高考数学能力题100题

1

高考模拟测试能力题100题

3

π

π?=?=

，

,4)-，选C 。

2.( 江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学、白鹭洲中学、南昌三中五校联考)已知函数

()32,f x x x R =-∈规定：给出一个实数0x ，赋值10(),x f x =若1244x ≤，则继续赋值21(),,x f x = 以此类推，若1244,n x -≤则1()n n x f x -=，否则停止赋值，如果得到n x 称为赋值了n 次*()n N ∈.已知赋值k 次后停止，则0x 的取值范围是（ C ）

A ．(653,3k k --??

B ．(653

1,31k k -

-?++?

C ．(5631,31k k --?++?

D ．(4531,31

k k --?++?

3. (2010年泉

州市普通高中毕业班质量检查

) 已知函数()cos ,f x x =

记

1(

)22k k S f n

n

π

π-=

（1,2,3,...,k n =），若123n T S S S =++...n S ++，则 （ B ）

A ．数列{}n T 是递减数列，且各项的值均小于1

B ．数列{}n T 是递减数列，且各项的值均大于1

C ．数列{}n T 是递增数列，且各项的值均小于1

D ．数列{}n T 是递增数列，且各项的值均大于1

4. (安徽省泗县二中仿真2010年高考)设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时

2

()f x x =，若对任意的[22x ∈--

+不等式()2()f x t f x +≤恒成立，则实数t

的取值范围是（B ）

A 、)+∞

B 、(,-∞

C 、[4)++∞

D 、(

,4-∞--

5.( 2010年龙岩二中高三模拟)已知函数()()x

f x y x R e

=

∈满足'()()f x f x >，则(1)f 与

(0)ef 的大小关系是(B)A ．(1)f (0)ef < B ．(1)f (0)ef > C ．(1)f (0)ef = D ．不能确定

2

6.( 河南省部分省级示范性高中高考模拟押宝题)设定义域为R 的函数)(x f 满足下列条件：①对任意R ,()()0x f x f x ∈+-=；②对任意],1[,21a x x ∈，当12x x >时，有.0)()(12>>x f x f 则下列不等式不一定成立的是( C )

A ．)0()(f a f >

B ．)()21(

a f a

f >+

C ．)3()131(

->+-f a

a f

D ．)()131(a f a

a

f ->+-

7. (哈尔滨市第九中学2010届高三第二次高考模拟考试) 设{1,2,3,4}a ∈，

{2,4,8,12}b ∈，则函数3

()f x x ax b =+-在区间[1,2]上有零点的概率是

（ C ）

A ．

12

B ．

58

C ．

1116

D ．

34

8. (湖北省囊樊市2010年3月高三调研统一测试)在平面直角坐标系中，定义)(*

11N n x y y x y x n

n n n n n ∈??

?+=-=++为点),(n n n y x P 到点),(111+++n n n y x P 的一个变换，我们把它称为点变换，已知P 1（0，1），P 2),(),,(,),(11122+++n n n n n n y x P y x P y x )(*N x ∈是经过点变换得到的一列点。设||1+=n n n P P a ，数列}{n a 的前n 项和为n

n n n a S S ∞

→lim

,那么的值是（ D ）

A ．2

B ．22-

C ．21+

D ．22+

9. (怀化市2010年高三第二次模拟考试统一检测试卷)如图，在平面斜坐标系中∠xOy =60o ,

平面上任意一点P 的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+

（1e ，2e 分别是与x ，y 轴

同方向的单位向量），则P 点的斜坐标为（x ，y ）.在斜坐标系中以O 为圆心，2为半径的圆的方程为 （ D ）

A.22

2x y += B.22

4x y += C.2

2

2x y xy ++=

D.2

2

4x y xy ++=

10.(长沙一中2010年上期高三周考) 对于任意实数,x ，y 不等式max{|x + y|，|x – y|，

|2010 – y|}≥Z 恒成立，则实数Z 的最大值是（ B ） A ．1004

B ．1005

C ．1006

D ．1007

【解析】记max{|x + y|，|x – y|，|2010 – x|}= M ，则M≥|x + y|，M≥|x – y|，

9题图

o

x

y

3

D

M≥|2010 – y|，∴4M≥|x + y| + |y – x| + 2|2010 – y|≥|(x + y) + (y – x)

+ 2 (2010 – y)| = 4020．

11.（ 雅礼中学2010届高三月考试卷（六））给定正整数(19)k k ≤≤，令n kk k

个

表示各位数字均为k 的十进制n 位正整数，若对任意正整数n ，二次函数()f x 满足

2()n n f kk k kk k =

个

个

，则当k 变化时，函数()()f x x ∈R 的最小值是（ A ） A 、1- B 、23

-

C 、13

-

D 、2-

解析：注意到12(1010101)(101)9

n n n

n k kk k k --=++++=-

个

，令(101)9

n

k x =

-，即

9101n

x k

=

+，故22

29(10

1)(101)(101)29

9

n

n

n

n k k kk k x x k

=-=

-+=

+

个

，

于是2

9()2f x x x k

=

+，易求得当k 变化时，()f x 的最小值是1-.

