三角形的内切圆和外接圆

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-- 三角形外接圆半径的求法及应用

方法一:R ＝ab/(2h ）

三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。

AD 是△A ＢＣ的高，ＡE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC=ＡE ·AD ． 证:连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE, 则∠ＡB Ｅ=９0°.

∵∠E ＝∠C, ∠ABE ＝∠ＡDC=90°，

∴Rt △ＡＢE ∽Rt △ＡＤC ，

∴AC AE AD AB ，

∴ ＡB ·AC=AE ·AD

方法二:2R=a/S ｉｎＡ,a 为∠A 的对边

在锐角△A ＢC 中,外接圆半径为R 。求证： 2R=AB/Si ｎC

证：连接AO 并延长交圆于点Ｅ，连接ＢＥ， 则∠ABE=90°.

∴AE ＝AB/ＳinE

∵∠C ＝∠E,Sin Ｃ =S ｉnE

∴ＡE=ＡＢ/Si ｎC

∴2R ＝AB/SinC

若Ｃ为钝角,则S ｉnC ＝Sin （180ｏ-Ｃ)

应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。

例1 已知：如图，在△ABC 中,AC ＝１3,ＢC=１4,AB ＝１5,求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.

分析：作出直径AD,构造Rt △A ＢD.只要求出△ＡＢC 中B Ｃ边上的高AE,用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为Ｅ. 设C Ｅ＝x ， ∵A Ｃ２-CE 2=AE 2=ＡB 2－ＢE 2 ,∴13２-x ２=152-(14-x)2

∴ｘ=５,即CE ＝５，∴AE=1２ R=ab/（2h ）=13x1５/（2x １2)=６５/8 A B

C O

D E

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-- ∴△A ＢC 外接圆⊙O 的半径r

为865. 例 2 已知:在△AB Ｃ中，AB ＝1３，BC ＝12，ＡＣ=5，求△ABC 的外接圆的半径R.

分析:通过判定三角形为直角三角形,易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。

应用二、已知三角形的二边长及其夹角(特殊角)，求外接圆的半径。 例３ 已知:如图,在△ABC 中,ＡC=２，BC=3,∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径R ． 分析：考虑求出角的对边长AB,然后用方法一或方法二解题.

解:作直径AD,连结ＢD.作A Ｅ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA=90°,∠D=∠C=60°， ∠CA Ｅ=∠DAB ＝ 90°－ ６0°=30° CE=21AC=1，AE ＝3，AB ＝√7∴R=AC ·AB/2AE=2x √7/(2x 3)

应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角)，求它的外接圆的半径。

用方法二

例4 已知AD=５,AC=7，C Ｄ=3,AB=10√３,求它的外接圆的半径

解 从A 作AM ⊥B Ｃ于M,则

AD 2-MD 2=A M ２

=ＡＣ2－(ＭD+C Ｄ)2.即 5２－MD ２=7２-(MD ＋3)２．

得R ＝14, 则△ＡBC 外接圆面积S ＝πＲ2=１96π．

例５ 如图3，已知抛物线y ＝x 2－４x+h 的顶点A 在直线y ＝－4x-1上，

求①抛物线的顶点坐标;

②抛物线与x 轴的交点Ｂ、C 的坐标； ③△ＡBC 的外接圆的面积． 解 ①A(2，－9);

A

B C

O D E

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-- ②B(－１，0）; C(5， ０)． ③从A 作AM ⊥ｘ轴交于M 点, 则ＢM=MC ＝3．ＡM =9.

