考试必备-湖北黄冈-高中数学竞赛预赛试题及6份合集-含答案

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）

姓名： 班级 ： 分数 ：

一、 填空题（本题满分56分，每小题7分。） 1 已知复数m满足m?①

11?1，则m2008?2009? mm①

2 设f(x)?①

①

??13cos2x?sinxcosx?2，x?[?,]，则f(x)的值域为

6422SS1S2,,?,15中最大a1a2a15

3 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S15?0,S16?0，则

①

的是

①

4 已知O是锐角△ABC的外心，AB?6,AC?10，若AO?xAB?yAC，且

①

2x?10y?5，则cos?BAC?

①

5 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是

①

棱A1D1和CC1的中点 则四面体O?MNB1的体积为

①

①

6 设A?B?C?{1,2,3,4,5,6}，且A?B?{1,2}，{1,2,3,4}?B?C，则符合条件

①

的(A,B,C)共有 组 （注：A,B,C顺序不同视为不同组 ）

①

①

7

①

①

设y?sinx?cosx?tanx?cotx?secx?cscx，则|y|的最小值为

8 设p是给定的正偶数，集合Ap?{x|2?x?2①

①

pp?1,x?3m,m?N}的所有元素的

和是

二、 解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）

9 设数列{an}(n?0)满足a1?2，am?n?am?n?m?n?①

1(a2m?a2n)，其中2m,n?N,m?n

①

（1）证明：对一切n?N，有an?2?2an?1?an?2；

（2）证明：

111?????1 a1a2a2009①

①

10 求不定方程x1?x2?x3?3x4?3x5?5x6?21的正整数解的组数

①

11 已知抛物线C：y?①

12x与直线l：y?kx?1没有公共点，设点P为直线l上的动2①

点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点

(1)证明：直线AB恒过定点Q；

12 设a,b,c,d为正实数，且a?b?c?d?4 证明：

①

①

a2b2c2d2????4?(a?b)2 bcda①

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）

参考答案

一、 填空题（本题满分56分，每小题7分。） 1 已知复数m满足m?①

11?1，则m2008?2009? 0 mm①

2 设f(x)?①

??13cos2x?sinxcosx?2，x?[?,]，则f(x)的值域为

64223[2,2]4①

3 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S15?0,S16?0，则

①

SS1S2,,?,15中最大a1a2a15的是

S8a8①

①

4 已知O是锐角△ABC的外心，AB?6,AC?10，若AO?xAB?yAC，且

2x?10y?5，则cos?BAC?13①

5 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是

①

棱A1D1和CC1的中点 则四面体O?MNB1的体积为

①

748①

6 设A?B?C?{1,2,3,4,5,6}，且A?B?{1,2}，{1,2,3,4}?B?C，则符合条件

①

的(A,B,C)共有 1600 组 （注：A,B,C顺序不同视为不同组 ）

①

①

7

①

设y?sinx?cosx?tanx?cotx?secx?cscx，则|y|的最小值为

2①

2?1①

pp?18 设p是给定的正偶数，集合Ap?{x|2?x?2,x?3m,m?N}的所有元素的

2p?1?2p?1和是2①

二、 解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12

题20分。）

9 设数列{an}(n?0)满足a1?2，am?n?am?n?m?n?①

1(a2m?a2n)，其中2m,n?N,m?n

①

（1）证明：对一切n?N，有an?2?2an?1?an?2； （2）证明：

111?????1 a1a2a2009①

证明 （1）在已知关系式am?n?am?n?m?n?1(a2m?a2n)中，令m?n，可得2a0?0；

令n?0，可得

a2m?4am?2m ①

令m?n?2，可得

a2n?2?a2?2?1(a2n?4?a2n) ② 2由①得a2n?2?4an?1?2(n?1)，a2?4a1?2?6，a2n?4?4an?2?2(n?2)，

a2n?4an?2n，

代入②，化简得an?2?2an?1?an?2? ------------------------------------------7分 （2）由an?2?2an?1?an?2，得(an?2?an?1)?(an?1?an)?2，故数列{an?1?an}是首项为a1?a0?2，公差为2的等差数列，因此an?1?an?2n?2

