一次函数相关的面积问题2010.11.13

近年经典真题选编,相互交流

一次函数相关的面积问题

画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。

规则图形 （公式法） 不规则图形 （切割法）

不含参数问题

含参数问题 （用参数表示点坐标，转化成线段） 注意：坐标的正负、线段的非负性。

求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来（通过对图像的观察，确定底和高），然后根据面积公式，建立等式。

一、利用面积求解析式

1、直线y 2x b与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b=________. （分类讨论）

由于b值符号不确定，所以图形可能两种情况，引出分类讨论。 S

12b

b2 9

S

12

b

2

36

b 36

b 6

2

2、已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 经过原点，与线段AB交于点C，把,△AOB的面积分为2：l两部分，求直线 名的解析式．

由于题目中的哪一部分的面积大，没有交代，引出分类讨论。

A( -3 , 0) B(0 , 3 ) Saob= 9/2 设L: y= kx

S BOC1

12

OB C1D

13S AOB

32

所以

C1D

=1，

C1(-1 , y ) ,代入y=x+3 ， y = 2

所以C1(-1 , 2 ) 同理：C2(-2 , 1)

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3、如图,已知直线PA：y x n(n 0)与x轴交于A,与y轴交于Q,另一条直线y 2x m(m n)与x轴交于B,与直线PA交于P

求: (1)A,B,Q,P四点的坐标(用m或n表示) (2)若AB=2,且S

四边形PQOB=

56

,求两个函数的解析式.

主要练习用字母表示其它的量，建立方程的思想。 两点间的距离公式： AB=

m ( n)

xA xB

或 AB=

yA yB

AB=

xA xB

=2

=2

再根据四边形面积公式建立等式。求解m，n

4、已知直线y x 2与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线

y kx b(k 0)经过点C(1,0)，且把 AOB分成两部分

（1）若 AOB被分成的两部分面积相等，则k和b的值

（2）若 AOB被分成的两部分面积比为1：5，则k和b的值 答案：（1）k 2,b 2（2）①k

5、已知一次函数y

32

x 3的图象与y轴、x轴分别交于点A、B，直线y kx b经过

23

,b

23

②k 2,b 2

OA上的三分之一点D，且交x轴的负半轴于点C，如果S AOB S DOC，求直线y kx b的解析式．

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二、利用解析式求面积

1、直线y kx b过点A（－1，5）和点B(m, 5)且平行于直线y x，O为坐标原点，求 AOB的面积.

2、 如图，所示，一次函数y kx b的图像经过A，B两点，与x轴交于C 求：（1）一次函数的解析式； （2） AOC的面积

3、已知:直线y 2x 4与直线y x 3,它们的交点C的坐标是________,设两直线与x轴分别交于A,B,则SΔABC=_______,设两直线与y轴交于P,Q,则SΔPCQ=_________.

4、一次函数y1 k1x 4与正比例函数y2 k2x的图象都经过(2,-1),则这两个函数的图象与x轴围成的三角形面积是________.

5、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1. (1)求两直线交点C的坐标; (2)求△ABC的面积.

(3)在直线BC上能否找到点P,使得S△APC=6， 若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。

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6、如图，直线y＝-

4

3

与x轴交于点C，求△ABC的面积。

x+4与y轴交于点A，与直线y＝

45

x+

45

交于点B，且直线y＝

45

x+

45

7、已知直线y kx b经过点A（0，6），且平行于直线y 2x. （1）求该函数的解析式，并画出它的图象； （2）如果这条直线经过点P（m，2），求m的值； （3）若O为坐标原点，求直线OP解析式；

（4）求直线y kx b和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。

8、如图,已知直线PA：y x n(n 0)与x轴交于A,与y轴交于Q,另一条直线y 2x m(m n)与x轴交于B,与直线PA交于P

求: (1)A,B,Q,P四点的坐标(用m或n表示)

5

(2)若AB=2,且S四边形PQOB=,求两个函数的解析式.

6

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三、关于面积的函数关系

1、已知点A（x，y）在第一象限内，且x+y=10，点B（4，0），△OAB的面积为S.

