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小学数学五年级下册教材介绍

根据新颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》，并结合过去十几年教师、学生及社会各界对教材提出的意见和建议，我们对《义务教育课程标准实验教科书数学》（以下简称实验教材）进行了全面而系统的修订，形成了《义务教育教科书数学》。这套教材于2013年3月全部通过国家基础教育课程教材专家工作委员会的审查，并已于2012年秋季开始陆续使用。2015年上半年开始使用修订后的下册教材。

下面对五年级下册教材内容及编排思路的主要变化进行简要介绍。

本册教材包括下面一些内容：观察物体、因数与倍数、长方体和正方体、分数的意义和性质、图形的运动、分数的加法和减法、折线统计图、数学广角和数学综合与实践活动等。其中因数与倍数、长方体和正方体、分数的意义和性质、分数的加法和减法、折线统计图等是本册教材的重点教学内容。

和实验教材相比，有三个单元的内容发生了较大的变化。一是新增了“观察物体（三）”；二是“图形的运动（三）”将原来轴对称和旋转的内容分开，这里编排旋转的变换；三是“折线统计图”将单

式折线统计图和复式折线统计图合并起来编排，不再安排众数的学习。此外，“因数与倍数”中概念的引入方式也进行了调整，综合与实践活动也将原“粉刷墙壁”更换为新的“探索图形”。

在具体编排上，为了更好地体现《义务教育数学课程标准（2011年版）》的理念，真正落实“四基”，发展“四能”，我们在很多内容的编排上作出了一些新的尝试与努力，以期促进学生在数学学习上获得更全面的发展。如在数学思想方法方面，教材除了结合因数与倍数、长方体和正方体、分数的意义和性质、图形的运动、分数的加法和减法、折线统计图等知识，让学生体会、理解和掌握归纳法、符号思想、分类思想、演绎推理思想、转化思想、数形结合思想、模型思想等思想方法外，还安排了“数学广角”的教学内容，引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动让学生体会优化、推理、模型和转化的数学思想方法，体会解决问题策略的多样性及运用优化、转化的方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。在用数学解决问题方面，教材结合分数的加法和减法、长方体和正方体等多个单元，教学用所学的知识解决生活中的简单问题，掌握解决问题的方法和策略。

下面分单元具体说明。

一、观察物体（三）

本单元是在学生经历了从不同角度观察实物和单个立体图形以及几何组合体的学习基础上，进一步学习根据一个或三个方向观察到的

图形拼搭出相应的几何组合体，培养学生的推理能力和空间观念。是在原来习题的基础上新增的内容。

1．合理安排，优化教材知识结构

根据儿童已有的经验及心理发展规律，按从易到难、螺旋上升的编排原则，小学阶段观察物体分三个阶段进行编排。首先，帮助学生从直观观察立体图形，头脑中建立表象，能够根据直观立体图形进行想象；进而，分辨不同方向观察立体图形得到的形状图；进一步，由建立的几何直观进行空间想象，通过逆向推理，根据观察到的形状图还原立体图形。这样按梯度编排，循序渐进地促进学生空间观念的发展，提高学生空间想象能力。

另一方面，本单元的编排也是从易到难，首先例1教学根据从一个方向看到的形状图进行还原，让学生借助空间想象力进行操作，初步经历逆向思考的过程。接下来例2教学根据从三个方向看到的形状图还原几何组合体，利用例1的经验进行操作，进一步培养学生的空间想象力和推理能力。

2．注重动手实践与自主探索，促进学生空间观念的发展

学生在具体的数学活动中，动脑、动手、动口，多种感官协调活动，这样的数学活动有利于学生在相互交流中从多角度去感悟，强化感知和思维，丰富自己的活动经验。本单元的编排，特别注重学生的动手操作和自主探索。由观察到的形状图（平面图形）还原几何组合

体（立体图形）的过程，需要将抽象的空间想象具体化，这就必然要让学生通过动手操作，借助建立的直观表象进行推理，在拼摆小正方体的活动中不断验证、加以完善，探索出拼搭的方法。在操作、想象、推理和交流中促进空间观念的发展。

教学例1，在操作探索中要注意及时引导学生交流，分享经验，充分经历“猜”“搭”“辩”“想”“赏”的过程，积累活动经验，更好地完成后面的探索。教学例2，应允许学生有不同的操作思路。一种是借助例1的经验，先根据一个方向看到的摆，然后再根据其他两个方向不断的调整；一种是借助表象尝试摆出一个立体图性，再验证和调整。并且，三个方向选择的顺序没有规定，学生可以自主探索，通过交流体会最终的摆法。

