建模 3~8

第三章 一. 基本概念：

因为人类所从事的一切生产或社会活动均是有目的的，其行为总是在特定的价值观念或审美取向的支配下进行的，经常面临求解一个可行的甚至是最优的方案的决策问题。可以说，最优化思想是数学建模的灵魂。而最优化方法作为一门特殊的数学学科分支有着广泛的实际应用背景。

典型的最优化模型可以被描述为如下形式：

Min{f(X)|X?D}

TX?(x,x?x)12n其中表示一组决策变量，xi(i?1..n)通常在实数域R内取值，

n称决策变量的函数f(X)为该最优化模型的目标函数；D为n维欧氏空间R的某个子集，通常由一组关于决策变量的等式或不等式刻画，形如：

Minf(X)s.t.

这时，称模型中关于决策变量的等式或不等式ci(X)?0(i?1..m1)、ci(X)?0(i?m1?1..m)为约束条件，而称满足全部约束条件的空间Rn中的点为该模型的可行解，称

D?{X?Rn|ci(X)?0(i?1..m1)且ci(X)?0(i?m1?1..m)}，即由所有可行解构成的集合为该模型的可行域。

*称X?D为最优化模型Min{f(X)|X?D}的（全局）最优解，若满足：

*对?X?D均有f(X)?f(X)，这时称X?D处的目标函数值f(X)的为最

*优化模型Min{f(X)|X?D}的（全局）最优值；称X?D为最优化模型

ci(X)?0(i?1..m1)ci(X)?0(i?m1?1..m)X**Min{f(X)|X?D}的局部最优解，若存在

??0，对

?X?D?{X?R|n*f(X)?f(X)。 ，均有

（全局）最优解一定是局部最优解，但反之不然，其关系可由下图得到反映：

?(xi?1ni?xi*)2??}上图为函数y?x?sin(x)在区间[?2,3.5]上的一段函数曲线（由

2Min{x?sin(x)|?2?x?3.5}，从图中Mathematica绘制），如果考察最优化问题发现它有三个局部最优解x1??1.35521、x2?2.1945、x3?3.32277，其中

x3?3.32277是全局最优解，最优值为“?3.31939”。

2

二. 最优化问题的一些典型的分类：

优化方法涉及的应用领域很广，问题种类与性质繁多，根据不同的原则可以给出不同的分类。从数学建模的角度，对最优化问题的一些典型分类及相关概念的了解是有益的。

根据决策变量的取值类型，可分为函数优化问题与组合优化问题，称决策变量均为连续变量的最优化问题为函数优化问题；若一个最优化问题的全部决策变量均离散取值，则称之为组合优化问题。比方一些最优化问题的决策变量被限定只能取整数值，即为组合最优化问题，这类优化问题通常被称为整数规划问题，另外大多网络规划问题属于组合最优化问题。当然，也有许多应用问题的数学模型表现为混合类型的，即模型的部分决策变量为连续型的，部分决策变量为离散型的；另外当谈论一个最优化问题是函数优化问题还是组合优化问题时，还需结合我们对这一问题的思考方式来进行确定，比方后面介绍的线性规划问题的求解，既有将其作为一个组合优化问题而开发的算法，也有将其作为一个函数优化问题而开发的算法；

另外的一种分类方式是根据问题中目标、约束条件函数的形式或性质来加以划分的：若一个最优化问题的目标、约束条件函数均为决策变量的线性函数，则称之为线性规划问题，否则称之为非线性最优化问题。线性规划问题的研究，理论和方法都已发展的相当成熟，方法被广泛应用于生产和管理等领域；而对非线性最优化问题，根据建模和算法设计的需要还有更进一步的分类；

在生产、经济与管理等领域中遇到的大量最优决策问题，对一个方案的评价是多角度多指标的，反映在数学模型中，优化的目标是关于决策变量的一个函数组，我们称之为多目标规划问题。比如导弹的设计，既要其射程远，又要消耗燃料少，还要命中率高等；又如选择新厂的厂址，除了要考虑地价、原料采购的运费等经济指标外，还需考虑对环境的污染等社会因素。

三. 最优化问题最优解的一阶必要条件：

Minf(X)s.t.这里对形如 的最优化问题的一阶必要

性条件作简单介绍，它一方面可以将最优化问题和方程组问题做某种形式的联系，另一方面它在最优化问题数值求解算法的设计有重要的意义。

Minf(X)ci(X)?0(i?1..m1)ci(X)?0(i?m1?1..m)s.t.*n定理：设X?R为最优化问题最优解，若满足：

*1） f(X)、ci(X)(i?1..m)在X均可微；

ci(X)?0(i?1..m1)ci(X)?0(i?m1?1..m)的（局部）

**?c(X)(i?1..m)分别表示f(X)、ci(X)(i?1..m)在X*的梯度?f(X)i2） 、

**{?c(X)|c(X)?0,i?1..m}线性无关； ii向量，向量组

则??i?R(i?1..m)，满足：

1）

；

*??0??c(X)?0。 i?1..miii1，均有2）对于且

22Min ? x 1 ?2x1?x2i?1?f(X)???i??ci(X*)*m 2 ? x1?2。 例、求解如下非线性规划:s. t . 0 ? x解：目标函数的梯度向量（函数）为(?2x1?2,?2x2)，而约束条件相当于有

(0,1)、三个：x2?0、x1?x2?0、2?x1?0，它们分别对应梯度向量（函数）(1,?1)、(?1,0)；

令(?2x1?2,?2x2)??1(0,1)??2(1,?1)??3(?1,0)、?1x2?0、?2?(x1?x2)?0、?3?(2?x1)?0并要求?i?0(i?1,2,3)。解之得四组解： 1）x1?x2?2；?1?0,?2?4,?3?6； 2）x1?x2?0；?1?2,?2?2,?3?0； 3）x1?2,x2?0；?1?0,?2?0,?3?2；

4）x1?1,x2?0；?1?0,?2?0,?3?0；

计算每个点的目标函数值，发现x1?x2?2为（全局）最优解，最优目标函数值为?4。

特别，对于无约束最优化问题，其一阶最优化条件如下：

*nn(X)的（局部）最优解，若f(X)在X*均定理：设X?R为最优化问题Mi f***f(X)?f(X)?f(X)?0。 X可微，则在的梯度向量为零向量，即

§3.2 无约束最优化方法

在这里我们只是对一些典型的最优化算法作简单介绍，以期那些初次接触数值计算方法的学习者能对最优化算法的设计思想有概貌性了解，能编写一些简单的最优化算法以处理学习中遇到的问题。而希望对最优化方法有更深入的学习或者欲处理相对复杂的最优化问题，需要参考更为专门的书籍或借助有关数学软件。

一．一维搜索：

1． 0.618法（黄金分割法）：

设单变量函数f(x)在区间?a,b?上有定义，若存在一点x???a,b?，使得f(x)在区间a,x?上严格单调减，f(x)在区间x?,b上严格单调增，则称f(x)是区间?a,b?上的（下）单峰函数。显然x?是f(x)在区间x?,b上的唯一的极小值点。

对（下）单峰函数，有如下基本性质：

性质1：设f(x)是区间?a,b?上的（下）单峰函数，x?是f(x)在区间?a,b?上的唯一的极小值点，对任意xi(i?1,2,3)?[a,b],x1?x2?x3，若

??????性质2：设f(x)是区间?a,b?上的（下）单峰函数，x?是f(x)在区间?a,b?上的唯一的极小值点，对任意xi(i?1,2)?[a,b],x1?x2，若f(x1)?f(x2)，则必有

f(x1)?f(x2),f(x3)?f(x2)，则必有x??[x1,x3]；

x??[a,x2]；若f(x1)?f(x2)，则必有x??[x1,b]。

根据（下）单峰函数所具有的性质，对在某区间?a,b?上的（下）单峰函数f(x)可采用0.618法（黄金分割法）进行搜索其在区间?a,b?内的极小值点。方法只需计算函数值，用途很广。

0.618法：

这里设f(x)为区间??,??上的单峰函数，（即黄金分割数，?0.618，??52?1算法由此得名）， 步1：令a:??，b:??，c:?b??(b?a)，d?a?b?c，C:?f(c)，D:?f(d)，以及精度要求??0；

a?ba?b)为近似最优目标函数步2： 若b?a??，输出：为近似最优解，f(22值，停止；

步3： 若C?D，a:?c，c:?d，d:?a??(b?a)，C:?D，D:?f(d)，转步2；

步4：b:?d，d:?c，c:?b??(b?a)，D:?C，C:?f(c)，转步2；

易知，按照如上算法，每次迭代，只需计算一个点的函数值，均使解的存在区间以 1?? 的比率缩小；而在所有固定分划比的区间分割法中，以上特点为黄金分割法所独有，其余，每次迭代，需计算两个点的函数值。从计算相同的函数值数目而使最优解的存在区间长度所能达到的缩小比率考虑，黄金分割法在所有固定分划比的区间分割法中是最优的，这里将黄金分割法连续迭代两次，最优

?5?1?5?1???0.618，而其它解的存在区间长度所能达到的缩小比率为1???2?2??所有具有固定分划比的区间分割法每次迭代所达到的缩小比率小于0.5。因此黄金分割法在所有固定分划比的区间分割法中是最优的。

例：用0.618法求解Min x2，解的初始存在区间取[?1,100]，这里要求在近似解的误差不超过??10?4。

解：用0.618法编程求解，经29步迭代，得该问题的近似解及其目标函数值为

。

2． 牛顿法与抛物线法：

在所有函数中，讨论二次多项式函数的极小（大）值问题最为典型。对一元

b二次多项式q(x)?a?x2?b?x?c，当a?0时，易知x???是无约束最优化问

2a题Min f(x)的最优解。而对一般函数最优解的求解，可以利用对一些点处目标函数的函数值、一阶或二阶导数值构造目标函数在一点局部或者在一定范围内的二次多项式逼近模型，以逼近模型的最优解作为求解原最优化问题的一个迭代点。