（1）求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围，并画出函数的图像； （2）△OAB的面积为6时，求A点的坐标；

2、如图，直线y kx 6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。

（1）求k的值；

（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 27

（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA

8

3、如图,正方形ABCD的边长为4,P为CD边上一点(与点D不重合)。设DP=x， （1）求 APD的面积y关于x的函数关系式； （2）写出函数自变量x的取值范围； （3）画出这个函数的图象

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4、如图(1),在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,点P从A出发, 沿A→B→C→D路线运动,到D停止;点Q从D出发,沿D→C→B→A路线运动,到A停止. 若点P、点Q同时出发,点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,as时点P、点Q 同时改变速度,点P的速度变为bcm/s,

2

点Q的速度变为dcm/s .图(2)是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm)与x(s)的函数关系图象;图(3)是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm2)与x(s)的函数关系图象. (1)参照图(2),求a、b及图(2)中c的值; (2)求d的值;

(3)设点P离开点A的路程为y1(cm),点Q到A还需走的路程为y2(cm), 请分别写出动点P、Q改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x(s)的函数关系式,并求出P、Q 相遇时x的值; (4)当点Q出发_______s时,点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm.

4020

S1(cm2)

40

S2(cm2)

(1)

8

x(秒)

(2)

(3)

x(秒)

5、如图，正方形ABCD的边长为5，P为CD边上一动点，设DP的长为x， ADP的面积为y，y与x之间的函数关系式，及自变量x的取值范围

6、在边长为的正方形ABCD的边BC上，有一点P从B点运动到C点，设PB=x，图形APCD的面积为y，写出y与自变量x的函数关系式，并且在直角坐标系中画出它的图象

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7、如图1，在直角坐标系中，已知点A（6，0），又点B（x，y） 在第一象限内，且x+y=8，设△AOB的面积是S．（1）写出S与x之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2）画出图象．

（1） (2)

8．如图，直线l1过A（0，2），B（2，0）两点，直线l2：y mx b过点（－1，0），且把 AOB分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S，求S关

于m的函数解析式，及自变量m的取值范围。

9、在直角坐标系中，有以A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1，1）为顶点的正方形，设此正方形在折线y=|x－a|＋a上侧部分的面积为S，画出图形并写出S关于a 的函数关系式。

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10、在平面直角坐标系中，点A（4，0），点P（x，y）是直线y

12

x 3在第一象限的

一点．

（1）设△OAP的面积为S，用含x的解析式表示S，并写出自变量取值范围． （2）在直线y

1

2

（3）若第（2x 3求一点Q，使△OAQ是以OA为底的等腰三角形．

四、通过面积求参数的值或范围

1、已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.

(1)求两直线交点C的坐标;(2)求△ABC的面积. (3)在直线BC上能否找到点P,使得S△APC=6， 若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。

2、已知：如下图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，3）、B（

2，-2）、C（6，-4），求△ABC的面积.

x

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(08西城二模)如图，函数y x 4的图象分别交x轴，yN、M，过MN上的两点A、B分别向x 轴作垂线与x轴 交于A1（x1,0）），B1(x2,0)，(A1在B1的左边),若OA1 OB1 4(1) 分别用含x1、x2的代数式表示 OA1A的面积S1与 OB1B(2) 请判断 OA1A的面积S1与 OB1B的面积S2

解:设A（x1,y1），B（x2,y2），则y1 x1 4,y2 x2 4. (1)S1

S2

12

12

OA1 A1A

12

x1( x1 4) 12

12

x1 2x1. 12

x2 2x2.-------------------2分.

22

x

OB1 B1B x2( x2 4)

(2)有S1 S2.----------------------------------3分. 理由如下:S1 S2 =

12

12

(x1 x2) 2(x1 x2)

2

2

(x1 x2)(x1 x2 4).---------------------5分.

由题意知,x1 x2,且x1 x2 4. 所以,x1 x2 0,x1 x2 4 0.

可得 S1 S2 0,即S1 S2.-----------------------------------6分.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0fs4.html