2018年高考数学一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分

§11.7 离散型随机变量及其分布列

考纲展示?

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个离散型随机变量的分布列．

2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．

考点1 离散型随机变量的分布列的性质

1.随机变量的有关概念

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序________，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

答案：一一列出

2．离散型随机变量的分布列 (1)概念

若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，?，xi，?，xn，X取每一个值xi(i＝1,2,3，?，

n)的概率P(X＝xi)＝pi，如下表：

X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，?，n表示X的分布列．

(2)性质

①pi________，i＝1,2,3，?，n；

n②?pi＝1.

i＝1

答案：(2)①≥0

3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 X P 0 ________ 1 p 若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为

- 1 -

________．

(2)超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝________，

k＝0,1,2，?，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

X P 0 ______ 1 ______ ? ? m ______ 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 答案：(1)1－p 成功概率 CMCN－MCMCN－MCMCN－MCMCN－M(2)n n n n

CNCNCNCNkn－k0n－0

1n－1

mn－m

(1)[教材习题改编]已知离散型随机变量ξ的分布列为

ξ 1 2 3 ? ? n k nP 则k的值为________． 答案：1

k nk nk n解析：由＋＋?＋＝1，得k＝1.

(2)[教材习题改编]设随机变量X等可能取1,2,3，?，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________.

答案：10

1

解析：由题意知×3＝0.3，∴n＝10.

kknnknn

[典题1] 设离散型随机变量X的分布列为

X P 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列． [解] 由分布列的性质知，

0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.

- 2 -

首先列表为

X 2X＋1 |X－1| 从而由上表得两个分布列为 (1)2X＋1的分布列为

2X＋1 1 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 P (2)|X－1|的分布列为 |X－1| 0.2 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 P [点石成金] 1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证各个概率值均为非负数．

2．若X是随机变量，则η＝|X－1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列．

考点2 离散型随机变量分布列的求法

离散型随机变量的分布列易错点：随机变量的取值不全；分布列的概率之和不为1. 下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的是________．

- 3 -

答案：③

解析：利用离散型随机变量的分布列的性质可排除①，②，④.

离散型随机变量的分布列：随机变量的取值；求概率；列表检验． 某射手射击一次所得环数X的分布列如下：

- 4 -

X P 7 0.1 8 0.4 9 0.3 10 0.2 现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ，则ξ的分布列为________．

答案： ξ 7 0.01 8 0.24 9 0.39 210 0.36 2

P 解析：ξ的可能取值为7,8,9,10.P(ξ＝7)＝0.1＝0.01，P(ξ＝8)＝2×0.1×0.4＋0.4＝0.24，

P(ξ＝9)＝2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，

P(ξ＝10)＝2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36，

∴ξ的分布列为

ξ 7 0.01 8 0.24 9 0.39 10 0.36 P

[典题2] 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．

(1)求当天商店不进货的概率；

(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．

[解] (1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)153＝＋＝. 202010

(2)由题意知，X的可能取值为2,3.

P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；

P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为

1953

3件)＝＋＋＝.

2020204

所以X的分布列为

51204

- 5 -

X P 2 1 43 3 4[点石成金] 求离散型随机变量分布列的步骤

考点3 超几何分布

[典题3] 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列． [解] (1)由已知得， C2C3＋C3C36

P(A)＝＝. 4

C8356

所以事件A发生的概率为.

35

(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. C5C3

P(X＝k)＝4(k＝1,2,3,4)．

C8所以随机变量X的分布列为 k4－k22

22

X P 1 1 142 3 73 3 74 1 14[点石成金] 超几何分布的两个特点 (1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；

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(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.

[2017·山东济南调研]PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示： PM2.5日均值(微克/立方米) 频数 [25， 35] 3 (35， 45] 1 (45， 55] 1 (55， 65] 1 (65， 75] 1 (75， 85] 3 (1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．

解：(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则

C3C721P(A)＝3＝. C1040

(2)依据条件，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3， C3C7

P(ξ＝k)＝3(k＝0,1,2,3)．

C10C3C77

∴P(ξ＝0)＝3＝，

C1024C3C721

P(ξ＝1)＝3＝，

C1040C3C77

P(ξ＝2)＝3＝，

C1040C3C71

P(ξ＝3)＝3＝.

C10120因此ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3 302112

03

12

k3－k - 7 -

P 7 2421 407 401 120

[方法技巧] 1.随机变量的线性关系

若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ概率．

3．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率．

[易错防范] 掌握离散型随机变量的分布列的注意事项

(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．

(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．

真题演练集训

1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

的取值情况，然后利用排

所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的

- 8 -

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而

P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.

所以X的分布列为

X P 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 (2)由(1)知，P(X≤18)＝0.44，P(X≤19) ＝0.68，故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．

- 9 -

当n＝19时，

E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200

＋3×500)×0.04＝4 040.

当n＝20时，

E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04 ＝4 080.

可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19. 2．[2016·山东卷]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0分．

32

已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影

43响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．

解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD. 由事件的独立性与互斥性，得

P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD) ＋P(ABCD) ＋P(ABCD)

＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)

3232123231322

＝×××＋2××××＋×××＝. 43434343434332所以“星队”至少猜对3个成语的概率为. 3(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得

P(X＝0)＝×××＝34

1143111

，

431441111343431314343

211105

＝，

343144721212311243434343

1225

，

43144

P(X＝1)＝2××××＋×××＝

3143

P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝

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