2称这类方法为（二次）插值法。

对一元函数，二次多项式逼近模型的建立通常有四种方式：其一是利用函数在一点处函数值、一阶及二阶导数值；其二是利用三个不同点的函数值；其三是利用两个不同点的函数值以及它们中一点的一阶导数值；其四是利用两个不同点的一阶导数值以及它们中一点的函数值。这里只介绍前两种，而称基于第一种方式构造的算法为牛顿法，称基于第一种方式构造的算法为抛物线法。

设xk(k?1,2,3...)为Min f(x)的某算法的迭代点列，在牛顿法中，迭代公式采用：

xk?1?xk?f'(xk) \f(xk)而在抛物线法中，迭代公式采用：

2222221(xk?1?xk?2)?f(xk?3)?(xk?3?xk?1)?f(xk?2)?(xk?2?xk?3)?f(xk?1) xk??2(xk?1?xk?2)?f(xk?3)?(xk?3?xk?1)?f(xk?2)?(xk?2?xk?3)?f(xk?1)当函数具有比较好的解析性质时，牛顿法与抛物线法通常比0.618法的效果更好。

例：分别用牛顿法、抛物线法求解Min x2?10x4?10x6，在选用牛顿法时初始点取x1?100，在选用抛物线法时初始点取x1,x2,x3???100,100?且服从均匀分布的一组随机数，这里要求在近似解处一阶导数的绝对值不超过??10?4。

解：用牛顿法编程求解，经29步迭代，得该问题的近似解及其目标函数值为

以下为整个迭代点列：

用抛物线法编程求解，经22步迭代，得该问题的近似解及其目标函数值为

以下为整个迭代点列：

二．多元函数的无约束最优化方法：

对于多元函数的无约束最优化问题Min f(X), (X?Rn)的数值求解，这里只介绍“最速下降法”和“牛顿法”。前者体现了“一维搜索”在多元函数的最优化问题数值求解中的应用，同时也是下降算法中最典型的代表；而后者，可以被视为一元函数最优化问题的牛顿法求解的推广，其每一步基本迭代均采用在当前迭代点处的二阶Talor展式作为原目标函数的一个局部逼近模型进行求解。

1．最速下降法：

设Xk(k?1,2,3...)为Min f(X)的某算法的迭代点列，迭代dk???f(Xk) (k?1,2,3...)为目标函数在点Xk(k?1,2,3...)处的负梯度方向，

公式采用：

Xk?1?Xk??k?dk

这里，步长因子?k为（一元函数）最优化问题Min?(?)?f(Xk???dk)的（近

??0似）解，可采用一维搜索进行求解。

例：用最速下降法求解Min x2?2x4?2y2?2xy，初始点取(x1,y1)?(10,10)，这里要求在近似解处目标函数梯度的模不大于??10?4。

解：用最速下降法编程求解，经28步迭代，得该问题的近似解及其目标函数值为

以下为整个迭代点列：

2．牛顿法：

设Xk(k?1,2,3...)为Min f(X)的某算法的迭代点列，gk??f(Xk) (k?1,2,3...)为目标函数在点Xk(k?1,2,3...)处的梯度向量，牛Hk??2f(Xk) (k?1,2,3...)为目标函数在点Xk(k?1,2,3...)处的Hessian矩阵，

顿法的迭代公式采用：

Xk?1?Xk?Hk?1?gk

1T?(X?Xk)?(X?Xk)T?Hk?(X?Xk)特别当Hk正定时，Xk?1为Min f(Xk)?gk2的解。

例：用牛顿法求解Min x2?2x4?2y2?2xy，初始点取(x1,y1)?(10,10)，这里要求在近似解处目标函数梯度的模不大于??10?4。

解：用牛顿法编程求解，经12步迭代，得该问题的近似解及其目标函数值为

以下为整个迭代点列：

第四章: 存贮模型

§4.1 不允许缺货的确定性贮存模型

工厂要定期地订购各种原料，存放在仓库里供生产之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。不论是原料、商品，还是水的贮存，都有一个贮存多少的问题。原料、商品存得太多，贮存费用（比方仓库租赁费、资金占用须支付银行的信贷费用等）高；存得太少则无法满足需求。在此我们设想是在为一个商店老板制定一个好的进货策略。

一、 模型假设：

1．假设商店经营的商品单一，顾客对该物品的需求量在时间上保持恒定，

即在任何时刻，单位时间（每天）对物品的需求量恒为r（吨）； 2．商店采用周期进货策略：每隔时间T（天）进货Q（吨）；且假设每次进

货是在存货全部售出后即刻进行，不允许缺货，即Q?r?T；

3．每次进货需支付订货费（等一次性费用）c1，在正常期间，还需支付货物的贮存费用，单位时间（天）单位（吨）货物需支付货物的贮存费用c2； 4．以q(t)表示在时刻t该货物的存量；

二、 模型建立

根据假设，不难得到如下最优化问题：

MinC?c1?c2??q(t)?dt/T0s.t.q(t)?Q?r?tQ?r?T?T?0?t?Tc1c2?r?TMinC??可以进一步化简，得T2，即本模型本质上只有一个独立的T?0决策变量T，其中目标函数C表示在进货周期为T时，商店在单位时间（每天）承担的平均费用。

三、 模型求解

dC2c1?0，即?c1/T2?c2?r/2?0，得最优的进货周期T?令rc2，进而dT2rc1得每次的进货量Q?rT?。 c（即经济理论中著名的经济订货批量公式）

2

四、

点评

从模型的解可以发现，当订货费越高，需求量越大时，一次订货量应越大；当贮存费越高，一次订货量应越小。这些关系是符合常识的，但仅凭常识是不能得到准确的依从关系。

§4.2 允许缺货的确定性贮存模型

我们经常遇到这样的情形：当我们到一家商店中购买一件物品时，被店员告

知该物品缺货——在本节我们讨论一个允许缺货的确定性贮存模型，和前面介绍的不允许缺货的确定性贮存模型相比，容易发现当一家商店由于缺货而支走顾客而失去销售机会，从而使利润减少；减少的利润可以视为因缺货而付出的费用，因此在建模时引入“缺货费”。

一． 模型假设：

1．假设商店经营的商品单一，顾客对该物品的需求量在时间上保持恒定，

即在任何时刻，单位时间（每天）对物品的需求量恒为r（吨）； 2．商店采用周期进货策略：每隔时间T（天）进货Q（吨）；且假设每次进

货是在存货全部售出之后进行，允许缺货，即Q?r?T；

3．每次进货需支付订货费（等一次性费用）c1，在正常期间，还需支付货

物的贮存费用，单位时间（天）单位（吨）货物需支付货物的贮存费用c2；在缺货期间需对由于错失销售机会而承担损失，每天单位时间（天）单位（吨）货物需支付缺货费c3；

4．以q(t)表示在时刻t该货物的存量，当q(t)?0时表示缺货量；

二． 模型建立

根据假设，不难得到如下最优化问题：

MinC?c1?c2??s.t.?Q/r0q(t)?dt?c3??TQ/rq(t)?dt/T0?t?T

?q(t)?Q?r?t可以进一步化简，得MinT?0立的决策变量T、Q，其中目标函数C表示在进货周期为T、进货量为Q时，商店在单位时间（每天）承担的平均费用，为T、Q的一个二元函数。

三．

模型求解 C??c?c3?T?0令??C，解之可得最优的进货周期T?2c1，进而得每次的?2rc?02c3??Q2rc1c2?c3。

c2?c3c1c2?Q2c3?(rT?Q)2C???，即本模型有两个独T2rT2rT进货量Q?四． 点评

将本模型的解和前面一节不允许缺货的模型的解进行比较，发现进货周期变长，而一次进货量却有所减少，即确实存在一段时间，商店是处在缺货状态下的。

如果我们关心的是一家有盈利的商店，其盈利的源泉在于销售收入，即其盈利行为发生在有货供应的时段内，而在缺货期内只能错失销售机会，因此，定性

判断，若以一次进货量取Q?2rc1c2?c3，商店将进货周期缩短到

c2?c3c32c1，其盈利会增加。即对经营单一商品的以盈利为目的的?rc2c2?c3商店不应当允许缺货。这与本模型及其解答存在矛盾，问题发生在什么地方？

在追求利润最大化与成本最小化之间是有差别的，前者是一种积极的经济行为目标，后者相对消极，只有假定总的销售收入（产值）相同时，二者才是等价

?Q?rtIF 0?t?Q/r的；如果在假定二者一致的前提下，若q(t)??，即可得要

rIF Q/r?t?T?么不允许缺货，要么永不进货（即放弃经营该产品）的结论——在自由市场的条件下，这样的结论更为实用，而本节模型及其解答只有当商家在对一种商品的经营具有垄断地位时才有实用意义。

在自由市场的条件下，人们在日常生活中遇到某些商品在某家商店缺货的现象，本节模型是不能给出回答的，而其原因在于通常的商店经营的商品并非单一，顾客的流量是有很大随机性的。读者可以试着考虑在假定顾客的需求量确定的前提下，同时经营两种以上商品的最优进货策略问题。 T'?Q/r?

