2015年上海各区二模数学卷88页

2015年上海二模数学卷

数学试卷(文理合卷)

(2015年4月21日)

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

(x?2)01．函数f(x)?lg(x?3)?的定义域是 ．

x?12．函数y?log2(x2?1)的单调递减区间是 ．

3．已知集合A?x|x2?16?0,x?R,B??x|x?3?a,x?R?，若B?A，则正实数a的取值范围是 ．

4．若二次函数y?2x2?(m?2)x?3m2?1是定义域为R的偶函数，则函数

??f(x)?xm?mx?2(x?1,x?R)的反函数f?1(x)= ．

5．已知角?的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点

P??3a,4a?(a?0,a?R)，则cos2?的值是 .

6．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a?b?c?2bcsinA，则 ?A= ．

7．在等差数列?an?中，若a8??3,a10?1，am?9，则正整数m? ． 8．已知点A(?2,3)、B(1,?4)，则直线AB的点法向式方程是 ．

222x2y2?1(a?0)的一个焦点重合，则双曲线的9．已知抛物线y?16x的焦点与双曲线2?a122渐近线方程是 ．

10．已知AB是球O的一条直径，点O1是AB上一点，若OO1?4，平面?过点O1且垂直

AB，截得圆O1，当圆O1的面积为9?时，则球O的表面积是 ．

11．若二次函数y?f(x)对一切x?R恒有x2?2x?4?f(x)?2x2?4x?5成立，且

f(5)?27，则f(11)? ．

x?3?t,12．(理科)在平面直角坐标系中，直线l：?(t是参数，t?R)，圆?y?3?2t??x?2cos?,(?是参数，??[0,2?)) ，则圆心到直线的距离是 ． C:??y?2?2sin??x?y?3(文科) 设点(x,y)位于线性约束条件?，则目标函数?x?2y?1?0所表示的区域内（含边界）

?y?2x?z?2x?y的最大值是 ．

13．(理科)一个不透明的袋子里装有外形和质地完全一样的5个白球，3个红球，2个黄球，将它们充分混合后，摸得一个白球计2分，摸得一个红球记3分，摸得一个黄球计4分，若

用随机变量?表示随机摸一个球的得分，则随机变量?的数学期望E?的值是 分．

(文科) 一个不透明的袋中装有大小形状质地完全相同的黑球、红球、白球共10个，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是是 ．

2，则从中任意摸出2个球得到至少1个黑球的概率5????????????14．(理科)已知点B(4,0)、C(2,2)，平面直角坐标系上的动点P满足OP???OB???OC(其

中O是坐标原点，且1???a,1???b)，若动点P组成的区域的面积为8，则a?b的最小值是 ．

????????????????????????(文科) 在?ABC中，|AB|=3,|BC|?1，且|AC|cosB=|BC|cosA，则AC?AB的数值

是 ．

二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．在空间中，下列命题正确的是 [答]

( )．

A．若两直线a,b与直线l所成的角相等，那么a∥b

B．空间不同的三点A、B、C确定一个平面

C．如果直线l//平面?且l//平面?，那么?//?

D．若直线a与平面M没有公共点，则直线a//平面M

16．设实数a1,a2,b1,b2均不为0，则“

a1b1?成立”是“关于x的不等式a1x?b1?0与a2b2集

相

同

”

的

a2x?b2?0[答] ( )．

的解

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要

条件

z是z的共轭复数) [答] 17．若复数z同时满足z?z?2i，z?iz，则z? (i是虚数单位，

( )．

A．1?i B．i C．?1?i D． ?1?i

18．已知数列?an?共有5项，满足a1?a2?a3?a4?a5?0，且对任意i、j(1?i?j?5)，有ai?aj仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题： (1)a5?0；(2)4a4?a1；(3)数列?an?是等差数列； (4)集合A?x|x?ai?aj,1?i?j?5中共有9个元素．

??则其中真命题的序号是

[答]( )．

A．(1)、(2)、(3)、(4) B．(1)、(4) C．(2)、(3) D．(1)、(3)、(4) 三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，AA1、C1、B三点的平面截1?3，过A去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD?AC11D1．

(理科)(1) 若AC11的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(2)求点D到平面A1BC1的距离d．

（文科）(1) 求几何体ABCD?AC11D1的体积，并画出该几何体的左视图(AB平行主视图投影所在的平面)；

A1D1C1DABC(2)求异面直线BC1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

第19题图

20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

13 已知函数g(x)?sin2x?函数f(x)与函数g(x)的图像关于原cos2x?1，x?R，

22点对称．

(1)求y?f(x)的解析式；

(2)(理科)求函数f(x)在[0，?]上的单调递增区间． (2)(文科) 当x?[?

