hAA1

1h1A为对流热阻。

8

Q?KA(T?T)?X21??hA(T?T)2B

解上述方程得，热流量的表达式为：

Q?TA?TB1?x1??h1AkAh2A

11hAhA其中：1和2为对流热阻。

(2)

复合壁的热传导

利用欧姆定律的类比关系，根据热阻串联的规则，热流量的表达式为：

Tf1?Tf6Q??x?x?x11?A?B?C?h1AkAAkBAkCAh2A （3--5）

复合圆管：

针对两种边界，分别研究。

9

? 如果管内外为已知温度边界

T1?T4Q?rrr111ln2?ln3?ln42?K1Lr12?K2Lr22?K3Lr3

? 如果管内外为对流边界 如果已知圆管内外两边流体温度边界上对流换热表达式为：

Tf1,Tf4，对流换热系数h。

(Tf1?T1)Q?hA(T?T)?2?rLh(T?T)?f111f1112?rLh1(T?T)f44??hA(T?T)?2?rLh(T?T)?f442f442?rLh2

则导热率为：

Tf1?Tf0Q?rrr11111?ln2?ln3?ln4?2?r1Lh12?K1Lr12?K2Lr22?K3Lr32?r0Lh0

11?hA2?r1Lh1其中：1为对流热阻。

10、 说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想和步骤。

差分方法

? 控制方程：

在直角、圆柱、球坐标系中以及一般变截面一维稳态导热问题，导热方程通用形式为：

对上述简单情况（直角坐标系，等截面一维，不变导热系数，稳态导热），方程简化为：

1d?dT?kF(x)?s?0??F(x)dx?dx?

d?dT??0??dx?dx?

? 网格划分（求解结点、界面）

10

则，壁面处：

?dT?q??????dy???(?/?)(Tw?Tf)?h(Tw?Tf)??y?0

平壁热阻为?/?

对流热阻为1/h

? 对流换热系数确定方法

1． 根据附面层微分方程求数学精确解； 2． 根据附面层积分方程求数学近似解； 3． 根据动量、热量和质量三个过程的类比求换热过程的解（半理论的近似方法）； 4． 数值求解。 14、 推导连续方程。

