2011届高考数学（理）模拟题（新课标）分类汇编：数列

【数学理】2011届高考模拟题（课标）分类汇编：数列

1．（2011

北京朝阳区期末）

已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn=2an-2, 则a2等于 (A)

（A） 4 （B）2 （C）1 （D） -2 2．（2011

北京朝阳区期末）

已知数列{an} (n?N*)满足：an?logn?1(n?2) (n?N*)，定义使a1?a2?a3?......?ak

为整数的数k (k?N*)叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为 2026 .

3．（2011

已知函数f(x)?北京朝阳区期末）

ax?b（a，b，c为常数，a?0）.

cx2?1ax?b的图象上，求{an}的

cx2?1（Ⅰ）若c?0时，数列{an}满足条件：点(n, an)在函数f(x)?前n项和Sn；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a3?7，S4?24，p, q?N（p?q），

证明：Sp?q??1(S2p?S2q)； 21，xn?1?f(xn)， 2（Ⅲ）若c?1时，f(x)是奇函数，f(1)?1，数列{xn}满足x1?(xn?xn?1)25(x1?x2)2(x2?x3)2求证：?????.

x1x2x2x3xnxn?116

解：（Ⅰ）依条件有f(x)?ax?b.

因为点(n, an)在函数f(x)?ax?b的图象上，所以an?f(n)?an?b. 因为an?1?an?a(n?1)?b?(an?b)?a，

所以{an}是首项是a1?a?b，公差为d?a的等差数列. ???????? 1分 所以Sn?n(a?b)?n(n?1)n(n?1)?a?nb??a. 22第- 1 -页 共35页

即数列{an}的前n项和Sn?nb?n(n?1)?a. ???????????? 2分 2?(a?b)?2a?7, ?3a?b?7, ?a?2,?（Ⅱ）证明：依条件有? 即解得 4?3??4(a?b)??a?24.?10a?4b?24.?b?1.??2所以an?2n?1. 所以Sn?n(a1?an)?n2?2n. ??????????????? 3分 2因为2Sp?q?(S2p?S2q)=2[(p?q)2?2(p?q)]?(4p2?4p)?(4q2?4q)

??2(p?q)，

又

2p?q，所以2Sp?q?(S2p?S2q)?0.

1(S2p?S2q). ???????????????????? 5分 2ax?b. x2?1即Sp?q?（Ⅲ）依条件f(x)?因为f(x)为奇函数，所以f(?x)?f(x)?0. 即

ax?b?ax?baxb?0??0f(x)?. 解得. 所以.

x2?1x2?1x2?1又f(1)?1，所以a?2. 故f(x)?2x. ???????????????????????6分 2x?112xn?x??0n?N. 所以时，有（）. x?01n?122xn?1因为xn?1?f(xn)，所以xn?1?又xn?1?f(xn)?2xn2xn≤?1， 2xn?12xn1矛盾. 2若xn?1?1，则xn?1. 从而x1?1. 这与x1?所以0?xn?1?1. ??????????????????????? 8分 所以xk?1?xk?xk(1?xk)?1?xk1≤?xk2?141xk?1?2?2xk?1≤112?1. ??422?28第- 2 -页 共35页

(xk?xk?1)2xk?1?xk2?111所以?(xk?1?xk)?(?). ??????10分

xkxk?1xkxk?18xkxk?1(xn?1?xn)2(x1?x2)2(x2?x3)2所以 ????x1x2x2x3xnxn?1?2?1111111[(?)?(?)???(?)] 8x1x2x2x3xnxn?12?1112?11(?)?(2?). ???????12分 8x1xn?18xn?1?因为x1?111，xn?1?xn，所以?xn?1?1. 所以1??2. 22xn?12223?1(xn?xn?1)(x1?x2)(x2?x3)2?15所以?????(2?1)?2?. ?14分

x1x2x2x3xnxn?18816

4. （2011

北京丰台区期末）

2，数列{an}中，a1?a，an?1?f(an)(n?N*)．当a取不同的值时，x511得到不同的数列{an}，如当a?1时，得到无穷数列1，3，，?；当a?2时，得到常数列2,2,2，?；