21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 有一块铁皮零件，其形状是由边长为40cm的正方形截去一个三角形ABF所得的五边形

ABCDE，其中

??,]时，求函数f(x)的取值范围． 42，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮AF?12cm,BF?10cmDMPN，使得矩形相邻两边分别落在CD,DE上，另一顶点P落在边CB或BA边上．设DM?xcm，矩形DMPN的面积为ycm．

2(1)试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于x的函数解析式， 并写出定义域；

(2)试问如何截取(即x取何值时)，可使得到的矩形DMPN的面积最大？

第21题图 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．

（理科）已知数列?an?满足a1?*1，对任意m、p?N*都有am?p?am?ap． 2(1)求数列?an?(n?N)的递推公式； (2)数列?bn?满足an?bbb1b?22?33????(?1)n?1nn(n?N*)，求通项公式2?12?12?12?1bn；

(3)设cn?2n??bn，问是否存在实数?使得数列?cn?(n?N)是单调递增数列？若存在，

*求出?的取值范围；若不存在，请说明你的理由．

（文科）

已知数列?an?满足a1?2，对任意m、p?N*都有am?p?am?ap． (1)求数列?an?(n?N)的通项公式an；

* (2)数列?bn?满足an?bbb1b+22?33???nn(n?N*)，求数列?bn?的前n项和2?12?12?12?1Bn；

(3)设cn?

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

已知点F，平面直角坐标系上的一个动点P(x,y)满足1(?2,0)、F2(2,0)Bn*n?N，求数列()中最小项的值． c??nn2?????????|PF1|+|PF2|=4．设动点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)点M是曲线C上的任意一点，GH为圆N:(x?3)?y?1的任意一条直径，求??????????MG?MH的取值范围；

22???????? (3)（理科）已知点A、B是曲线C上的两个动点，若OA?OB(O是坐标原点)，试证

明：直线AB与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．

????????（文科）已知点A、B是曲线C上的两个动点，若OA?OB(O是坐标原点)，试证明：

原点O到直线AB的距离是定值．

当n?1时，a1?于是，bn??b1?b1?6． 2?1 (n?1)?6，?22n?1?2. (n?2,n?N)n?1*

当n?1时，B1?b1?6； 当n?2时，

Bn?b1?b2?b3???bn =6+(22?2?1+22?3?1+22?4?1+?+22?n?1)+(22?1+23?1+24?1+?+2n?1)23(1?4n?1)2(1?2n?1) =6+?1?41?224 =?4n?2n?.332114又n?1时，Bn??4?2??6，

332n4n* 综上，有Bn??4?2?，n?N.

33B1Bn?3， (3)?cn?n，c1?1222n41* ∴cn??2??n?1，n?N．

3322n41241?2??n?1?(?n?12??n?1?1)332332

21 =(2n?1?n?1)?0(n?2).32?cn?cn?1? ∴数列?cn?(n?N)是单调递增数列，即数列?cn?中数值最小的项是c1，其值为3．

*

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

解(1)依据题意，动点P(x,y)满足(x?2)?y?(x?2)?y?4.

又|F1F2|?22?4，

因此，动点P(x,y)的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且?2222??2a?4,?b?2．

??2c?22x2y2??1． 所以，所求曲线C的轨迹方程是42(2)

设M(x0,y0)是曲线C上任一点．依据题意，可得

?????????????????????????????MG?MN?NG,MH?MN?NH．

?GH是直径， ??????????????NH??NG．又|NG|=1，

?????????????????????????????MG?MH=(MN?NG)?(MN?GH)?????????????????? =(MN?NG)?(MN?NG)

????????? =|MN|2?|NG|2.?????2 ?|MN|?(x0?3)2?(y0?0)2

＝

1(x0?6)2?7． 2x2y2 由??1，可得?2?x?2，即?2?x0?2．

42???2?? ?1?M|N|?，205?????2????2 4 ?M|N?|N|G．? | 2???????????????????? ?MG?M的取值范围是H0?MG?MH?24．

?????2(另解1?MN|?||O|M?|O|?N||M?|N：结合椭圆和圆的位置关系，有25|O?(|当且仅当MONM、N、O共线时，等号成立)，于是有

1?|MN|?5．)

（理科）

(3)证明 因A、B是曲线C上满足OA?OB的两个动点，由曲线C关于原点对称，可知直线AB也关于原点对称．若直线AB与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证