①

于是an??(ak?1nk?ak?1)?a0??(2k)?0?n(n?1)

①

nk?1因为

1111???(n?1)，所以 ann(n?1)nn?1①

111111111?????(1?)?(?)???(?)?1??1 a1a2a2009223200920102010 ------------------------------14分

10 求不定方程x1?x2?x3?3x4?3x5?5x6?21的正整数解的组数

①

①

解 令x1?x2?x3?x，x4?x5?y，x6?z，则x?3,y?2,z?1

①

先考虑不定方程x?3y?5z?21满足x?3,y?2,z?1的正整数解

①

?x?3,y?2,z?1，?5z?21?x?3y?12，?1?z?2 -----------------------5分

①

当z?1时，有x?3y?16，此方程满足x?3,y?2的正整数解为

(x,y)?(10,2),(7,3),(4,4)

①

当z?2时，有x?3y?11，此方程满足x?3,y?2的正整数解为(x,y)?(5,2)

①

所以不定方程x?3y?5z?21满足x?3,y?2,z?1的正整数解为

(x,y,z)?(10,2,1),(7,3,1),(4,4,1),(5,2,2)?---------------------------------------10分

又方程x1?x2?x3?x(x?N,x?3)的正整数解的组数为Cx?1，方程

2x4?x5?y(y?N,x?2)的正整数解的组数为C1y?1，故由分步计数原理知，原不定方程

的正整数解的组数为

2121211C9C1?C6C2?C3C3?C24C1?36?30?9?6?81? -------------------------------15分

11 已知抛物线C：y?①

12x与直线l：y?kx?1没有公共点，设点P为直线l上的动2①

点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点

(1)证明：直线AB恒过定点Q；

(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：

PMPN?QMQN①

证明 (1)设A(x1,y1)，则y1?由y?12x1 2①

①

12x得y??x，所以y?|x?x1?x1 2①

于是抛物线C在A点处的切线方程为y?y1?x1(x?x1)，即y?x1x?y1 设P(x0,kx0?1)，则有kx0?1?x0x1?y1

①

设B(x2,y2)，同理有kx0?1?x0x2?y2

①

所以AB的方程为kx0?1?x0x?y，即x0(x?k)?(y?1)?0，

所以直线AB恒过定点Q(k,1)? ------------------------------------------7分 (2)PQ的方程为y?1kx0?2(x?k)?1，与抛物线方程y?x2联立，消去y，得

2x0?k2kx0?4(2k2?2)x0?2kx?x??0

x0?kx0?k2①

设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则

2kx0?4(2k2?2)x0?2k ① x3?x4?,x3x4?x0?kx0?k要证

PMPN?QMQN，只需证明

x3?x0k?x3，即 ?x4?x0x4?k2x3x4?(k?x0)(x3?x4)?2kx0?0 ②

由①知，

2(2k2?2)x0?4k2kx0?4②式左边=?(k?x0)?2kx0

x0?kx0?k2(2k2?2)x0?4k?(k?x0)(2kx0?4)?2kx0(x0?k)??0

x0?k①

故②式成立，从而结论成立? ------------------------------------------15分

12 设a,b,c,d为正实数，且a?b?c?d?4 证明：

①

①

a2b2c2d2????4?(a?b)2 bcda①

证明 因为a?b?c?d?4，要证原不等式成立，等价于证明

a2b2c2d24(a?b)2????a?b?c?d? ① ---------------5分 bcdaa?b?c?d事实上，

a2b2c2d2????(a?b?c?d) bcdaa2b2c2d2?(?b?2a)?(?c?2b)?(?d?2c)?(?a?2d)

bcda

?

