第二章 极限与连续(2)

第三节 无小量、穷无大穷

一.无量穷小及其量算性质 二运.穷大无量

、一无穷小及其量运性质算简言,之 某极限在程过,中 以0 为极 限的量称该极 限程中过一个的穷无量小.

1(例1 li)m x2 0,x 0 ,时 x 2一个是穷小无 量.x0

(2) li msin x 0 ,x 0时, insx 是 一个无穷小量 .x 011 () li3 m 0,x 时 ,一是个穷小无量. x x x (4) iml cso x 0 x , x

2

(5 lim)0 0,

2 在任一个何限极过中,程常 函值 y 数 0=均 为无小量穷

., 时osc x 一是个穷无量小 .

.无1小穷量定义的义定 0, 若 0 (X 0 ,) 当0使 | x 0x | ( | | x X )时 | f , (x) |

成立, 则称 f (x 当 x )0 (x x ) ,时为无穷量小 .

2.函 的极限数无与小穷的关量系析分若 lim (fx )a , 则 0,当 0 | x 0 x | 时 x , 0x|f ( x )a| | f (( ) x )a 0 | ,即当 x x0 , f 时 ()x a是一 个穷无小 . 令 量 x() f( x) a , 则 (x) 0( x 0x , 且) f () x a ( )x( x x 0 .)反之亦.然

由以上的析分 你,可得 出么什论结

?定x 理0 x x( ) limf x( ) a

f ( x ) a (x) ,

其中, (x )0 x (x 0 ( x , ) ).

此由看出, 寻可找函极限运算法数 则归结为可找无穷小量的寻运算法.

则3

.无穷小的运量法则算同一极个限程过中有的限 个无小量穷之和是一仍个穷小无量

同.一极个过限中的程有限 个无小量穷之积仍为无小穷.量

常与无穷小数量之仍积 为无穷量小.在一某极过程中,限 穷小无 量与界有之积量是仍个无一穷小量

.在某限极程过,中 极限不以 为的函数除零无小量所得到穷 仍为商一个无穷小.量

证

:明某极在限过中程 ,个无两小量穷 和之是一个仍穷无小.量 证 设, 为x x 时的0两个穷小量, 则无

0 , 1 0 , 当 0 | x x0 | 1 时, | | , 2 2 0,当 0 |x x0 | 2 时 |, | , 2 取 m n{ 1i , 2 } , 则当 0 | x0x | 时, 有

| || | | |

2

2

,即 x x 0 , 时 一是无穷小量个 .证明:

在某一限极程过,中 穷小量无与 界量有的仍积一是无穷小量. 证个设 f (x 是 )x 0 时x的有量, 即界 M 0 和 1 0, 又 设 (x ) ( x0 x 0) , 则 0 , 2 , 使当0

使 当x U (x 0, 1 )时, | f ( x ) | M .

0 | x 0 x| 2时 , | ( x) |

M 令 min { , 1 2 } ,则 0 当| xx0| 时, |f ()x ( x | ) f|( x) | | ( x) | M .

M故当 x0x 时,f ( x)

(x )无穷为量小 .

例 2证

1 明 l证ims n i x 0x x

因1为 li m 0 , x x(无 小量穷 )|s n i x| 1x ( , )

( 有,界量) 1 故lim si n 0 x .x x

证

:明在某极过程限以极中不限为零函数的 无穷除小所量到得商为一个无仍小穷量 证设 .lmif (x) a , a 0 ; (x) 0( x 0 x .)x x 0|a|取 , 则 0 0, 0当 |x x |0 0时, 有2 || a|f ( )x a| , 2 a|| 12 故 |a | |f ()x| x U x0( , 0 ),2 ( x)f| | 1 a x 即 x0 时 , 有界 .f x() (x) 界有量无与小量之积 故 穷iml 0. x x0f ( x

)意：注i() 一般来,说界量有的倒数不定有一界 .如例 f ,(x )= ,x x0(,1) .(ii 我)们没有及两个涉穷小量无的极限商的情 ,因为形它情的形复杂,较将在以后专 门论讨 x3 .x2 x 例如, 可观2 x 察 0时, , 32 , 2, 的况 情. x xx3

例3

解

3x li求 2m. x x 0 4由于

li mx 3 0 ( 无穷,量 )x小0

l i m(x 2 4 )4, x0 (极 不为零限

)3 故x ilm 2 0. x x0 4

. 无二穷量

大1无穷.大量定的义定

义M 0 , 若X 0 当, | x| X , 时有 | (f x) |

M成立 则称 ,f (x )为 x 的无穷大时量 ,为记ilm f x() 或 (f x) x )(. x

成换f ( x ) M ,则 l mi f( x ) x

换 f (成 x) , 则M li m f (x) x

称为无正大量穷.

称 负穷为量 大

.

例4

i() yx ,2

im xl 2 . x

(i) yi x3,

xlm x 3 i . lm iln x , i(ii), (i)v 己画自 图会画更清楚. x

(iii ) yln x ,x

l0i ln x m .(v)i y an x,t li mtan x , ilm ta x n . x

2x

2

例 5解当 n 时, x n(2) n 是 否为无穷量大 ?

M 0,要 | xn || () 2n | 2 n M n og 2 Ml ,

取N [l g o 2M] , 则当 n N, 有时|( 2) n | M故 lim nx lim (2 ) .n n n 无大量穷按是对值绝定义.的

例6

某极在限过程中,无穷量是大一定否是无量 ?界无界量是否一定是穷无大 量?n ( ) n 例1如 {x,n }: 0,2, 0 4,, ,0, n,20 , ,xn 2 不论 N 取多.么, 大 当 n N 时 , 有等总 于0的 项使n

xn | | M不成立, 当 n 故 时, {x n} 不是 穷大无 .量

但数该是无列界.

当的 x 时 ,函 si数n、xcsx,o 是否无穷大量为 ？为因snix、cso 是x界有数函,所在任以极何过程限它中们不都无是大穷量.

. 无2大量与穷无穷量小的关系例

17设 ( fx) ,x (, ) 且 x 0 . 1x(1) il m0. x

则x(无 穷大量倒的为无穷小量数, x 0 ) 1 2( )li m . 0 xx( 穷无

小量的倒为数无大穷量, x 0)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0f5j.html