高二数学暑假作业

序言

同学们，难得的假期即将来临，在度过愉快暑假的同时不要忘了我们的学习任务，每个知识点要弄清楚，暑假过后以饱满的精神返校 迎接我们的 8月统考 ，考出好成绩。

高二数学备课组

1

三角函数的有关概念（1）

【考点及要求】

1． 掌握任意角的概念，弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．

2． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；会用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦和

正切。

3． 能判断三角函数值的符号．

4． 能用弧长公式解决一些实际问题． 【基础知识】

1．任意角（正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角等）的概念；终边相同的

角定义。 2．把长度等于 的弧所对圆心角叫1弧度角；以弧度作为单位来度量角的单位制叫做 ．1= rad,1rad= ．

3．任意角的三角函数的定义：设?是一个任意角， P(x,y)是?终边上的任一异于原点的点，则

??sin?? ，cos?? ，tan?? ．

4．角?的终边交单圆于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则角?的正弦线用有向线段 表示，余弦线用 表示，正切线呢？

5．sin?的值在第 象限及 为正；cos?在第 象限及 为正值；tan? 在第 象限为正值．

6．弧长= ，即l= ．扇形面积公式= ．

三角函数公式 诱导公式

sin（－α）=____________ cos（－α）＝__________ tan（－α）＝ ___________ cot（－α）＝_______________ sin（π/2－α）＝____________ cos（π/2－α）＝______________ tan（π/2－α）＝____________ cot（π/2－α）＝______________ sin（π/2＋α）＝______________ cos（π/2＋α）＝______________ tan（π/2＋α）＝_______________ cot（π/2＋α）＝______________ sin（π－α）＝________________ cos（π－α）＝________________ tan（π－α）＝______________ cot（π－α）＝_________________ sin（π＋α）＝______________ cos（π＋α）＝_________________ tan（π＋α）＝_______________ cot（π＋α）＝_______________ sin（3π/2－α）＝_____________ cos（3π/2－α）＝______________ tan（3π/2－α）＝______________ cot（3π/2－α）＝_______________ sin（3π/2＋α）＝_____________ cos（3π/2＋α）＝______________ tan（3π/2＋α）＝_____________ cot（3π/2＋α）＝______________ sin（2π－α）＝______________ cos（2π－α）＝_______________ tan（2π－α）＝______________ cot（2π－α）＝_______________ sin（2kπ＋α）＝_______________ cos（2kπ＋α）＝_______________ tan（2kπ＋α）＝_______________ cot（2kπ＋α）＝_______________ 两角和与差的三角函数公式

2

sin（α＋β）＝_______________ sin（α－β）＝_______________

cos（α＋β）＝_______________ cos（α－β）＝_______________

tan（α＋β）＝_______________

tan（α－β）＝_______________

二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝ _______________

cos2α＝_______________＝_______________＝_______________ tan2α=_______________

【基本训练】

1．?570 = 弧度，是第____象限的角；

03?? 度，与它有相同终边的角的集合为5__________________，在[－2π，0]上的角是_______。

2．已知?是第三象限角，则180???是第_____象限的角.

3．sin1?cos2?tan3的结果是 数 4．已知角?的终边过点P(4,?3),则sina=_______,cosa=_______,tana=_______. 5． 函数y?sinx|cosx|tanx??的值

|sinx|cosx|tanx|

【典型例题讲练】

例1 已知?是第二象限的角,问：(1)2?是第几象限的角？(2) (3)

练习：已知?是第一象限的角，则sin（填正或负）

例2 （1）已知角?的终边过点P(a,?2a)(a?0)，求tan?,sin??cos?；

?2是第几象限的角？

?是第几象限的角？ 3?2cos?2的值是 数（填正或负），cos??sin? 的值是 数

3

（2）已知角?的终边上有一点P(?3,?)(??0)且sin??