§4.3 随机贮存模型——报童的诀窍

前面讨论了两个确定性的贮存模型，即假定顾客对某种商品的需求量是准确预测的前提下给出的，而实际的情形远为复杂——顾客对某种商品的需求量是服从某些规律的随机变量，因此应当有区别于前面两个模型的处理方法。

一． 模型假设

1．考虑一种报纸的买进，假定某个报童在某个街区卖报，而该街区居民在一天中对这份报纸的需求量r是随机的。?(r)表示随机变量r的概率密度函数（即假定该种报纸的需求量通常是一个比较大的量，可以视之为一连续变量；若视r为离散变量处理，以pr表示居民在一天中对这份报纸的需求量为r时的概率）；

2．报童在每天早晨以价格b买进n份报纸，以价格c卖出，经过一天出售，将剩余报纸以价格a退给报商，通常0?a?b?c。

二． 模型建立

影响报童一天的利润有两个因素：n,r，当n,r取定，报童一天的利润

?(c?b)?r?(b?a)?(n?r)IF 0?r?n，因为r是一随机变量，因此f(n,r)??(c?b)?nIF r?n?f(n,r)同样是一随机变量，按照期望值准则，可得当报童在早晨购进n份报纸其可以获得的利润的期望值：

f(n)??0f(n,r)??(r)?dr ??0?(c?b)?r?(b?a)?(n?r)???(r)?dr??n(c?b)?n??(r)?drn????

将之作为决策变量n的目标函数，最大化即构成报童卖报的最优化模型。

三． 模型求解

df(n)?0令

dn??n，可

n得最优性条件为

(c?b)???(r)?dr?(b?a)???(r)?dr。可以如下理解：(c?b)、(b?a)分

0别为一份报纸在卖出时所得利润和在卖不出去时所受损失；

?n0?(r)dr、

???n?(r)dr分别表示顾客对报纸的需求量不足n和超过n的概率，假设购进n份

报纸是最优的，那么考虑购买n?1份报纸，多增加的那一份报纸所能给报童带来利润与损失从数学期望的角度将是“接近”相等的。

读者可以给出视r为离散变量处理时，模型的描述与模型解的最优性条件。

§4.4 随机贮存模型——(s,S)策略

由于顾客对一种商品的需求是随机的，因此在实际生活中，还有一种进货策略——(s,S)策略被广为采用：商店老板每隔一定时间要对商品的存货进行清点，只有当存货数量不足s时才决定进货，且一次进货的订货量取S与当前存货数量的差值。

一． 模型假设

1．假设商店经营的商品单一，商店采用周期进货策略：每隔一定时间，比方一周，商店老板要对商品的存货进行清点，以决定是否进货。只有当存货数量q不足s时才决定进货，且一次进货的订货量取S与当前存货数量的差值，x表示进货量；

2．顾客在一周时间内对该物品的需求量r是一随机变量，?(r)表示随机变量r的概率密度函数；

3．商店在一周可能支付的费用有：每次的订货费c0，其取值与进货数量无关；每件商品在一周的贮存费c1。a、b分别表示一件商品的购进价格和售出价格；

4．商店在一周的销售活动全部集中在一周的周初，因此商店须为剩余商品支付一周的贮存费用；

二． 模型建立

首先考虑S的确定，设当前存货数量q，且决定进货，这时进货数量x成为决策变量。和报童卖报一样，x的取值应当在期望值的意义上使得利润最大化。

?(b?a)?r?[c0?c1?(x?q?r)]IF r?x?qf(x,r)??(b?a)?(x?q)?c0IF r?x?q?

为进货数量取x，而需求量为r时商店在下周的利润。取其数学期望，得：

f(x)????0x?qf(x,r)??(r)?dr{(b?a)r?[c0?c1(x?q?r)]}?(r)dr??[(b?a)(x?q)?c0]?(r)drx?q?? ??若

0记

L(u)??[(b?a)r?c1(u?r)]?(r)dr??(b?a)u??(r)dr0uu??，

则

f(x)?L(x?q)?c0。

三． 模型求解

x?q??df?0，得最优性条件：c1???(r)dr?(b?a)???(r)dr ，其经济意令

0x?qdx义和对报童购报的诀窍导出的最优性条件的解释是类似的，不在赘述。

我们也直接从最优性条件获得，不论当前存货数量q取何值，只要决定进货，那么最优的订货量总是使得下期起初的货物量x?q达到确定的值：x?qb?ab?aS应满足S?(r)dr? ，即。 ?(r)dr??0?0c1?(b?a)c1?(b?a)按照前面的进货策略，根据当前存货数量q，要么选择进货x?S?q，这时下周销售利润的期望f?L(S)?c0；要么选择不进货，这时下周销售利润的期望f?L(q)。显然，若L(S)?c0?L(q)时，应当选择不进货。如图所示，函数L(q)在[0,??)上通常为一单峰曲线，可得s?Min{q?0|L(q)?L(S)?c0}，也即关于变量q方程L(S)?c0?L(q)在(0,S)内的解。

四． 点评

在本章涉及的四个贮存模型均被归结为最优化问题，或成本最小化，或利润最大化，这并非偶然，因为人类所从事的一切生产或社会活动均是有目的的，其行为总是在特定的价值观念或审美取向的支配下进行的，因此，当可行方案不唯一的前提下，总是在某中评价指标下选择最优的方案。可以说，最优化思想和方法是数学建模的灵魂。

另外，在两个随机性模型分析中，目标函数选择利润函数，其避免了在“允许缺货的贮存模型”讨论中的许多含糊的地方。

第五章 几个经济模型

§5.1 实物交换模型

一． 问题分析与模型假设:

1．讨论甲、乙双方，限于A、B两种物品；

2．以?x,y?、?u,v?分别表示甲方、乙方拥有A、B两种物品的量，以f(x,y)、

g(u,v)分别表示甲方、乙方相应的满意程度，称之为满意度函数；

??3．以?x0,y0?、u0,v0分别表示甲方、乙方在交易前拥有A、B两种物品的量。

二． 模型建立：

显然甲、乙双方均希望通过交易以得到更大的满意度，即从甲方的角度，应极大化f(x,y)，从乙方的角度，应极大化g(u,v)，当然还应考虑一些约束条件，

我们一并归结为如下多目标最优化问题：

?f(x,y),g(u,v)?Max?x?u?x0?u0?y?v?y0?v0?s.t??f(x,y)?f(x0,y0)??g(u,v)?g(u0,v0)x,y,u,v?0

三． 模型求解：

作定性的分析，满意度函数f(x,y)、g(u,v)应具有如下性质：

?f?f,?0f(x,y)1． 满意度函数连续、非负，且对各自变量单调递增，即?x?y；

2． 考察满意度函数f(x,y)的等值线（族）f(x,y)?C，这里称之为甲方的无

差别曲线（族），应满足：对不同的二常数C1,C2，无差别曲线f(x,y)?C1与f(x,y)?C2不交；若将f(x,y)?C视为一隐函数，变量y对于变量x单调递减；曲线f(x,y)?C为下凸的，即在通常情况下，人们当在拥有一种物品（A）的量相对多时，倾向以较多的这种物品（A）来换取较少的另一种物品（B）。

xy3． 而满足如上特点的函数类有很多，比如（其中?,??0为参数）、

?x??y、a?xp?yq（其中a,p,q?0(??xp?b?yp)1/p（其中a,b?0;0?p?1为参数）

为参数）等。

进而可得，问题的一个有效解须满足的必要条件： 1．x?u?x0?u0，y?v?y0?v0； 2．

，即；

3．f(x,y)?f(x0,y0)，g(u,v)?g(u0,v0)。

所有有效解构成一段有限曲线段，称之为交换路径。

f{?,?x?f?y?g}//{?,u?g?v}?f?xg????v?f?y?g??u§5.2 经济增长模型

问题：大到一个国家的国民产值，小到一个企业中某种产品的生产量，其值通常取决于相关的生产资料和劳动力等重要因素。而这些量之间究竟存在何种依赖关系，进而劳动生产率提高的条件是什么？

一． 模型假设

1． 生产量Q，只取决于两个重要因素：生产资料K（厂房、设备、技术革新

等）和劳动力L（数量、素质等），即Q?f(K,L)；另外，这几个量又是随着时间t的变化而不断改变的，因此也把它们视为时间t的函数：Q(t)、

K(t)、L(t)，在劳动生产率增长的条件的讨论中，L(t)服从指数增长规律，

相对增长率为常数?，而K(t)的增长率正比于生产量Q(t)，即将Q(t)按照某一固定比率?用于生产（资料）性扩大再生产投资； 2． 劳动生产率Z可由生产量Q与劳动力L之比来表征。

?Q?Q,?0Q?f(K,L)K,L定性分析，关于均单调增，即?K?L

二． 模型建立与求解

1． 道格拉斯（Douglas）生产函数

在附表中美国马萨诸塞州1890~1926年生产资料指数iK、劳动力指数iL与总产量指

数

iQ的一组统计数据，取1899年为基年，即t?0，以此为参照，

iQ(t)?Q(t)L(t)K(t),iL(t)?,iK(t)? Q(0)L(0)K(0)iL(t)，iK(t)也许我们很难直接从表上发现什么，但若定义?(t)?ln?(t)?lniQ(t)iK(t)并作{(?(t),?(t))|t??9..27}的散点图，发现?,?基本(t??9..27)，

?。 上服从正比例关系，利用数据拟合，可得??0.733674这一结果并非偶然，事实上它被后来更多地区或国家的统计数据所肯定：存在常数??(0,1)，?????。当然常数??(0,1)取值通常和相应地区或国家的经济发展阶段以及主要产业类型等因素有关。

-1-0.8-0.6-0.4-0.2-0.2-0.4-0.6-0.8进而可得：，即（这里a?Q(0)?L??(0)?K?(1??)(0)），它是著名的Cobb-Douglas生产函数。

