(新)高中数学第3章三角恒等变换3二倍角的三角函数学业分层测评北师大版必修4

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 1 【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3 二

倍角的三角函数学业分层测评 北师大版必修4

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知α为第二象限角，sin α＝35

，则sin 2α＝( ) A ．－2425

B ．－1225 C.1225 D ．2425

【解析】 因为α为第二象限角，所以cos α＝－

1－? ????352＝－45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×? ????－45＝－2425

. 【答案】 A

2．已知α为第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2

等于( ) A ．43 B ．34 C ．－43 D ．－34

【解析】 因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－? ??

??－24252＝－725，所以tan α2＝±1－cos α1＋cos α，又α2为第二或第四象限，所以tan α2<0，所以tan α2＝－1＋725

1－725＝－43

. 【答案】 C

3．(2015·咸阳高一检测)在△ABC 中，|AB →|＝2sin 15°，|BC →

|＝4cos 15°，且∠ABC

＝30°，则AB →·BC →的值为( )

A ． 3

B ．－ 3

C ．2 3

D ．－2 3

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 2 【解析】 ∵∠ABC ＝30°，

∴AB →与BC →

的夹角θ＝180°－30°＝150°，

∴AB →·BC →＝|AB →||BC →

|cos 150°

＝2sin 15°·4cos 15°·cos 150°

＝4sin 30°cos 150°

＝4×12×? ????－32

＝－ 3.

【答案】 B

4．若α∈? ????0，π

2，且sin 2α＋cos 2α＝1

4，则tan α的值等于( )

A ．22

B ．3

3

C. 2 D ． 3

【解析】 ∵sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(1－2sin 2α)＝1

4.

又∵α∈? ????0，π

2，∴sin α＝32，cos α＝1

2，∴tan α＝ 3.

【答案】 D

5．已知sin α＝5

13，α∈? ????π

2，π，tan(π－β)＝1

2，则tan(α－2β)的值为(

) A ．3356 B ．－33

56

C ．－4

3 D ．4

3 【解析】 ∵sin α＝5

13，α∈? ????π

2，π，

∴cos α＝－1－sin 2α＝－12

13，

∴tan α＝－5

12. 又tan(π－β)＝12，∴tan β＝－1

2，

∴tan 2β＝2tan β

1－tan 2β

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！ 看人生峰高处，唯有磨难多正果。 3 ＝2×? ????－121－14＝－43， ∴tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β

＝－512＋431＋? ????－512×? ??

??－43＝3356. 【答案】 A

二、填空题

6．若cos 2αsin ?

????α－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为________． 【解析】 cos 2αsin ?

????α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22， ∴sin α＋cos α＝12

. 【答案】 12

7．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135

，则tan 2α＝________. 【解析】 sin 3αsin α＝sin 2α＋αsin α

＝1－2sin 2αsin α＋2cos 2αsin αsin α ＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45

.又α是第四象限角， 所以sin 2α＝－35，所以tan 2α＝－34

. 【答案】 －34

8．(2015·宝鸡高一检测)已知0

??π4＋x ＝________. 【导学号：66470075】

【解析】 ∵π4＋x ＝π2－? ??

??π4－x ， ∴cos ? ????π4＋x ＝sin ? ????π4－x ＝513

.

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！ 看人生峰高处，唯有磨难多正果。 4 又0

4， ∴cos ? ????π4－x ＝1－sin 2

? ????π

4－x ＝12

13，

∴sin 2? ????π4－x ＝2sin ? ????π

4－x cos ? ????π

4－x

＝2×5

13×12

13＝120

169. 又sin 2? ????π

4－x ＝sin ? ????π2－2x

＝cos 2x ，

∴原式＝120

169513

＝24

13.

【答案】 24

13

三、解答题

9．化简：1＋sin x ＋cos x ? ??

??

sin x 2－cos x 22＋2cos x (180°

【解】 原式＝

? ????1＋2sin x

2cos x

2＋2cos 2x

2－1? ????sin x

2－cos x

22＋2? ??

??2cos 2x

2－1

＝? ????2sin x

2cos x

2＋2cos 2x

2? ????sin x

2－cos x

24cos 2x

2

＝2cos x 2? ????sin x 2＋cos x 2? ??

??

sin x 2－cos x 22????