练习：已知角?的终边在直线y?2x上,求sina,cosa

【课堂检测】

1．下列各命题正确的是 （ ）

A．终边相同的角一定相等 B．第一象限的角都是锐角 C. 锐角都是第一象限的角 D.小于90的角都是锐角 2．若sin??cos?,且sin??cos??0,则?是第 象限的角

02?，求cos?,tan?． 43．已知角?的终边上一点的坐标为（－4，3），则2sin??cos?的值为 4．已知角?的终边上有一点A(4t,?3t)(t?0),求2sin??cos?的值

三角函数的有关概念（2）

4

【典型例题讲练】

例1如图,??30?,??300?,OM,ON分别是角?,?的终边. (1)求终边落在阴影部分(含边界)的所有角的集合； (2)求终边落在阴影部分且在?0?,360??上的所有角的集合. y M x O N

练习：

（1）终边落在第一象限的角的集合可表示为 ； （2）终边落在X轴上的角的集合可表示为 ； （3）终边落在坐标轴上的角的集合可表示为 ； （4）终边落在直线y=－x 上的角的集合可表示为 。 （5）已知角?的终边上一点的坐标为（sin2?2?3,cos3）,则角?的最小正值为( A.

5?2?6 B.

3 C.5?3 D.11?6

例2 已知一扇形的中心角是?,所在圆的的半径是R . (1)若??75?,R?12cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；

(2)若扇形的周长是一定值C(C?0),当?为多少弧度时,该扇形有最大面积？

练习：已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对弧长是 ( ) A .2 B.sin2

C.

2sin1 D.2sin1

【课堂检测】

5

)

1．已知???6，?的终边与?的终边相同，则β的集合为 ，若β的终边与α的终边

关于直线y=x对称，则β的集合为 。

2．若点P在

2?的终边上，且OP=2，则点P的坐标是（ ， ） 3B.

3．角?为第一或第四象限角的充分必要条件是 ( )

A.

sin??0 tan?sin??0 tan?2 C.

cos??0 tan?D.

cos??0 tan?4．知扇形的周长是6cm，面积是2cm，则扇形的中心角?的弧度数是 ； 当??1时中心角所对的弦长为 ． 【课后作业】：

1．若将时钟拨慢5分钟，则时针转了 _度； 分针转了_ ___弧度；若将时钟拨快5分钟，则时针转了 _度； 分针转了_ ___弧度.

02．若??1690,?与?的终边相同，且?3600＜?＜360，则?= _

03．设?是第二象限角，则点P(sin(cos?),cos(cos?))在第 象限. 4．已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,求该扇形的面积

5．若角β的终边上一点A(-5,m),且tanβ=5,则m= , 并求β的其它三角函数值. 思考题：若tan(cos?)cot(sin?)＞0,试指出?所在象限, 并指出

?所在象限. 2 同角三角函数的基本关系（1）

【考点及要求】

掌握同角三角函数关系的基本关系． 【基础知识】

同角三角函数关系的基本关系式：

（1）平方关系： （?? ）； （2）商数关系： （?? ）； （3）倒数关系： （?? ）； 【基本训练】

1．若sin???0.4（?是第四象限角），则cos? = ,tan?= 2．若sin??cos??2，则sin?cos?? . 5,则sin?? 123．（2007全国卷1）a是第四象限角，tan???4．若0????2，则tan??cot?的最小值为 .

5．若0?2x?2?，则使1?sin22x?cos2x成立的x的取值范围是 （ ）

6

A、(0,?3?5?3) B、(?,?) C、(,?) D、[0,]?[?,?] 444444【典型例题讲练】

1?(sin4x?sin2xcos2x?cos4x)?3sin2x； 例1 化简（1）2sinx（2）

例2已知sin??1?cos?1?cos?（?为第四象限角） ?1?cos?1?cos?m?34?2m?(????)，求 ，cos??m?5m?52（1）m的值 （2）tan?的值

【课堂检测】

1,且tan??0，则sin?的值是 5132．已知tan??,且??(?,?),则sin?的值为___________

22cosx1?sinx?3． 求证： 1?sinxcosx1．已知cos??