QLK????(1??)?，即生产量Q、生产资料K和劳动力LQLK三者的相对增长率服从简单的线性规律。其中系数?,(1??)分别为产量对劳动力、

???iQ?iL?i?1??K -1Q?a?L??K1??由此不难得到

生产资料的弹性系数，r?1?0说明产量增长主要靠劳动力的增长；r?0?0i,i,i说明产量增长主要靠生产资料的增长。附表：美国马萨诸塞州1890~1926年KLQ数据 t iK(t) iL(t) iQ(t) t iK(t) iL(t) iQ(t) 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63 2.74 2.82 3.24 3.24 1.22 1.17 1.30 1.39 1.47 1.31 1.43 1.58 1.59 1.66 1.68 1.65 1.62 1.30 1.30 1.42 1.50 1.52 1.46 1.60 1.69 1.81 1.93 1.95 2.01 2.00 t iK(t) iL(t) iQ(t) 3.61 4.10 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58 4.58 4.58 4.54 1.86 1.93 1.96 1.95 1.90 1.58 1.67 1.82 1.60 1.61 1.64 2.09 1.96 2.20 2.12 2.16 2.08 2.24 2.56 2.34 2.45 2.58 -9 0.95 0.78 0.72 4 -8 0.96 0.81 0.78 5 -7 0.99 0.85 0.84 6 -6 0.96 0.77 0.73 7 -5 0.93 0.72 0.72 8 -4 0.86 0.84 0.83 9 -3 0.82 0.81 0.81 10 -2 0.92 0.89 0.93 11 -1 0.92 0.91 0.96 12 0 1.00 1.00 1.00 13 1 1.04 1.05 1.05 14 2 1.06 1.08 1.18 15 3 1.16 1.18 1.29 16

2．劳动生产率增长的条件：

?17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 根据模型假设，劳动生产率Z(t)?Q(t)/L(t)，其持续增长的条件应为

Z(t)?0恒成立。考虑我们讨论的几个主要经济变量通常均恒取正值，故可以等

价地用劳动生产率的相对增长率Z(t)/Z(t)?0来刻划。

??1????11??Z(t)?Q(t)/L(t)Z(t)?a?L(t)?K(t)，两Q?a?L?K将代入，得

边同时取对数，然后对t求导，可得：

ZKL?(1??)?(?)ZKL

???令之恒取正值，得等价条件：

KL?恒成立，即对生产资料投入的相对增KL??长率恒大于劳动力的相对增长率。

同样根据模型假设，K(t)、L(t)为如下初值问题

????L??K???Q???K(0)?K0?t??L??Qa?K1???L?L(0)?L0??a???L0?(e????t?1)。因此，就这一具体经的解，得L(t)?L0?e，K?(t)?K0??????KL?K(0)L(0)??K0????济增长模式，????，其恒取正值的充分必要条件为

KL?K0L0???K?????

K(0)L(0)??0，其经济意义为：只要在初始时，对生产资料的相对增长率大于K0L0劳动力的相对增长率，就能保证劳动生产率的不断增长，反之，劳动生产率只会不断降低。

三．点评

在本文中Cobb-Douglas生产函数的给出，是通过对大量统计数据分析的基础上得到的。统计分析方法是一类重要的数学建模途径：首先对一些变量或他们的导出变量之间的关系，根据统计数据作定性的分析判断，比方文中提及的借助对一些变量统计数据的散点图的直观表现作定性分析，然后在用数据拟合等方法给出相应变量间的具体函数依赖关系。另外一类建模方法这里称之为机理分析方法，尽管一些变量间的依赖关系难于把握，但它们的某些导出变量之间所服从的规律却是相对简单的，比方一些变量的变化率、相对变化率等。这样，我们通常首先得到的是我们所关心的变量的一些微分方程（组）或积分方程（组），然后通过解析的或数值的方法给出具体的解，这样的例子可参考几个人口增长模型的建立。

另外，尽管Cobb-Douglas生产函数的导出在本文中介绍的是采用统计分析方法的途径，但对其最终形式的表现，我们注意到有如下特点：

Q?a?L??K?

其中?,??(0,1)，且????1。若用财富的单位来统一考察生产量Q、生产资料K和劳动力L等三个量，生产函数的形式符合量纲齐次原则。量纲分析是20世纪初被提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，而其方法的核心思想—

??

—量纲齐次原则，要求当用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲一致。事实上，对经济增长条件的讨论，后来学者的研究工作对生产值（量）的影响因素已不局限于只对生产资料和劳动力两个量的考虑，而是将像对科技进步、对教育的投入等比较重要的量作为独立的生产要素加以讨论，所用模型是对Cobb-Douglas生产函数的扩展，而上述量纲齐次原则被先验地利用起来。

§5.3 多人合作分益模型与公理化方法建模

问题：设想n个人从事某项经济活动, 对于他们之中若干人组合的每一种合作 (特别, 单人也视为一种合作), 都会得到一定的效益, 当人们之间的利益是非对抗性的, 合作中人数的增加不会引起效益的减少, 这样, 全体n个人的合作将带来最大效益. n个人组成的集合及各种可能合作的效益就构成n人合作对策, 而一个重要的问题是如何将合作收益合理的分配给每个人, Shapley L. S.应用公理化方法在1953年给出了解决该问题的一种方法——Shapley值.

一． 模型假设

1．n个人或合作主体I?{1,2,...,n}地位平等，其利益非对抗；

2．对于他们之中的任何一种组合s?I均被视为某种合作且可创造一定的收益

v(s)，合作中人数的增加不会引起效益的减少。这样，全体n个人的合作

I?{1,2,...,n}将带来最大的效益，而n个人单干时所收到的整体效益最小。

二． 模型建立

I2?{s|s?I}上的一个实值vI根据模型假设，合作收益是集合的幂集合

函数,满足：

1） v(?)?0；

2） 对任意s1,s2?I, s1?s2??，均有v(s1?s2)?v(s1)?v(s2)。

称任何满足如上性质的函数v为n人合作对策的特征函数。

??以?(v)??1(v),?2(v)??n(v)表示对应合作收益v的一个合作对策的分配算法，?i(v)表示第i个人按照算法?从最大的合作效益v(I)中分得的份

额。我们的目标是构造尽可能合理的分配算法?。

三． 模型求解——Shapley值：

许多类似的问题的解答，合理性有赖于特定的价值体系。在这里我们给出三条准则——Shapley公理：

1） 对称性：设u,v均为n人合作对策的特征函数，若存在I上的一置换?（即

I到自身的一个一一映射，可以理解为I的一全排列），使得v??(s)??u(s),(?s?I)（这里?(s)???(i)|i?s?，必有??(i)(v)??i(u)。它可以被理解为每人的分配只与他在合作中发挥的作用有关，而与他被赋予的记号无关；

2）有效性：若某成员i，对?s?I均有v(s)?v(s?{i})，则?i(v)?0；另外

??(v)?v(I)。该公理表示，若某成员iii?1n对于他参加的任何一个合作都不

会带来效益，那他不应当从全体合作的收益中获得报酬，而各成员所分得的报酬之和应等于全体合作的收益；

3）可加性：设v1,v2均为n人合作对策的特征函数，不难证明u?v1?v2：对

?s?I均有u(s)?v1(s)?v2(s)同样为n人合作对策的一个特征函数，此时应有?(u)??(v1)??(v2)。该公理表示当I同时进行两项合作时，而各成员

所分得的报酬应等于两项合作分别分配的收益之和。

Shapley利用逻辑推理的方法证明，存在唯一的满足以上三条公理的效益分配算法：

??i(v)??w(|s|)[v(s)?v(s\\{i})],i?1,...,n?i?s?(n?|s|)!(|s|?1)!?w(|s|)?n!?

|s| 表示集合s中元素的个数。

四． 点评

这里并不打算讨论Shapley值的推导和给出过程,而是试图对其结果作一些后验的分析,发现这个结果完全可以避开构造和求解方程组,而只作一些适当的理性思考就可给出.

事实上,在利益分配中容易出现矛盾通常是因为你发现分配规则是由别人制订的,而类似的规则由你同样也能够制订,你和你的合作伙伴的\力量\是相对均衡的.相反,当你面对\大自然\时,你只能适应,很少表现\不满\为此,每个人都可将他的合作伙伴视为客观世界的一部分,而每一次可能的合作是大自然随机呈现在你面前的一次\机会\你可以乘其之便从中最大限度获得地获得好处.为此给出I?{1,2,?n}中的一个全排列

i 面其中s?{P1,P2,?,P|s|?1,i}(?I), s\\{i}?{P1,P2,?,P|s|?1}则可表示出现在

前可供其选择的合作机会,若 i 加入, 则可增加收益

v(s)?v(s\\{i})

若将增加的这部分收益全部给 i ,显然从 i 的角度看, 他应相当\满意\然而这种'机会\的出现是\随机\的, s\\{i}恰出现在i之前, 而I\\s?{P,...,P}|s|?1nP1,P2?P|s|?1,i,P|s|?1,?,Pn(n?|s|)!(|s|?1)!. 在具有\随机性\的客观

n!世界面前, i只能\取走\所有可能合作增加效益的\平均值\——数学期望

?i(v)??w(|s|)[v(s)?v(s\\{i})]s?Si.

从这个例子说明, 对实际问题的重视, 可以为理论研究挖掘丰富多彩的素材, 而就后来对结果所作的分析, 我们也看到科学研究同样不排斥近乎\玄\的想象力, 纯粹计算、求解并非构成数学的全部, 合理的想象可以直接给出漂亮的

恰好出现在之后的\概率\为w(|s|)?结果.

§5.3 多人合作分益模型与公理化方法建模

问题：设想n个人从事某项经济活动, 对于他们之中若干人组合的每一种合作 (特别, 单人也视为一种合作), 都会得到一定的效益, 当人们之间的利益是非对抗性的, 合作中人数的增加不会引起效益的减少, 这样, 全体n个人的合作将带来最大效益. n个人组成的集合及各种可能合作的效益就构成n人合作对策, 而一个重要的问题是如何将合作收益合理的分配给每个人, Shapley L. S.应用公理化方法在1953年给出了解决该问题的一种方法——Shapley值.

