2018年聊城大学量子力学(同等学力加试)考研复试核心题库

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2018年聊城大学量子力学（同等学力加试）考研复试核心题库（一） (2)

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第 2 页，共 48 页 2018年聊城大学量子力学（同等学力加试）考研复试核心题库（一）

特别说明：

1-本资料为学员内部使用，整理汇编了2018考研复试重点题及历年复试常考题型。

2-资料仅供复试复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ————————————————————————————————————————

一、计算题

1． 两个自旋为的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子间的相互作用为

其中c 为实常数。设t=0时粒子1的自旋沿z 轴的正方向，粒子2的自旋沿z 轴的负方向，要求： （1）给出H 的本征值，并给出t ＞0时体系处的状态

（2）给出t ＞0时，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率。

【答案】（1）体系的哈密顿算符为：

在稱合表象中，本征函数的编号选为：

哈密顿算符在耦合表现中的矩阵形式为：

则可知的本征值为：

依题意可知，初态波函数为：

这样，可以给出t ＞0时体系处的状态为：

（2）根据上述分析，测量粒子1的自旋仍处在z 轴正方向的几率为：

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2． 设氢原子处于状态

求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.

【答案】氢原子的定态能量为

由氢原子所处的态函数

所以氢原子能量的取值为几率为1，能量的平均值为

角动量平方的取值为几率为1，其平均值为

角动量z 分量的取值为：

几率1/4，

几率3/4，

其平均值

3． 质量为m 的粒子处于角频率为

的一维谐振子势中.

（a ）写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数（可不归一化）. （b ）写出在动量表象中的哈密顿算符.

（c ）证明在动量表象中，哈密顿算符的矩阵元为

.

【答案】（a ）在坐标表象中一维谐振子的哈密顿算符为

本征值和波函数

（b ）在动量表象中坐标算符可表示为

则一维谐振子的势能为

则哈密顿算符为

（c ）在动量表象中哈密顿的矩阵元可表示为

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4． 考虑相距2a 、带电为e 和一e 的两个粒子组成的一个电偶极子，再考虑一个质量为m 、带电为e 的入射粒子，其入射波矢k 垂直于偶极子方向，见图求在玻恩近似下的散射振幅，并确定微分散射截面取最大值的方向。

图

【答案】电偶极子势能为

由波恩近似有散射振幅为

散射微分截面为

【积分未完成】 式中此即所求表达式. 5． —个自旋为1/2的粒子在三维各向同性的谐振子势中运动，求其基态和第一激发态的能量、波函数和相 应简并度。已知质量为的无自旋粒子在一维谐振子势（频率为）中运动的波函数为基态

第一激发态

【答案】三维各向同性的谐振子可作分离变量求解，分别为三个方向的一维谐振子运动的并合。 基态为三个方向都在基态，加上自旋自由度可得波函数为：

其中，

为自旋波函数。 于是可知能量为

简并度等于

第一激发态为有一个方向处于第一激发态，故波函数为：

因此相应能量为

相应简并度为6。 6． 氢原子处于状态

（1）求轨道角动量的z

分量

的平均值。 （2）求自旋角动量的z

分量的平均值。

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（3）求总磁矩的z 分量

的平均值。

【答案】⑴

7． 设

为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，某态表示为在该态下计算（结果应尽量化简）：

（1）在薄球壳内找到粒子的几率。 （2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿

的几率。

（3）

为总角动量，计算在该态下的平均值。

【答案】（1）由题意可得：在薄球壳内找到粒子的概率

为：

（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x 的几率可表示 为：

已知在本征态表象下故：

因此有：

（3）在

下的平均值为：

8． 两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中.求下列条件该体系能

量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量. （1）非全同离子；

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