需要说明的是，本单元所有要摆的立体图性都是组合的小正方体，它们中间是没有分开的，并且都是边和边的拼摆，不涉及错开的情形。教学时，如果学生出现分开摆放的情况，可适当说明。另外，根据三个方向看到的形状图还原，有时候摆法也不是唯一的。

二、因数与倍数

本单元学生开始学习初等数论的知识，主要变化有：因数和倍数的概念改由整数除法算式引出；将2、5的倍数特征合并在一起进行教学，从2、5的倍数的特征到3的倍数的特征，再到质数和合数，用百数表贯穿始终；增加用数的特征解决问题的例题。

在小学阶段，有关因数与倍数的知识是传统的教学内容，它既是小学生应该掌握的重要的基础知识，又是发展小学生逻辑思维的良好素材。但这部分内容概念集中，比较抽象，概念之间的联系紧密，学生理解起来比较困难。并且以往的编排，联系实际的素材不多，学习过程显得比较枯燥。因此，这部分内容向来是小学数学教学的难点。这次因数与倍数的编排除了保留原实验教材的主要特点外，还进行了一些改进。

1．精简理论概念，改进因数、倍数概念的呈现方式

首先是精简了整除的概念。从数学的角度看，在数论中，起始概念之一就是整除。一般地，对于任意整数a、b，都存在整数n、r，使a＝nb＋r（其中r＜b），当r＝0时，我们就说a能被b整除（或b能整除a），a是b的倍数，b是a的因数。可见，整除与倍数、因数，是同一数学事实的两种不同说法，是等价的。从学生角度看，他们已经积累了大量的区分整除与有余数除法的知识经验，对整除的含义有比较清楚的认识，但对使用“谁能被谁整除”“谁能整除谁”的叙述方式却很不适应，容易说错。因此，不出现整除的概念，会使教师感到有些习惯说法要改口，对学生学习并不会产生实质性的影响。

教材不再出现整除的概念，但因数和倍数的概念改由整数除法算式引出。虽然a＝nb＋r（r＜b），与a÷b＝n……r的表示形式是等价的。但对于学生来说，采用乘法的表示形式，容易产生误解，以为因数、倍数是针对整数乘法来说的。比较而言，采用除法的表示形式，

更便于他们感知因数与倍数的本质意义，领悟到这两个概念反映了整数除法中余数为0的情况，有利于避免误解。同时为后面找一个数的因数和倍数作准备。

我们知道，概念的教学需要让学生经历由具体到一般的抽象概括过程。例如，因数与倍数的概念的建立，首先是观察一批除法算式，找出它们的异同，然后在分类的基础上，抽象概括出其中一类具有“商是整数而没有余数”的共同属性。又如，通过一些具体的例子，总结出任何一个数的倍数个数都是无限的等规律性的认识。这些过程，对于学生逐步形成抽象概括与归纳推理能力，都是非常有益的。

其次是精简了分解质因数、互质数等概念。在以往的教材中，求最大公因数、最小公倍数唯一的固定方法就是用短除法分解质因数，因此，分解质因数的概念与短除法以及互质数的概念，一直是必学内容。考虑到学习求最大公因数、最小公倍数主要用于约分、通分，事实上，学生在约分、通分时，实际采用口算，几乎不用短除法。所以，允许学生采用多样的方法求最大公因数和最小公倍数之后，分解质因数就失去了其不可或缺的作用。为了减少这一单元的理论概念，把分解质因数等内容作为补充知识，安排在“你知道吗？”中进行介绍，显然是合理的。

再次是将公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数等内容移后，与约分、通分编排在一起。在以往的教材中，有关“数的整除”的概念集中在一个单元内学习，虽然有利于凸显相关概念之间紧密的逻辑

关系，但也形成了同一单元概念过多、抽象程度过高的现象，学生在学习时经常出现概念混淆、理解困难的问题。实践表明，将其分开编排，能够分散难点，减少教与学的困难，而且也有利于突出知识的应用性。因为约分需要尽快找出分子、分母的公因数，通分需要尽快找出两个分数分母的公倍数，现在的编排，学了就用，便于巩固，有利于提高教学的有效性。

2．充分利用百数表，留给学生更大的探索空间

教材将2、5的倍数特征合并在一起进行教学，从2、5的倍数的特征到3的倍数的特征，再到质数和合数，用百数表贯穿始终，让学生在经历对整数特征探究的过程中能更好地发现规律，理解概念。

编排探究2、5和3的倍数的特征时，教材一概采用百数表，由学生自己圈数，自己生成观察材料，同时减少提示，以放大学生的探究空间。这就有利于学生获得更为丰富的数学探究活动经验。我们知道，2、5的倍数特征仅仅体现在个位数上，比较明显，容易理解，而3的倍数的特征，只看个位数来判定恰恰成了“陷阱”。怎样才能使学生想到转变思路，从只看个位数转向考察各位上的数相加的和？教材通过学生对话的插图，在思维的转折处设问，并针对改变观察角度提出问题，力求“提示”与“留白”恰到好处。教学中可以让学生在学习过程中获得“山穷水尽”与“柳暗花明”的探究体验。