一． 模型假设

3．n个人或合作主体I?{1,2,...,n}地位平等，其利益非对抗；

4．对于他们之中的任何一种组合s?I均被视为某种合作且可创造一定的收益

v(s)，合作中人数的增加不会引起效益的减少。这样，全体n个人的合作

I?{1,2,...,n}将带来最大的效益，而n个人单干时所收到的整体效益最小。

二． 模型建立

I根据模型假设，合作收益v是集合I的幂集合2?{s|s?I}上的一个实值函数,满足： 3） v(?)?0；

4） 对任意s1,s2?I, s1?s2??，均有v(s1?s2)?v(s1)?v(s2)。

称任何满足如上性质的函数v为n人合作对策的特征函数。

??以?(v)??1(v),?2(v)??n(v)表示对应合作收益v的一个合作对策的分配算法，?i(v)表示第i个人按照算法?从最大的合作效益v(I)中分得的份

额。我们的目标是构造尽可能合理的分配算法?。

三． 模型求解——Shapley值：

许多类似的问题的解答，合理性有赖于特定的价值体系。在这里我们给出三条准则——Shapley公理：

4） 对称性：设u,v均为n人合作对策的特征函数，若存在I上的一置换?（即

I到自身的一个一一映射，可以理解为I的一全排列），使得v??(s)??u(s),(?s?I)（这里?(s)???(i)|i?s?，必有??(i)(v)??i(u)。它可以被理解为每人的分配只与他在合作中发挥的作用有关，而与他被赋予的记号无关；

5）有效性：若某成员i，对?s?I均有v(s)?v(s?{i})，则?i(v)?0；另外

??(v)?v(I)。该公理表示，若某成员iii?1n对于他参加的任何一个合作都不

会带来效益，那他不应当从全体合作的收益中获得报酬，而各成员所分得的报酬之和应等于全体合作的收益；

6）可加性：设v1,v2均为n人合作对策的特征函数，不难证明u?v1?v2：对

?s?I均有u(s)?v1(s)?v2(s)同样为n人合作对策的一个特征函数，此时应有?(u)??(v1)??(v2)。该公理表示当I同时进行两项合作时，而各成员

所分得的报酬应等于两项合作分别分配的收益之和。

Shapley利用逻辑推理的方法证明，存在唯一的满足以上三条公理的效益分配算法：

??i(v)??w(|s|)[v(s)?v(s\\{i})],i?1,...,n?i?s?(n?|s|)!(|s|?1)!?w(|s|)?n!?

|s| 表示集合s中元素的个数。

四． 点评

这里并不打算讨论Shapley值的推导和给出过程,而是试图对其结果作一些后验的分析,发现这个结果完全可以避开构造和求解方程组,而只作一些适当的理性思考就可给出.

事实上,在利益分配中容易出现矛盾通常是因为你发现分配规则是由别人制订的,而类似的规则由你同样也能够制订,你和你的合作伙伴的\力量\是相对均衡的.相反,当你面对\大自然\时,你只能适应,很少表现\不满\为此,每个人都可将他的合作伙伴视为客观世界的一部分,而每一次可能的合作是大自然随机呈现在你面前的一次\机会\你可以乘其之便从中最大限度获得地获得好处.为此给出I?{1,2,?n}中的一个全排列

i 面其中s?{P1,P2,?,P|s|?1,i}(?I), s\\{i}?{P1,P2,?,P|s|?1}则可表示出现在

前可供其选择的合作机会,若 i 加入, 则可增加收益

v(s)?v(s\\{i})

若将增加的这部分收益全部给 i ,显然从 i 的角度看, 他应相当\满意\然而这种'机会\的出现是\随机\的, s\\{i}恰出现在i之前, 而I\\s?{P,...,P}|s|?1nP1,P2?P|s|?1,i,P|s|?1,?,Pn(n?|s|)!(|s|?1)!. 在具有\随机性\的客观

n!世界面前, i只能\取走\所有可能合作增加效益的\平均值\——数学期望

?i(v)??w(|s|)[v(s)?v(s\\{i})]s?Si.

从这个例子说明, 对实际问题的重视, 可以为理论研究挖掘丰富多彩的素材, 而就后来对结果所作的分析, 我们也看到科学研究同样不排斥近乎\玄\的想象力, 纯粹计算、求解并非构成数学的全部, 合理的想象可以直接给出漂亮的结果.

恰好出现在之后的\概率\为w(|s|)?

§5.4 投入产出分析模型

问题：大到国家甚至整个国际社会，小到一家企业，我们均可以将其视为一个经济体系来加以考察。一个国家其国民经济的各个组成部分间、一家企业的不同车

间部门或产品间，投入与产出存在怎样的相互依存关系，对其进行合理准确的建模分析为管理者做出科学的决策有着非常重要的意义。

特别对于一家大型的工业制造企业，其部门数、原料与产品种类通常都比较多，且不同部门不同产品的间的技术经济联系非常紧密，生产计划、产品价格的科学制定，原材料的顺利采购等均直接关系企业的效益。投入产出法最早是有美国经济学家瓦西里·列昂剔夫在20世纪30年代初提出的，迄今已发展为一个内容相当丰富并有着广泛应用的方法体系。本文只介绍体系中最基本的一个方法模型。

一． 模型假设

考虑一家大型的工业制造企业，按照产品来划分其组成部门：

1．n种自产产品，m种外购原料，其中自产产品有一部分是供应市场需求的，也有一部分是在生产其它产品时作为原料而被中间消耗；

a(i,j?1..n)2．每一种产品的生产均有稳定的技术条件：ij、hij(i?1..m;j?1..n)分别表示生产单位第j种产品需要消耗的第i种自产产品、第i种外购原料的量，分别称之为对自产产品、外购原料的直接消耗系数，它们均为常数，与产品的产量无关；

TTTX?(x,x?x)Y?(y,y?y)U?(u,u?u)12n12n12n3．、、、

Z?(z1,z2?zm)T分别表示在某一时期自产产品的总产（向）量、最终产出（供应市场需求的）（向）量、对自产产品的直接消耗（向）量，以及对外购原料的直接消耗（向）量。

二． 模型建立

A?(aij)n?nH?(hij)m?n若记、，分别称之为对自产产品、外购原料的直接消耗系数矩阵，根据模型假设，可得如下数学模型：

?X?U?Y??U?A?X?Z?H?X?

模型中第一个方程是一平衡模型方程，而后两个分别称之为中间（对自产产品的）消耗、原始（对外购原料的）消耗函数模型。显然，模型中所涉及的变量所服从的关系是线性的，称之为线性投入产出模型。

三． 模型求解

从所建模型可得X?AX?Y，若矩阵I?A可逆（I表示n阶单位矩阵），

?1?1X?(I?A)?YZ?H?(I?A)?Y，即考虑中间消耗，一家企业在接到则有，

Y的市场需求定单后，需要组织的实际生产总量和为此需准备的外购原料量。

特别当各种外购原料的单位价格已知的情况下，还可以算出各种产品的理论成本。 矩阵I?A可逆吗？其逆矩阵如何计算？下面给出理论回答。

A?(aij)n?n定理：对于方阵，若 a?0(?i,j?1..n)1）ij（此时称矩阵A非负，记为A?0）；

TTY?(y,y?y)?X?(x,x?x)12n12n2）、，xi,yi?0(?i?1..n)（此

时称向量X,Y非负，记为X?0,Y?0），使得X?A?X?Y

则：矩阵I?A可逆，且

(I?A)?1?I??Akk?1k

?。

证明：（只须证明在题设条件下

B(k)?A

k?1

?

收敛即可）

(k)i?1这里记，因为矩阵A非负，容易得B非负且单调

(k?1)?B(k)?Ak?1?B(k)???B(1)?A?0； 增，B?(b(k)ijn?n)??Aik|k?1,2?有界（即指?i,j?1..n,{bij|k?1,2?}有界）:

由已知具有特点: X?0,Y?0,A?0. 又X?AX?Y, 所以0?(AX?X?Y)?X, 即各分量间有一致的\?\关系. 考虑二次间接消耗

0?(A2X?A(X?Y)?AX?AY?X?Y?AY)?X.

(k)另一方面，?B?(k)依此类推,

0?AkX?X?(Y?AY?A2Y?...?Ak?1Y)?X, 即对任意k,我们有

0?(A?A2?...?Ak?1)Y?X，即0?B(k)Y?X.

xi(k)(k)(k)(k)?b?b?y?x. 特别. 推出. 所以by?x{b?ijijjiijjiij}k?1为有界数yjj?1k??(k)列. 因此当k??时必收敛, 即lim?B??Ai?收敛.

k???i?1?k?(k)?记B?(bij)n?n?lim?B??Ai?，称之为对自产产品的完全消耗系数矩阵，而

k???i?1?以上定理也被称为完全消耗系数的存在性定理。

四． 点评

以下是一张简单的投入产出表（外购原料部分略）, 它是投入产出分析模型应用的基础： 中 间 产 出 最终 总 1 2 ? n 合计 产出 产出 1 ? x1n x11 u1 x1 x12 y1 中 间 2 ? x2n y2 x21 x22 u2 x2 投 入 ? ? ? ? ? ? ? ? n ? xn2 yn xn1 xnn un xn n(k)?{bij}k?1 假定一个企业或经济部门生产n种产品, 这n种产品又在生产中同时又被作为原料, 该投入产出表反映这一产业在某一生产周期内的统计结果: xij(i?1,...,n;j?1,...,n)表示第i种产品在生产第j种产品时作为原料企业自己消耗的数量, ui??xij表示在该周期中企业自己消耗第i种产品的数量, yi则表

j?1n示作为投放市场的最终产出部分, xi?ui?yi则表示第i种产品的总产量.

