20-相关变化率、曲率

高等院校非数学类本科数学课程

大 学 数 学 (一 )—— 一元微积分学第二十讲 一元微积分的应用

—— 相关变化率、曲率、经济应用

一、 相关变化率 .在实际问题中，往往是同时出现几个变量. 变量

之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数( 例如，都是时间 t 的函数. ) 从它们对这另一个 变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个 变量的变化率求出其他变量的未知的变化率，就是所 谓的相关变化率问题.

例1 解

加热一金属圆板 , 其半径以 0.01 cm/秒的速度均匀增加 . 问当半径为 200 cm 时, 圆板面积的增加率为多 少?

设圆板的半径为 x , 面积为 y, 则

(1) dx 显然, x, y 都是 t 的函数, 且 0.01 cm/ 秒 . dt dy 现要求 x 200 cm 时, ? dt 将 (1) 式两边关于 t 求导, 得 dy dx 2 x , dt dt 故在 x 200 时, 圆板面积的增加率为 dy 2 200 0.01 4 (cm/ 秒). dt

y x2.

例2

向一个上顶的直径为 8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速注水. 若注水的速度为 4 m3 /分, 求当水深 5 米时水表面上

升的速度?

解 设注水t 分钟后, 水深为h 米. 此时, 水面的直径也是h 米,1 h 3 容器内水的体积为 V h h . 3 2 12此外, V 4 t , 故有2

12 d h 16 2. dt h

h 3 4 t . 对此式两边关于 t 求导, 得

故当水深 h 5 米时, 其表面上升的速度为

dh 16 16 0.204 (m/ 分) . 2 d t 5 25

例3

设一贴靠在铅直的墙上 ,

y yO

长度为 5 米的梯子的下端以 3 m/秒 的速度离开墙脚滑动 . 问何时梯子上下两端滑 动的 速度大小相同？

dy dt5m

dx dtx

x

解 引入坐标系如图所示 .设在时刻 t 时, 梯子下端离墙脚 x (m), 上端离墙脚 y (m) . 显然, x, y 均为 t 的函数 , 且有

dx 3 (m/秒) , dt

x 2 y 2 52 . (1)

注意到速度的方向性 , 我们的问题是求 x, y 的值 , 使

y

dy dt5m

dy 3 (m/ 秒) . (2) dt2 2 2

yO

dx dtx

对 x y 5 两边关于 t 求导, 得 dx dy 2x 2y 0, dt dt dy x dx 即有 . dt y dt dx x 由 (2) 式及 3 (m/秒) , 得 3 3 , 即 x y. dt y而 x 2 y 2 52 , 故 x y 5 5 2 . 2 2

x

5 2 即当 x y 时, 梯子上下端滑动速度大 小相同. 2

二、曲率我们已经讨论过曲线的凹凸性 , 知道如 何判断曲线的弯曲方向 , 但是还不能描述和 判定曲线的弯曲程度 . 而在许多实际问题中 都必须考虑曲线的弯曲程度 , 例如 , 道路的 弯道设计 , 梁的弯曲程度 , 曲线形的切削工 具的设计等等 . 你认为应该如何描述 曲线的弯曲程度 ?

曲率的概念y设 y f ( x) C 1.

y f ( x)M

点 M 沿曲线运动

到点

M 时 , 相应地切线转过角度 (称为转角),

M

O

弧的改变量为 s . 称 k s

x

单位弧长上的转角

为 MM 的平均曲率. 其中, 与 s 具有方向性 .

︵

d k lim k lim s 0 s 0 s ds称为曲线 y f ( x) 在点 M 处的曲率 .

又是平均值 极限的方法 .

例4

求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则 ︵ s || MM || R 1 O 故 lim lim s 0 R s 0 s R R 即圆上点的曲率处处相同： M 1 k R 半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 .

解

M

曲率的计算公式

设曲线方程为 y f ( x) , f ( x) 二阶可导 ,则在曲线上点 M ( x, y ) 处的曲率为

y k 2 3 (1 y ) 2

证yy f ( x)

如图所示 , 曲线在

M

M

点 M 处切线的斜率为 y tan 故

arctan y

Oy d dx 2 1 y

y d 1 d y 2 d x 1 y d x 1 y 2

x

又

ds

2 1 y d x

d y 从而 k 3 2 ds (1 y ) 2

例5

求直线 y a x b 上任意一点处的曲率 . y a , y 0 ,( x R ) .

解

y k 0 3 (1 y 2 ) 2

直线上任意一点处的曲率均为零 .

参数方程下曲率的计算公式

x x( ) 若 , x( ) , y ( ) 二阶可导 , 则 y y ( )d y y ( ) , d x x ( )d 2 y y ( ) x ( ) y ( ) x ( ) 2 3 dx ( x ( ))

将它们代入曲率计算公式中即可得：

| y ( ) x ( ) y ( ) x ( ) | k 2 2 3 [( x ( )) ( y ( ) )]2

椭圆 x a cos , y b sin (a b 0) 上 ,例6 哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 .dy d y 和 : 利用参数方程求导法求出 2 dx dx dy dx b cos , a sin , d d d y b cos b cot d x a sin a2

解

b ( cot ) 2 d y b 1 a 2 3 2 (a cos ) dx a sin

故

ab y k 2 2 3 2 2 2 3 (a sin b cos ) 2 (1 y ) 22 2

dk 3ab(a b ) sin cos 令 2 2 5 0, d (a sin b 2 cos2 ) 2得驻点3 0, , , , 2 2

dk 的符号依次为 因为 a b , 故在各象限中 d Ⅰ

Ⅱ +

Ⅲ

Ⅳ +

由此可得 :

当 0 , 时 , k 取最大值当

kmax k min

3 2 , 2

时 , k 取最小值

a 2 b b 2 a

例7

求抛物线 y 2 4 x 在点 (0, 0) 处的曲率 .如果用 y 2 x , 会出现导数的分母2 2

解

y 的图形 为零的情形 , 但 y 4 x 与 x 4 2 2 y x 与 y 的 图形形状 相同 , 而 x 4 4 2 x 相同 , 故原问题可以转为求曲线 y 在

4 点 (0, 0) 处的曲率 .

y x 0 y x 02

1 2 ( x ) 0, 4 x 0 1 1 ( x ) , 2 2 x 0

x y 在 点 (0, 0) 处的曲率为 4 y 1 k1 2 3 2 (1 y ) 21 故 y 4 x 在点 (0, 0) 处的曲率为 k . 22

在有些实际问题中 ,若 | y | 1 ,

则可取 k | y | .

现在问你一下 : (假设单位是统一的)1 如果告诉你一条曲线在点 M 处的曲率为 , 5 你能想象出它的弯曲程度吗？

如果告诉你有一个半径为 5 的圆 , 你能想象 出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？ 由此及前面讲的例题, 你有什么想法？

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