35当a??2时，得到有穷数列?2，0．

已知函数f(x)?1?（Ⅰ）若a3?0，求a的值；

（Ⅱ）设数列{bn}满足b1??2，bn?f(bn?1)(n?N)．求证：不论a取{bn}中的任何数，都可以

得到一个有穷数列{an}； （Ⅲ）如果当n?2时，都有

*5?an?3，求a的取值范围． 3解：（Ⅰ）因为 a3?0，且a3?1?2， a222，即a??． ?????????33*所以 a2??2． 同理可得a1??3分

（Ⅱ）证明：假设a为数列{bn}中的第i(i?N)项，即a1?a?bi；则

a2?f(a1)?f(bi)?bi?1；

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a3?f(a2)?f(bi?1)?bi?2；

???

ai?f(ai?1)?f(b2)?b1??2；

ai?1?f(ai)?1?2?0， 即ai?1?f(ai)?f(?2)?0。 ai故不论a取{bn}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{an}．

（Ⅲ）因为a2?f(a1)?f(a)?1?所以 1?a?3． 又因为当

25，且?a2?3， a355211?an?3时， ?1???3， 33an5即

5?an?1?3， 35?an?3． 3所以 当1?a?3时，有

5. （2011

北京西城区期末）

设等比数列?an?的前n项和为Sn，若8a2?a5?0，则下列式子中数值不能确定的是(D) （A）

a5 a3

（B）

S5 S3（C）

an?1 an（D）

Sn?1 Sn6. （2011北京西城区期末）

已知数列{an}，{bn}满足bn?an?1?an，其中n?1,2,3,?.

（Ⅰ）若a1?1,bn?n，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn?1bn?1?bn(n?2)，且b1?1,b2?2.

（ⅰ）记cn?a6n?1(n?1)，求证：数列{cn}为等差数列； （ⅱ）若数列{an}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项a1应满足的n条件. 解：（Ⅰ）当n?2时，有

an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?a1?b1?b2???bn?1 ????2分

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(n?1)?nn2n?1????1. ??????3分

222n2n??1.??????4分 又因为a1?1也满足上式，所以数列{an}的通项为an?22bb1*（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n?N有bn?6?n?5??n?1?bn， ??????5分

bn?4bn?3bn?2所以 cn?1?cn?a6n?5?a6n?1?b6n?1?b6n?b6n?1?b6n?2?b6n?3?b6n?4

11?1?2?2?1???7(n?1)，

22所以数列{cn}为等差数列. ??????7分 （ⅱ）设cn?a6n?i(n?0)，（其中i为常数且i?{1,2,3,4,5,6}），所以

cn?1?cn?a6n?6?i?a6n?i?b6n?i?b6n?i?1?b6n?i?2?b6n?i?3?b6n?i?4?b6n?i?5?7(n?0) 所以数列{a6n?i}均为以7为公差的等差数列. ??????9分

77i7i(i?6k)?ai?ai?aa?7k66?7?6， 设fk?6k?i?i?6k?ii?6ki?6k6i?6k（其中n?6k?i(k?0)，i为{1,2,3,4,5,6}中的一个常数），

a7i7当ai?时，对任意的n?6k?i有n?； ??????10分

66n7i当ai?时，

67i7iai?ai?116?6?(a?7i)(fk?1?fk??) i6(k?1)?i6k?i66(k?1)?i6k?i7i?6?(ai?)()

6[6(k?1)?i](6k?i)??????11分

a7i，则对任意的k?N有fk?1?fk，所以数列{6k?i}为单调减数列； 66k?ia7i②若ai?，则对任意的k?N有fk?1?fk，所以数列{6k?i}为单调增数列；

