2012届江苏高考数学二轮复习：教案+学案+课后训练--教师备选

一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用

第1讲 集合与简单逻辑用语

1. (2011·安徽)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7}，则满足SA且S∩B≠的集合S的个数为________．

A. 57 B. 56 C. 49 D. 8

【答案】 B 解析：集合A的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23

＝8个，所以集合S共有56个．故选B.

m

2. (2011·江苏)设集合A＝{(x，y)|≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}, B＝{(x，y)|2m≤x＋

2y≤2m＋1，x，y∈R}, 若A∩B≠，则实数m的取值范围是________．

1m1

，2＋2? 解析：由A∩B≠得，A≠，所以m2≥，m≥或m≤0.【答案】 ??2?22|2－2m||2－2m－1|2当m≤0时，＝2－2m＞－m，且＝－2m＞－m，又2＋0＝2＞2m

222|2－2m|1

＋1，所以集合A表示的区域和集合B表示的区域无公共部分；当m≥时，只要≤m

22|2－2m－1|22

或≤m，解得2－2≤m≤2＋2或1－≤m≤1＋，所以实数m的取值范围

2221?是??2，2＋2?.

点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数

m的取值范围的相关条件．

基础训练

1. (－∞，3) 解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝(－∞，＋∞)，A∩B＝[3，＋∞)．

2. n∈N,2n≤1 000

3. 充分不必要 解析：M＝(0,1)N＝(－2,2)．

4. a≥3或a≤－1 解析：Δ＝(a－1)2－4≥0，a≥3或a≤－1. 例题选讲

例1 解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5. ∴ A＝[－2,5]． ① 当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得－2≤p＋1且2p－1≤5.得－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.

② 当B＝时，即p＋1>2p－1p＜2.BA成立．综上得p≤3.

点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B＝，A∪B＝A，A∪B＝B或AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．

变式训练 设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M[1,4]，求实数a的取值范围．

解： M[1,4]有n种情况：其一是M＝，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ≥0，分三种情况计算a的取值范围．

设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a＋8)＝4(a2－a－2)， ① 当Δ＜0时，－1＜a＜2，M＝[1,4]成立； ② 当Δ＝0时，a＝－1或2，当a＝－1时，M＝{－1}[1,4]，当a＝2时，M＝{2}[1,4]；

1

③ 当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M＝

??f?1?≥0且f?4?≥0，

[x1，x2]，M[1,4]1≤x1＜x2≤4?

?1≤a≤4且Δ＞0.?

－a＋3≥0，

??18－7a≥0，即?1≤a≤4，??a＜－1或a＞2，

1818

－1，?. 解得：2＜a≤，综上实数a的取值范围是?7??7

例2 解： ∵ (A∪B)∩C＝，∵A∩C＝且B∩C＝，

?y2＝x＋1，?

由 ? 得k2x2＋(2bk－1)x＋b2－1＝0， ??y＝kx＋b

∵ A∩C＝，∴ k≠0，Δ1＝(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0，

∴ 4k2－4bk＋1<0，此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0，即b2>1，①

2??4x＋2x－2y＋5＝0，∵ ? ?y＝kx＋b，?

∴ 4x2＋(2－2k)x＋(5－2b)＝0，

∵ B∩C＝，∴ Δ2＝4(1－k)2－16(5－2b)<0，

∴ k2－2k＋8b－19<0, 从而8b<20，即b<2.5， ②

由①②及b∈N，得b＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得

2??4k－8k＋1＜0，?2 ?k－2k－3＜0，?

∴ k＝1，故存在自然数k＝1，b＝2，使得(A∪B)∩C＝．

点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.

???1－y＝3

变式训练 已知集合A＝??x，y??

?x＋1??

??

?，B＝{(x，y)|y＝kx＋3}，若A∩B＝，??

求实数k的取值范围．

解： 集合A表示直线y＝－3x－2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合B表示直线y＝kx＋3上所有点的集合，A∩B＝，所以两直线平行或直线y＝kx＋3过点(－1,1)，所以k＝2或k＝－3.

例3 【答案】 A 解析：由于T∪V＝Z，故整数1一定在T，V两个集合中的一个中，不妨设1∈T，则a，b∈T，

由于a，b,1∈T，则a·b·1∈T，即ab∈T，从而T对乘法封闭；

另一方面，当T＝{非负整数}，V＝{负整数}时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对；

当T＝{奇数}，V＝{偶数}时，T，V显然关于乘法都是封闭的，故B，C不对． 从而本题就选A.

例4 证明：(1) ax－bx2≤1对x∈R恒成立，又b＞0, ∴ a2－4b≤0，∴ 0＜a≤2b. (2) 必要性，∵ x∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx2－ax≤1且bx2－ax≥－1， 显然x＝0时成立，

2

111

对x∈(0,1]时a≥bx－且a≤bx＋，函数f(x)＝bx－在x∈(0,1]上单调增，f(x)最大值

xxxf(1)＝b－1.

1?11?1????0，，1函数g(x)＝bx＋在上单调减，在上单调增，函数g(x)的最小值为gx?b??b??b?＝2b，∴ b－1≤a≤2b，故必要性成立；

a2a2aa112

充分性：f(x)＝ax－bx＝－b(x－)＋，＝×≤1×≤1，

2b4b2b2bbba2

f(x)max＝≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a－b，

4b

f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a－b中取最小的，又a－b≥－1， ∴ －1≤f(x)≤1，故充分性成立； 综上命题得证．

变式训练 命题甲：方程x2＋mx＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m的取值范围．

2

??Δ1＝m－4＞0，

解： 使命题甲成立的条件是： ?m＞2.