? 方法一、（思路：从拉格朗日观点出发，对系统应用质量守恒定律。先建立积分方程，再建立微分

方程）

对系统，质量守恒定律为：系统质量为常数，即

(质量)系统?c。

DND（质量）)系统?Dt设用N表示质量，则：Dt

(对质量：外延参数N=m;内涵参数n=1

外延参数和内涵参数关系为：对系统应用雷诺输运定律：

(N)系统??n?dVcVc

??DN?(n?)()系统??dVc??n?V?dADt?tVcA(连续方程为：

??Dm?(?))系统??dVc???V?dA?0Dt?tVcA

对上述方程应用散度定律：A???（?V)dVc??V?dA????Vc

连续方程变为：

??(?)dVc????(?V)dVc?0??tVcVc（连续方程积分形式）

令Vc?dVc?0，连续方程积分形式变为微分形式

? 方法二、（思路：从欧拉观点出发，对占据控制体流体应用质量守恒定律。先建立积分方程，再建

立微分方程）

??(?)???(?V)?0?t（连续方程微分形式） 16

1）控制体内流体质量变化的原因分析

A)由于非定常流动，控制体内流体密度发生变化，引起控制体内流体质量变化。

质量增加为：

?(?)dVc??tVc

B) 由于流体流动，从控制体外表面有质量的流出或流入。

质量流出为：

????V?dAA

2）根据质量守恒原理，控制体表面质量流出必然等于控制体内质量减小。 得：

连续方程变为：

???(?)dVc???V?dA?0??tVcA对面积分项应用散度定律：

??(?)dVc????(?V)dVc?0??tVcVc仿照前面推导得：

（连续方程积分形式）

? 方法三、（思路：从欧拉观点出发，在笛卡尔坐标系中，对微元控制体应用质量守恒定律。直接建

立微分方程） 1) 控制体

如图6-2所示,选边长为dx，dy，dz的控制体，并把这控制体固定于坐标系上。 2) 基本定律

在我们研究的所有情况下，质量既不能创造也不能消灭。这个事实在这里可以表达为：进出控制体的质量流之差必须恰好等于控制体内质量的增加。

3) 质量变化分析 通过控制体外表面的质量：

面积1的质量：在单位时间内通过面积1的质量是

??????(?V)?0?t（连续方程微分形式）?udydz；

面积2的质量：考虑连续介质中质量流只能稳定而又连续变化，则通过面积2离开控制体的质量为：

?udydz?

?(?udydz)dx?x

17

由于面积dydz不随x变化，上式写为：

?udydz?x方向：流出质量减去流进质量

?(?u)dydzdxx方向：?x

同理得y方向和z方向净质量流率。

?(?u)dydzdx?x

?(?v)dxdzdyy方向：?y

?(?w)dxdydzz方向：?z

单位时间储存在控制体内的质量：

?(?dxdydz)??()?dxdydz??单位时间储存在控制体内的质量为：或??。

质量守恒定律得到的方程：

???(?u)?(?v)?(??)????0???x?y?z （6-3）

????项表示固定位置处密度随时间的变化。

随流导数：

随流体一起运动的微元控制体内的密度变化可由以下全微分来表达：

d??dx?dy?dz????d????xd??yd??zd?

对于随流体运动的一个微元控制体有：

dxdydz?u?v??d?d?d?

D??????u?v??d????x?y?z （6-4）

该算子被称为物质微商（Substantial derivative）,用大写字母D识别它。 连续方程表达形式：

? 引入随流导数可把连续方程写成为：

D??u?v????(??)?0d??x?y?z （6-5）

18

? 用向量符号写出两种形式的连续方程：

???div?v?0?? （6-6） D???div??0d? （6-7）

式中v表示速度向量。

? 另一种把连续方程简写的形式是张量形式。

在张量符号中，用x1,x2,x3表示笛卡尔坐标系的三个坐标，或更简写为类似的，速度分量为

xi,而以i表示下标1至3。

v1,v2,v3，而以

vi表示速度向量的三个分量。现在（6-3）式变为：

???(?vi)??0???xi （6-8）

在写这个方程时采用了张量分析中以下的取和约定原则：在某一项中某一个下标重复出现时，那必须对该下标所有数值的各项求和。因此，

?(?vi)?xi 代替 用?(?vi)?i?1?3?xi

?(?vi)??xi 表示向量?vi和向量运算子?xi的标积，因此（6-5）式变成：

以向量运算来表示，

?vD???i?0d??xi （6-9）

15、 推导动量方程。

方法一、 （思路：从拉格朗日观点出发，对系统质量应用牛顿第二定律）（欧拉动量方程） 以如图所示的流体微团为研究对象，即系统。

对确定的流体微团研究对象而言，由牛顿第二定律得：

??dM?动量?F外＝dt， ??N?M,n?v其中：对动量， ,

由雷诺输运定律得：

??DN???v??????dvc??v??v?dA??F外VcADt?t ?????F外?FB?FS(FB为体积力，FS为表面力）

力分析：体积力、表面力（法向力和切向力） 因此：

19

??体积力：FB??B?dvcvc???表面力：FS?Fn?F?

???F?保持其一般形式，Fn???PdAA

代入得：

如果不计重力、粘性和体积力，则

???????v?????vcB?dvc?F???APdA??vc?tdvc??Av??v?dA???B?0,F??0

动量方程积分形式

动量方程积分形式：（不计重力、粘性和体积力）

?????v?????vc?tdvc??Av??vdA???APdA?0欧拉动量方程积分形式

动量方程分量形式：

用Xi方向得单位矢量和动量方程积分形式进行数量积，得Xi方向动量方程：

????ui?????B?dv?Pn?dA?dv?u?v?vcic?Ai?vc?tc?Ai?dA?