xaij?ij表示生产每单位第j种产品消耗掉第i种产品的数量, 即直接消

xj耗系数,直接消耗系数矩阵

反映了一个企业的产品生产工艺. A?(aij)n?n而由此得到的直接消耗系数矩阵，通常自然地满足完全消耗系数的存在性定理的题设条件。

以下给出完全消耗系数的经济意义解释：

考虑中间（对自产产品的）消耗函数模型U?AX, 显然为得到原料U, 企

2AU?AU, 称之为二次间接消耗向量, 依此类推, 可有三次间接业须先投入

34消耗AU, 四次间接消耗AU?, 依此得到一个无穷链条, 为生产X, 须投入

AX?A2X?A3X?A4X?...?(A?A2?A3?A4?...)X,

A?(aij)n?n称之为完全消耗向量, 根据完全消耗系数的存在性定理该无穷和式收敛，而不会是和向量的某一分量趋于无穷大, 使得生产没有意义。

借助线性代数的特征值理论, 同样可以给出完全消耗系数的存在性定理的证明, 然而作为对一个很典型的经济问题的研究, 该论证方式对模型内在的经济意义揭示很少,而本文的论证过程充分利用了投入产出表的特点,其过程非常简明,避免了一些相当专业化的理论，这也部分揭示了多数实际应用问题具有许多好的性质。

第六章 军事模型

§6.1 核武器竞赛

问题：甲乙双方（两国），均将对方视为假想敌，在某种“国家安全”的定义下发展核武器，展开核军备竞赛。问题：在这场核军备竞赛中，双方拥有的核武器会无限增长呢，还是存在某种平衡状态？

一． 模型假设

1． 分别以x、y表示甲乙双方拥有的核武器数目，这里视之为非负实数（即

连续型变量），以x0、y0表示甲乙双方对对方施行一次致命性打击所需的核武器数目；

2． 甲乙双方的“国家安全”概念均采用保守定义：即在招到对方“倾泻性”核

打击后，保证有足够的核武器被保存下来以给对方致命的还击；

3． 分别以p1、p2（0?p1,p2?1）表示甲乙双方，其一枚核弹头在遭受对方

一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的概率，这里假定不同核弹头在遭受对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的机会是相对独立的。

二． 模型建立

定性分析模型：应当存在二函数f(x)、g(y)，分别表示当甲乙双方拥有的核武器数目为x、y时，对方在遵照模型假设中所给出的有关“国家安全”概念，乙方、甲方所应拥有最少的核武器数目。即当甲方拥有的核武器数目为x时，须有y?f(x)时，乙方才会确认自己是安全的。显然，f(x)、g(y)均应当为单调增函数。

??这里称D?x,y?x?g(y)且y?f(x)且x,y?0?为双方安全区，是核军备

竞赛的稳定区域。问：D是否为空集？若D为空集，即说明核军备竞赛是没有

尽头的，其终究构成人类持久和平愿望的最大威胁。

所附四图仅仅是在双方安全曲线满足单调增函数的条件下给出的四种可能情形，有阴影存在的区域表示存在双方安全区。但实际当中应当是哪一种呢？

定量分析模型：在前述模型假设的基础上，不难得到：

xx?p1y?x0，y?p2?y0

yx

?1??1????x?g(y)?x0???y?f(x)?y0???p2?p1???分别为甲乙双方的安全曲线，而?即、

上面附图的后三幅给出的三种可能的典型情形，显然第四幅表示p1?1与p2?1两者至少有一个满足时方可出现。

在模型中涉及到的几个参数的取值，比如影响x0,y0,p1,p2的主要因素可以考虑双方的国土、一枚核弹爆炸的破坏力，以及各自的防空能力。

三． 模型分析

通过定量分析模型得到的结果表明，核武器竞赛是不容乐观的，要么不存在稳定区域，要么稳定区域是一有界区域。也即表明建立在本文“安全概念”基础上的核武器竞赛从根本上应当撇弃，因为即使在稳定区域非空，由于某一方（或双方）不克制的态度最终导致核武器竞赛的灾难性后果。

这一结果与我们对当前国际上一些有核国家在发展核武器的现状有一定距离，考察本模型，应当注意的是在第二条模型假设中提到的“安全概念”，事实上，一个和平国家在发展核武器时所遵循的原则是在遭到强大敌国的全面入侵，核武器应当作为一种先发性威慑力量而进行有效阻止——而不应当作为一种后发性的在已遭到毁灭性打击后的纯粹报复行为。事实上在保留模型假设二中提到的“安全概念”，对其余假设作更为贴近问题真相的改进只能导出对核武器竞赛的前途更加悲观的结论。

四． 点评

本例是在作了相当程度的简化假设下考虑了核武器竞赛问题，我们很难期望模型能对所考虑问题给出比较乐观的指导意义，但其整个建模过程却对我们有很大的启发：

1．定性分析与定量分析：在对一个应用问题分析，通常包括定性分析与定量分析这样两个有机统一的环节，定性分析是数学建模的初级阶段，在这一环节着力解决

2．随机性模型：

3．建模的最终目的在于应用：

§6.2 战争模型 一．问题分析

影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。

总以x(t)、y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的兵力，不妨视为双方的士兵人数，x(0)?x0、y(0)?y0表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然x0,y0?0。在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化主要有如下三个因素：

1．战斗减员率，它取决于双方的兵力，不妨以f(x,y)、g(x,y)分别表示甲乙双方的战斗减员率；

2．非战斗减员率，比方由于疾病或逃跑等因素导致一个部队减员，它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数?,??0分别对应甲乙双方； 3．增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以u(t),v(t)表示。

由此，可以得到一般的战争模型：

?(t)??f(x,y)???x?u(t)?x??(t)??g(x,y)???y?v(t)?y

而评价双方的胜负，总认定兵力先降为“零”（全部投诚或被歼灭）的一方为败。以下分正规战和游击战来讨论。

二． 正规作战模型 模型假设：

1．不考虑增援，忽略非战斗减员；

2．甲乙双方均以正规部队作战，每一方士兵的活动均公开，处于对方士兵的监视与杀伤范围之内，一旦一方的某个士兵被杀伤，对方的火力立即转移到其他士兵身上。因此，甲乙双方的战斗减员率仅与对方的兵力有关，简单的设为是正比关系，以a、b分别表示甲乙双方单个士兵在单位时间的杀伤力。

r若以rx、y分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，它们通常主要取决于部队

p的武器装备；以px、y分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，

a?ry?pyb?rx?px它们主要取决于士兵的个人素质，则有、。 模型建立：

根据模型假设，得正规作战的数学模型：

???a?y?x????b?x?y?x(0)?x,y(0)?y00?

模型求解：

从模型方程得到bx?dx?ay?dy，进而得该模型的解满足：

2222bx?aybx?ay?00000不难发现，甲方获胜的充要条件为，即。

22rx?px?x0?ry?py?y0进一步可得甲方获胜的充要条件为，从其形式，可以发现一种用于正规作战部队的综合战斗力的评价函数，以甲方为例，其综合战

2r?p?x斗力的评价函数可取为xx，它与士兵的射击率（武器装备的性能）、士

22bx2?ay2?bx0?ay0

兵一次射击的（平均）命中率（士兵的个人素质）、士兵数的平方均服从正比例关系，这样在三个因素中只有条件使其中的一个提升到原有水平的两倍这样的选择时，显然要选士兵数的增加，它可以带来部队综合战斗力四倍的提升。因此，正规作战模型又被称为平方率模型。

三． 游击作战模型 模型假设：

1．不考虑增援，忽略非战斗减员；

2．甲乙双方均以游击作战方式，每一方士兵的活动均具有隐蔽性，对方的射击行为局限在某个范围考虑可以被认为是盲目的。因此，甲乙双方的战斗减员率不光与对方的兵力有关，同样设为是正比关系；而且与自己一方的士兵数

有关，这主要是由于其活动空间的限制所引起的，士兵数越多，其分布密度会越大，显然二者服从正比例关系，这样对方投来的一枚炮弹的平均杀伤力（期望值）也会服从正比例关系增加；

Ss3．若以Sx、y分别表示甲乙双方的有效活动区域的面积，以sx、y分别表示

r甲乙双方一枚炮弹的有效杀伤范围的面积，以rx、y分别表示甲乙双方单个

sr士兵的射击率，sx、y、rx、y主要取决于部队的武器装备的性能和贮备；rx、ry也取决于士兵的个人素质。 模型建立：

根据模型假设，得游击作战的数学模型：

ry?sy?x??x???y?Sx?rx?sx?y??y???x?Sy??x(0)?x0,y(0)?y0??

模型求解：

r?s?S?dx?ry?sy?Sy?dy从模型方程得到xxx，进而得该模型的解满足：

rx?sx?Sx?x?ry?sy?Sy?y?rx?sx?Sx?x0?ry?sy?Sy?y0

r?s?S?x?ry?sy?Sy?y0?0不难发现，甲方获胜的充要条件为xxx0，即rx?sx?Sx?x0?ry?sy?Sy?y0。从其形式，可以发现一种用于游击作战部队的综

合战斗力的评价函数，以甲方为例，其综合战斗力的评价函数可取为rx?sx?Sx?x，它与士兵的射击率（武器装备的性能）、炮弹的有效杀伤范围的面积、部队的有效活动区域的面积、士兵数四者均服从正比例关系，这样在四个要素中只要有条件使其中的一个提升到原有水平的两倍这样的选择时，它们均可以带来部队综合战斗力成倍的提升，即没有像在正规作战模型中所表现出的差别。特别考虑士兵数在表达式中的地位，游击作战模型又被称为线性率模型。

四． 混合作战模型（思考题）

最后，直接给出一个混合作战模型：

???c?x?y?x????b?x?y?x(0)?x,y(0)?y00?