明原点到直线AB的距离(d)是定值即可．

设|OA|?r1,|OB|?r2，点A(r1cos?,r1sin?)，则 B(r2cos?(?r2?2),?s?in?(?r2?2?))r2(?．s in,cos)2211rr21． 21 利用面积相等，有|OA|?|OB|?|AB|?d，于是d??2211r12?r22?r12r12?cos2?sin2?1?r12cos2?r12sin2??4?2?r2,??1,?142 又A、B两点在曲线C上，故? 可得? ??222222?sin??cos??1.?r2sin??r2cos??1.??2r22?42?4 因此，1?1?3．

r12r224 所以，d?2423，即d为定值． 3322所以，直线AB总与定圆相切，且定圆的方程为：x?y?（文科）

4． 3 (3)证明 设原点到直线AB的距离为d，且A、B是曲线C上满足OA?OB的两个动点．

10若点A在坐标轴上，则点B也在坐标轴上，有

11|OA||OB|?|AB|?d，即22d?aba2?b2?23． 3

20若点A(xA,yA)不在坐标轴上，可设OA:y?kx,OB:y??1x． k4?2?x2y2x?,A2???1,??1?2k 由?4 得? 22?y?kx.?y2?4k.?A?1?2k2??24k2x?,设点B(xB,yB)，同理可得，??B2?k2

??y2?4.B?2?k2?2223(1?k2)1?k1?k22于是，|OA|?2，|OB|?2，|AB|?OA?OB? ．

2221?2k22?k(2?k)(1?2k)利用

1123|OA||OB|?|AB|?d，得d?． 223002可知，总有d?综合1和2323，即原点O到直线AB的距离为定值． 33(方法二：根据曲线C关于原点和坐标轴都对称的特点，以及OA?OB，求出A、B的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)

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上海市2015高三数学二模试卷

一、填空题（每小题4分，共56分）

x1．已知集合A???1,0,a?,B?x1?2?2，若A?B??，则实数a的取值范围是

??2．函数y?cos(x???)?sin?(x?)的最小正周期为 ． ???3．在等差数列{an}中，已知a1?2,a2?a3?13,则a4?a5?a6? ． 4．若tan???2，?是直线y?kx?b的倾斜角，则?= ．（用?的反正切表

示）

5．设(1?2i)z?3?4i（i为虚数单位），则|z|? ．

6．直角坐标系xoy内有点A（2，1），B（0，2），将线段AB绕直线y?1旋转一周，所得到几何体的体积为 ．

??????x?y17.已知平面向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，若a?2,b?3,a?b??6，则1?

x2?y2ax8．设a?0,a?1，行列式D?221301中第3行第2列的代数余子式记作y，函数4?3y?f?x?的反函数经过点?2,1?，则a= ．

9．某学生参加3门课程的考试。假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为

432，,，且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合555格的概率为 ．

x2y210．已知P是椭圆2?2?1(a?b?0)上的一点，F1,F2为椭圆的左、

ab开始 输入n n≤5 Y Tn←－n2＋9n 输出Tn 结束 （第11题图）

N 11右焦点，则的最小值为 ． ?PF1PF211．已知{an}是等差数列，设Tn?a1?a2???an(n?N)．某学生设计了一个求Tn的算法框图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对Tn赋值，则空白处理框中应填入：Tn←____________．

?112．不等式x??a?2?siny对一切非零实数x,y均成立，则实数a的

x范围为

13．平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.定义P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点之间的“直角距离”为d(P,Q)=x1-x2+y1-y2，已知点B(1,0)，点

M

是直线

kx-y+k+3=0(k?1)上的动点，d(B,M)的最小值为 ．

14．当n为正整数时，用N(n)表示n的最大奇因数，如N(3)?3,N(10)?5,?，设

Sn?N(1)?N(2)?N(3)?N(4)???Nn(2??1)Nn，则数列?Sn?Sn?1?(n?2)的前(2n项和的表达式为 ．

二、选择题（每小题5分，共20分）

右平移

????

个单位，可得函数y?g?x?的图象，若y?g?x?在?0,?上为增函数，求w的6w?4?