∴R ＝５

△ABC 外接圆面积S ＝πR 2=2５π 三角形内切圆半径r 的求法

１ ∵S △AB Ｃ=１/2(a ＋ｂ+c)ｒ

∴r=2Ｓ△ABC ／(a+b+ｃ)

2 R ｔ△ABC 中,r=（a+b-ｃ）/2

三角形的内切圆和外接圆【知识要点】

1、三角形的外接圆

(１)过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆,三条边中垂线的交点,叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等．

（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部,直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径2

c R =(c 为斜边长）. 2、三角形的内切圆

（1)到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点,叫三角形的内心,三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．

(2）若三角形的面积为ABC S ?，周长为a ＋b+c,则内切圆半径为：c

b a S r ABC ++=?2，当b a ,为

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直角三角形的直角边,c 为斜边时，内切圆半径c b a ab r ++=或2

c b a r -+=. ３、圆内接四边形的性质

(１）圆内接四边形的对角互补；

(2)圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．

注意:①圆内接平行四边形为矩形;②圆内接梯形为等腰梯形．

4、两个结论：

圆的外切四边形对边和相等；

圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 【典型例题】

一、填空和选择

(1）一个三角形的内心,外心都在三角形内,则这个三角形一定是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 Ｄ、等腰三角形

(2）如右图,I 是ABC ?的内心，则下列式子正确的是（ )

A 、∠ＢＩC=?180-2∠Ａ

B 、∠ＢIC=2∠A

C 、∠BI Ｃ＝?90+∠Ａ/2 Ｄ、∠B ＩC=?90－∠A/2

（3）ABC ?外切于⊙O,Ｅ、F 、G 分别是⊙Ｏ与各边的切点,则EFG ?的外心是ABC ?的 。

（4）直角三角形的两条直角边分别为5和12,那么它的外接圆的半径为 ,内切圆半径为 .

（５)等边三角形内切圆半径,外接圆半径分别为R r ,,则R r := ．

(6）圆外切等腰梯形底角为?60，腰长为１0，则圆的半径长为 ．

（7)等边三角形一边长为2,则其内切圆半径等于 ．

（8）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 .

（9）ABC ?的内切圆⊙I 与ＡB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F 点，且∠ＦI Ｄ＝∠EID=?135，则

ABC ?为 ．

例2．如图，△ABC 中，I 是内心，A Ｉ交BC 于D ，交△ＡBC 的外接圆于E 。

求证:（1）ＩE=E Ｃ,（2）ＩE 2＝ED ·ＥA 。

· I A B

C

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例3

．如图，已知ABC

?内接于⊙O,AE切⊙O于点A，BC∥AE,求证:ABC

?是等腰三角形

例４.已知ABC

?三边长为6，８，10，则它的内心,外心间的距离为

【经典练习】

一、选择题

1.下列命题中,正确的有（）

①圆内接平行四边形是矩形②圆内接菱形是正方形

③圆内接梯形是等腰梯形④圆内接矩形是正方形

A．1个 B.2个 C.３个 D.4个

２．在圆内接四边形ABCD中,∠A:∠Ｂ：∠C=3:5：6,那么∠D=( ）

A．80° B．９0°Ｃ．100° D.12０°

3．如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（ )

Ａ．

π4

3

B.

π

3

C.

π2

3

D.

π

2

4.如图1,四边形ABCD内接于⊙O，若∠ＢOD＝1１0°，则∠BＣD＝（）

Ａ．12５° B.1１0° C.55° D.70°

D

·

A

B

C

O

E

P

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5.如图２,四边形A ＢCD 内接于⊙O ，∠AD Ｃ=６0°，则∠AB Ｃ＝（ ） A.30° B ．６0° C ．120° D.90°

6.如图3,正方形ABCD 内接于⊙O,点Ｐ在ＡD 上，则∠BPC 为( ) Ａ.３5° B ．40° C.４5° D ．５0°

７.如图

4， MNPQ 中,过点Q 、M 的圆与PQ 、ＭN 分别相交于点E 、F ，下列结论中正确的有（ )

①∠EFN ＝∠Q=∠N;②∠EFN+∠P=180°；③EF ＝ＰN=MQ;④∠M ＝∠FEP 。 A ．１个 Ｂ.2个 C.3个 Ｄ.4个

8.如图5，四边形AB ＣＤ是⊙O 的内接四边形,A Ｄ为⊙O 的直径,若∠CB Ｅ=５0°，则圆心角∠AO Ｃ ＝( )