12.（湖南省高中2010级适应性考试题） 图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数()(0)S S a a =≥是图3中阴影部分介于平行线

0y =及y a =之间的那一部分的面积，则函数()S a 的图象大致为（ C ）

13. （湖南师大附中高2010级高三月考试卷（九））已知不等式(x+y)(

y

a x

+

1)≥9对任意

x ∈[2009，2010]，y ∈[2008，2009]恒成立，则正实数a 的最小值为（B ）

A ．1

B ．3.5

C ．4

D ．不能确定

4 14.（2010级江西八校联考）函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数②存在D b a ?],[使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ??????，那么就称

)(x f y =为“成功函数”，

若函数)1,0)((log )(≠>+=a a t a x f x a 是“成功函数”，则t 的取值范围为（ D ）

A.()+∞,0

B.??? ??∞-41,

C. ??? ??41,0

D. ??

? ??41,0 15. (山西省临汾市2010届高三第二次高考模拟试题)已知A ，B ，C 是坐标平面内不共线的

三点，o 是坐标原点，动点P 满足()()()1O P =1O 1O 12O 3

A B C λλλ??-+-++?? (λ∈R)，则点P 的轨迹一定经过A B C 的( D )

A ．内心

B ．垂心

C ．外心

D ．重心

16. (2010级江西九校联考)已知函数2()(1)([0,1])f x m x n x =--∈的反函数为1()f x -，

且m 为函数()ln g x x =与函数21(1)(1);()243(1).x x h x x x x ?-≤???-+>?

的交点个数

，

lim x n →-∞=

12[()]y f x -=+的值域是（ D ）

A ．[0,1] B

．[1,1+ C

． D

．

17.( 四川省广元市高中2010级第一次高考适应性考试)有8个大小相同的球，上面分别标有序号1、2、3、4、5、6、7、8.现任取三个球，则三个球的序号不相邻的概率是( B ) A. 2

7 B. 5

14 C. 19

56 D. 25

56

18.（陕西省第二次摸拟考试）有4个标号为1，2，3，4的红球和4个标号为1，2，3，4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排，若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是（ C ）

A ．384

B ．396

C ．432

D ．480

19. （2010年宝鸡陈仓高三摸底考试试题（二））天干地支，简称“干支”，在我国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、酉、戌、亥叫做“十二地支”。天干和地支依次按固定的顺序互相配合，两者组成了干支纪年法。今年是庚寅年，上一个庚寅年是 （ C ）

A ．1998年

B ．2000年

C ．1950年

D ．1960年

20.（ 2010年宝鸡高三摸底考试试题（三））对于集合{(,)|,}M x y x R y R ?∈∈，称M

为开集，当且仅当任意0P M ∈，存在正数r ，使得0{||}P PP r M

{(,)|4250}M x y x y =+->，{(,)|0,0}N x y x y =≥>，则（ A ）

A ．M 是开集，N 不是开集

B ．M 不是开集，N 是开集

C ．M 和N 都是开集

D ．M 和N 都不是开集

5

21.（2010届成都七中第二次高考模拟试题）一个质量均匀的正四面体型的骰子，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，若连续投掷三次，取三次面向下的数字分别作为三角形的边长，则其能构成钝角三角形的概率为（ C ）

A ．643

B ．323

C ．649

D ．321

22. （贵州省清华实验学校2010届高三下学期3月月考）已知定义在R 上的函数)

()(x 、g x f 满足

()()

x

f x a

g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，

2

5)

1()1()

1()1(=

--+

g f g f . 则有穷数列

{

)

()(n g n f }( 1,2,3,,10n = ）的前n 项和大于

1615的概率是 （ C ）

A ．5

1 B ．5

2 C ．5

3 D ． 5

4

23. (2010年大联考模拟试卷（大纲版）)已知)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，

()()()()f x g x f x g x ''<， )()(x g a x f x

=，

2

5)

1()1()

1()1(=

--+

g f g f ，在有穷数列

()()f n g n ??????

( n =1,2,…,10)中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于6463

的概率是 （ B ） A ．

5

1

B ．

5

2 C ．

5

3 D ．

5

4

解析：由()()

x f x a g x =，两边求导可得2

()()()()

ln 0[()]

x f x g x f x g x a a g x ''-=

<，

可得ln 0a <，所以01a <<0. 由1

52

a a -+=

可得12

a =

，

则121631264k

k a a a ??

+++=-> ???

，解得6k >，

所以前k 项和大于

64

63的概率是4210

5

P =

=

，选B.

24. (南充高中高2010级第十一次月考)1

2)310(++n （n ∈N*）的整数部分和小数部分分

别为I n 和F n ，则F n (F n ＋I n )的值为( A)

A ．1

B ．2

C ．4

D ．与n 有关的数

25. (四川省泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试)设定义在R 上的函数()f x ，

(0)2008

f =，且对任意x R ∈，满足(2)()32x

f x f x +-≤ ，(6)()632

x

f x f x +-≤ ，

6

则(2008)f =下列关系正确的是( D ) A ．2005

2

2004+ B ．2007

2

2006+ C ．2009

2

2008+ D ．2008

2

2007+ 26.( 2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）) 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端 的数均为

1n ()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数

的和，如1111

22

=+，

1112

3

6

=

+

，

1113

4

12

=

+

，…，

则第10行第4个数（从左往右数）为（ B ）

A ．11260

B ．1840

C ．

1504

D ．

1360

27.( 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2010年高三第一次联合模拟考试) 圆

C

的

方程为

22

(2)4

x y -+=，圆M 的方程为

2

2

(25cos )(5sin )1x y θθ--+-=()R θ∈，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线

P E 、P F ，切点分别为E 、F ，则PE PF ?