读者试着理解其意义，并通过求解给出甲方取胜的条件。

第七章 生态学模型

§7.1 微分方程稳定性理论简介 一． 基本概念

TnX(t)?(x(t),x(t)?x(t))n12nR考虑维空间中的向量值函数，当

n?2、n?3时我们可以将之想象为平面或空间中一质点的运动曲线，它描述

质点在时刻t的位置。

dx许多物理或社会系统均可以被一组形如i?fi(x1,x2?xn),(i?1..n)的微分

dtTdXF(X)?(f(X),f(X)?f(X))12n?F(X)，其中方程描述，简记为，通dt常称之为自治的动力系统。

dX~?F(X)的一个平衡点，若称点X?(~x1,~x2?~xn)T为动力系统dt~(i?1..n)dX~x(t)?xii?F(X)的一个奇解。为动力系统 fi(X)?0(i?1..n)。这时

dt平衡点在对一个动力系统的定性分析中具有特殊的意义，称动力系统

~dX?F(X)的平衡点X是（渐近）稳定的，若对该动力系统的任一解X(t)，均dt~limX(t)?X有t???。

?dx?x(x2?y2)dt?例：求解微分方程组?dy 的平衡点，并讨论其稳定性。 22??y(x?y)?dt解：很容易该微分方程组的唯一平衡点O(0,0)；

d(x2?y2)??2(x2?y2)2，进而由已知微分方程组可以得到

dt11(x(t),y(t))，x2?y2?,(c?)，对该微分方程组的任一解2t?c?x(0)?2??y(0)?21lim(x2?y2)?lim?0，因此lim(x(t),y(t))?(0,0)，因此平衡点O(0,0)是

t???t???t???2t?c稳定的。

x?dxdt?O(0,0)读者可以自己验证是微分方程组?dy的唯一平衡点，但不是稳定?y?dt的。

n?ndX?AX（A?R为一n阶实方阵）对于一个齐次的线性微分方程组，有dt如下结果：

TndXn?nO?(0,0?0)?RA?R?AX定理：若非退化，则是线性动力系统

dt唯一平衡点，且平衡点O是稳定的充分必要条件为A的所有特征值?i(i?1..n)的

实部Re(?i)均小于0。

二． 二阶方程平衡点的拓扑分类与判别

对于二维平面中（二阶方程）的情形，根据平衡点的局部拓扑性状分为结点、焦点、鞍点以及中心等四类，其中鞍点、中心这两类型的平衡点是不稳定的，而结点、焦点类型的平衡点还可以分为稳定与不稳定的情形，可参照示意图。

?a11a12?dX2?2?AX（A???就二阶齐次线性微分方程组），下表给出其?R??dt?a21a22?平衡点O(0,0)的类型和稳定性： A二特征值?1,?2 p??(a11?a22)，q?|A| p?0,q?0,p2?4q p?0,q?0,p2?4q q?0 平衡点类型 稳定结点 不稳定结点 鞍点 稳定退化结点 不稳定退化结点 稳定焦点 不稳定结点 中心 稳定性 稳定 不稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 不稳定 ?i?0(i?1,2)，?1??2 ?i?0(i?1,2)，?1??2 ?1??2?0 ?i?0(i?1,2)，?1??2 ?i?0(i?1,2)，?1??2 Re(?i)?0，Im(?i)?0 Re(?i)?0，Im(?i)?0 Re(?i)?0，Im(?i)?0 p?0,q?0,p2?4q p?0,q?0,p2?4q p?0,q?0,p2?4q p?0,q?0,p2?4q p?0,q?0 （其中Re(?i)、Im(?i)分别表示复数?i的实部、虚部）

对于一般的非线性微分方程组的讨论，由于其平衡点不存在或者存在但并不

~dXX?F(X)的平衡点是局部唯一，因此需引入局部稳定的概念：称动力系统

dt（渐近）稳定的，若存在??0，对该动力系统的任一解X(t)，只要存在某t0满

~~limX(t)?X~X(t0)?X??足，均有t???。而对平衡点X局部（渐近）稳定性的

dX?F(X)的右端项取一阶Taylor展式，构造线性动判别，只须对原微分方程dt~??f(X)?dX~?~~?A(X)?(X?X)进行讨论，这里A(X)??aij?i力系统。

??dt?xj??n?n

§7.3 种群相互依存

问题：自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的。比方植物与昆虫，一方面植物为昆虫提供了食物资源，另一方面，尽管植物可以独立生存，但昆虫的授粉作用又可以提高植物的增长率。事实上，人类与人工饲养

的牲畜之间也有类似的关系。

我们关心两个相互依存的种群，它们之间有着类似于在农业社会中人和牛的关系。其发展和演进有着一些什么样的定性性质呢？

一． 模型假设

以x1(t)、x2(t)表示处于相互依存关系中甲、乙二种群在时刻t的数量，

?1．种群数量的增长率xi(t)(i?1,2)与该种群数量xi(t)(i?1,2)成正比，同时也与有闲资源si(t)(i?1,2)成正比； 2．两个种群均可以独立存在，而可被其直接利用的自然资源有限，均设为“1”，

Ni(i?1,2)分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；此外，两种群的存在均可以促进另一种群的发展，我们视之为另一种群发展中可以利用的资源，?i(i?1,2)为二折算因子，?1/N2表示一个单位数量的乙可以充当种群甲的生存资源的量，?2/N1表示一个单位数量的甲可以充当种群乙的生存资源的量；

3．ri(i?1,2)分别表示甲、乙二种群的固有增长率。

二． 模型建立

根据模型假设，可得如下数学模型：

?1?r1?x1?s1?x?xr2?x2?s2??2???s1?1?x1/N1??1?x2/N2??s2?1??2?x1/N1?x2/N2经化简，得：

三． 模型求解

?r1?x1?(1?x1/N1??1?x2/N2)?0?令?r2?x2?(1??2?x1/N1?x2/N2)?0，可得该模型的四个平衡点：

?1??1?1??2?P4??N1,?N2??1??1??2P1(0,0)、P2(N1,0)、P3(0,N2)、?1??1??2?。

类似于在种群竞争模型中的讨论，我们可以得到平衡点Pi(i?1,2,3)均不稳

?1?r1?x1?(1?x1/N1??1?x2/N2)?x??2?r2?x2?(1??2?x1/N1?x2/N2)?x

?1??1?1??2?P4??N,?N12??1??1??21??1??2?为第一象定，而只有当?1??2?1时，平衡点?限内的点，可以论证它是稳定的。

§7.4 弱肉强食模型

问题：在自然界中，像生活在草原上的狼和羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在。两个弱肉强食的种群，其发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？

一． 模型假设

以x1(t)、x2(t)表示处于弱肉强食关系中甲、乙二种群在时刻t的数量， 1、甲种群只以乙种群为食物资源，a1,b1为两个折算因子，分别表示一个单位数量的甲物种维持其正常生存需占用的资源量、一个单位数量的乙物种为甲种

?1(t)与该种群数量x1(t)成正比，同群提供的资源量；甲种群数量的增长率x时也与有闲资源s1(t)成正比。r1表示甲种群的固有增长率；

2、乙种群可以独立存在，而可被其直接利用的自然资源有限，设为“1”，a2表

示一个单位数量的乙物种维持其正常生存需占用的资源量，N2?1/a2表示乙种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量。乙种群数量的增

?2(t)可以分解为两部分考虑：其一，不考虑甲种群的影响，乙种群自由长率x发展，其增长率与该种群数量x2(t)成正比，同时也与有闲资源s2(t)成正比，r2表示甲种群的固有增长率；其二，由于被甲种群捕食造成乙种群增长的负面影响，称这一部分为被捕杀率，它与甲乙两个种群的数量均正相关，这里简单地设为服从正比例关系，比例系数取为r2?b2。

二． 模型建立

根据模型假设，可得如下数学模型：

?1?r1?x1?s1?x?x??2?r2?x2?s2?r2b2?x1?x2??a1?x1?b1?x2?s1??1?a2?x2?s2?经化简，得：

三． 模型求解

?r1?x1?(?a1?x1?b1?x2)?0令?，可得该模型的三个平衡点：

r?x?(1?b?x?a?x)?02122?22?1?r1?x1?(?a1?x1?b1?x2)?x??2?r2?x2?(1?b2?x1?a2?x2)?x

??b1a1P1(0,0)、P2(0,N2?1/a2)、P3?,?aa?bbaa?bb??。

?12121212?类似于在种群竞争模型中的讨论，我们可以得到平衡点Pi(i?1,2)均不稳定； ??b1a1讨论平衡点P3?,?aa?bbaa?bb??的稳定性，为此，将微分方程

?12121212?

的右端项以其在P3的一阶Taylor展式取代，构造线性动力系统：

?????r1a1b1?b1r1b12a1?????x??x???x??111????aa?bbaa?bbaa?bbaa?bb?1212?1212?1212?1212?????r2a1b2?b1?r2a1a2?a1?x???2???x???x??1aa?bb?aa?bb?1aa?bb???aa?bb1212?1212?1212?1212??

