复合材料力学

第九章 复合材料力学

材料力学的任务是研究均匀、各向同性材料在外力作用下的变形、受力和破坏的规律。为合理设计构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。自20世纪40年代开始，现代复合材料得到了飞速发展，这种由两种或两种以上组分材料复合而成的多相材料，其物理、化学、力学等性能，满足了任何单一材料都难以满足的性能要求。然而，这种复合材料在外力作用下的变形、受力和破坏的规律已不同于像传统金属材料那样的规律，因此复合材料力学就是研究这种新型的材料在外力作用下的变形、受力和破坏规律，为合理设计复合材料构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。

本章介绍的复合材料力学是以纤维和塑料组成的纤维增强复合材料为主要对象的，主要介绍连续纤维增强复合材料在外力作用下的变形、受力和破坏的规律。

9.1 各向异性体弹性力学基础

传统的金属材料一般看作是各向同性体，通常在弹性范围内研究其变形和受力采用的是各向同性体弹性力学。然而纤维增强复合材料最常用的是层合板结构形式，即由纤维和基体组成一种铺层（或称单层），并以不同方向层合而成一种多向层合板（如果同一种铺层都处于同一方向称为单向层合板）。这种层合板成为复合材料结构件的基本单元，而铺层是层合板的基本单元。因此本章介绍复合材料的刚度与强度，是从介绍铺层的刚度与强度开始，然后介绍多向层合板的刚度和强度。

铺层是由无纬布或交织布经预浸胶处理并按实际结构件的形状及构成多向层合板所规定的方向进行铺设，然后加温（或常温）固化制成。所以铺层、层合板和复合材料结构件是一次完成的一般的铺层（无论是无纬布或交织布形成的）是正交各向异性的，即具有两个相互垂直的弹性对称面。因此复合材料不同于金属材料，它具有各向异性的弹性特性，为此首先要对各向异性体弹性力学作一简要介绍。

各向异性体弹性力学与各向同性体弹性力学的主要差别，仅在于应力-应变关系的不同，而解决弹性力学问题还需涉及的平衡方程、几何方程、协调方程和边界条件等，则完全相同。这是由于在这里，假设铺层也是连续的、均匀的（不考虑铺层组分材料各自的性能差别及其相互作用，而将两相材料的影响反映在平均的表观性能上）、线弹性的和小变形的。所以，本节只对各向异性体弹性力学的应力-应变关系作简单的介绍。

9.1.1 各向异性体的应力-应变关系 9.1.1.1 一般情况

一般情况下，均匀连续体中的任意一点所取出的单元体具有图9-1所示的三维应力状态。一点的应力状态由6 个应力分量所确定，而同一点附近的变形状态由6个应变分童所确定。由于将铺层看作是均匀的、连续的，且在线弹性、小变形情况下，应力与应变可以取如下线性关系式，称为应变-应力关系式为

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或改写成应力-应变关系式为

式（9-1）和式（9-2）可分别简写成

或分别简写成张量形式为

其中Sij称为柔量分量，Cij称为模量分量。

显然，模量分量构成的矩阵与柔量分量构成的矩阵是互逆的，即

模量分量与柔量分量称为弹性系数。各向异性体的弹性系数共有36个。实际上，独立的弹性系数只有21个，因为模量或柔量存在对称性，即

Cij?Cji Sij?Sji （9-8）

下面给予简要的说明。 根据线弹性假设，各向异性弹性体在受到应力而引起应变时，所储存的单位体积的弹性应变能w为

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这是用应变分量来表示的单位体积的弹性应变能，是?i的单值连续函数，则dw为w的全微分可表达为

另一方面，单位体积上的应力?1，?2，?，?6在应变?1，?2，?，?6有微小变化d?1，d?2，?，d?6时，则此单位体积的应变能增量dw为

将式（9-10）与式（9-11）比较，可得

????1 ??1

于是由式（9-2）得

由式（9-13）对不同的应变再取一次导数，得

一般来说，

因为函数对两个变量求导时，与求导的次序无关，即

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所以，

同理也可证明，

可见模量分量和柔量分量的矩阵都是对称的，也就是说，独立的弹性系数实际只有21个。

当铺层在任意坐标系卿：下时（如图9-2所示），其应力应变关系即为此情况。

9.1.1.2 有一弹性对称面情况 当xoy面为弹性对称面时，将垂直于弹性对称面的方向称为材料主方向，或称为弹性主轴，此时z轴即为弹性主轴。在存在一个弹性主轴的情况下，利用弹性主轴方向改变弹性性能不变的原理可以证明式（9-1）和式（9-2) 中的下列系数为零

因而得到有一弹性对称面情况的应力-应变关系式为

或应变-应力关系式为

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式（9-16）和式（9-17）中，独立的弹性系数减少为13个。

当铺层面为xoy坐标面．坐标z轴为垂直于铺层面的坐标时，则xoy平面为弹性对称面，z轴为弹性主轴时（如图9-3),其应力-应变关系即为此情况。

9.1.1.3 正交各向异性的情况

正交各向异性系指有三个互相垂直的弹性对称面（可以证明，具有两个互相垂直的弹性对称面必存在另一个与之垂直的弹性对称面），也即有三个互相垂直的弹性主轴．同样利用弹性主轴方向改变弹性性能不变的原理可以证明式（9-16）和式（9-17）中的下列系数为零