的最小值是 （ C ）

A ．12

B ．10

C ．6

D ．5

28. (2010年深圳市高三年级第一次调研考试)设n a a a ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列，把排在i a 的左边．．且比i a 小．的数的个数称为i a 的顺序数（n i ,,2,1 =）．如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( C )

A ．48

B ．96

C ．144

D ．192 28.( 2010年广州市高三教学质量抽测试题)已知数列：1213214321

,

,,,,,,,,,...,1121231234

依它的前10项的规律，这个数列的第2010项2010a 满足( B ) A ．20101010

a <<

B ．

20101110

a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ．201010a >

将数列分组：1213214321

,,,,,,,,,

, (1121231234)

????????

?

? ? ?????????

．设2010a 位于第n 组，由(1)(1)

20102

2

n n n n -+<<

，解得63n =，所以2010a 位于第63组中的第6362201057

2

?-

= 11

12

12

13

16

13

14

112

112

14

15

120

130

120

15

………………………………………

I 图

7

项，故2010757

a =

，选B ．

29. 已知四面体ABCD 中，1DA DB DC

===，且D A

、D B 、D C 两两互相垂

直，在该四面体表面上与点A

距离是3

的点形成一条曲线，这条曲线的长度

是 ( A )

A.

2

6

3

30.( 2009-2010学年度南昌市高三第一次模拟测试卷)已知)[]2

3,0,31x f

x x x

+=

∈+，已

知数列

{}n a 满足

03,n a n N

*

<≤∈，且122010670

a a a +++= ，则

122010()()()f a f a f a +++ （ A ）

A . 最大值6030

B . 最大值6027

C 有最小值6027.

D . 有最小值6030 解析：1

()33f = ，当12201013

a a a ====

时，122010()()()f a f a f a +++ =6030

对于函数2

3()(03)1x

f x x x +=

≤≤+,19()316k f '==-,在13

x =处的切线方程为 913()103y x -=--即3

(11)10

y x =-，

则()2

2

331(11)(3)()0110

3

x f x x x x x

+=

≤

-?--

≤+成立，

所以03,n a n N *

<≤∈时，有()3(113)10

n n f a a ≤

-

122010()()()f a f a f a +++ []12201031120103()603010

a a a ≤

?-+++=

３１．（三明市2009-2010学年第一学期普通高中期末考试）已知函数()()()()2

0,0f x ax bx c a g x mx k m =++≠=+≠，且方程()f x x =没有是实数根，给

出下列命题： ①方程()()()f g x g x =没有是实数根；

②若0,a >且()()g x x x R <∈，则()()()f g x x x R >∈‘ ③若0a b c ++=，且()()g x x x R <∈，则()()()f g x x x R <∈。 其中正确命题的个数有（ Ｃ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

３２. （湖北省黄冈市2010年高三年级三月月考）已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数,且)()(x f x f '<对于R x ∈恒成立,则（Ａ ） A. )0()2(2

f e f ?>, )0()2010(2010

f e

f ?>

B

3

P C

D

2

P

A

4

P

1

P

8

B. )0()2(2f e f ?<, )0()2010(2010f e f ?>

C. )0()2(2f e f ?>, )0()2010(2010f e f ?<

D.)0()2(2f e f ?<,)0()2010(2010f e f ?<

３３．(中山市2009-2010学年度高三统一测试)以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为( A ) A ．

385

367 B ．

385

376 C ．

385

192 D ．

385

18

34.( 2010年东北四校第四次高考模拟联考)已知抛物线2:2(0),(,0)C y px p A p =>过点的直线与抛物线C 交于M ，N 两点，且2M A AN =

，过点M ，N 向直线x p =-作垂线，垂

足分别为P ，Q ，,MAP NAQ ??的面积分别为记为S 1与S 2，那么 （ C ）

A ．S 1：S 2=2：1

B ．S 1：S 2=5：2

C ．S 1：S 2=4：1

D ．S 1：S 2=7：1

35. (广州市2010届高三四校（广附、七中、十六中、育才）第二次联考) 已知函数

12)(2

++=x x x f ，若存在实数t ，当[]m x ,1∈时，x t x f ≤+)(恒成立，则实数m 的最

大值是（ D ）。

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

36. (荆州市2010届高中毕业班质量检查（Ⅱ）)在锐角A B C ?中2,A B ∠=∠B ∠、C ∠的对边长分别是b 、c ,则

+b b c

的取值范围是( B)