其中：

????Pn?dA＝??Pndvcii??A?vc?????dvc??u?v?dA???u?vi?i?Avc

???ui???????dvcB?dv???Pndv?dv???u?vicicci????vcvcvcvc?t动量方程为： 当vc?dvc时

???ui???Bi?????Pni??????ui?v??t

展开，并应用连续方程，得：

Dui?Bi?????Pni???Dt

对上述方程求矢量和，得：

??Dv?B??P??Dt

不考虑重力，则B?0,得： 动量方程微分形式为：

?DV1??p?0Dt?欧拉动量方程微分形式

20

i.

不同坐标系中动量方程表达式：

直角坐标系：

??u?u?u?u?1?p???u?v?w??t????x?0?x?y?z?X方向：? ??v?v?v?v?1?p???u?v?w??t????y?0?x?y?z?Y方向： ? ??w?w?w?w?1?p????u?v?w??t????z?0?x?y?z?Z方向： ?

? 方法二、（思路：从欧拉观点出发，在笛卡尔坐标系中，对微元控制体应用牛顿第二定律。）

? 控制体：如图6-3所示选一个边长为dx，dy，dz的控制体，并把这控制体固定于坐标系上。 ? 基本定律：

把动量守恒定律应用到控制体上。

该定律实质上是牛顿关于作用在一个质量上的一切力的总和等于其质量和其加速度的乘积这条定律的推广。对于变质量的情况，这条定律可改述为：一切力的总和必须等于单位时间内所涉及的流体质量的动量变化。 力分析

1）

彻体力：作用在控制体内流体上彻体力。

?gxdxdydz

21

2） 表面力：该表面力描述流体微团周围的流体对该微团的作用。

单位面积上的力称为应力，该表面力可以任意方向作用于如图6-3中的表面1上，它可以分

解成三个分量：一个分量垂直于表面1，而其他两个作用于表面1上并分别具有y和z的方向，这些力以p表示，并在其右下角具有两个下标，第一个下标表示力所作用的元面的法线方向，第二个下标表示应力分量本身的方向。 应力

pxy和pxz作用在表面1上，称为剪切应力。应力

pxx则依照我们的规则属于张应力

（关于法向应力

pxx需要做进一步的解释。前面曾提及，流体被定义为当速度减至零时其剪切应

力也消失的这样一种物质。但是法向应力并不消失，而是退化为流体压力，流体压力的特点是它和流体微元体的任何表面相垂直，而且在任何方向上具有相同的值，因此我们认为，法向应力

pxx-p是有粘性应力

pxx和流体压力p所组成，其中

pxx随流体速度降为零而消失。P的前面之所

以取负号是因为外界作用于流体微元上的压力总认为是正的（压应力），而应力规则属于张应力） ? 动量分析：

微元控制体内质量的x方向动量变化的各种因素：

? 单位时间内通过控制表面1，x方向的动量流： 单位时间内通过控制的流量是：?udydz

2?udydz x方向的动量流：

pxx则依照我们的

? 单位时间内通过控制表面2，x方向的动量流：

经表面2离去的x方向的动量流比表面1进入的x方向动量流的多余部分为：

??(?u2)2(?udydz)dx?dydzdx?x?x

用同样的方法可以得出穿过其他几个面的x方向动量流（把各个面上相应的质量流乘以速度分量u）。得出表6-1的第一列。

? 非稳态流动引起的控制体内流体x方向动量的变化：

?(?u)dxdydz??