由于垂直于弹性对称面的方向为材料主方向，本节情况的坐标也正好设在三个材料主方向上，根据一般的习惯，材料主方向采用l,2 , 3，故改用坐标系1 ,2 , 3 ,弹性系数的上方也不加“-”，故得正交各向异性悄况的应力应变关系式如下：

或应变-应力关系式为

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式（9-20）和式（9-21）中，独立的弹性系数减少为9个。

当铺层的三个相互垂直的材料主方向以1,2,3为坐标时（如图9-4 所示），其应力一应变关系即为此情况。

9.1.1.4 横向各向同性的情况

若2-3坐标面为各向同性面，即在这个平面的一切方向，弹性性能均相同，则称为横向各向同性的情况。在此情况下利用在2-3面各向同性时有关弹性系数之间的关系，可得如下关系

所以横向各向同性情况的应力-应变关系式在式（9-20）的基础上变为

或在式（9-21）的基础上应变-应力关系式变为

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在式（9-24）和式（9-25）中，独立的弹性系数减少为5个。

铺层可以由无纬布或交织布制成的，前面介绍的几种情况，无论是无纬布或交织布形成的铺层都适用。然而横向各向同性情况，一般只适用于无纬铺层的情况，当无纬布铺层的纤维方向为1 方向时，其应力-应变关系即为此情况。

9.1.1.5 各向同性的情况

若为各向同性的情况，在横向各向同性情况基础上可得如下关系

所以各向同性情况的应力-应变关系式在式( 9-24）的基础上变为

或在式（9-25）的基础上应变-应力关系式变为

由连续纤维增强塑料制成的铺层很难成为各向同性的。即使在铺层面内可制成具有各向同性弹性性能的，但垂直于铺层方向的弹性性能一般是不与之相同的。通常，随机分布的非连续纤维增强塑料有可能成为具有各向同性性能的。

9.1.2 各向异性体的工程弹性常数

9.1.2.1工程弹性常数与模量分量、柔量分量之间的关系

上一节讨论各向异性体应力－应变关系时出现的是用模量分量和柔量分量来表达的弹性系数，工程上还常用工程弹性常数来表达。工程弹性常数是由简单试验（即单轴试验和纯剪试验）测得的，他们是简单试验应力－应变关系的系数。所以它们在描述各向异性体材料刚度性能的物理意义上是比较清楚的。

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以正交各向异性情况为例，根据单轴试验和纯剪试验可以确定工程弹性常数与柔量分量之间有如下关系

根据式（9－8）可以得到

若用工程弹性常数来表示柔量分量矩阵，则可写成

由式（9－35)，并考虑到[C]?[S]?1，可得模量分量与工程弹性常数之间有如下关系

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9.1.2.2 工程弹性常数的取位范围

各向异性体材料的工程弹性常数之间的关系是较为复杂的。为了避免用各向同性体材料的工程弹性常数的取值概念简单地套用到各向异性体材料，因此需给出各向异性体材料的取值范围。现仍以正交各向异性情况为例，根据不考虑变形过程中动能和势能的损失，依据能量不灭原理可以推得工程弹性常数的取值范围如下

也有将式（9－37）连同式（9－34）称为正交各向异性体材料的限制条件。

9.1.3 各向异性体弹性系数的转换公式

各向异性体弹性系数的转换公式是指弹性系数在各向异性体处于不同坐标系下所显示的弹性系数之间的关系式。而弹性系数是应力－应变关系式的系数，因此首先要给出应力转换公式和应变转换公式。

9.1.3.1 应力转换公式

如图9-5所示，oxyz为原坐标系，ox'y'z'为新坐标系，两坐标系之间的方向余弦，即各坐标轴之间夹角的弦由表9-1所示。据此， 任何一点的坐标有如下的转换关系。

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根据一点的应力状态和截面法求斜截面上应力的平衡关系，再利用上述坐标转换公式可以推得应力转换公式如下

9.1.3.2 应变转换公式

由于应变是几何量，所以利用几何关系就可推得如下的应变转换公式

9.1.3.3弹性系数的转换方式

利用式（9-39）和式（9-40）可以得到如下的弹性系数的转换公式

?????式中??C?与?S?分别对应于x，y，z坐标系下的模量矩阵和柔量矩阵；?C?’与?S?’分别对应于x’,y’,z’坐标系下的模量矩阵与柔量矩阵，[T]?与[T]?分

??别由式( 9-39）和式（9-40）给出，分别为应力转换矩阵与应变转换矩阵，[T]?T与[T]?T分别为它们各自的转换矩阵。

前已说明，各向异性体弹性力学与各向同性体弹性力学主要差别仅在于应力-应变关系的不同，所以较多地介绍了这方面的内容。至于完整了解各向异性体弹性力学，还要给出平衡方程、几何方程、应变协调方程和边界条件等。考虑到这涉及结构分析，故在第十章再作介绍。

9．2 复合材料的刚度

本节介绍复合材料的刚度是指铺层的刚度和层合板的刚度。由于层合板的刚度是在已知铺层刚度的基础上分析的，因此先介绍铺层刚度后叙述层合板刚度。

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