.A 11(

,)43 .B 11(,)32 .C 12(,)23 .D 23

(,)34

37. (安徽省潜山中学2010届理复(三.四)数学周考) 有一种掷正方体骰子走跳棋的网络游戏，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站．一枚棋子开始在第0站，玩家每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，则棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站. 游戏规定：若棋子经过若干次跳动恰跳到第99站，则玩家获胜，游戏结束；若棋子经过若干次跳动最后恰跳到第100站，则玩家失败，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为(,100)n p n N n ∈≤，可以证明：121233

n n n p p p --=+

（2≤n≤100），

则每次玩该游戏获胜的概率是 ( A ) A.10032[1()]5

3

- B. 9932[1()]5

3

-

C. 10022[1()]5

3

-

D. 9922[1()]5

3

-

38. (湖南师大附中2010届高三第三次月考试卷)对于向量a ，b ，定义a ×b 为向量a ，b 的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a ×b 的模|a ×b|＝|a||b|sin θ(其中θ为向量a 与b 的夹角)，a ×b 的方向与向量a ，b 的方向都垂直，且使得a ，b ， a ×b 依次构成右手系.如图，在平行六面体ABCD －EFGH 中，

9

∠EAB ＝∠EAD ＝∠BAD ＝60°，AB ＝AD ＝AE ＝2，

则()A B A D A E ??

＝ （ D

）

A. 4

B. 8

C.

【解析】据向量积定义知，向量AB AD ? 垂直平面ABCD ，且方向向上，设AB AD ? 与AE

所成角为θ.

因为∠EAB ＝∠EAD ＝∠BAD ＝60°，所以点E 在底面ABCD 上的射影在直线AC 上.

作EI ⊥AC 于I ，则EI ⊥面ABCD ，所以θ＋∠EAI ＝2

π

.

过I 作IJ ⊥AD 于J ，连EJ ，由三垂线逆定理可得EJ ⊥AD. 因为AE ＝2，∠EAD ＝60°，所以AJ ＝1，EJ 又∠CAD ＝30°，IJ ⊥AD ，所以AI ＝

3

.

因为AE ＝2，EI ⊥AC ，所以cos ∠EAI ＝A I A E

＝

3

.

所以sin θ＝sin(

)2

π

-∠EAI ＝cos ∠3

，cos θ3

故()A B A D A E ?? =|AB ||AD |sin ∠BAD|AE

|cos θ＝8×

2

×

3

＝，故选D.

39. （抚州一中2010届高三第四次同步）已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且对任意的x R ∈都有()()()()42,21f x f x f x f x +≥++≤+，则()2009f = ( A )

A ．1005

B ．1004

C ．1003

D ．1

40．（山东省烟台市2010年高三年级诊断性测试）若定义在R 上的偶函数()x f 满足

()()x f x f =+2，且当[]1,0∈x 时，(),x x f =，则函数()x x f y 3

log

-=的零点个数是

（ B ）

A ．多于4个

B ．4个

C ．3个

D ．2个

41. (成都龙泉中学2010届高三年级调研考试试题（五）)设[]x 表示不超过x 的最大整数(

如5[2]2,[]1)4

==。对于给定的*

(1,)n n n N >∈，定义(1)([]1)(1)([]1)

x n n n n x C x x x x --+=

--+……，

[1,)x ∈+∞，若当3[,3)2

x ∈时，函数()x

n f x C =的值域是(,](,](,,,)a b c d a b c d R ∈ ，则

n 的最小值是 ( B )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

42. (眉山市高中2010届第一次诊断考试)设定义域为R 的函数|1| (x=1) ()1()

1(1)2

x a f x x -??

=?+≠??，

A

B

C

D E F

G

H I

J

A B C

D

E F

G

H

10

若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则们组题意的a 的取值范围是( D )

A ．(0,1)

B ．1

1

(0,)(,1)2

2

C ．(1,2)

D ．33

(1,)(,2)2

2

43. （2010届成都七中高考第一次模拟试题）若不等式()2

22

2

b a b a λ

++≥

对任意正实数a 、

b 都成立，则λ的最大值是（ B ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．5

44. (济南外国语学校2009-2010学年度第一学期高三质量检测)函数()f x 和()g x 的定义域

为[,]a b ，若对任意的[,]x a b ∈，总有()1|1|()

10

g x f x -≤，则称()f x 可被()g x “置换”．下

列函数中，能置换函数()f x =

，[4,16]x ∈的是（ A ）

A ．1()(6),[4,16]5

g x x x =

+∈ B ．2

()6,[4,16]g x x x =+∈

C ．()6,[4,16]g x x x =+∈

D ．()26,[4,16]g x x x =+∈

45. （2009—2010学年度太原五中第一学期月考）设函数)(x f 在定义域D 上满足

0)(1)21(≠-=x f f ，，且当D y x ∈，时，)1()()(xy

y

x f y f x f ++=+，若数列}{n x 中，*)(122

12

11N n D x x

x x x n n

n n ∈∈+=

=

+，，，则数列)}({n x f 的通项公式为（ B ）

A. 12)(+-=n n x f

B.12)(--=n n x f

C. 13)(--=n n x f

D. 1

3)(+=n n x f

46. (绵阳南山中学高2010级12月月考)考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( D ) A.

