高中数学3.2.1几个常用函数导数教学案新人教版选修1-1

3.2.1几个常用函数导数

课前预习学案

（预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处）

复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为

复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量y ?=

（2）求平均变化率y x

?=? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x

y x ??→?0lim =

上课学案

学习目标1记住四个公式，会公式的证明过程；

2.学会利用公式，求一些函数的导数；

3.知道变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.

学习重难点：会利用公式求函数导数，公式的证明过程 学习过程

合作探究

探究任务一：函数()y f x c ==的导数.

问题：如何求函数()y f x c ==的导数

新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.

试试： 求函数()y f x x ==的导数

反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？

（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？ 典型例题

例1 求函数1()y f x x

==的导数 解析：因为11()()y f x x f x x x x x x x

-?+?-+?==??? 2()1()x x x x x x x x x x

-+?==-+??+?? 所以220011lim lim ()x x y y x

?→?→?'==-=-?

例2 求函数2()y f x x ==的导数

解析：因为22

()()()y f x x f x x x x x x x

?+?-+?-==??? 222

2()2x x x x x x x x

+?+?-==+?? 所以00

lim

lim (2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=? 2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．

有效训练

练1. 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.

练2. 求函数()y f x =

反思总结 1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .

2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.

当堂检测

1.()0f x =的导数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．不存在

D ．不确定

2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）

A ．0

B ．2x

C ．6

D ．9

3. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4

π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)24

4. 过曲线1y x

=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .

课后练习学案

1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.

2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为()5000.834t A t =?，问氡气的散发速度是多少？

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：王延华 审稿人：张林

3.2.1几个常用函数导数（教案）

教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；

2、能利用导数公式求简单函数的导数。

教学重难点： 能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用 教学过程：

检查预习情况：见学案

目标展示： 见学案

合作探究：

探究任务一：函数()y f x c ==的导数.

问题：如何求函数()y f x c ==的导数

新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .

若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.

试试： 求函数()y f x x ==的导数

反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .

若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数

定义，求它们的导数.

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？

（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？

典型例题

1．函数()y f x c ==的导数

根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===???

所以00

lim lim 00x x y y ?→?→?'=== c 0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．

若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数()y f x x ==的导数

因为()()1y f x x f x x x x x x x

?+?-+?-===??? 所以00

lim lim 11x x y y ?→?→?'=== 函数1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数2()y f x x ==的导数

因为22

()()()y f x x f x x x x x x x

?+?-+?-==??? 222

2()2x x x x x x x x

+?+?-==+?? 所以00

lim lim (2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=?

2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x

=增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速

运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．

4．函数1()y f x x

==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x

-?+?-+?==??? 2()1()x x x x x x x x x x

-+?==-+??+?? 所以220011lim lim ()x x y y x

?→

?→?'==-=

-? 5．函数y =

6推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=

反思总结

1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .

2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.

当堂检测

1.()0f x =的导数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．不存在

D ．不确定

2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）

A ．0

B ．2x

C ．6

D ．9

3. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为

4

π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)24

4. 过曲线1y x

=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .

板书设计 略

作业 略

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