同角三角函数的基本关系（2）

7

【典型例题讲练】 例1已知sin?cos??

练习：已知?是三角形的内角，若sin??cos??

例2 已知tan??2,求下列各式的值： (1)

练习：已知tan??求（1）

例3．已知sin?,cos?是方程4x?4mx?2m?1?0的两个根，

练习：已知关于x的方程4x?2(m?1)x?m?0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求m的值．

【课堂检测】：

8

221??,且???求cos?－sin?的值 842122，求sin??2sin?cos??3cos?的值. 52sin??3cos?22；(2) sin?cos? ；（3）2sin??3sin?cos??4cos?

4sin??9cos?2，

cos??sin?22；（2）sin??sin?.cos??2cos?（

cos??sin?3????2?，求角?． 2

已知sin??cos???(0????)，则tan??

【课后作业】：

1．已知sin??cos???155,则sin?cos?? 42．已知关于x的方程2x2?(3?1)x?m?0的两根为sin?和cos?，??(0,?)求

（1） m的值

（2） 方程的两根及此时θ的值 3．化简tan?(cos??sin?)?

sin?(sin??tan?)的结果是

cos??1 正弦、余弦的诱导公式（1）

【考点及要求】

掌握正弦、余弦的诱导公式 【基础知识】 诱导公式：

?(k?Z),???,2???,?? （1）角2k??（2）角

的三角函数值与角?三角函数值的关系分别是什么？口诀为：

?2??,3???的三角函数值与角?三角函数值的关系分别是什么？ 2口诀为： 【基本训练】

1． tan600= = = ；cos(?（2007全国卷2）sin2100 = 。

?17)?= = = ； 32．已知sin(540???)??4，则cos?(?27?0)?＿＿＿；若?为第二象限角，则5[sin(180???)?cos(??360?)]2?＿＿＿＿. ?tan(180??)π1

3．已知sin（π－α）＝log8 ，且α∈(－ ，0)，则tanα的值是

42

4．设f?x??asin??x????bcos??x???，其中a,b,?,?都是非零实数，如果f?2007???1，那么

f?2008?=

【典型例题讲练】

9

例1 化简下列各式

3sin(???)cos(2???)tan(????)??2 （1）化简（1）sin(??)?cos(??)；（2）

cot(????)sin(????)44

ππ

练习： sin2( －x)＋sin2( ＋x)＝ .

36

sin(???)cos(2???)tan(???例2 已知?是第三象限的角，且f(?)?cot(????)sin(???)3?)2

(1) 化简f(?)； (2) 若cos(??3?3)?,求f(?)的值； 25(3) 若???1860?,求f(?)的值

练习：已知cos??

【课堂检测】 1．若sin??1?cot(????)sin(2???),且????0,求 的值 32cos(??)tan?4,且α为第二象限角，则sin?2????? , sin?????? 5sin?????? , sin?2????? ,cos?????? , cos?????? , cos?2????? . 1 ，则sin(2???)? 43．若cos130??a，则tan50?等于 （ ）

2．若cos(????a1?a21?a2（A） (B)? (C) ? (D)

2aa1?a4．已知????2?,cos(??9?)??3，求tan?的值． 5 正弦、余弦的诱导公式（2）

10

【典型例题讲练】 例1 判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)?xsinx （2）g(x)?

练习：（1）f(x)?1?cosx （2）g(x)?sinxcosx?1

例2 函数f(x)?ax?bsinx?1,若f(5)?7,则f(?5)?

练习：函数f(x)?ax2?bcosx?3，若f(?2)?5，则f(2)? 1

例3 已知cos(75°＋α)＝ ，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.

3

例4 已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝

2π

( ＜α＜π)， 32

1?cosx

sinxππ

求sinα－cosα与sin3（ ＋α）＋cos3( ＋α)的值.