?x1＋x2＝－m＜0?

∴ 集合A＝{m|m>2}．

使命题乙成立的条件是：Δ2＝16(m－2)2－16<0，∴ 1＜m＜3. ∴ 集合B＝{m|1

若命题甲、乙有且只有一个成立，则有： ① m∈A∩

B，② m∈

A∩B.

若为①，则有：A∩若为②，则有：B∩

B＝{m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}＝{m|m≥3}； A＝{m|1

综合①、②可知所求m的取值范围是{m|1

2. 若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 3. 4 解析：A＝(0,4]，AB, ∴ a＞4, ∴ c＝4.

4. 8 解析：画韦恩图．设同时参加数学和化学小组的有x人，则20－x＋11＋x＋4＋9－x＝36，x＝8.

5. 3或4 解析：令f(x)＝x2－4x＋n，n∈N*，f(0)＝n＞0, ∴ f(2)≤0即n≤4，故n＝1,2,3,4，经检验，n＝3,4适合，或直接解出方程的根，x＝2±4－n，n∈N*，只有n＝3,4适合． 6. 3 解析：正确的是①③④，在②中－3∈[2]才对．

第2讲 函数、图象及性质

1. 已知a＝

5－1

，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系2

3

为________．

【答案】 m＜n 解析： 考查指数函数的单调性

a＝5－1

∈(0,1)，函数f(x)＝ax在R上递减．由f(m)＞f(n)得：m

2. 设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|. (1) 若f(0)≥1，求a的取值范围； (2) 求f(x)的最小值；

(3) 设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．

点拨： 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．

解：(1) 若f(0)≥1，则－a|a|≥1?

?a＜0，???a≥1

2

a≤－1.

∴ a的取值范围是(－∞，－1]

(2) 当x≥a时，f(x)＝3x2－2ax＋a2， f?a?，a≥0，2a，a≥0，????2

f(x)min＝??a?＝?2a

，a＜0，f，a＜0????3??3

2

???f?－a?，a≥0，?－2a，a≥0，

当x≤a时，f(x)＝x＋2ax－a，f(x)min＝?＝?2

?f?a?，a＜0???2a，a＜0，

2

2

2

2

－2a，a≥0，??2

综上f(x)min＝?2a

??3，a＜0.

(3) x∈(a，＋∞)时，h(x)≥1得3x2－2ax＋a2－1≥0，Δ＝4a2－12(a2－1)＝12－8a2. 当a≤－

66

或a≥时，Δ≤0，x∈(a，＋∞)； 22

a－3－2a2??a＋3－2a2?????x－??x－?≥0，6633???当－＜a＜时，Δ＞0，得：?? 22

??x＞a，讨论得：当a∈?

26?

时，解集为(a，＋∞)； ，?22?

62?a－3－2a2??a＋3－2a2?? ?当a∈－，－时，解集为?a，∪???，＋∞2??233????22?a＋3－2a2??. ?当a∈－，时，解集为??，＋∞2??23??综上，当a∈?－∞，－

?

6??222???∪时，，＋∞时，解集为(a，＋∞)，当a∈－，2??2??22?

62?a＋3－2a2a－3－2a2?????解集为??，＋∞?，当a∈?－2，－2?时，解集为?a，33????

4

?a＋3－2a2?∪?，＋∞?.

3??

基础训练 111. x2＋x 22

??x＋1≠0，2. (－∞，－1)∪(－1,0) 解析：?x＜0，x≠－1.

?|x|－x＞0?

3. －4 解析：函数图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2 , 0)

对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x＋2)＝－f(x)，∴ f(x＋4)＝f(x)，

2 009??1111

1 004＋?＝f??，又f?－?＝－f?4＋?＝ ∴ f?＝f2??2??2???2??2?1??1??2 009??1?＝－2f?－1?＝－4. －f?，f＋f＝2f?2??2??2??2??2?

1

－1，? 解析：x∈[－1,2]时，f(x)∈[－1,3]．m≥0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2－m,24. ?2??＋2m]；m＜0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2＋2m,2－m]．m≥0，[2－m，2＋2m][－1,3]；m＜11

－1，?. 0，[2＋2m,2－m][－1,3]得0≤m≤或－1≤m<0，故实数m的取值范围是?2??2例题选讲

例1 解： (1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5), ∴ 可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)．

∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.

由已知得6a＝12, ∴ a＝2, ∴ f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．

37

(2) 方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0.设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h′(x)

x＝6x2－20x＝2x(3x－10)．

1010

0，?时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈?，＋∞?时，h′(x)＞0，h(x)是当x∈?3???3?增函数．

10?1?3，10?，?10，4?∵ h(3)＝1＞0，h?＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴ 方程h(x)＝0在区间3??3?3???27内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m37

＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根．

x

变式训练 已知函数y＝f (x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)的图象关于原点对称．又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.

(1) 证明：f(1)＋f(4)＝0；

(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式； (3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．

(1)证明： ∵ f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f(4)＝f(4－5)＝f(－1)， 又∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)关于原点对称，∴ f(1)＝－f(－1)＝－f(4), ∴ f(1)＋f(4)＝0.

5

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