表 6-1

各方向的质量流 x y X方向动量流（流出减去流进） X方向净表面力 ?(?u2)dydzdx?x ?(?u?)dxdzdy?y 22

?(pxx?p)dydzdx?x ?pyxdxdzdy?y

z 控制体

?(?u?)dxdydz?z 动量变化 ?pzxdxdydz?z 彻体力 ?(?u)dxdydz?? ?gxdxdydz 表的第三列前三行给出了表面力。而最后一行给出作用于控制体的彻体力。现在，可以由力与动量变换之间的平衡而得出描述动量守恒的方程：

?pyx?p?????2zx(?u?)(?u)(?u?)(?u)(pxx?p)?g?x+?y+?z+??=?x+?y+?z+x （6-10）

把上式左边的各项进行偏微分，我们得到：

?u?v?u?u?(?u)u?(?v)?(??)?p?pxx?pyx?pzx?u???u???uuu??y+?x+?y+?z+??+?x+?z+??=?x+?x+?y+?z+

?gx

而如果考虑到质量守恒[（6-3）式]，则有：

?u?v?u?u?p?pxx?pyx?pzx?u?u?????y?x+?z+??=?x+?x+?y+?z+?gx （6-11） +Du引入物质微商d?后，可以把上式简化，依照（6-4）式该微商为：

?uv?uDu?u?uu?d?=??+?x+?y+?z

控制方程：

现在可把x坐标上的动量方程写成：

Du?p?pxx?pyx?pzx??d?=?x+?x+?y+?z+?gx （6-12）

y方向及z方向有对应的两个方程：

Dv??p?pxy?pyy?pzy?d?=?y+?x+?y+?z+?gy （6-13） D??p?pxz?pyz?pzz??d?=?z+?x+?y+?z+?gz （6-14）

用张量符号则用一个方程就可以表达动量守恒定律：

23

Dvi??p?pji?d?=?xi+?xj+?gi （6-15）

?pji下标i表明这些项是向量，而

?xj项如同（6-8）式及（6-9）式中的那样，依照求和约定规则，用来代

?替

j?pji?xj项。

流体本构方程（Constitutive equations）（又称要素方程）

流体本构方程：指物体的外部效应与物质内部结构之间的方程。如流体外部粘性力和流体内部变形之间的关系，流体外部热通量和内部温度梯度的关系等。本构方程以物理假设为前提，其数学关系式反应其内在本质联系，实验验证是方程成立的依据。

A. 粘性流体本构方程（流体微团的变形与应力之间的关系表达式）

对牛顿流体，粘性流体应力

?ij和变形

Dij关系式由G..G..斯托克斯（Stokes）于1845年用推导固体

的应力和应变关系相类似的推理确立。

? 粘性流体应力

?ij和变形

Dij呈现比例关系；

? 各向同性流体，应力? 不计粘性力时，应力

?ij?ij和变形

Dij之间线性函数关系中的系数与坐标选择无关；

退化为静压－p

根据上述假设，应力表达式为：

对于牛顿流体，变形率和应力之间存在着线性关系。 ? 对于简单剪切流动，关系式为：

???dudy，前面提到的剪切应力Pyx被称为?。

? 对于存在所有三个速度分量、而且它们每个都取决于三个坐标系的更为一般的情况，这些关

系式就更为复杂。G..G..斯托克斯（Stokes）于1845年用推导固体的应力和应变关系相类似的推理确立可这些关系式。

根据力学定律，以下关系式能成立：

PyxPxy=

（6-16）

推广地说，改变应力项下标不会改变它们的大小。前面式子中的应力由下列关系式给出：

Pyx??(

?v?u?)?x?y （6-17）

24

Pxx?2??u?u?v?????(??)?x?x?y?z

对其他的应力项也能写出相应的关系式来。

? 在引入了以下的单位张量后，也可用张量符号把粘应力表示成一个简单的方程：

?1?ij???0当i?j时

当i?j时

这个张量被称为克劳讷克?（Kronecker delta）。于是粘性应力方程就成为：

Pij?????vj?vj?vk?ij??(?)?xk?xj?xi （6-18）

同样，项用来代替一个总和项，因为下标k是重复的。下标j代表关系式中在j方向的分量的那些项。例如对于i=1及j=1,上式就是：

P11???(?v??1??2??3??)?2?i?x1?x2?x3?xi

它与（6－17）式中的第二式是一样的。对于i=1及j=2，可得：

P12??(??1??2?)?x1?x2

它与（6－17）式中的第一式是一样的。

? 在（6－17）第二式中出现的粘性系数?,依照简单的分子运动论，对于单原子气体它的数值

为2/3?。另一方面对于多原子气体，根据气体分子运动论及对压缩激波的实验研究，已经发现?和?之间有不同的关系。以后可以看出，本书中所涉及的任何情况，粘性系数?都可以从方程中去掉。