75

1 B.

75

2 C.

75

3 D.

75

4

47. (广元中学2010届高三12月月考)已知集合M ={1,2,3}，N ={1,2,3,4}，定义函数

N M f →:.若点A(1,f (1))、B(2,)2(f )、C(3,)3(f )，ΔABC 的外接圆圆心为1O ，且

)(111R B O C O A O ∈=+λλ,则满足条件的函数)(x f 有( C )

A. 6个

B. 10个

C. 12个

D. 16个48.( 重庆一中高

2010

级高三下期第一次月考)数列}{n a 满足

2

*

113,1(),2

n n n a a a a n N +==-+∈则2009

2

1

111a a a m +

++=

的整数部分是( C )

11

A.0

B.1

C.2

D.3

49. (长郡中学2009届高三第二次模拟考试)在A B C ?中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ??==?=

，P 为线段A B 上的一点，且11

,||||

C A C B C P x y x y C A C B =?+?+

则的最小值为（ C ） A.

76

B.

712

C.

712

3

+

D.

76

3+

50. (重庆市09-10学年高三上学期模拟检测)平面向量的集合A 到A 的映射f 由

()2()f x x x a a =-? 确定，其中a 为常向量．若映射f 满足()()f x f y x y ?=?

对

,x y A ∈

恒成立，则a 的坐标不可能．．．

是 （ B ） A ．(0,0) B

．44

C ．

,22

D

．1(22-

51.（ 安徽省潜山中学2010届理复(三.四)数学周考 ）设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M

0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，B F =2，则?BCF

与?ACF 的面积之比BC F AC F

S S ??=

又32

22

||-=?=

?=+

=B B B y x x BF

12

由A 、B 、M 三点共线有

B

M B M A

M A M x x y y x x y y --=

--即

2

3330320-

+=

--

A

A

x x ，故2=A x ，∴

5

41

4131

212=

++=

++=

??A B ACF

BCF x x S S 。

52. (四川省泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试) 在平面上取定一点O ，从O 出发引一条射线O x ，再取定一个长度单位及计算角的正方向，合称为一个极坐标系。这样，平面上任一点P 的位置就可以用线段O P 的长度ρ

以及从O x 到O P 的角度?来确定，有序

数对

(),ρ?称为P 点的极坐标，ρ

称为P 点的极径，?称为P 点的极角。在一个极坐标系

下，给出下列命题：

①点4,3P π?? ?

??的极径为4，极角为3π

；

②有序数对2,6π?? ???与()2,26k k Z ππ?

?+∈ ???表示两个不同点；

③点2,3π?? ???关于极点的对称点为

22,3π?

?- ??? ④圆心在

()(),00a a >，半径a 的圆的极坐标方程为2cos a ρ

θ=；

⑤过点

()2,0垂直极轴的直线方程为

1cos 2ρθ=

。

其中真命题序号是 ○1 ○3 ○

4 .

53. （2010届成都七中高考第二次模拟试题）在空间直角坐标系中，对其中任何一向量

123(,,)X x x x =，定义范数||||X ，它满足以下性质：

(1)||||0X ≥，当且仅当X 为零向量时，不等式取等号；

（2）对任意的实数λ，

||||||||||X X λλ=?（注：此处点乘号为普通的乘号）。 （3）||||||||||||X Y X Y +≥+。

试求解以下问题：在平面直角坐标系中，有向量12(,)X x x =，下面给出的几个表达式中，可能表示向量X 的范数的是____（把所有正确答案的序号都填上） （1

）22212x x + （2

（3

4

13

由(1)知当且仅当X 为零向量时，X =0 因此可以排除(2),(3).按照解题经验，本题答案应该是（1）（4） 下面进行验证：

现在探索一下（1）是否满足性质（3） 2

22222)(2)(22n b m a n m b a +++≥+++ ？

2

2

2

2

2m

b n a abmn +≤? ？

这是显然成立的，所以（1）满足性质（3）

又（1）显然满足性质（2）；所以（1）能表示X 的范数 同理可以知道（4）也可以表示

所以经过验证后可以知道正确的是（1）（4）

答案:（1）（4）

54.(2010年宁波市高三“十校”联考)已知函数2

2

11()()(f x x a x b x R x

x

=+

++

+∈，且

0x ≠）若实数,a b 使得函数()y f x =在定义域上有零点，则22a b +的最小值为

____

45

______．

55. 如图，在OAB ?中，点P 是线段O B 及线段AB 延长线所围成的阴影区域(含边界)的任意

一点，且OP xOA yOB =+

则在直角坐标平面内，实数对(,)x y 所示的区域在直线4y =的下侧部分的面积是 4.5

5６．（鹰潭市2010届高三第一次模拟考试）

给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量0x ,都有函数

值D x f ∈)(0,则称函数)(x f y =在D 上封闭.若定义域)1,0(=D 则给出下列函数： （A ）13)(1-=x x f （B ）12

12

1)(2

2+-

-

=x x x f

（C ）x x f -=1)(3 （D ）21

4)(x x f = 其中在D 上封闭的是 .（填序号即可） 答案 BCD

57. (河北省石家庄市2010年高中毕业班复习教学质量检测（一）)

如图，三条平行直线21,,l l l 把平面分成I 、II 、III 、IV 四个区域（不含边界），且直线l 到

21,l 的距离相等。点O 到直线l 上，点A 、B 在直线1l 上，P 为平面区域内一点，且

),(,2121R OB OA OP ∈+=λλλλ，给出下列四个命题： （1）若,1,121>>λλ则点P 位于区域I ； （2）若点P 位于区域II ，则;121>+λλ

A

14 （3）若点P 位于区域III ，则;0121<+<-λλ

（4）若点P 位于区域IV ，则;121-<+λλ

则所有正确命题的序号为 （1）（3）（4）

58. (荆州市2010届高中毕业班质量检查（Ⅱ）) 线段A B 的中点O 也是线段A B 的重心,

O 具有以下性质:①O 平分线段A B 的长度;②O 分AB 的比为1:1;③O 是直线A B 上所

有点中到线段A B 两个端点的距离的平方和最小的点.由此推广到三角形,进而推广到四面体中.