1111(a?b)2?(b?c)2?(c?d)2?(d?a)2 ②--------------10分 bcda由柯西不等式知

(a?b)2(b?c)2(c?d)2(d?a)2[???](a?b?c?d)

bcda?(|a?b|?|b?c|?|c?d|?|d?a|)2 ③--------------15分

又由|b?c|?|c?d|?|d?a|?|b?a|知

(|a?b|?|b?c|?|c?d|?|d?a|)2?4(a?b)2 ④

由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立?------------------------------------20分

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）

姓名： 班级 ： 分数 ：

一、 填空题（本题满分70分，每小题7分）

xx1 方程9?1?3?5的实数解为

①

①

2 函数y?sinx?cosx(x?R)的单调减区间是

①

①

3 在△ABC中，已知AB?AC?4，AB?BC??12，则AB＝

①

①

4 函数f?x???x?2??x?1?在区间?0,2?上的最大值是 ，最小值是

①

①

25 在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点O、 半径为R的圆与△ABC的边有公共点，

①

其中A??4,0?、 B??6,8?、 C??2,4?，则R的取值范围为

①

6 设函数f?x?的定义域为R，若f?x?1?与f?x?1?都是关于x的奇函数，则函数

①

y?f?x?在区间?0,100?上至少有 个零点?

7 从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意

①

两条线段所在的直线都是异面直线，则n的最大值为

①

8 圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、 银两色中

①

（第7题）

的一种 其中镀2金2银的概率是

①

①

9 在三棱锥A?BCD中，已知?ACB??CBD，?ACD??ADC??BCD??BDC

①

??，且cos??10 已知棱AB的长为62，则此棱锥的体积为 ? 10①

10 设复数列?xn?满足xn?a?1，0，且xn?1?①

axn 若对任意n?N 都有xn?3?xn， xn?1①

①

则a的值是

①

二、 解答题（本题满分80分，每小题20分）

x2?y2?1上的三点 若 11 直角坐标系xOy中，设A、 B、 M是椭圆C:4①

①

34x2OM?OA?OB，证明：线段AB的中点在椭圆?2y2?1上

552①

12 已知整数列?an?满足a3??1，a7?4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次

①

成等比数列

①

(1) 求数列?an?的通项公式；

(2) 求出所有的正整数m，使得am?am?1?am?2?amam?1am?2

①

13 如图，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径，BE?AD，垂足H?

①

过点H作平行于CE的直线，与直线AC、 DC分别交于点F、 G? 证明： (1) 点A、 B、 F、 H共圆； (2) 四边形BFCG是矩形

①

14 求所有正整数x，y，使得x?3y与y?3x都是完全平方数

①

①

22

高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）详细解答

一、 填空题（本题满分70分，每小题7分）

xx1 方程9?1?3?5的实数解为

①

①

提示与答案：x＜0无解; 当x?0时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32

①

2 函数y?sinx?cosx(x?R)的单调减区间是

①

①

提示与答案：与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同， [①

k??k???,?],k?Z? 2422①

3 在△ABC中，已知AB?AC?4，AB?BC??12，则AB＝

提示与答案：AB?AC?AB?BC?AB?16，得AB?4

①

24 函数f?x???x?2??x?1?在区间?0,2?上的最大值是 ，最小值是

①

①

2提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0

①

5 在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点O、 半径为R的圆与△ABC的边有公共点，

①

其中A??4,0?、 B??6,8?、 C??2,4?，则R的取值范围为

①

85

提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B [5，10]

①

①

6 设函数f?x?的定义域为R，若f?x?1?与f?x?1?都是关于x的奇函数，则函数

①

y?f?x?在区间?0,100?上至少有 个零点?

提示与答案：f(2k-1)=0，k∈Z? 又可作一个函数f?x?满足问题中的条件，且f?x?的 一个零点恰为x?2k?1，k∈Z? 所以至少有50个零点? 7 从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意

①

两条线段所在的直线都是异面直线，则n的最大值为

①

提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以

①

①

（第7题）

8 圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、 银两色中的一种 其中

①

镀2金2银的概率是

①

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