直角坐标系中，速度场V：（u,v,w）,应力为：

???Pxy?Pyx??(?v?u?)?x?y ?v?w?)?z?y

Pyz?Pzy??(Pzx?Pxz??(Pxx?2??w?u?)?x?z

?u2?u?v????(??)?x3?x?y?z

25

Pyy?2??v2?u?v????(??)?y3?x?y?z ?w2?u?v????(??)?z3?x?y?z

Pzz?2? 动量表达式 ? 分量形式

在引入了应力和变形率的关系之后，方程组变成： 连续方程：

???(?u)?(?v)?(??)????0???x?y?z （6－19）

动量方程：

??u?v??u?v??Du?p??u??u???[?(?)][?(??)]??2(?)[?(?)]?g?y?y?x?x?x?y?zd?=?x+?x?x+?z?x－+?z+x

（6－20a）

???u?v??Dv??p2?(??v)?[?(?v???)]?[?(?v??u)][??(??)]?gy?z?z?y?x?x?y?y?x?y?z?y?y?yd?=+++－+

（6－20b）

????v??u?v??D??p???????u?[?(?)][?(??)]??2(?)[?(?)]?gx ?y?y?z?z?x?y?zd?=?x+?z?z+?x?x?z+－+

（6－20c）

加上连续方程使方程组完整了。该方程组由N.纳维尔（Navier）(1827年)和S.P.波松（Poisson）(1831)从分子间作用力的考虑以及赛因特－威南特（B.de.Saint-Venant）(1843)和斯托克斯（1845）基于流体中法向应力和剪切应力与变形速率成正比的假设而首先推导出来的。因此，该方程组称为纳维尔－斯托克斯（N－S）方程。 ? 张量形式

用张量符号使方程的形式更简单些：

???(?vi)??0???xi(6-21)

26

?vj?vjDvi?vi?p???????(?)?(?)?(?)d??xi?xj?xj?xj?xj?xi?xj?gi+

(6-22)

即便有这些方程式，也仍然是未知数多于方程数目，必须附加有关物性?，?及?的补充关系式。在这些关系方面最简单的假设是常物性流体模型。对于常物性介质，经过某些改组后，（6－20）式成为：

222222Du?p?(?u??u??u)?(????)(?u??v???)??2?y2?z2?x2?y?x?z?x+?gx d?=?x+?x?变换微分顺序，得：

?2u?2v?2???u?v??(2??)(??)?y?x?z?x=?x?x?y?z ?x而根据连续方程上式为零。

因此，用张量符号表示的常物性介质的方程组是

?vi?0?x连续方程：i (6－23a)

Dvi??p???vi??xi+?xj?xj+?gi (6-23b)

动量方程：d?=

可以看出粘性系数?已从这些方程中消失了。方程组包含下列未知参量：

?vi(u,v,w)及P。现在只要确

定特定的边界条件，方程组的数目是满足求解条件的。上述这点对于具有换热的状况带来一个意义、而又很重要的结果。上述方程中没有温度出现这个事实再无力上就意味着，不管流体中温度是均匀的或者由于换热而引起一个温度场，其流场是相同的。这就意味着，对这样一种流体来说，流体力学中可用的数据资料能直接用来作为换热计算的基础，热交换可以叠加到这样的流场上去，但并不以任何条件改变流场。

对于液体，只要所涉及的温差不大，则常物性流体模型是一种合理的、很好的近似。除上述条件外，在速度不太大，从而压力变化也不大的情况下，该模型对气体也适用。

但是，如果必须考虑物性参数随温度及压力而变化的话，则（6-21）及（6-22）式只有和能量方程联立求解。以下就推导能量方程。 16、 层流边界层方程，边界条件。 边界层连续方程和边界层动量方程：