设A B C ?的重心为G ,点D 是B C 边的中点;四面体PQRS 的重心为M ,点N 是QRS ?的重心.我们得到如下猜想:

①G 平分A B C ?的面积(即G A B ?、G B C ?、G A C ?面积相等);②G 是平面ABC 内所有点中到A B C ?三边的距离的平方和最小的点;③G 是平面ABC 内所有点中到A B C ?三个

顶点的距离的平方和最小的点;④G 分AD 的比为2:1;⑤M 分P N 的比为3:1.

你认为正确的猜想有 ①③④⑤ (填上所有你认为正确的猜想的序号)

59. .在平面向量中有如下定理：设点O ，P ，Q ，R 为同一平面内的点

(O ，P ，Q ，R 不共线)，则P 、Q 、R

使(1)O P t O Q tO R =-+uuu r uuu r uuu r .试利用该定理解答下列问题： 如图，在ΔABC 中，点E 为AB 边的中点，点F 在AC 边上，且 CF ＝2FA ，BF 交CE 于点M ，设AM x AE y AF =+ ，则x ＋y ＝ .

【解析】因为点B 、M 、F 三点共线，则存在实数t ，使AM (1)t AB t AF =-+ .

又2AB AE = ，13A F A C = ，则A M 2(1)3

t t A E A C =-+ . 因为点C 、M 、E 三点共线，则2(1)13t t -+=，所以35t =.故43,55x y ==，75

x y += 60. (湖南师大附中2010届高三第三次月考试卷) 设直角三角形的两直角边的长分别为,a b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有a b c h +<+ 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：

①2222a b c h +>+；②3333a b c h +<+；③ 4444a b c h +>+；④5555

a b c h +<+. 其中正确结论的序号是 ② ④ ；进一步类比得到的一般结论是n n n n ()a b c h n N *+<+∈. 【解析】在直角三角形ABC 中，sin ,cos ,a c A b c A ab ch ===，所以sin cos h c A A =. 于是(sin cos ),(1sin cos )n n n n n n n n n n a b c A A c h c A A +=++=+.

(sin cos 1sin cos )(sin 1)(1cos )0n n n n n n n n n n n n a b c h c A A A A c A A +--=+--=--<.所以n n n n ()a b c h n N *+<+∈.

61. （抚州一中2010届高三第四次同步） 对于{1,2,3,,}n 和它的每个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的所有数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（例如：

{}1993 , 7 , 10 , 2007 , 1 , 21 的交替和是2007199321107131-+-+-=，而{}5的交替和是5.那么，当7=n 时，所有这些交替C

15

和的总和是 448 .

62. (成都龙泉中学2010届高三年级调研考试试题（五）) 有以下几个命题

①若函数32()2x a x x a f x x a

x a

?-≠?

=-??=?

是连续函数，则2lim

2

x n n

n

x a a →∞

-+的值是1±；

②由一组样本数据1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y …得到的回归直线方程为 y bx a =+，直 线 y bx a =+必经过点(,)x y ；

③设A 、B 为两个定点，(0)m m >为常数，|||2PA PB m += ，则动点P 的轨迹为椭圆；

④若数列{}n a 是递增数列，且2*1(2,)n a n n n n N λ=++≥∈，则实数λ的取值范围 是(5,)-+∞；

⑤若椭圆的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是该椭圆上的任意一点，则点2F 关于∠12F P F 的外角平分线对称的点M 的轨迹是圆。

其中真命题的序号为 ○2 ○3 ○5 ；（写出所有真命题的序号）

62. (宜宾市高中2010届第一次诊断性考试)若定义在R 上的函数()f x 满足

()()(),(,,,f x y f x f

y x y λμλμλμ+=+均为实数）

，则称()f x 为R 上的线性变换，现有下列命题： ①()2f x x =是R 上的线性变换

②若()f x 是R 上的显性变换，则()()()f kx kf x k R =∈

③若()f x 与()g x 均为R 上的线性变换，则()()f x g x +是R 上的线性变换 ④()f x 是R 上的线性变换的充要条件为()f x 是R 上的一次函数

其中是真命题有 ○1 ○2 ○3 （写出所有真命题的编号）

63. (绵阳市高2010级第二次诊断性考试)

已知数列{an}满足：an = logn+1(n+2)，n ∈N*，我们把使a1·a2·…·ak 为整数的数k （k ∈N*）叫做数列{an}的理想数．给出下列关于数列{an}的几个结论： ① 数列{an}的最小理想数是2．