最大值．

20．已知三棱柱ABC?A,AB?AC,M是1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1?AB?AC?1点P在A1B1上，且满足A（1）证明：PN?AM；CC1的中点，N是BC的中点，1P??A1B1（2）当?取何值时，直线PN与平面ABC所成的角?最大？并求该角的最大值的正切值。

21．近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元。从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。设第n年每件小挂件的生产成本g(n)??????????80元，若玉制产品的销售价格不变，第n年的年利润为万元（今n?1年为第1年）（1）求利润的表达式f(n);（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？

22．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径．（1）已知点P?1,?，求使?PAB?1??2?x2x272?y?1的直径AB所在的直线方程；?y2?1的面积为时，椭圆（2）若过椭圆332中心作斜率为k的直线交椭圆于M,N两点，且椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，若以M为圆心，MF2长度为半径作⊙M，问是否存在定圆⊙R，使得⊙M恒与⊙R相切？若存在，求出⊙R的方程。若不存在，请说明理由。（3）定理：若过圆x?y?1的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值?1．请对上述定理进行推广．说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．

23．已知数列?an?中，a1?0，an?1?一个常数列；

（2）试求a1的取值范围，使得数列?an?是单调增数列；（3）若?an?不为常数列，设

223?an(n?N*)（1）试求a1的值，使数列?an?是2bn?an?1?an(n?N*)，Sn为数列?bn?的前n项和，请你写出a1的一个值， 使得Sn?12恒成立，并说明理由。

1、(0,1) 2、? 3、42 4、??arctan2 5、5 6、

2?2 7、? 338、a?4

37239、 10、 11、n2?9n?40 12、?1,3? 13、2? (k?1) 125ak4n?1?4 14、 15、C 16、D 17、A 18、B

3解：（1）

f(x)?1?cos?x?a?3sin?x?2sin(?x?)?a?16

因为函数f(x)在R上的最大值为2，所以3?a?2故a??1

???????（2）由（1）知：f?x??2sin?wx??，把函数f?x??2sin?wx??的图象向右

6?6???????平移个单位，可得函数y?g(x)?2sin?x又?y?g(x)在?0,?上为增函数，

6w?4?

2???即0?w?2 ?g(x)的周期T?w所以w的最大值为2

解：(1)以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A?xyz则

P A1 B1????1??????????????11?111?PN?(??,,?1),AM??0,1,?.PN?AM?(??)?0??1?1??0,?PN?AM.222?222?C1Ａ Ｍ ?（2）显然平面ABC的一个法向量为n?(0,0则,?????PN?n?????sin??cos?PN,n????????PNn1（*）

125(??)?24B

N Ｃ ???于是问题转化为二次函数求最值，而???0,?，当?最大时，sin?最大，即tan?2??最大(???2除外)，由（*）式：解：（（

2

1））

f(n)?(10?n)?100?(10?n)?8080(n?10)?100n?1000?n?1n?1f(n)?1000?80(n?10)9，故y?1000?80(n?1?)，当n?8时， f(n)最n?1n?1大，最高利润为520万元。 时，(sin?)max?25（1）设直线AB的方程为y?kx，代入椭圆,(tan?)max?2解：

5k?121?k2,AB?2方程得x?， 则d? 21121?kk?k2?3321k?解S?1213k2?k??k2?y??14?7得k??2 故直线AB的方程为132k2?32x 3（2）存在⊙R：(x?2)2?y2?12与⊙M恒相切，圆心N为椭圆的左焦点F1.由椭圆的定义知，MF1?MF2?2a?23?MF1?23?MF2.?两圆相内切。 （3）根据结论的一般性程度给与不同的评分．（问题1-4层）过圆

x2?y2?r2?r?0?的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值?1．

②若过圆?x?a???y?b??r2?r?0?的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值

x2y2③过椭圆2?2?1?a?0,b?0?的一条直径的两个端点与椭圆任意一点（不?1．

ab22同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值

b2?2．④过有心圆锥曲线mx2?ny2?1(mn?0)的一条直径的两个端点与曲线上任a意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积

为定值?m．证明：设曲线上任一直径AB,P为异于A,B的曲线上任一点。 n设A?x1,y1?,B??x1,?y1?,P?x,y?,kAP?my2?y12 ?2????nx?x12y?y1y?y1，因为A,P在曲线上，所,kBP?x?x1x?x1以kAP?kBP解：（1）由an?an?1?(2)

33?an3及an?0,得an?.?a1?时，?an?为常数数列。

222an?1?an=

3?an3?an?1?22?an?an?1?3?an3?an?1?2???22??.?3?an3?an?1??2????0,

22??要使an?1?an对任意正整数n都成立，只须a2?a1?0,?an?1?an与an?an?1同号。即（

333?a1?a1,解得0?a1?.?当0?a1?时，an?1?an对任何正整数n成立。

2223）选择

a1?2时，由（2）的结论知

?Sn?b1?b2???bnan?1?an?0.?a2?a1?a3?a2???an?1?an???a2?a1???a3?a2?????an?1?an??a1?an?1?2?an?1.

又an?2?3?an?1331?an?1,解得an?1?.故Sn?2?an?1?2??

