2013年长沙市“学用杯”数学应用与创新能力大赛八年级决赛试题及

2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛

八 年 级 决 赛 试 题

（2013年3月17日9:30---11:30 时量：120分钟 满分：150分）

一、选择题（本题有10小题，每小题5分，共50分）

（请将惟一正确的选项代号填在下面的答题卡内） 题号 答案 1．已知式子

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (x?8)(x?1)|x|?1的值为零，则x的值为（ ）

A、8或-1 B、8 C、-1 D、1 2．若?1?a?0，那么a(1?a)(1?a)的值一定是（ ）

A、正数 B、非负数 C、负数 D、正负数不能确定 3．定义：f(a,b)?(b,a)，g(m,n)?(?m,?n)，例如f(2,3)?(3,2)，g(?1,?4)

?(1,4)，则g(f(?5,6))等于（ ）

A、(?6,5) B、(?5,?6) C、(6,?5) D、(?5,6)

2224．已知a?b?5，且c?b?10，则a?b?c?ab?bc?ac等于( )

A、105 B、100 C、75 D、50

5．有面额为壹元、贰元、伍元的人民币共10张，欲用来购买一盏价值为18元的护眼

灯，要求三种面额都用上，则不同的付款方式有（ ） A、8种 B、7种 C、4种 D、3种

6．已知一个直角三角形的两直角边上的中线长分别为5和210，那么这个三角形的

斜边长为( )

A、10 B、410 C、13 D、213

7．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长

线于点F，垂足为E，则下面结论：

①AD?BF； ②BF=AF； ③AC?CD?AB； ④BE?CF； ⑤AD=2BE． 其中正确的个数是（ ）

A、4 B、3 C、2 D、1

1 版（共 9 版） 八年级决赛试题·第

8．如果一直线l经过不同三点A(a,b)，B(b,a)，C(a?b,b?a)，那么直线l经过（ ）

A、第二、四象限 B、第一、三象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限

9．能使4m?5，2m?1，20?m这三个数作为三角形三边长的整数m共有（ ）

A、18个 B、12个 C、6个 D、2个 10．如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的

中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE=6，那么△ABC的 面积等于( )

A、12 B、14 C、16 D、18

二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11．已知|a?2|?(b?4)2?bAEDBCa?b?2c?0，则（ac）的平方根是 .

12．若a、b、c满足3a?7b?c?1和4a?10b?c?2001，则分式

为 ．

13．方程|x?1|?|x?2|?5的解为 .

a?b?ca?3b的值

14．甲，乙，丙三管齐开，12分钟可注满全池；乙，丙、丁三管齐开，15分钟可注满

全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要 分钟可以注满全池．

15．甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表： 其中乙

的第5次成绩的个位数字被污损，则乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率是 .

16．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 ． 17．代数式x2 甲 乙 第1次 90 84 第2次 88 87 第3次 87 85 第4次 93 98 第5次 92 9 B M N A C ?4?x2?24x?153的最小值是 ． 18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，M、N是BC 边上的两点，且BM=MN=NC，如果AM=4，AN=3， 则MN= ． 2 版（共 9 版） 八年级决赛试题·第三、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分）

19、今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产

A种板材48000 m和B种板材24000 m的任务.

⑴ 如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60 m2或B种板材40 m，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？

⑵ 某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：

板房 甲型 乙型 A种板材（m） 108 156 22

22

B种板材（m） 61 51 2安置人数 12 10 问这400间板房最多能安置多少灾民？

3 版（共 9 版） 八年级决赛试题·第

20、小明家今年种植的樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进

行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图2所示.

⑴ 观察图象，直接写出日销售量的最大值；

⑵ 求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式； ⑶ 试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？

4 版（共 9 版） 八年级决赛试题·第

21、如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作

CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．

⑴ 求证：四边形AECF为平行四边形；

⑵ 当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB:AE的值．

八年级决赛试题·第

5 版（共 9 版）

22、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同

时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，

点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.

⑴ 当t=1时，正方形EFGH的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH的边长是 ；

⑵ 当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；

⑶ 在整个运动过程中，当t为何值时S最大？最大面积是多少？ ．．．．．．．

6 版（共 9 版） 八年级决赛试题·第

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八年级决赛试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 答案 1431 B 2 C 3 A 399920004 C 5 B 6 D 7 B 8 A 9 D 10 C 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11．?15．

； 12．?； 13．x?3或x??2； 14．10 ；

10. 16． 63 ； 17． 13 ； 18．5．

三、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分）

19、解：⑴ 设有x人 生产A种板材，则有 (210-x)人生产B板材，根据题意列方程： 4800060x?……………………………………………………3分40(210?x)

240006x=8(210-x) x=120. …………………………………………………4分 经检验x=120是原方程的解． 10-x=210-120=90. …………………6分

⑵ 设生产甲型板房m间，则生产乙型板房为(400-m)间．根据题意得：

?108m?156(400?m)?48000…………………………………………9分?61m?51(400?m)?24000?