② {an}的理想数k 的形式可以表示为 k = 4n-2（n ∈N*）． ③ 对任意n ∈N*，有an+1

lim =+∞

→n n a ．

16 其中正确结论的序号为 ①③

64. （绵阳中学2010届高三12月月考）已知点G 是A B C ?的重心，AG AB AC λμ=+ 则λμ+=___ 2

3______，若120,2A AB AC =??=- 则AG 的最小值是______

23_____。 65. (重庆市09-10学年高三上学期模拟检测)给出定义：若1

122m x m -<≤+ (其中m 为

整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =. 在此基础上给出下列关于函数{}()f x x x =-的四个命题：

①()y f x =的定义域是R ，值域是11(,]22

-； ②点(,0)()k k Z ∈是()y f x =的图像的对称中心；

③函数()y f x =的最小正周期为1；

④ 函数()y f x =在13(,]22

-上是增函数； 则其中真命题是_.①③_ ．

66. (湖北省黄冈中学2009年秋季高三期末考试)定义域和值域均为[－a ，a]（常数a ＞0）的函数y=f （x ）和y=g （x ）的图像如图所示，给出下列四个命题：

（1）方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；

（2）方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；

（3）方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；

（4）方程g[g(x)]=0有且仅有一个解．

那么，其中所有正确命题的序号是____(1)（4）_．

17 67. (巢湖市2010届高三第二次教学质量检测)

已知正方体1111ABC D A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别是11,,AB BC B C 的中点．

下列命题正确的是__②③④_______(写出所有正确命题的编号).

①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；

②P 在直线FG 上运动时，AP DE ⊥；

③Q 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D QC -的体积不变；

④M 是正方体的面1111A B C D 内到点D 和 1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是一条线段.

68. (北京市东城区2009—2010学年度高三综合练习（一）)

如果对任意一个三角形，只要它的三边长a 、b 、c 都在函数)(x f 的定义域内，就有)(),(),(c f b f a f 也是某个三角形的三边长，则称)(x f 为“JI 型函数”，那么下列函数： ①;)(x x f =②);,0(sin )(π∈=x x x g ③[)+∞∈=,2ln )(x x x h ，

是“JI 型函数”的序号为 ①③ .

69. （北京市西城区2010年抽样）设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈?，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数。 如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 m ≥2 。

如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 -1≤a ≤1 。70. （海淀区高三年级第二学期期中练习）在平面直角坐标系中，点集22

{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|4,0,,340}B x y x y x y =≤≥-≥， 则（1）点集1111{(,)3,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_π__；

（2）点集12121122{(,),,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为

18π+. .

71.（2010年江西八校联考） （本小题满分12分）

如图,过抛物线y x 42=的对称轴上任一点P ),0(m )0(>m 作直线与抛物线交于B A ,两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.

(1)设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明)(QB QA QP λ-⊥；

(2)设直线AB 的方程是0122=+-y x ,过B A ,两点的圆C 与

抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.

18

解(1)依题意,可设直线AB 的方程为m kx y +=,代入抛物线方程y x 42=得 .0442=--m kx x ①

设A 、B 两点的坐标分别是),(11y x ),(22y x ,则1x 、2x 是方程①的两根。 所以.421m x x -=

由点),0(m P 分有向线段AB 所成的比为λ，[来源:c7eaa2b169dc5022aaea0014]

得0121=++λ

λx x ， 即.2

1x x -=λ （3分）

又点Q 是点P 关于原点的以称点，

故点Q 的坐标是),0(m -,从而).2,0(m QP =

),(),(2211m y x m y x QB QA +-+=-λλ

=).)1(,(2121m y y x x λλλ-+--

])1([2)(21m y y m QB QA QP λλλ-+-=-?=])1(4

4

[

22

12

22

12

1m x x x x x x m +

+?

+

=2

212144)(2x m x x x x m +?

+=2

21444)(2x m

m x x m +-?

+=0，

所以 ).(QB QA OP λ-⊥ （6分）

(2) 由?

?

?=+-=,

0122,42

y x y x 得点A 、B 的坐标分别是（6，9）、（--4，4）。 由y x 42

=得2

4

1x y =

， 1,2

y x '=

所以抛物线y x 42

=在点A 处切线的斜率为6

3x y ='=。 （ 9分）

设圆C 的方程是2

2

2

)()(r b y a x =-+-，

则??

???-=---++=-+-,3169.)4()4()9()6(2222a b b a b a 解之得 .2

125)4()4(,223,232

22=-++==

-=b a r b a

19

所以圆C 的方程是2

125)

2

23()23(2

2

=

-

++

y x 。 （12分）

72. （2010年江西八校联考）（本小题满分14分） 设数列}{n a ，}{n b 满足2

11=

a ，n n a n na )1(21+=+且2

2

1)1ln(n n n a a b +

+=，*

N n ∈．

（１）求数列}{n a 的通项公式； （２）对一切*

N n ∈，证明

n

n n b a a <

+2

2成立；

（３）记数列}{2

n a ,}{n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，证明：42<-n n A B ．

（１）解：∵n n a n na )1(21+=+ ∴n

a n a n n ?

=

++2

11

1

∴数列?

?

?

??

?n a n 是以11a 为首项，以21为公比的等比数列 (2分) ∴1

1211-?

?

?

???=n n

a n a n

??

?

