上海市长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研（一模）数学试题

2016-2017学年度长宁、嘉定区高三年级第一次质量调研

数 学 试 卷

一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每题填对得4分，第7~12题每题填对得5分．

1．设集合A?{x|x?2|?1,x?R}，集合B?Z，则A?B?_____________． 2．函数y?sin??x??????（??0）的最小正周期是?，则??____________． 3?3对应的点到原点的距离为__________． 2(2?i)3．设i为虚数单位，在复平面上，复数

4．若函数f(x)?log2(x?1)?a的反函数的图像经过点(4,1)，则实数a?__________． 5．已知(a?3b)n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n?______． 6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有___________种．

7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm、圆心角为270?的扇形，则这个圆锥的体积为_____________cm．

8．若数列{an}的所有项都是正数，且a1?a2???an?n2?3n（n?N），则

*31?a1a2an????????_____________．

n??n223n?1??lim

9．如图，在△ABC中，?B?45?，D是BC边上的一点，

AD?5，AC?7，DC?3，则AB的长为_____________．

10．有以下命题：

① 若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)的值域为{0}； ② 若函数f(x)是偶函数，则f(|x|)?f(x)；

1

③ 若函数f(x)在其定义域内不是单调函数，则f(x)不存在反函数；

④ 若函数f(x)存在反函数f?1(x)，且f?1(x)与f(x)不完全相同，则f(x)与f?1(x)图像的公共点必在直线y?x上．

其中真命题的序号是______________（写出所有真命题的序号）．

11．设向量OA?(1,?2)，OB?(a,?1)，OC?(?b,0)，其中O为坐标原点，a?0，b?0，若A、B、C三点共线，则

12

?的最小值为____________． ab

12．如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm，高为5cm， 一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点 的最短路线的长为__________cm．

[来源学&科&网Z&X&X&K]

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

213．“x?2”是“x?4”的???????????????????????（ ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件

14．若无穷等差数列{an}的首项a1?0，公差d?0，{an}的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是?????????????????????????????（ ）

（A）Sn单调递增 （B）Sn单调递减 （C）Sn有最小值 （D）Sn有最大值

2

15．给出下列命题：

（1）存在实数?使sin??cos?? （2）直线x??3； 2?2是函数y?sinx图象的一条对称轴；

（3）y?cos(cosx)（x?R）的值域是[cos1,1]；

（4）若?，?都是第一象限角，且???，则tan??tan?．

其中正确命题的序号为??????????????????????????（ ）

（A）（1）（2） （B）（2）（3） （C）（3）（4） （D）（1）（4）

16．如果对一切正实数x，y，不等式

y9?cos2x?asinx?恒成立，则实数a的取值范围4y是??????????????????????????????????（ ）

（A）???,

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

??4? （B）[3,??) （C）[?22,22] （D）[?3,3] ?3?BC?CD，AD与平面BCD所成的角为30?，如图：已知AB?平面BCD，且AB?BC?2．

（1）求三棱锥A?BCD的体积；

（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

3

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin（1）求角A的大小； （2）若a?

2B?C?2cos2A?7． 23，b?c?3，求b和c的值．

19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分．

某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘．如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为(1,2)，曲线OD是函数y?ax2图像的一部分，过边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y?kx?b（k?0）的图像，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区．

k2（1）求证：b??；

8（2）设点P的横坐标为t， ① 用t表示M，N两点的坐标；

② 将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S?S(t)， 并求S的最大值．

[来源学科网Z,X,X,K]

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数f(x)?9?2a?3?3．

（1）若a?1，x?[0,1]，求f(x)的值域； （2）当x?[?1,1]时，求f(x)的最小值h(a)；

（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：① n?m?3；② 当h(a)的定义域为[m,n]时，其值域为[m,n]．若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．

4

22xx21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知无穷数列{an}的各项都是正数，其前n项和为Sn，且满足：a1?a，rSn?anan?1?1，其中a?1，常数r?N．

（1）求证：an?2?an是一个定值；

（2）若数列{an}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n?N，都有an?T?an成立，则称{an}为周期数列，T为它的一个周期），求该数列的最小周期；

（3）若数列{an}是各项均为有理数的等差数列，cn?2?3n?1（n?N），问：数列{cn}中的所有项是否都是数列{an}中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．

**

2016学年长宁、嘉定区高三年级第一次联合质量调研数学试卷

参考答案与评分标准

一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每题填对得4分，第7~12题每题填对得5分． 1．{2} 2．2 3．

3 4．3 5．6 6．60 57．

3756 10．① ② 11．8 12．13 ? 8．2 9．

82二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．13．B 14．C 15．B 16．D

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

5

[来源学科网ZXXK][来源:学+科+网]

（1）因为AB?平面BCD，所以?ADB就是AD与平面BCD所成的角，即?ADB?30?，且AB为三棱锥A?BCD的高． ??????????（2分）

由AB?BC?2，得BD?23，又由BC?CD，得CD?22． ????（3分）

所以，V?11142． ????????（5分） S?BCD?h???BC?CD?AB?3323（2）取AB中点E，连结EM，EC，则EM∥AD，所以?EMC就是异面直线AD与CM所成的角（或其补角）， ??????????????（1分）

在△EMC中，EM?2，CM?3，EC?5， ??????????（3分）

EM2?CM2?EC24?3?53所以，cos?EMC?， ????????（6分） ??2EM?CM62?2?3即?EMC?arccos3． 63． ????????（7分） 6所以异面直线AD与CM所成角的大小为arccos

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

（1）由8sin2B?C?2cos2A?7，得4cos2A?4cos(B?C)?1?0，??（2分） 22因为A?B?C??，所以cos(B?C)??cosA，故(2cosA?1)?0，????（4分）

所以，cosA?1?，A?． ??????????????????????（6分） 2322222（2）由余弦定理，a?b?c?2bccosA，得b?c?bc?3， ??????（2分）

(b?c)2?3bc?3，得bc?2， ??????????????（4分）

由?