2??r1a1b1?r1b1??rab?raaaa?bba1a2?b1b2?此时系数矩阵A??1212，p??Tr(A)?111212?0，

??r2a1b2?r2a1a2?a1a2?b1b2???a1a2?b1b2a1a2?b1b2?rrabPq?|A|?1211?0，故平衡点3是稳定性的。

a1a2?b1b2

四． 点评

本章介绍了三个生态学模型，尽管所处理的对象均为多（二）种群系统，但其基本假设，比如对其中的每一个种群数量变化的影响，除了在“弱肉强食”模型中被捕食者外，均只考虑了其自身数量与有闲资源两个要素，这和人口的驻滞增长模型的讨论是一致的。

以下给出一个著名的“弱肉强食”模型——Volterra模型：

?1?x1?(?r1??1?x2)?x??2?x2?(r2??2?x1)?x

这里，ri,?i?0(i?1,2)为模型参数。读者可以试着给出各个参数的意义以及模型适用的对象，进而讨论该模型的平衡点及其稳定性。

?1?r1?x1?(?a1?x1?b1?x2)?x??2?r2?x2?(1?b2?x1?a2?x2)?x

第八章 层次分析法建模

在生产实践甚至日常生活中，常常会遇到这样一类决策问题，通常有多而有

限种可供选择（典型的）的方案，但对一个方案的评价却需要考虑多方面的因素，这些方案本身以及影响因素的重要性、优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当主要的作用。这方面的例子很多，小到像城市居民购房、学生毕业时职业的选择，大到像三峡工程、南水北调过程等这样巨大建设项目的立项以及在立项后多种设计方案的取舍等。

层次分析法（Analytic Hierarchy Process）是T.L. Saaty等人在二十世纪七十年代提出的一种系统化、层次化的分析方法，其方法思想朴素，但却能很有效的整合那些影响一个复杂决策系统的因素和数据信息。在诸如资源分配、选优排序、政策分析、冲突求解等领域得到广泛的应用。

§8.1 方法的思想原型

一． 成对比较矩阵和权向量

原型一、设有n(n?2)篮子苹果，你可以择其多者拿走。问题是如何评估几篮子苹果的多少呢？

我们很自然能够想到用称来称量，这时直接给出的是n篮子苹果的重量

x??x1,x2?xn?。如果仅仅局限于所关心几篮子苹果多少的比较，将X进行归一化处理是有益的，不妨记

Tnnn??Tw??w1,w2?wn???x1/?xi,x2/?xi?xn/?xi?，若已知某

i?1i?1i?1??wi?0.5，则第i篮子苹果肯定是最多的；若已知某wi?1/n，则第i篮子苹果肯定不是最少的。

TT称n维向量w??w1,w2?wn?为一个权向量，若wi?0，且?wi?1。

i?1n它通常被用来描述多个被比较对象的重要性或优劣程度，这时称wi(i?1..n)为第i个被比较对象的权重。

我们还可以给出另外一种形式来描述n个被比较对象的重要性的基础数据：A?(aij)n?na(i,j?1..n)，分量ij表示，相对于第j个对象，第i个对象的重要性

a(i,j?1..n)程度。这时称A为成对比较矩阵。因为分量ij仅涉及i、j两个对象的比较，它可以最大限度的排除其它因素的影响，使那些只适于依靠主观判断以给出其重要性的一个大致性数量指标成为可能。

TA?(aij)n?n??w?w,w?w12n回到“原型一”，、分别表示n篮子苹a?wi/wj果的权向量与成对比较矩阵，理想的情形应有：ij。这时成对比较矩A?(aij)n?n阵满足：

a?0(i,j?1..n)1）非负性：ij；

a?a?1(i,j?1..n)2）互反性：ijji，特别aii?1(i?1..n)； a?aik/ajk(i,j,k?1..n)3）一致性：ij。

显然一致性比互反性更强，在对复杂决策系统的多个设计方案进行优化决策时，构造的成对比较矩阵通常很难满足一致性，而互反性却会被很自然的满足。

称一个满足非负性、互反性的矩阵为正互反矩阵，称一个满足非负性、一致性的矩阵为一致阵。

A?(aij)n?n定理：设是一个一致阵，则： 1）A的秩等于1，0是它的n?1重特征值；

2）n是A的另外一个特征值，且A的任何一个列向量均为它对应特征值n的特征向量。

结合前面的讨论，不难发现权向量与一致阵之间的一一对应关系。

A?(aij)n?n定理：设是一个正互反矩阵，则：

*1）对A的所有特征值按模取最大的，必对应一个一重的正的特征值，不妨以?记之；

**2）A的对应特征值?的特征向量的所有分量的正负一致，不妨以w表示A的

*Ake?对应特征值的符合归一化条件的特征向量，则limTk?w*，这里

k??eAee?(1,1?1)T?Rn； **3）??n，且当且仅当A是一致阵时，??n。

准确理解该定理应做到如下几点： 其一，该定理事实上给出了数值求解一个正互反矩阵最大正特征值以及相应特征向量的一个算法，称之为幂法，描述如下： 幂法：

1w??e； ??0n步1：给定精度要求，

~?Aw，??w~/w(i?1..n)，??Max{?|i?1..n}，步2：计算wiiimaxi?min?Min{?i|i?1..n}，w?1~； ?wT~e?w步3：若?max??min??，转步2；否则，以??(?max??min)/2、w为A的最大

正特征值以及相应特征向量，停。

*其二，它提供了一个评价正互反矩阵一致性程度的指标，即以?与n的差来判断，后面专门讨论。

二． 成对比较矩阵的构造

A?(aij)n?na就成对比较矩阵的构造，Saaty建议ij在数字1~9及其倒数中取值，这是综合考虑人们的经验与认知局限、方法的实用性，甚至还包括心理学研究的成果等因素给出的。当然将比较的量度幅值限制在1/9~9，这是因为超过这个范围之外的两个对象或方案本质上不具有可比性，那些不具有任何竞争力的方案从一开始就应当被淘汰，以免在方法的应用中被过多的干扰因素所淹没。

a下表给出了ij取值的标度及其含义： 标度 含义：i方案（因素）比j方案（因素） 1 3 5 7 9 2，4，6，8 1/2,1/3…1/9 同等重要 稍重要 重要 明显重要 绝对重要 介于上述两个相邻等级之间 i方案（因素）与j方案（因素）重要性地位互换，适用上表 A?(aij)n?n为了评价一个成对比较矩阵一致性程度，Saaty定义

*CI?(?*?n)/(n?1)为A的一致性指标，?A它是的除了之外其余n?1个特征值平均值的相反数，它越接近0说明A的一致性越好。

但数值实验表明，成对比较矩阵的一致性指标同样没有将矩阵阶数对它的影

响完全排除，为此，Saaty提出随机一致性指标RI：对于取定的n，随机的从数字1~9及其倒数中取值构造大量的成对互反矩阵，计算它们的一致性指标，再取平均值。当然n比较小时可以穷举这样的矩阵。RI从其数学期望的角度讲，只与数n有关。在此基础上定义成对比较矩阵A的一致性比率CR如下：

CR?CI/RI

当一致性比率CR小于某个值（通常取0.1）时，认为所构造的成对比较矩阵具有满意的一致性，否则需要对之进行适当的调整。

下表给出1~9成对比较矩阵的随机一致性指标： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 RI 0

三． 组合权向量

原型二：设有m?2种水果分装在n?2个篮子中，已知n个篮子中水果的权重向量，以及每篮子中各种水果的权重向量~(3)??w~(3),w~(3)?w~(3)?T,(j?1..n)wjj1j2jm，你可以选择其中多的一种水果拿走。问

题是如何估算各种水果的多少呢？

对这个问题，若以不难得到w(3)i(3)(3)w(3)?w1,w2(2)(2)w(2)?w1,w2?(2)?wn?T?(3)?wm?T表示各种水果的权重向量，

nj?1?w(2)1~(3)?w(2)?w~(3)???w(2)?w~(3)?w(2)?w~(3)(i?1..m)，若记?w?1i22innijji~(3)(2)~~(3),w~(3)?w~(3))，上述关系式可以表示为w(3)?W?w，它时权W(3)?(w12n~(3),(j?1..n)w向量组j的一个凸组合，称之为组合权向量。

我们可以将该原型推广为一类（完全）层次结构图G(V,E)，它的顶点集V(1)(2)(m)V?V?V???Vm可以被分为组，，

(i)(i)(i)V(i)?{v1,v2?vn}(i?1..m)i(i)(i?1)E?{vn?1jivji?1特别1；而边集

G(V,E)的顶点分为m层，相邻的两层间的任意一对点均连边。

，其中ni表示Vi中元素（顶点）的个数，|i?1..m?1,ji?1..ni,ji?1?1..nn?1}。直观上，

§8.2 层次分析法建模

一个复杂决策系统，决策者应当首先明确决策的目标，以及那些具有竞争力的可行方案，然后理清影响这些方案优劣利弊的重要因素，事实上可以被视为一项决策的多个不同的子目标。在此基础上构造层次结构图，决策目标放在顶层，称之为目标层；将那些进行比较的可行方案放在底层，称之为方案层；而将那些影响这些方案优劣利弊的有关因素放在中间，称之为准则层。三层的层次结构图是最为典型的一类，而实际应用中层次结构图并不受这样的局限，可以有多个准则层。

一． 几个简单应用实例的层次分析图

大学毕业的选择：

国家综合实力的比较：

二． 层次分析法的基本步骤

1） 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照

不同的属性自上而下地分解成若干个层次。同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有一个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时（譬如多于9个）应进一步分解出子准则层；

2） 构造成对比较矩阵 从层次结构模型的第二层开始，对于从属于（或影响及）

上层每个因素的同一层诸因素，用1-9比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层；

3） 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算其最大特征值及

对应特征向量，利用一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量，否则需重新构造成对比较阵；

4） 计算组合权向量并做组合一致性检验 计算方案层对顶（目标）层的组合权

向量，并逐步进行组合一致性检验。若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较阵。

二． 层次分析法的基本步骤

1） 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照

不同的属性自上而下地分解成若干个层次。同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有一个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时（譬如多于9个）应进一步分解出子准则层；

2） 构造成对比较矩阵 从层次结构模型的第二层开始，对于从属于（或影响及）

上层每个因素的同一层诸因素，用1-9比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层；

3） 计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算其最大特征值及

对应特征向量，利用一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量，否则需重新构造成对比较阵；

4） 计算组合权向量并做组合一致性检验 计算方案层对顶（目标）层的组合权

向量，并逐步进行组合一致性检验。若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较阵。

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