A ．50° B.８0° C.１00° D.1３０°

二、填空题

9．设I 是△ＡBC 的内心，O 是△A ＢＣ的外心,∠A=８0°，则∠ＢIC= ,∠B ＯC= 。

1０．若三角形的三边长为５、12、13,则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为 。

１1．直角三角形的一边为a ，它的对角是30°,则此三角形的外接圆的半径是 。

１2．如图6，⊙I 切△A ＢC 于D 、E 、F,∠C ＝60°,∠ＥIF ＝１00°，则∠B= 。

图4 图5

C 图6

B

图7

图8

︵

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13.如图7，⊙O 内切于Ｒt △ABC,∠C=９０°，D 、E 、Ｆ为切点。若∠ＡOC ＝12０°,

则∠OAC ＝ ，∠B ＝ ；若AB=２c ｍ,则AC ＝ ,

△ＡBC 的外接圆半径＝ ，内切圆半径= 。

１４．如图8，若弦ＡD ∥BC ，∠B ＡC=70°,∠ABC=8０°,则∠ＡDC= 度,∠ACD ＝ 度。

1５．如图9，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,AE ⊥CD,若∠ＡBC=１30°,则∠ＤAE= 。

１6.如图1０,四边形ＡＢC Ｄ是⊙Ｏ的内接四边形,AB 与ＤC 的延长线交于P 。已知∠A=6０°, ∠ＡBC ＝100°，则∠P= 。

【大展身手】

一、选择题

1.下列说法正确的是( )

Ａ.三点确定一个圆 B ．三角形有且只有一个外接圆

C.四边形都有一个外接圆

D.圆有且只有一个内接三角形

２．下列命题中的假命题是（ )

A.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

B.三角形的外心到三角形三边的距离相等

C.三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上

D ．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心

3.下列图形一定有外接圆的是（ )

A ．三角形 B.平行四边形 Ｃ．梯形

D.菱形

B 图9

图10

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-- 4.下列说法正确的是（ ）

A.过一点Ａ的圆的圆心可以是平面上任意点

B ．过两点Ａ、B 的圆的圆心在一条直线上

C.过三点Ａ、B 、C 的圆的圆心有且只有一点

D.过四点A 、B 、Ｃ、D 的圆不存在

5.在Ｒt △ABC 中，∠C=９0°，AC=6cm ，BC=８cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ )

A ．5ｃm ?

B ．6cm ?Ｃ．7c ｍ?D.8cm

6.等边三角形的外接圆的半径等于边长的( ）倍．

A.23?

B.3

3 C ．3 D.21 7.三角形的外心具有的性质是（ ） Ａ．到三边距离相等?

B ．到三个顶点距离相等 Ｃ．外心在三角形外? D ．外心在三角形内

８.对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）

A ．它到三角形三个顶点的距离相等

B.它与三角形三个顶点的连线平分三内角

Ｃ．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径

Ｄ．以它为圆心,它到三角形一顶点的距离为半径作圆,必通过另外两个顶点

9.在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形,则这个四边形一定是( )

A ．菱形?B.等腰梯形?C ．矩形?D ．正方形

10．如图所示,圆的内接四边形ABCD,ＤA 、CB 延长线交于P ，ＡC 和ＢD 交于Q,则图中相似三角形有（ ）

A 、1对?

B 、2对

C 、3对

D 、4对 1１．∠DC

E 是圆内接四边形ABCD 的一个外角,那么一定有（ ） A 、∠DCE ＋∠A=?180?Ｂ、∠DCE+∠B=?180

Ｃ、∠DCE=∠A ?｀Ｄ、∠DCE=∠B

A D C

B P

Q

-- -- 二、填空题:

1．△AB Ｃ的三边3,2，13，设其三条高的交点为H,外心为O,则OH= . ２.△ＡＢＣ的外心是它的两条中线交点,则△ＡBC 的形状为 ．

3．如图所示，在ABC ?的外接圆中，ＡB=ＡC,D 为ＡB 的中点，

若∠E ＡＤ＝?114,则∠ＢＡD= .

例6 已知:如图，四边形

A ＢCD 内接于⊙O ，点P 在A Ｂ的延长线上,且P Ｃ∥

B Ｄ。

求证:DA CB

CD PB =

· A C B D O E

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