27

?????u?????????0???x?y（6－43）（6－44）（6－45）

?????u?u?u??p???u??u????????????x?y??x?y??y?????p?p?x,??边界层能量方程：

?(?i?i?i?p?p??t?u?u?v)??u?(k)??()2???x?y???x?y?y?y(6-54)

定常、常物性边界层能量方程：

?T?T?T??t?Cp(?u?v)?(k)???x?y?y?yy??,u?us,v?0边界条件：

y?0,

u?0,v?0,T?Tw

,T?T?17、 解释紊流，紊流结构，紊流形成过程。

紊流:是一种高度复杂的非稳态三维流动。在紊流流体的各种物理参数，如速度、压力、温度等随时间和空间随机发生变化。

紊流结构: 紊流是由各种不同尺度的涡旋叠合而成的流动。涡旋大小及其方向是随机的。 紊流形成过程：在边界作用、扰动和速度梯度作用下，流场中形成大尺度涡旋（主要由流动的边界条件决定），其尺度可与流场大小相比拟，引起流体低频脉动；小尺度涡旋主要由粘性力决定，尺度可能有流场的千分之一甚至更小，引起高频脉动。大尺度涡旋破碎形成小尺度涡旋。较小尺度涡旋破碎形成更小尺度涡旋，流体涡旋尺寸在一定范围内连续变化。粘性作用下小涡消失。进一步的边界作用、扰动和速度梯度作用形成新的大尺度涡旋，这样构成紊流流动。 18、 说明目前紊流的数值计算方法。

关于紊流运动和换热的数值计算，是目前计算流体力学和计算传热学最困难也最活跃的领域，紊流的数值计算方法主要有： （1）完全模拟

用非稳态的全N-S方程对紊流直接计算的方法，要求时空步长很小。有人估计，要计算大涡尺寸104cm，小涡尺寸1 cm，大涡环流周期为60s的流场，要算一个周期，需要104个时间步长，用1012个节点，大约要1018次运算，即使用10亿次/s，需要30年。目前只有少数研究者对低Re下的紊流进行了探索。 （2）.大涡旋模拟

按照紊流的涡旋学说，紊流的脉动与混和主要由大尺度的涡造成。大尺度的涡从主流获得能量，运

28

动是各相异性，随流体而异；小涡的作用是耗散能量，且各相同性，不同流动中小涡有许多共性。紊流的涡旋学说导致了大涡旋模拟的数值解。一般用非稳态的N-S方程求大涡，不计算小涡，小涡对大涡的影响通过模型来考虑。 （3）.Reynolds时均方程法

将非稳态控制方程对时间作平均，所得方程包含脉动乘积的时均值量，方程个数少于未知量个数。而且不能依靠进一步的时均处理使得方程闭合，必须依靠某种假设，即建立模型。将未知的高阶的时间平均值表示成低阶的计算中可以确定的量的函数，是目前研究者广泛采用的方法。 Reynolds时均方程法中，有Reynolds应力方程法和湍流粘性系数法两大类。

Reynolds应力方程法目前没有达到工程应用阶段，而湍流粘性系数法已被广泛工程应用。 19、 说明Reynolds时均方程法的思想。 Reynolds平均法：

φ φ ? ?

φˊ

t t

'????? 紊流的各种瞬时量表达为时均值与脉动值之和。＋

1t??t??(t)dt?t? 时均值：? ＝?t

?t取值相对于高频脉动周期要大，相对于低频脉冲周期要小。

?'的引入，导致控制方程中出现脉动值和时均值这类新的未知量。

? 基本关系式：

???0，???， ??????，

??????； F?F?F? ?F???F，??F??F???F?；

29

???????????x?x，?t?t； ?2??x2??2?2?2?22?x， ?x?0；

????0?x

20、 直角坐标系中紊流对流换热的控制方程，边界条件。 1. 质量守恒方程 x. y. z三方向速度分量为 u,v,w ? 连续方程通用形式：

???(?u)?(?v)?(??)????0???x?y?z D??u?v????(??)?0?x?y?z d?