19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分．

6

?b?c?3,?b?2,?b?1,解得?或? ????????????（8分）

?bc?2,?c?2.?c?1,（1）将D(1,2)代入y?ax2得，a?2，

所以二次函数的解析式为y?2x2（0?x?1）， ??????????（2分） 由??y?kx?b,2?y?2x,得2x?kx?b?0， ????????????????（3分）

2k2由题意，△?k?8b?0，所以b??． ??????????????（5分）

82k2（2）① 由（1），一次函数的解析式为y?kx?， ??????????（1分）

8k22因为直线过点P(t,2t)，所以2t?kt?，解得k?4t，故b??2t．????（2分）

8222所以一次函数为y?4tx?2t，令y?0，得x?t?t?，即M?,0?， ??????（3分） 2?2?令y?2，得x??1?1??1?1?，即． ????????????（5分） t?N????t??,2???2?t??2?t??② |MA|?2?t1?1?，|NB|?2??t??， ????????????????（1分） 22?t?2当点N与点B重合时，4t?2?2t?2，解得t?2?3，所以t?(2?3,1)． 所以，S(t)?11???(|MA|?|NB|)?|AB|?4??t??，t?(2?3,1)．????（4分） 2?2t?因为t?122?2，当且仅当t?时取等号，所以当且仅当t?（km），时S(t)取最大值2t22(4?2)（km2）． ??????????????????（6分）

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

xxx2（1）当a?1时，由y?9?2?3?3，得y?(3?1)?2， ??????（2分）

x因为x?[0,1]，所以3?[1,3]，y?[2,6]． ?????????????（4分）

7

（2）令3?t，因为x?[?1,1]，故t??,3?，函数f(x)可化为

3x?1???g(t)?t2?2at?3?(t?a)2?3?a2． ????????????????（2分）

① 当a?1?1?282a时，h(a)?g???； ????????????????（3分） ?33?3?9② 当

1?a?3时，h(a)?g(a)?3?a2； ????????????????（4分） 3③ 当a?3时，h(a)?g(3)?12?6a． ?????????????????（5分）

1?282a?,a?,?933??21综上，h(a)??3?a,?a?3, ??????????????????（6分）

3??12?6a.a?3.??（3）因为n?m?3，h(a)?12?6a为减函数，

所以h(a)在[m,n]上的值域为[h(n),h(m)]， ????????????????（2分）

22???h(n)?m,?12?6n?m,又h(a)在[m,n]上的值域为[m,n]，所以，? 即? ?（3分） 22???h(m)?n,?12?6m?n,22两式相减，得6(m?n)?m?n?(m?n)(m?n)，

因为n?m?3，所以m?n?6，而由n?m?3可得m?n?6，矛盾．

所以，不存在满足条件的实数m、n． ????????????????（6分）

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

（1）由rSn?anan?1?1 ①， 得rSn?1?an?1an?2?1 ②

②－①，得ran?1?an?1(an?2?an)， ????????????（2分） 因为an?0，所以an?2?an?r（定值）． ????????????（4分） （2）当n?1时，a1?a，故ra?aa2?1，a2?221?ra1?r?， ?????（1分） aa8

根据（1）知，数列{an}的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差都是r，所以，

a2n?1?a?(n?1)r，a2n?1?nr， ????????????????（3分） a当r?0时，{an}的奇数项与偶数项都是递增的，不可能是周期数列， ????（4分） 所以r?0，所以a2n?1?a，a2n?1，所以，数列{an}是周期数列，其最小周期为2． a ????????????????????（6分） （3）因为数列{an}是有理项等差数列，由a1?a，a2?1?r，a3?a?r，得 a?1?a?a?r?2??r?，整理得2a2?ra?2?0，

?a?r?r2?16得a?（负根舍去），????????????????????（1分）

4因为a是有理数，所以r?16是一个完全平方数，设r?16?k（k?N），

222*[来源学科网ZXXK]

当r?0时，a?1（舍去）． ????????????????????（2分）

22当r?0时，由r?16?k，得(k?r)(k?r)?16，

*由于r，k?N，所以只有r?3，k?5符合要求， ??????????（4分）

r33n?1*?，所以an?（n?N）．????（6分) 2223m?1n?1*对任意n?N，若cn?2?3n?1是数列{an}中的项，令cn?am，即2?3?，

2此时a?2，数列{an}的公差d?114?3n?1?1?N*，故c2不是数列{an}中的项． 则m?，n?1时，m?1，n?2时，m?33???????????????????（8分）

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