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2015学年高三年级第二次质量调研

数学试卷（文）

考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

21．已知集合A?{x|x|?2,x?R}，B?{xx?1?0,x?R}，则A?B?________．

2．抛物线x2?8y的焦点到准线的距离是______________．

3．若(1?ai)i?2?bi，其中a、b?R，i是虚数单位，则|a?bi|?_________． 4．已知函数g(x)?2x，且有g(a)g(b)?2，若a?0且b?0，则ab的最大值是_______． 5．设等差数列?an?满足a5?11，a12??3，?an?的前n项和Sn的最大值为M，则

lgM=__________．

6．若(a?x)8?a0?a1x?a2x2?...?a8x8（a?R），且a5?56，则a0?a1?a2?...?a8? _______________．

7. 方程sinx?3cosx?0在x?[0,?]上的解为_____________．

?y?0,?8. 设变量x,y满足约束条件?x?y?1?0,则z?2x?y的最大值为_____________．

?x?y?3?0,?

9. 若一个正三棱柱的三视图如图所示， 则这个正三棱柱的表面积为__________．

主视图

左视图

俯视图

10．已知定义在R上的单调函数f(x)的图像经过点A(?3,2)、B(2,?2)，若函数f(x)的

反函数为f?1(x)，则不等式2f?1(x)?1?5的解集为 ．

11. 现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3

张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为____________． 12．已知函数f(x)?x|x?a|?2x，若a?0，关于x的方程f(x)?9有三个不相等的实

数解，则a的取值范围是__________．

13．在平面直角坐标系xOy中，点列A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，?，An(xn,yn)，?，满

1?x?(x?yn),??n?12n足?若A1(1,1)，则lim(|OA1|?|OA2|???|OAn|)?_______．

n???y?1(x?y),n?1nn?2?14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，

得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列

?an?，若an?2015，则n?____________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．在△ABC中，“sinA?

A．充分非必要条件 C．充要条件

??1”是“A?”的??????????????（ ）

62B．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

?16．已知平面直角坐标系内的两个向量a?(1,2)，b?(m,3m?2)，且平面内的任一向

量c都可以唯一的表示成c??a??b(?,?为实数），则实数m的取值范围是（ ） A．(??,2) B．(2,??) C．(??,??) D．(??,2)?(2,??)

????

x2y217．设双曲线2?2?1（a?0，b?0）的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐

ab近线方程为?????????????????????????????（ ） A．y??2x B．y??2x C．y??12x D．y??x

2218．在四棱锥V?ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V?ABCD的体积之比为?????????????????（ ）

A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:3

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

在△ABC中，已知2sin（1）求角C的大小； （2）若角A?

2A?B?cos2C?1，外接圆半径R?2． 2?6，求△ABC面积的大小.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为菱形，PD?平面ABCD，PD?AD?2，?BAD?60?，E、E分别为BC、PA的中点．

（1）求证：ED?平面PAD； P （2）求三棱锥P?DEF的体积．

F

C D

E A

B

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．

某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x（时）的关系为f(x)?与气象有关的参数，且a??0,作M(a)．

（1）令t?x3，x?[0,24)，其中a是?a?2a?x2?14??1?．若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数，并记2??x，x?[0,24)，求t的取值范围； x2?1（2）求M(a)的表达式，并规定当M(a)?2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

x2y2已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的焦距为2，且椭圆C的短轴的一个端点与左、

ab右焦点F1、F2构成等边三角形．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设M为椭圆上C上任意一点，求MF1?MF2的最大值与最小值；

（3）试问在x轴上是否存在一点B，使得对于椭圆上任意一点P，P到B的距离与P到直线x?4的距离之比为定值．若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知函数f(x)?x2?m，其中m?R．定义数列{an}如下：a1?0，

an?1?f(an),n?N*．

（1）当m?1时，求a2，a3，a4的值；

（2）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由；

（3）求证：当m?1*时，总能找到k?N，使得ak?2015． 4

数学试卷（文）参考答案与评分标准

一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）

1．{x?2?x??1或1?x?2} 2．4 3．5 4．

1 42? 8．6 39．24?83 10．(?2,2) 11．544

?9?12．?4,? 13．2?22 14．1030

?2?5．2 6．256 7．x?