D???di?v?0 d?

D??????u?v?????x?y?z 其中：d????(?vi)??0???xi张量形式

?(?vi)?0?xi? 对于常物性介质，连续方程张量形式： ? 时均值和脉动值表示的连续方程

将三个坐标方向的瞬时速度表示成时均值和脉动值之和，

?vi?0?xi

?（u?u?）?（v?v?）?（w?w?）?u?v?w?u??v??w??????????x?y?z?x?y?z?x?y?z

??u??v??w????0?x?y?z

?u?v?w???0?z 故有：?x?y

30

在这组方程中引入了三个系数（

c1,c2,c3）及三个常数（

?k,??,?T）

，其值如表所示。

K-ε模型中的经验系数值

cu 0.09 c1 1.44 c2 1.92 c3 1.44 ζk 1.0 ζξ 1.3 ζT 0.9~1.0 控制方程的通用格式：

?(??)?div(?V?)?div(?grad?)?s?t

控制方程的通用格式为发展大型计算机程序提供了条件。 ? K-ε模型应用中的几点说明 1）

经验系数的确定

表（K-ε模型中的经验系数值）根据特殊情况下试验结果确定，一些参数有一定范围，尤C1和C2对结果影响最大。 2）

经验常数的适应性

上述参数根据特殊情况下试验结果确定，应用表明具有一定适应性。适应于边界层层流、管内流动、剪切流动、有回流的流动等。 3）

模型在近壁处的适应性

上述规定的K-ε模型为高Re数模型，适应于离开壁面一定距离的湍流区域。在高Re数区域分子粘性

?相对?t忽略不计。

在壁面附近Re数较小，必须考虑分子粘性?，K-ε方程需进行适当修改。适应粘性支层的K-ε模型称为低Re数模拟

采用高Re数K-ε模型计算流体和固体壁面的换热时，对壁面附近区域采用壁面函数法处理。（见后）

壁面函数法

在壁面附近的黏性支层中流动和换热计算，可采用低RE数的K-ε模型进行计算。也可采用高RE数的K-ε模型进行计算，不过K-ε模型需进行修正。绝对的做法为：在粘性支层中要设置10－20个节点。太多太繁，找一种既有一定精确度，又能节省内存的一种方法，即壁面函数法。

基本思路：

36

1．假定粘性支层以外的区域，无量纲速度和温度（V, 和T）服从对数分布。

u1?yv*?1??u?*?ln??B?lny?B??k???ku?

2．把第一个内节点P 布置到粘性支层以外的区域

?w??B

up?uwyp

qw?kBTP?TWyp

3．修正?B，kB

1/41/2y（pcukp）?B?[]?ln（Ey?p）l?k

??（y?pu?p）?

kB?y?p?cp?Tk?（y?pT?pln（Ey??p?Tp））?pr?k

1/41/2u（cukp）u??w?py?p?式中：

?Tp?y（k）pc1/4u1/2p?，

?

?Tkln（Ey???Tpp）

ln（E）?kB，B?5~5.5,p?9(pr?T?1)(pr?T)?14

?K4．对于K方程：?yw=0,第一个内节点P上的K值按K方程求解，

对于

?方程：

Cu432?p?KKyp3

? 用涡量－流函数、K-ε模型来计算紊流流动与换热时，控制方程应包括： 涡量方程，流函数方程，能量方程，K方程及ε方程，及求

?t的方程。

???t?T?????g????T?y???，y为重力坐标，向上为正。 对于自然对流：K方程中还应加

??t??T????c?g??3?tk?y??? 在ε方程中源项加入

K-ε模型中的经验系数值

37

cu 0.09 c1 1.44 c2 1.92 c3 1.44 ζk 1.0 ζξ 1.3 ζT 0.9~1.0 所求变量有?，?，T，k，?五种变量对于准稳态紊流，涡量-流函数方程仍适用（以二维为例）

?????????????a?u??（a?v?）???t?S???????x?y?x??x??y??y?