22

【课堂检测】

4

1．已知cos(π＋θ)＝－ ，θ是第一象限角，则sin（π＋θ）= ， tanθ= 52．函数f(x)?|sinx|?cosx?3的奇偶性为 3．化简：

1?2sin380?cos380?= 【课后作业】

1． tan300°＋sin450°的值为

2．若α是第三象限角，则1?2sin(???)cos(???)= . 3．若cos165°＝a，则tan195°等于 =

11

tan（－1500）cos（－5700）cos（－11400）tan（－2400）4． ＝ . sin（－6900）

5．已知cos???，α是第二象限角，且sin(???)?1，求cos(2???)的值

13 解三角形 (1)

【考点及要求】

1. 掌握正弦定理、余弦定理；

2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题． 【基础知识】

1．正弦定理： ．

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1） ； （2） ．

2222222．余弦定理：第一形式：b=a?c?2accosB，第二形式：cosB=a?c?b

2ac利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1） ；

（2） ．

3．三角形的面积公式 .

; A?B?C??. 4．△ABC中，a:b:c?sinA:sinB:sinC【基本训练】

1．在△ABC中，“A?B”是“sinA?sinB”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=_______．

3．在△ABC中，AB?4,AC?7,M为BC的中点，且AM?3?5，则BC? . 4．在△ABC中，若tanA?【典型例题讲练】

例1 在ΔABC中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C及边c．

1（a2+b2－c2），则∠C的度数是41?，C?150，BC?1，则AB? 3

1. 变式: 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a?2,则△ABC的面积S=________________

C?πB25，cos?，425例2在ΔABC中，若2cosBsinA?sinC，则ΔABC的形状为 .

12

变式1: ?ABC中若(a2?b2)sin(A?B)?(a2?b2)sinC则?ABC是（ ）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形。

【课堂小结】

利用正弦,余弦定理，可以解决以下几类有关三角形的问题. 【课堂检测】

1．下列条件中，△ABC是锐角三角形的是

????????1A．sinA+cosA= B．AB?BC?0

5C．tanA+tanB+tanC＞0 D．b=3，c=33，B=30°

2．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30△ABC的面积为

03，那么b等于 2A．

1?32?3 B．1+3 C． D．2+3 22

3．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

1”的 2B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解三角形 (2)

【典型例题讲练】

例3在△ABC中 A=45°，B：C = 4：5最大边长为10，求角B、C、外接圆半径及面积S

变式:在△ABC中以知A=30°a、b分别为角A、B对边，且a=4=

13

3b解此三角形 3

例4．△ABC的周长为12， 且sinA·cosB－sinB=sinC－sinA·cosC，则其面积最大值为 。

变式:△ABC三内角A、B、C成等差数列，则cos2A?cos2C的最小值为 。

【课堂检测】

1．△ABC中已知∠A=60°，AB ：AC=8：5，面积为103，则其周长为 。2．△ABC中A：B：C=1：2：3则a：b： c= 。

3．下列条件中，△ABC是锐角三角形的是 （ A．sinA+cosA=1???????5 B．AB?BC??0

C．1?tanAtanB?0 D．b=3，c=33，B=30° 【课后作业】

1. 若a、a+1、a+2为钝角三角形的三边求a的范围

2．在△ABC中，tanAtanB?2c?bb,则?A? .

3. 在△ABC中，已知AC?2，BC?3，cosA??45． （Ⅰ）求sinB的值；

14

）

（Ⅱ）求sin?2B?

?????的值 6?立体几何

知识回顾：

1、异面直线a,b所成角的定义 ． 2．直线与平面所成角?： （1）直线与平面平行或直线在平面内，则?? ． （2）直线与平面垂直，则?? ． （3）直线是平面的斜线，则?定义为

．

3．二面角的概念： ．

4．二面角的平面角： ．

5. 向量的夹角公式： ．

6. 直线的方向向量： ．

7. 平面的法向量： ． 8. 异面直线所成角的范围 直线和平面所成角的范围 二面角的范围

专题一 ——空间几何体

认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；能画出简单空间图形的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型；了解柱锥台球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆）

15

1.右图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何 体的表面积为（ ） A．15?