解得：300?m?360． ……………………………………………………11分

设400间板房能居住的人数为W．则W=12m+10(400-m) W=2m+4000. …13分 ∵k=2>0, ∴ 当m=360时，W最大值=2?360+4000=4720（人）． ………………15分

20、解：⑴ 120千克； …………………………………………………………2分 ⑵ 当0≤x≤12时，函数图象过原点和（12,120）两点，设日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=kx,由待定系数法得，

120=12 k,∴k =10,即日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=10x； ……………………5分

当12≤x≤20时，函数图象过（20,0）和（12,120）两点，设日销售量y与上市时间x的函数解析式为y= kx+b,由待定系数法得，?即

?12k?b?120?20k?b?0,解得??k?-15?b?300， 解

析

式

为

日销售量y与上市时间x的y=-15x+300； ……………………………………8分

函数

⑶ 由函数图象2可得，第10天和第12天在第5天和第15天之间，当5＜x≤15时，直线过（5,32），（15,12）两点，设樱桃价格z与上市时间x的函数解析式为z=kx+b,

7 版（共 9 版） 八年级决赛试题·第

由待定系数法得，??5k?b?32?15k?b?12，解得??k?-2?b?42，即樱桃价格z与上市时间x的函数解析

式为z=-2x+42， …………………… 12分 ∴当x=10时，日销售量y=100千克，樱桃价格z=22元，销售金额为22×100=2200元； 当x=12时，日销售量y=120千克，樱桃价格z=18元，销售金额为18×120=2160元； ∵2200＞2160， ∴第10天的销售金额多. ………………………………………15分 21、解答：⑴ 证明：∵AE⊥BC，∴∠AMB=90°， ∵CN⊥AD，∴∠CNA=90°，

又∵BC∥AD，∴∠BCN=90°，∴AE∥CF， …………………………………3分 又由平行得∠ADE=∠CBD, AD=BC.

所以△ADE≌△BCF，∴AE=CF. ……………………………………5分 ∵AE∥CF，AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形. ……………………7分 ⑵ 当平行四边形AECF为菱形时，连结AC交BF于点O，则AC与EF互相垂直平分， 又OB=OD,∴AC与BD互相垂直平分， ……………………………………8分 ∴四边形ABCD为菱形，∴AB=BC. ……………………………………9分 ∵M是BC的中点，AM⊥BC，∴△ABM≌△CAM，∴AB=AC. …10分 ∴△ABC为等边三角形， ………………………………11分 ∴∠ABC=60°，∠CBD=30°. 在RT△BCF中，易求得CF:BC=

3 3, ………………13分

又AE=CF, AB=BC, 所以AB:AE=3. ……………15分 22、解：⑴ 2；6； ………………………………2分 ⑵ 当0＜t≤

611时（如图），S与t的函数关系式是：

CS=S矩形EFGH=(2t)2=4t2； …………3分 当

611＜t≤

65时（如图），S与t的函数关系式是：

AHGBEPFS=S矩形EFGH-S△HMN =4t-=?当

652

12××[2t-3434(2-t)]

2

2524t2+

112t-

32； ……………5分

＜t≤2时（如图），S与t的函数关系式是：

8 版（共 9 版） 八年级决赛试题·第

S= S△ARF -S△AQE =⑶ 由⑵知： 若0＜t≤若若

6116561112×(2+t) -43 2

12×(2-t)=3t. ……………7分

43 2

，则当t=

61165时S最大，其最大值S=

1441215；……8分

＜t≤

65，则当t=时S最大，其最大值S=

18； ……9分

＜t≤2，则当t=2时S最大，其最大值S=6. …………10分

当2

103103时，s?3t，则当t＝

38t?2210＜t≤5时，s??223112t?3256时，其最大值S=10. ……11分 ，则当t＝5时，其最大值S=，则当t＝

1432533524. ……12分

110275若5＜t≤分 若分

223时，s??252423t?736t?1256时，其最大值S=.……13

＜t≤8时，s??t?2203t?23，则当t＝

223时，其最大值S=121027. ……14

综上所述，当t=

14325时S最大，最大面积是

110275. ………………………15分

9 版（共 9 版） 八年级决赛试题·第

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