??=21 ∴n

n n a ??

?

??=21 (4分)

（２）证明：n

n n b a a <+22?n n n a a b 222+

<--n n n a a b

?02

12

<--

n n n a a b

?n n n n a a a b <+=-

)1ln(2

12

构造函数x x x f -+=)1ln()( （)0>x 01111)('

<+-=

-+=

x

x x

x f ， (7分)

∴)(x f 在),0(+∞∈x 内为减函数，则0)0()(=x

∴n n a a <+)1ln(，∴对一切*

N n ∈，

n

n n b a a <

+2

2都成立 (9分)

（３）证明：∵n n n n a a a b 2)1ln(222

<+=-

∵)()(222

2

2

2

121n n n n a a a b b b A B +++-+++=-

由(２)可知n n A B -2)2()2()2(2

222211n n a b a b a b -++-+-=

∴n n A B -2n a a a 22221+++< )2

2

32

22

1(23

2

n

n +++

+=

??

? ??

+-=+-=+12214)2

22(2n n

n n (12分)

∵211)

11(2

1

12111011

1

+=++>++++=+=+++++++n n C C C C n n n n n n n

∴12

201

<+<

+n n ∴422141

? ??

+-+n n

20

∴4221421

?

?

?

?

+-

<-+n n n n A B (14分) 73. （江西五校联考）（本小题满分14分）

函数()(01)1x f x x x

=

<<-的反函数为1

()f

x -，数列{}n a 和{}n b 满足：112

a =

，

1

1()n n a f a -+=，函数1

()y f

x -=的图象在点()1

,()()n f

n n N -*

∈处的切线在y 轴上的截距为

n

b .

（1）求数列{n a }的通项公式； （2）若数列2

{

}n n

n

b a a λ

-

的项中仅

52

5

5

b a a λ

-

最小,求λ的取值范围； （3）令函数21

2

1()[()()]1x g x f x f x x

--=+?

+,01x <<.数列{}n x 满足:112

x =

,01n x <<且

1()n n x g x +=，

(其中n N *

∈).证明:2

2

2

2311212

23

1

()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+

++

…8

<

.

解:(1)令,1x y x

=

- 解得;1y x y

=

+ 由01,x << 解得0.y >

∴函数()f x 的反函数1

()(0).1x

f x x x

-=

>+

则1

1

(),1n n n n a a f a a -+==+ 得111 1.n n

a a +-=

1{

}n

a ∴是以2为首项，1为公差的等差数列，故1.1

n a n =

+…………4分

(2)1

()(0),1x f x x x

-=

>+ 1

'

2

1[()],(1)

f

x x -∴=

+

1

()y f x -∴=在点1(,())n f n -处的切线方程为2

1(),1(1)n y x n n n -=-++ 令0=x 得2

2

.(1)

n n

b n =

+2

2

2

2

(1)().2

4

n n

n

b n n n a a λ

λ

λ

λλ∴

-

=-+=-

--

仅当5n =时取得最小值， 4.5 5.5.2

λ

∴<

< ∴λ的取值范围为(9,11).………8分

(3)221

2

2

2

11()[()()][

],(0,1).11111x

x x x x g x f

x f x x x x

x

x

x

---2=+?

=+

?

=

∈++-++

所以121(1),1n

n n n n n

x x x x x x ++-=-?+ 又因01,n x << 则1.n n x x +>

显然1211.2

n n x x x +>>>>

…………………………10分

12

1111

1(1)21

4

48

12

1

n n n n n n n n x x x x x x x x ++-=-?

≤

?<

=

+++

-+

21

2

11111111()11111

()()()()8n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++--∴

=

-=--

<-

2

2

2

2311212

23

11

2

2

3

1

()()()1

111111[()(

)(

)]

8

n n n n n

n x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++---+∴+++

<

-

+-++-

……

11

1

111

11()(2)88

n n x x x ++=

-=-…………………………12分

111,2

n x +<<

1

112,n x +∴<

< 1

1021

n x +∴<-

<

2

2

2

2311212

23

1

1

()()()111(2)8

8

n n n n n x x x x x x x x x x x x x +++---+∴

+

++

=

-

<

….………14分

74. （湖北省囊樊市2010年3月高三调研统一测试）（本大题共12分） 直角三角形ABC

中，?=∠90C ，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，BD=3DC ，ABC ?的周长为12。若一双曲线E 以 B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点。 （1）求双曲线E 的方程；

（2）若一过点P （3，0）的直线l 与双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且

PN MP λ=，问在x 轴上是否存在定点G ，使)(GN GM BC λ-⊥？若存在，求

出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由。

（1）解：设双曲线E 的方程为

222

2

1(00)

y x a b a

b

-

=>>，，

则B （－c ，0），D （a ，0），C （c ，0）． 由BD = 3DC ，得3()c a c a +=-，即2c a =

∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ?-=?

+=-??-=?

2分

解之得1a =

，∴2,c b ==∴双曲线E 的方程为2

2

13

y

x -

=．

4分

（2）解：设在x 轴上存在定点

G （t ，0），使()

BC G M G N λ⊥-

．

当l ⊥x 轴时，由MP PN λ=

，得1λ=，这时G M G N G M G N M N λ-=-=

，显然

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