B．18?

C．22?

D．33?

第一题 第二题

2.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为（A．80 B．60 C．40 D．20

3．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm），

3主视图26侧视图俯视图 则该几何体的体积是 cm3．

4．已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是（ ） A．6?22 B．6?2 C．5?22 D．5?2

2211主视图侧视图11俯视图

16

）

5. 如图，三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1?底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为

A．3 B．23 √ C．22 D．4

A A1 C1

B1

1 1 C B

正（主）视图

2 6、（2010北京理）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为

7、（本小题满分12分） 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视

图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形． （1）求该几何体的体积`V` ； （2）求该几何体的侧面积`S` ．

8、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何于 (A) 12 (B) 4

2 体的体积等56（C）

3（D）

17

2 正（主）视图 2 侧（左）视图

83 34 俯视图

1.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的的体积为 （A）2??3? （B）?

832 2

（C）2??3? 32

2 正（主）视图

2 2 侧（左）视图

俯视图

23（D）4???

32.右图是一个几何体的三视图，则该几何体 的体积为 （ ） A．6

B．8 C．16 D．24

3. 一个多面体的直观图和三视图

（正视图、左视图、俯视图）如图所示， 则三棱锥VC?A1AB的体积为 .

4.若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是 ]

（A）2 （B）1

（C）

5. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为___________.

2 3 （D）

1 342主（正）视图

侧（左）视图

俯视

18

二．探究新知

例1在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、 A′D′的中点

(1)求直线A′C与DE所成的角；

(2)求直线AD与平面B′EDF所成的角； A'B'FD'C'AGD(3)求二面角B′-ED-B的平面角

三．当堂达标

已知 平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩

AF?12AD?a,G是EF的中点， （1）求证平面AGC⊥平面BGC；

（2）求BG与平面AGC所成角正弦值； （3）求二面角B—AC—G的大小

19

BECzDCABFyxGE形，且

四．测评巩固

1.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a,侧棱长为2a

建立适当的坐标系，⑴写出A，B，A1，B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角

2. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点

（1）证明AD⊥D1F；

（2）求AE与D1F所成的角； （3）证明面AED⊥面A1D1F

20

?3. 已知四棱锥P?ABCD的底面是直角梯形，?ABC??BCD?90，AB?BC?PB?PC?2CD，侧面PBC?底面ABCD．

（1）PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论； （2）求二面角P?BD?C的大小； （3）求证：平面PAD⊥平面PAB．

附：历年北京高考试题选----立体几何

（2013北京理）17. (本小题共14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求

BD的值. BC1

21

（2012）16．（本小题共14分）

如图1，在Rt△ABC中，?C?90?，BC?3，AC?6．D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，

DE?2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C?CD，如图2.

（1）求证：AC?平面BCDE； 1（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．

22

（2010）（16）（本小题共14分）

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1. 23

（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

（2009）16．（本小题共14分）

?如图，在三棱锥P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90，AP?BP?AB，PC?AC．

（Ⅰ）求证：PC?AB；

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小；

P

24

A

C

B

（16）（本小题共14分）

如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1；

（II）求证：AC 1//平面CDB1； （III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．

25

线性规划

一、 求线性目标函数的取值范围

例1、 若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是 （ ） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]

二、求可行域的面积

例2、不等式组表示的平面区域的面积为 （ ） A、4 B、1 C、5 D、无穷大

三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

四、求线性目标函数中参数的取值范围

例4、已知x、y满足以下约束条件有无数个，则a的值为 （ ） A、－3 B、3 C、－1 D、1

26

，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解

五、求非线性目标函数的最值

例5、已知x、y满足以下约束条件

是（ ）

A、13，1 B、13，2

，则z=x+y的最大值和最小值分别

22

C、13， D、，

六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范

围是 （ ）

A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3）

导数

类型一 利用导数研究切线问题 导数的几何意义

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)；

(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

1

[例1] (2012年高考安徽卷改编)设函数f(x)＝aex＋aex＋b(a>0)．在点(2，f(2))处的切线方程3

为y＝2x，求a，b的值．

跟踪训练

已知函数f(x)＝x3－x.