二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 15．B 16．D 17．C 18．C

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． （1）由题意，1?cos(A?B)?cos2C?1，

2因为A?B?C??，所以cos(A?B)??cosC，故2cosC?cosC?1?0，??（2分）

解得cosC??1（舍），或cosC?1． ??????（5分） 2

所以，C??3． ??????（6分）

（2）由正弦定理，

c?2R，得sinCcsin?3?4，所以c?4sin?3?23． ???（2分）

a?2R，得a?2， ????（4分）

6sinA?1又B?，所以△ABC的面积S?ac?23． ????（6分）

22因为A?，由

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）连结BD，由已知得△ABD与△BCD都是正三角形，

P

所以，BD?2，DE?BC， ??????（1分） 因为AD∥BC，所以DE?AD，?????（2分） 又PD?平面ABCD，所以PD?DE，??（4分） 因为AD?PD?D，所以DE?平面PAD．?（6分） F （2）因为S?PDF??111S?PDA???22?1，??（2分） 222A

D E B C

且DE?3， ??????????（4分）

所以，VP?DEF?VE?PDF?113． ??????（8分） S?PDF?DE??1?3?33321．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．

（1）当x?0时，t?0； ??????（2分）

2当0?x?24时，因为x?1?2x?0，所以0?x1?， ????????（4分） 2x?12?1?． ??????????????（5分） ??2?x?1??1?（2）当a??0,?时，由（1），令t?2，则t??0,?， ????（1分）

x?1?2??2?3?3a?t?,0?t?a,3??4所以f(x)?g(t)?|t?a|?2a??? ??????（3分）

4?31t?a?,a?t?,?42??1?于是，g(t)在t??0,a?时是关于t的减函数，在t??a,?时是增函数，

?2?351?1??1?因为g(0)?3a?，g???a?，由g(0)?g???2a?，

442?2??2?15?1?所以，当0?a?时，M(a)?g???a?；

44?2?311当?a?时，M(a)?g(0)?3a?，

442即t的取值范围是?0,51?a?,0?a?,??44即M(a)?? ????????????（6分）

311?3a?,?a?.?442?5由M(a)?2，解得0?a?． ????????????（8分）

12?5?所以，当a??0,?时，综合污染指数不超标． ??????????（9分）

?12?

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

（1）已知，c?1，a?2c?2， ????????（2分） 所以b2?a2?c2?3， ??????????????（3分）

x2y2??1． ????????（4分） 所以椭圆的标准方程为43（2）F1(?1,0)，F2(1,0)，设M(x,y)，则MF1?(?1?x,?y)，MF2?(1?x,?y)，

22?2?x?2）， ????????（2分） MF1?MF2?x?y?1（

?x2?12x2y2222??1，所以，MF1?MF2?x?y?1?x?3?因为 1???x?2，?（4分）??434?4?32由0?x2?4，得MF 1?MF2的最大值为，最小值为． ??????????（6分）

（3）假设存在点B(m,0)，设P(x,y)，P到B的距离与P到直线x?4的距离之比为定

(x?m)2?y2值?，则有??， ??????????????????（1分）

|x?4|整理得x2?y2?2mx?m2??2(x?4)2， ??????????????（2分） x2y2?1???1，得???2?x2?(8?2?2m)x?m2?3?16?2?0对任意的x?[?2,2]都由43?4?成立． ????????????????????????（3分）

?1???2?x2?(8?2?2m)x?m2?3?16?2， ?4?22则由F(0)?0得m?3??6??0 ①

22由F(2)?0得m?4m?4?4??0 ②

22由F(?2)?0，得m?4m?4?36??0 ③

1

由①②③解得得??，m?1． ??????????（5分）

2

所以，存在满足条件的点B，B的坐标为(1,0)． ?????????（6分）

令F(x)??

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

2（1）因为m?1，故f(x)?x?1， ????????????（1分）

因为a1?0，所以a2?f(a1)?f(0)?1，????（2分）

a3?f(a2)?f(1)?2， ????（3分） a4?f(a3)?f(2)?5． ????（4分）

（2）解法一：假设存在实数m，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列． 则得到a2?f(0)?m，a3?f(m)?m?m，a4?f?a3??m?m22??2 ?m．?（2分）

因为a2，a3，a4成等差数列，所以2a3?a2?a4， ????3分 所以，2m?m?m?m?m?2??2?2?m，化简得m2m2?2m?1?0，

??解得m?0（舍）,m??1?2． ?????????????（5分）

经检验，此时a2,a3,a4的公差不为0， 所以存在m?1?22，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列． ????（6分）

2方法二：因为a2，a3，a4成等差数列，所以a3?a2?a4?a3，

即a2?m?a2?a3?m?a3， ????????????????（2分） 所以a3?a2??a3?a2??0，即?a3?a2??a3?a2?1??0．

22??因为公差d?0，故a3?a2?0，所以a3?a2?1?0解得m??1?2． ???（5分） 经检验，此时a2，a3，a4的公差不为0． 所以存在m??1?