3．增加了用数的特征解决问题

教材新增了研究两数之和的奇偶性的纯数学问题，让学生经历对整数特征探索的过程，特别是合情推理的探索过程，渗透研究数学的科学方法。同时在探究过程中获得数学活动的经验，丰富解决问题的策略。

根据奇数、偶数相加的三种情况，教材提出了三个问题。让学生经历解决问题的全过程：首先，利用算式表征问题理解题意；接下来，通过举例、说理、图示获取结论；最后，通过举例加以验证。事实上，举例、说理、图示三种方法结合使用，可以提高结论的可靠性，增强学生对结论的理解与确信感。

教学中注意让学生经历探究、发现、总结的完整过程。本单元2、5、3的倍数特征，100以内的质数表，以及两数之和的奇偶性等，都是比较典型的适合小学生开展探究学习的课题。教学时，应放手让学生尝试，让他们经历从举例考察到分析综合，从猜想到验证，最后归纳总结的过程，从中积累数学活动的经验。

三、长方体和正方体

长方体、正方体作为最基本的立体图形，是学生从二维空间转向三维空间学习的起始。通过学习，学生能形成关于立体图形研究的基本思路，并迁移应用到以后的立体图形学习中。具体编排上有以下特点。

1．通过观察、操作、推理等方式，让学生经历知识的形成过程

本单元的概念、特征、计算方法等新知的学习，力图让学生通过观察、操作、推理等自主探索获得。如，长方体、正方体的认识，教材通过观察长方体物品、制作长方体框架，讨论得出关于“面、棱、顶点”的特征；体积计算方法的学习，通过用体积为1cm3的正方体摆成不同的长方体，填表观察这一任务，结合长方体体积的意义，探索发现长方体体积与长、宽、高之间的关系，从而总结出长方体体积的计算公式；体积单位间的进率的学习，让学生用不同的方法表达棱长1dm的正方体体积是多少，推理得出1dm3与1000 cm3之间的相等关系。

教学中注意加强学生对基本概念的理解，像表面积的概念、体积的概念，因为这是学习长方体、正方体的表面积计算公式和体积计算公式的核心与基础。例如，学生在理解表面积的概念后，就能自主探究表面积的计算方法。可以是六个面相加，也可以根据长方体的特征，求出其中一组三个面的面积再乘2。从而引导学生理解“（ab+ah+bh）×2”这一公式，不仅仅是乘法分配律的运用，而是图形特征的具体应用。同样，在明确体积的概念基础上，通过小正方体摆出不同形状的长方体，观察、猜测、归纳、推理出长方体的计算公式。运用“每排个数、排数、层数”来解释体积计算公式的算理，获得对求积公式“长×宽×高”的意义理解，使学生知其然，并知其所以然。

同时，教学中要注意为学生今后的学习作好铺垫。如，长方体、正方体的体积、表面积计算教学，可以为圆柱的体积与表面积计算作适当的铺垫。教材将长方体、正方体体积公式沟通为“底面积×高”，

就为圆柱的体积计算作了很好的蕴伏，还能广泛迁移于一般的柱体体积计算中。表面积的计算，除掌握基本公式之外，可以引导学生发现，也可用“侧面积+底面积”的方法来计算，而侧面积可以用“底面周长×高”来计算，这样，就为后面学习圆柱的表面积计算作好了方法沟通的准备。

2．重视空间观念的培养

教材加强了空间观念培养的力度，安排了一些将三维转换为二维、由立体图想象展开图、由立体图想象实物的练习。这些对于发展学生的空间观念都是十分有利的。同时，本单元常用的体积单位、容积单位的教学，不仅要让学生理解单位的意义，更要关注实际大小表象的建立，让学生建立1 cm3、1 dm3、1 m3、1 L、1 mL等具体单位的实际大小观念。

教学中，可以通过活动来加强体验。如，容积与容积单位的教学，可以通过将一瓶矿泉水倒在纸杯中，看看可以倒满几杯，估计几杯水大约是1L等活动，体验500 mL、200 mL、100 mL、1 L的液体大约有多少，建立起实际的观念和表象。

综合与实践：探索图形

在认识长方体和正方体后，教材新编了“探索图形”的综合与实践活动。目的是让学生运用所学过的正方体的特征等知识，探索由小正方体拼成的大正方体中各种涂色小正方体的数量，发现其中蕴含的

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