66k?i①若ai???????12分

7411117411163236263236a当a1?B时，数列{n}中必有某数重复出现无数次.

na当a1?B时，{6k?i} (i?1,2,3,4,5,6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现

6k?ia一次，所以数列{n}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ???14分

n综上：设集合B?{}?{}?{}?{?}?{?}?{}?{,,,?,?}，

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11ncn?bnlog2?2?log2n??n?2nbn2（Ⅱ）

∴ ∴

?Sn?1?2?2?22?3?23?????n?2n??????(3)

?2Sn?1?22?2?23?3?24?????(n?1)?2n?n?2n?1??????(4)

Sn?2?2?2?????2?n?223nn?1（3）-（4）得

2(1?2n)??n?2n?1?2n?1?n?2n?1?21?2

10分

2n?1?Sn?60n?2，即?n?2n?1?60n，?2n?1?60

n?15又当n?4时，?2?2?32?60 n?16n?5?2?2?64?60 当时，

故使

2n?1?Sn?60?n?2成立的正整数

n的最小值为5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉13分

34、. (2011·黄冈期末)已知数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1=1，a2=2，

anan?1an?2?an?an?1?an?2且an?1an?2?1则a1?a2?a3?_____6_____,

S2011 =____4021___ .

35．(2011·黄冈期末)（13分）已知数列{an},{bn}满足a1?2，2an?1?anan?1,bn?an?1，设数列{bn}的前n项和为Sn，令Tn?S2n?Sn （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求证：Tn?1?Tn(n?N?) 1）解：由 得 得

整理得

从而有 是首项为1，公差为1的等差数列，

????????6分

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（2）证明：

即

???????????13分

36. (2011·惠州三调)已知整数以按如下规律排成一列：?1,1?、?1,2?、?2,1?、?1,3?、

?2,2?，?3,1?，?1,4?，?2,3?，?3,2?，?4,1?，??，则第60个数对是（ ）

A．?10,1? B．?2,10? C．?5,7? D．?7,5? 【解析】C； 根据题中规律，有

?1,1?为第1项，?1,2?为第2项，?1,3?为第4项，?，?5,11?为

第56项，因此第60项为?5,7?．

_ 6_ 5_ 4_ 3_ 2_ 1_ O_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 637. (2011·惠州三调)（本题满分14分）

a2,a5是方程x2?12x?27?0的两根, 数列?an?是公差为正的等差数列，数列?bn?的前n项和为Tn,且Tn?1?1bnn?N?. 2??(1)求数列?an?,?bn?的通项公式;

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(2)记cn=anbn,求数列?cn?的前n项和Sn.

解：(1)由a2?a5?12,a2a5?27.且d?0得a2?3,a5?9 ????? 2分

?d?a5?a2?2,a1?1?an?2n?1?n?N?? ????? 4分 31211bn中,令n?1,得b1?.当n?2时,Tn=1?bn,Tn?1?1?bn?1,

3222在Tn?1?两式相减得bn?n?1b111bn?1?bn,?n??n?2? ????? 6分 22bn?13?2?. ????? 8分 n?Nn32?1??bn???3?3???(2)cn??2n?1??24n?2?, ?????? 9分 nn3352n?1?S32n?32n?1??13?1?Sn?2??2?3???n?,n?2?2?3????n?1?, n333333333???? ????? 10分

??1?1?2?1???n?1?1?1211?2n?1??12n?1?93???Sn?2??2?2?3???n??n?1?=2???n?1?