(1)求曲线y＝f(x)的过点(1，0)的切线方程；

(2)若过x轴上的点(a，0)可以作曲线y＝f(x)的三条切线，求a的取值范围．

27

类型二 利用导数研究函数的单调性 函数的单调性与导数的关系

在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．

lnx?k[例2] (2012年高考山东卷改编)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数

ex的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间．

28

跟踪训练

1

若函数f(x)＝ln x－2ax2－2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

类型三 利用导数研究函数的极值与最值 1．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤 (1)求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根x0；

(3)检查f′(x)在x＝x0左右的符号；①左正右负?f(x)在x＝x0处取极大值；②左负右正?f(x)在x＝x0处取极小值．

2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)； (2)将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． [例3] (2012年高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值

29

ln x

【押题】 已知f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]，g(x)＝x，其中e是自然常数，a∈R.(1)讨论a＝1时，f(x)的单调性和极值；

1

(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋2；

(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由

考点例析】

题型1：二次函数综合问题

23例1．（2012年高考（北京文））已知函数f(x)?ax?1(a?0),g(x)?x?bx.

(1)若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值； (2)当a?3,b??9时,求函数f(x)?g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值

30

?x?2y?2?例7．（1）（2012高考真题山东理5）已知变量x,y满足约束条件?2x?y?4，则目标函数

?4x?y??1?z?3x?y的取值范围是( )

333[?,6] （B）[?,?1] （C）[?1,6] （D）[?6,]22 （A）2

例8．（1）（2012高考真题陕西理13）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4

米，水位下降1米后，水面宽 米题型6：导数问题

.

例9．（2012高考真题重庆理8）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f,(x)，且函数y?(1?x)f'(x)的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

（A）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) （B）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) （C）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) （D）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2)

31

圆锥曲线专题训练

一、高考重点：1、求解圆锥曲线方程； 2、求解圆锥曲线性质；

3、求解直线与圆锥曲线的位置关系和相交时产生的弦长； 4、求解目标函数在区域内的最值； 5、求解在一定条件下的直线方程。 二、重点知识：1、圆锥曲线定义和方程。

2、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法； 3、直线方程的种类；

4、圆的方程，直线与圆的位置关系的判定方法。 三、重点题目：

（一）选择填空题：

?x?y?5?0,?1．已知实数x,y,z满足?x?3,则目标函数z?2x?4y的最小值为 ．

?x?y?0,?2． 双曲线4x2?y2?1的离心率为 （ ）

A．

5 2

B．5

C．25 D．

1 2x2y23．已知双曲线C1:2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，准线与双

ab曲线C1的左准线重合，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2?F1F2，则双曲线C1的离心率为

（ ）

23 D．22 34．P(1,－2)在直线l上的射影为Q(－1,1)，则直线l的方程是 .

A．2

B．3

C．

??x?y?3,225.已知x、y满足约束条件?y?1,，则z?x?y的最小值为 ．

??x?1x2y26．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线方程为y?2x，则双曲线的离心率e的值

ab为 .

?x?y?4?0,?7．实数x,y满足下列条件：?x?2y?2?0, 则z?x?y的最大值为 ．

?x?0,y?0.? 32

x2y22

8、设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心率等于

ab（A）3 （B）2 （C）5 （D）6高考资源网高考资源网x2y2x2y2??1的准线过椭圆?2?1的焦点，9、.已知双曲线则直线y?kx?2与椭圆至多有一个交点的224b充要条件是

A. K???,? B. K????,??222?11?????1??1?,???? ???2????22?2??2,C. K???? D. K?????,?2???2,???? 22??????

（二）、解答题研究：

1、2009北京19．（本小题共14分）

x2y23已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x?