2，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列． ????（6分）

21??1?1??m?an??an????m???m?, ????（2分）

2??4?4?11又 m?, 所以令t?m??0 ??????????（3分）

44由an?an?1?t，an?1?an?2?t，??，a2?a1?t，

2（3）因为an?1?an?an将上述不等式全部相加得an?a1?(n?1)t，即an?(n?1)t， ???????（5分） 因此要使ak?2015成立，只需(k?1)t?2015， 所以，只要取正整数k?综上，当m?

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20152015?t?2015． ?1，就有ak?(k?1)t?tt1*时，总能找到k?N，使得ak?2015． 4

2015学年高三年级第二次质量调研数学试卷（理）

考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

21．已知集合A?{x|x|?2,x?R}，B?{xx?1?0,x?R}，则A?B?________．

2．抛物线x?8y的焦点到准线的距离是______________．

3．若(1?ai)i?2?bi，其中a、b?R，i是虚数单位，则|a?bi|?_________．

x4．已知函数g(x)?2，若a?0，b?0且g(a)g(b)?2，则ab的取值范围是_______．

25．设等差数列?an?满足a5?11，a12??3，?an?的前n项和Sn的最大值为M，则

lgM=__________．

6．若(a?x)8?a0?a1x?a2x2?...?a8x8（a?R），且a5?56，则a0?a1?a2?...?a8? _______________．

2??an1?17. 已知对任意n?N，向量dn??a?a,?n?14na??都是直线y?x的方向向量，设数列

n??*{an}的前n项和为Sn，若a1?1，则limSn?_____________．

n??8．已知定义在R上的单调函数f(x)的图像经过点A(?3,2)、B(2,?2)，若函数f(x)的反函数为f?1(x)，则不等式2f?1(x?2)?1?5的解集为 ．

9. 已知方程sinx?3cosx?m?1在x?[0,?]上有两个不相等的实数解，则实数m的取 值范围是____________．

10. 随机变量?的分布律如下表所示，其中a，b，c成等差数列，若E??是___________．

0 ?1 1

P

a c b (??x) 11．现有16张不同的卡片,其中红色、

黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________．

1，则D?的值 3x ??xQ?xP?yP,12. 在平面直角坐标系xOy中，点P(xP,yP)和点Q(xQ,yQ)满足?按此

??yQ??xP?yP,规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下，若|OP| ?m，

|OQ|向量OP与OQ的夹角为?，其中O为坐标原点，则msin?的值为____________． 13. 设定义域为R的函数f(x)???|lgx|,x?0,??x?2x,x?0,2若关于x的函数

y?2f2(x)?2bf(x)?1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是____________．

14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，

得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列

?an?，若an?2015，则n?________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．在△ABC中，“sinA?

A．充分非必要条件 C．充要条件

??1”是“A?”的??????????????（ ）

62B．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

?16．已知平面直角坐标系内的两个向量a?(1,2)，b?(m,3m?2)，且平面内的任一向

量c都可以唯一的表示成c??a??b(?,?为实数），则实数m的取值范围是（ ）

A．(??,2)

B．(2,??)

C．(??,??)

D．(??,2)?(2,??)

????17．极坐标方程(??1)(???)?0（??0）表示的图形是??????????（ ）

A．两个圆 B．两条直线

C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线

18．在四棱锥V?ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体AB1CD1的

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

在△ABC中，已知2sin（1）求角C的大小； （2）若角A?

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为菱形，PD?平面ABCD，PD?AD?2，?BAD?60?，E为BC的中点．

2体积与四棱锥V?ABCD的体积之比为?????????????????（ ） A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:3

A?B?cos2C?1，外接圆半径R?2． 2?6，求△ABC面积的大小.

（1）求证：ED?平面PAD；

（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值．

P

D

C

E A

B 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．

某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x（时）的关系为f(x)?与气象有关的参数，且a??0,作M(a)．

（1）令t?x3，x?[0,24)，其中a是?a?2a?x2?14??1?．若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数，并记?2?x，x?[0,24)，求t的取值范围； x2?1（2）求M(a)的表达式，并规定当M(a)?2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

x2y2已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1、F2，点B(0,b)，

ab过点B且与BF2垂直的直线交x轴负半轴于点D，且2F1F2?F2D?0．

（1）求证：△BF1F2是等边三角形；

（2）若过B、D、F2三点的圆恰好与直线l：x?3y?3?0相切，求椭圆C的方程；

（3）设过（2）中椭圆C的右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与C交于P、Q两点，

?M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线，

若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列{an}中，a1?3，a2?5，{an}的前n项和为Sn，且满足 ． Sn?Sn?2?2Sn?1?2n?1（n?3）

（1）试求数列{an}的通项公式；

12n?1（2）令bn?，Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn?；

6an?an?1?1?（3）证明：对任意给定的m??0,?，均存在n0?N?，使得当n?n0时，（2）中的

?6?Tn?m恒成立．

数学试卷（理）参考答案与评分标准

一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）

1．{x?2?x??1或1?x?2} 2．4 3．5 4．?0,5．2 6．256 7．2 8．(0,4) 9．[3?1,1) 10．12．

??1? ?4?5 11．472 91?3? 13．??,?2? 14．1030 2?2?