1333?3??33??3?31???3??=2??1112n?1?44n?4??n?n?1???n?1, ??????13分

33?333?32n?2 ????? 14分 n3?Sn?2?38、(2011·锦州期末)设数列?an?满足

a1?1,log2an?1?log2an?1(n?N?)，它的前n项和为Sn，则n的最小为下列何值时Sn>1025

( C )

（A）9 （B）10 （C）11 （D）12

39．（2011·金华十二校一联）设A和B是抛物线L上的两个动点,且在A和B处的抛物

线切线相互垂直, 已知由A、B及抛物线的顶点P所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线, 记为L1．对L1重复以上过程,又得一抛物线L2，余类推．设如此得到抛物线的序列为L1,L2,?,Ln，若抛物线L的方程为y?6x，经专家计算得，

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2

L1:y2?2(x?1)，

2124(x?1?)?(x?)， 3333211213L3:y2?(x?1??)?(x?)，

93999?， L2:y2?Ln:y2?T2(x?n)． SnSn

则2Tn?3Sn= -1 ．

40．（2011·九江七校二月联考）（本小题满分12分）

已知数列?an?中，a1?2，a2?3，其前n项和Sn满足Sn?1?Sn?1?2Sn?1（n?2，n?N* （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?4n?(1?)n?12??(an，试确定?的值，使得对任意n?N*，?为非零整数，n?N*）

都有bn?1?bn成立．

解： (1）由已知，?Sn?1?Sn???Sn?Sn?1??1（n?2，n?N）， ??????2分

*

∴数列?an?是以a1?2为首项，公差为1的等差数列． ∴an?n?1 ?????4分

（2）∵an?n?1，∴bn?4n?(?1)n?1??2n?1，要使bn?1?bn恒成立，

n?1nn?2∴bn?1?bn?4?4???1???2???1?n∴3?4?3????1?n?1nn?1??2n?1?0恒成立，

2n?1?0恒成立，

∴??1?n?1??2n?1恒成立． ????????6分

n?1（ⅰ）当n为奇数时，即??2恒成立，

n?1当且仅当n?1时，2有最小值为1，

∴??1 ?????8分 （ⅱ）当n为偶数时，即???2n?1恒成立，当且仅当n?2时，?2n?1有最大值?2，

∴???2 ????10分 即?2???1，又?为非零整数，则???1．

*综上所述，存在???1，使得对任意n?N，都有bn?1?bn．?

41．(2011·南昌期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足

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S3S2??1，，则数列{an}的32

公差是( C )

A．

1 2 B．1 C．2

D．3

42．(2011·南昌期末)已知下面数列和递推关系： ①数列{an}(an = n)有递推关系a n+2= 2an+1–an；

2②数列{an}(bn?n)有递推关系：bn?3?3bn?2?3bn?1?bn; 3③数列{cn}(cn?n)有递推关系：cn?4?4cn?3?6cn?2?4cn?1?cn;

请猜测

1出数

2列

{dn}(dn?n5}的一个类似的递推关系：

3456__dn?6?C6dn?5?C6dn?4?C6dn?3?C6dn?2?C6dn?1?C6dn____.

43. (2011·南昌期末)（本小题满分14分） 已知各项均为正数的数列?an?满足an?122?2an?anan?1, 且a2?a4?2a3?4,其中n?N?.

(1)求数列?an?的通项公式; (2)设数列{bn}满足bn?nanm,n(1?m?n)，使得b1,bm,bn成等比

n,是否存在正整数

(2n?1)?2数列？若存在，求出所有的m,n的值；若不存在，请说明理由. (3) 令cn?1?

21.解:(1)因为an?122?2an?anan?1,即(an?1?an)(2an?an?1)?0???1分

nan,记数列{cn}的前n项积为Tn,其中n?N?,试比较Tn与9的大小,并加以证明.

又an?0,所以有2an?an?1?0,所以2an?an?1

所以数列?an?是公比为2的等比数列???????????????????2分 由a2?a4?2a3?4得2a1?8a1?8a1?4,解得a1?2

n故数列?an?的通项公式为an?2(n?N?)????????????????4分 (2)

bn?nan1mnnb?,b?,b?=，所以， 1mn32m?12n?1(2n?1)?2n2n?1第- 20 -页 共35页

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