ab3（I）求双曲线C的方程；

2、

x2y22?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率e?已知椭圆2?，右准线方程为x?2。

ab2（I）求椭圆的标准方程；

33

3、2009天津（21）（本小题满分14分）

x2y2a2 以知椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点分别为F过点E(,0)的直1(?c,0)和F2(c,0)(c?0)，

abc线与椭圆相交与A,B两点，且F1A//F2B,F1A?2F2B。 （1） 求椭圆的离心率；

（2） 求直线AB的斜率；

w.w.w..s.5.u.c.o.m w.w.w..s.5.u.c.o.m

4、2009宁夏（20）（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

34

5、（21）（本小题满分12分）

x2y23 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B粮

ab3店，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 （I）求a，b的值；

专题训练： 1、若点A.

到直线

的距离比它到点

C.

的距离小2，则点

D.

的轨迹方程为（ ）

22w.w.w..s.5.u.c.o.m

B.

2、若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为（ ）

A．-2或2 B． C．2或0 D．-2或0

x2y2

3、设F1、F2为曲线C1： 6+ 2=1的焦点，P是曲线积为（ ） 1

(A) 4 (B) 1 4、经过抛物线A.C.

35

：与C1的一个交点，则△PF1F2的面

(C) (D) 2

的直线的方程是（ ）

的焦点且平行于直线 B. D.

5、若抛物线

A．

的焦点与椭圆的右焦点重合，则 D．

的值为（ ）

B． C．

6、过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且

|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）

A． B．

C． D．

7、以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（ ）

A． B. C. D.

8、已知双曲线

离心率等于( )

的中心在原点, 右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的

A. B. C. D.

二、解答题

1、已知椭圆其中圆心P的坐标为

．

的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，

(1) 若椭圆的离心率（2）若

，求的方程； 上，求椭圆的方程．

的圆心在直线

36

2、椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为 （1）求椭圆的方程； （2）是否存在斜率

的直线：

，右焦点与点的距离为。

，使直线与椭圆相交于不同的两点

；若不存在，说明理由。

满足

，若存在，求直线的倾斜角

3、已知椭圆的右焦点（如图）.

的方程为

于点

双曲线

，又与交于点

，与椭圆

的两条渐近线为和，过椭圆

作直线，使得的两个交点从上到下依次为

(1)当直线的倾斜角为(2)设

，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；

，证明：

为常数.

37

4、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F（c,0）（c>0）的准线（准线方程x=

，过点A的直线与椭圆相交于点P、Q。

,

其中a为长半轴，c为半焦距）与x轴交于点A，

（1） 求椭圆方程； （2） 求椭圆的离心率； （3） 若

，求直线PQ的方程。

5、已知A（－2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足 （1）求点D的轨迹方程；

（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的

距离为

，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程.

38

6、若椭圆轴，⊙M的方程为

过点（-3，2），离心率为，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短

，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B.（Ⅰ）

求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程； （Ⅲ）求

39

的最大值与最小值.

概率

1、 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的 成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过 乙的平均成绩的概率为 （A）

甲 9 8 2 1 0 8 9 乙 3 3 7 9 2749（B）（C）（D） 5510102、中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为

234134114342C1C2C2C14C8C12C164C8C12C164C8C12C164C8C12C16Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． C10C10C10C10404040403、设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6，现有一个10岁的这种动物，

它能活到15岁的概率是( )

3A． 5

3B．

10

2C．

3

27D． 50

4、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相

同的概率为( )

1A． 4

79B．

120

3C．

4

23D． 24

5、2009年的2月有28天，1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月均有31天，其余月均有30天，若从12个月中随机抽取3个月，恰有一个月有30天的概率是（ ）

A．

728 B． 2255C．

121 D．

2556、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、3、…、18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出

的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ）

1111A． B． C． D． 5168306408

7、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率 11.在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为 。

8、三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为 。

9、某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为

16，则该队员每次罚球的命中率为____________. 25

10、某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答

题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。 11、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __.

40

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