二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 15．B 16．D 17．C 18．C

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． （1）由题意，1?cos(A?B)?cos2C?1，

2因为A?B?C??，所以cos(A?B)??cosC，故2cosC?cosC?1?0，??（2分）

解得cosC??1（舍），或cosC?所以，C?1． ??????（5分） 2?3． ??????（6分）

（2）由正弦定理，

c?2R，得sinCcsin?3?4，所以c?4sin?3?23． ???（2分）

a?2R，得a?2， ????（4分）

6sinA?1又B?，所以△ABC的面积S?ac?23． ????（6分）

22因为A?，由

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

P （1）连结BD，由已知得△ABD与△BCD都是正三角形，

所以，BD?2，DE?BC， ??????（1分） 因为AD∥BC，所以DE?AD，?????（2分） 又PD?平面ABCD，所以PD?DE，??（4分） 因为AD?PD?D，所以DE?平面PAD．?（6分）

D

（2）以D为原点，DA，DE，DP所在直线

E A 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

B 由（1）知平面PAD的一个法向量为n1?(0,1,0)，

又B(1,3,0)，C(?1,3,0)，P(0,0,2)，E(0,3,0)， 所以CB?(2,0,0)，PE?(0,3,?2)，??（2分） 设平面PBC的一个法向量为n2?(x,y,z)，

?C

??n2?CB?0,?x?0,由?得? ??n2?PE?0,?3y?2z?0,取y?2，则z?3，故n2?(0,2,3)， ????（4分） 设n1与n2的夹角为?，

P z D E y B 227则cos??．????（7分） ??7n1?n21?7n1?n2C A x 所以，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为

27．??（8分） 7（2）解法二（图略）

在平面PAD上，过P作PF∥DA且PF?DA，连结BF，则四边形PCBF是平行四边形，即直线PF是平面PAD与平面PBC的交线．??????（2分） 因为BC?DE，BC?PD，所以BC?平面PDE，故BC?PE，

所以PE?PF，又PD?PF，所以?DPE就是平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角． ????（5分） 在Rt△PDE中，DE?3，PE?PD2?DE2?7，????（6分）

cos?DPE?PD227． ????????（7分） ??PE7727．??（8分） 7所以，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． （1）当x?0时，t?0； ??????（2分）

2当0?x?24时，因为x?1?2x?0，所以0?x1?， ????????（4分） x2?12?1?． ??????????????（5分） ?2??x?1??1?（2）当a??0,?时，由（1），令t?2，则t??0,?， ????（1分）

x?1?2??2?3?3a?t?,0?t?a,3??4所以f(x)?g(t)?|t?a|?2a??? ??????（3分）

4?31t?a?,a?t?,?42??1?于是，g(t)在t??0,a?时是关于t的减函数，在t??a,?时是增函数，

?2?351?1??1?因为g(0)?3a?，g???a?，由g(0)?g???2a?，

442?2??2?15?1?所以，当0?a?时，M(a)?g???a?；

44?2?311当?a?时，M(a)?g(0)?3a?，

44251?a?,0?a?,??44即M(a)?? ????????????（6分）

311?3a?,?a?.?442?5由M(a)?2，解得0?a?． ????????????（8分）

12?5?所以，当a??0,?时，综合污染指数不超标． ??????????（9分）

?12?即t的取值范围是?0,

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

（1）设D(x0,0)（x0?0），由F2(c,0)，B(0,b)，故F2B?(?c,b)，BD?(x0,?b)， 因为F2B?BD，所以?cx0?b2?0， ????（1分）

?b2?b2?x0??，故F2D????c,0?c?，??（2分） c???b2?0，所以，b2?3c2．??（3分） 又F1F2?(2c,0)，故由2F1F2?F2D?0得3c?cb所以，tan?BF2F1??3，?BF2F1?60?，即△BF 1F2是等边三角形．???（4分）

c（2）由（1）知，b?3c，故a?2c，此时，点D的坐标为(?3c,0)，??（1分） 又△BDF2是直角三角形，故其外接圆圆心为F1(?c,0)，半径为2c，????（3分）

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