??cos x

2 ＝cos x 2?

????

sin 2x 2－cos 2x

2????

??cos x

2

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 5 ＝－cos x 2cos x

????

??cos x 2.

因为180°

所以原式＝－cos x 2cos x

－cos x 2

＝cos

x .

10．已知函数f (x )＝4cos x sin ? ????x ＋π6－1.

(1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在区间??????－π6，π4上的最大值与最小值．

【解】 (1)f (x )＝4cos x sin ? ????x ＋π6－1

＝4cos x ? ????

32sin x ＋12cos x －1

＝3sin 2x ＋2cos 2x －1

＝3sin 2x ＋cos 2x

＝2sin ? ????2x ＋π

6，

所以f (x )的最小正周期为π. (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3， 所以当2x ＋π6＝π2，即x ＝π

6时，f (x )有最大值2， 当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π

6时，f (x )有最小值－1.

[能力提升]

1．已知f (x )＝sin 2? ????x ＋π

4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ? ????lg 1

5，则( )

A ．a ＋b ＝0

B ．a －b ＝0

C ．a －b ＝1

D ．a ＋b ＝1

【解析】 因为f (x )＝sin 2? ????x ＋π

4＝1－cos ? ???

?2x ＋π22＝1＋sin 2x

2，

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！ 看人生峰高处，唯有磨难多正果。 6 所以a ＝f (lg 5)＝1＋sin 2 lg 5

2，

b ＝f ? ????lg 1

5＝1＋sin ?

????2lg 1

52＝1－sin

2 lg 5

2，

α＋b ＝1＋sin 2 lg 52＋1－sin 2 lg 5

2＝1.

【答案】 D

2．若θ∈??????π

4，π

2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )

A 3

5 B ．4

5

C.74 D ．3

4

【解析】 由于θ∈??????π4，π

2，则2θ∈??????π

2，π，

所以cos 2θ<0，sin θ>0.因为sin 2θ＝37

8.

所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－1－? ????3782

＝－1

8.

又cos 2θ＝1－2sin 2θ，

所以sin θ＝1－cos 2θ2＝1－? ??

??－1

82＝34.

【答案】 D

3．函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6＋2sin 2? ????x －π

12，x ∈R 的单调减区间为________．

【解析】 f (x )＝3sin ? ????2x －π

6＋1－cos 2? ????x －π

12

＝ 3 sin ? ????2x －π

6－cos ? ????2x －π

6＋1 ＝2??????

32sin ? ????2x －π6－12cos ? ????2x －π6＋1

＝2sin ??????? ????2x －π

6－π

6＋1＝2sin ? ????2x －π

3＋1.

由π

2＋2k π≤2x －π

3≤3π

2＋2k π，

得5π

12＋k π≤x ≤11π

12＋k π(k ∈Z )，

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 7 所以f (x )的单调减区间为??????5π12＋k π，11π12＋k π，k ∈Z .

【答案】 ??????5π12＋k π，11π12＋k π，k ∈Z

4．已知sin α＋cos α＝355，α∈? ????0，π

4，sin ? ????β－π

4＝3

5，β∈? ????π4，π2.

(1)求sin 2α和tan 2α的值；

(2)求cos (α＋2β)的值．

【解】 (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝9

5，

即1＋sin 2α＝95，所以sin 2α＝4

5.

又2 α∈? ????0，π

2，

所以cos 2α＝1－sin 22α＝3

5，

所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝4

3.

(2)因为β∈? ????π4，π2，β－π

4∈? ????

0，π4，

所以cos ? ????β－π

4＝4

5，于是sin 2? ????

β－π

4

＝2sin ? ????β－π

4cos ? ????β－π

4＝24

25，

sin2? ????β－π

4＝－cos 2β， 所以cos 2β＝－2425.又2β∈? ????

π2，π， 所以sin 2β＝7

25.又sin α＋cos α＝35

5，

所以1＋2sin α·cos α＝9

5，得1－2sin α·cos α＝1

5，

所以(sin α－cos α)2＝1

5.

又α∈? ????0，π

4，所以sin α

因此sin α－cos α＝－5

5，

这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

看人生峰高处，唯有磨难多正果。 8 解得sin α＝55，cos α＝25

5，

所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝25

5×? ????－2425－55×725＝－115

25.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0e5e.html