??上式中各项系数的值为：

变量名 aφ Γφ Sφ

?T?Tcosr?sinr?x 涡量 l v＋vt gβ(?y)

流函数 0 1 -ωρ

uu?tP?T 0 温度 ρ ruR 脉动动能 ρ ?+

?K uR?ui?ui?uj(?)????t?xj?xj?xi?g? -ut?T?T?y ut??T?TK?y

耗散率 ρ ???? c1??ui?ui?uj?2ut(?)?c2?K?xj?xj?xiKC3?g? -

虚线部分为自然对流附加项，在强制对流情形应删去，在使用K??模型时的边界条件： 1．入口边界：

入口脉动动能0.5～1.5%平均动能

??CDK34C?Cu,l?ky，入口处K和ε取值对结果影响不大 l 取D32?K???0,?0?x?x2．出口边界：K和ε已充分发展

3．中心域： K和ε在中心域上法向导数为零 固体表面：采用壁面函数法求解 23、 解释裴克定律，等莫尔逆向扩散概念。 裴克定律（浓度梯度?质量迁移）

? 牛顿粘性定律 ：

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????duxdy ???剪切力

? 傅立叶定律

q??kdtdy q??热流通量

? 裴克定律

设容器有某种气体，密度为?，在X方向变化，在分。

在

X?X0处取微元截面，将气体分为a,b两部

b

a

dA

0

X0

x

d?时间内，通过dA面，由a部分迁移到b部分的质量为：

d?dm??D()x.dAd?dx

在单位时间，单位面积内扩散的质量

N??D(d?)x.dx 裴克定律 m2s,d?dx 密度梯度，N扩散密流(mol/m2.s)。

D扩散系数

裴克定律表示：扩散密流与浓度梯度成正比， 引入莫尔浓度（单位体积内物质质量的莫尔数）

???DdnN?莫尔扩散密流dx n莫尔浓度N对于分子扩散有：(mol/m2.s)

等莫尔逆向扩散

研究一封闭容积，混和物由两种气体组成，假设各处压力和温度相同。 组分a和b的莫尔浓度在x方向有变化，由于分子运动，组分a和b发生相互扩散。

由于，在各处压力和温度相同条件下，混和物单位容积中具有相同莫尔数，故，通过任一截面0－0，组分a向右扩散的莫尔扩散密流等于组分b向左扩散的莫尔扩散密流，即等莫尔逆向扩散

1dpa???D组分a的莫尔扩散密流：NaabR0Tdx1dpb???D组分b的莫尔扩散密流：NbbaR0Tdx?p?pa?pb

0 39

a b dpadpb??0dxdx

??N??等莫尔扩散?Nab

x

Dab则

1dpa1dpa?DbaR0TdxR0TdxD?Dab?Dba

??Dpa1?pa2,N??Dpb1?pb2NabRTlR0Tl0积分上式，可得

24、 推导组分微分方程，解释各项意义。

研究组分a和b组成的二元混合物，该混合物因自然或强迫对流而流动。 速度u，v，w分布表示微元中心混和物在x，y，z方向的速度。 对于x方向有：

（由混合物质量密流，得混合物速度）

u?1?(?aua??bub)

?aua 组分a总密流: ?aua?Nax??au

?bub 组分b总密流: ?bub?Nbx??bu

NaxNbx---扩散密流 ---扩散密流

组分a沿x轴通过ABCD面的质量为：

?x??auadzdym

组分a沿x轴通过GFGH面的质量为：

?x?dx??auadydz?m?(?auadydz)dx?x

ABCD面和GFGH面两个面上质量差， 即流出净质量：

?x??dm?(?aua)dxdydz?x

?(?aua)dxdydz?y

?y??dm同理：

?z??dm?(?aua)dxdydz?z40

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