必修五-第二章-数列通项公式基本解法

通项公式基本解法

一、累加法（“an?1?an?f(n)型”） 将通项变形为an?1?an?f(n)，从而就有an?a1??an?an?1??...??a3?a2???a2?a1??f(n?1)?例1、已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1

?f(2)?f(1)

an?a1?(an?an?1)?(an?1?an?2)?的通项公式为an?n2。

?(a3?a2)?(a2?a1)?2(n?1)n?(n?1)an?(n?1)(n?1)?1所以数列{an}2例2、已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。

an?a1?(an?an?1)?(an?1?an?2)??2(3n?1?(a3?a2)?(a2?a1)?3n?2? 3(1?3n?1)n?3?3)?(n?1)?2?(n?1)?3?n?41?321所以an?3n?n?1.

二、累乘法（“an?1?an?f(n)型”） 将通项变形为

an?1aaa?f(n)，从而就有n?n?n?1?ana1an?1an?2?a3a2??f(n?1)?a2a1?f(2)?f(1)

例3、设数列?an?满足a1?1,an?1?an?2n(n?1,2,3,?)，求?an?的通项公式 解：由an?1?an?2n(n?1,2,3,?)可知，

aaa2a?2；3?22；4?23??n?2n?1 a1a2a3an?1n(n?1)an23n?1上述等式累乘可得，?2?2?2?2?an?22

a1

三、待定系数法(构造法)（“an?1?p?an?q型”，“an?1?pan?（型”“an?1?pan?qan?1(其中p,q为常数)型” fn）1、an?1?p?an?q型 构造出an＋1＋k＝p(an＋k)等比数列

例4、设数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?1,2,3,?)，求?an?的通项公式

解 ：设an?1?x?2(an?x)，即an?1?2an?x与递推式比较，可得x?1，所以递推式转化为an?1?1?2(an?1)，

?an?1??a1?1?.2n?1?an?2n?1

2、an?1?pan?（型 fn）（1）若f(n)为指数式, 则①方法一：an加上关于n的指数式构成一个an?1?kbn?1?q?p(an?kbn?q)等比数列.

②方法二：两边同除bn?1，转化为an?1?p?an?q型

（2）若f(n)为n的一次函数,则an加上关于n的一次函数构成一个an?1?k(n?1)?q?p(an?kn?q)等比数列 （3）若f(n)为n的二次函数, 则an加上关于n的二次函数构成一个等比数列.

例5、在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5，则数列{an}的通项公式为________．

n

方法一：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)，解得x??1,

an＋1＝2an＋3?5n?an＋1-5n?1＝2?an?5n??an?5n??a1?51?.2n?1?an?5n?3.2n?1

an＋12an3

方法二：递推公式an＋1＝2an＋3×5n两边同除5n＋1，得n＋1＝5×5n＋5，①

5

an232a1

令5n＝bn，则①式变为bn＋1＝5bn＋5，即bn＋1－1＝5(bn－1)，所以数列{bn－1}是首项为b1－1＝5－1

323?2?an＝－5，公比为5的等比数列，bn＝1－5×?5?n－1＝5n，故an＝5n－3×2n－1.

??

例6、已知数列{an}满足an?1?3an?5?2n?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y) 将an?1?3an?5?2n?4代入⑥式，得

⑥

3an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)

整理得(5?2x)?2?4?y?3x?2?3y。 令?nn?x?5?5?2x?3x，则?，代入⑥式得

?y?2?4?y?3y

⑦

an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)

由a1?5?21?2?1?12?13?0及⑦式，

an?1?5?2n?1?2得an?5?2?2?0，则?3， nan?5?2?2n1故数列{an?5?n2?2是}以a1?5?2?2?1?12?为1首3项，以3为公比的等比数列，因此

an?5?2n?2?13?3n?1，则an?13?3n?1?5?2n?2。

例7、已知数列?an?满足a1?1,当n?2时,an?方法一：待定系数法，构造等比数列

1an?1?2n?1,求an. 2作

bn?an?An?B,则an?bn?An?B,

an?1?bn?1?A(n?1)?B代入已知递推式中

?1A?2?0??A??41111?2得:bn?bn?1?(A?2)n?(A?B?1).令? ??112222B?6??A?B?1?0??221bn?1且bn?an?4n?6 233显然,bn?n?1,所以an?n?1?4n?6.

22这时bn?方法二：两递推式相减，转化为bn?pbn?1?q型（较繁琐）

1?a?a?2n?1?11?n2n?1?a?a?a?a?2?a?a?4????an?an?1?4? ?n?1nnn?1n?1n122?a?a?2n?1n?1n??2

3、an?1?pan?qan?1(其中p,q为常数)型 构造an?1??an???an??an?1?等比数列。

例8、 已知数列{an}满足an?2?5an?1?6an?0，且a1?1,a2?5,且满足,求an. 解：令an?2?xan?1?y(an?1?xan),即an?2?(x?y)an?1?xyan?0,与已知

?x?2?x?3?x?y?5,故?或? an?2?5an?1?6an?0比较，则有?y?3y?2???xy?6?x?2下面我们取其中一组?来运算，即有an?2?2an?1?3(an?1?2an),则数列?an?1?2an?是以a2?2a1?3为首项，

y?3?3为公比的等比数列，故an?1?2an?3?3n?1?3n，即an?1?2an?3n，可得an?3n?2n

四、倒数法（“an?1?B.an或Aa） .nan?1?B.an?C.an?1型”A.an?C将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,转化为an?1?pan?q型数列。 例9、①已知数列?an?满足a1?2,an?1?2an,求an. an?2解:两边取倒数得:

2111111n??,所以??(n?1)??，故有an?。

nan?1an2ana1225an5

②设数列?an?满足a1＝，an＋1＝.求?an?的通项公式

64an＋1

5an141111

－1?. ∵an＋1＝，∴＝＋，∴－1＝?a?5n?4an＋1an＋155anan＋1

11?1?1111115n又－1＝，∴?a－1?是以为首项，为公比的等比数列，∴－1＝·n－1＝n，∴an＝. a1555an555?n?1＋5n

2n?1?an③数列{an}中，an?1?n?1,a1?2，求{an}的通项。

2?an r五、对数变换法（“ an?1?pan(其中p,r为常数)型”） 2例10、设正项数列?an?满足a1?1，an?2anan?的通项公式. ?1（n≥2）.求数列?an?1ananan?1n解：两边取对数得：loga，，设bn?是?1?2loglog?1?2(log?1)b?log2222n2?1，则bn?2bn?1，?n?1n?1n?1nn以2为公比的等比数列，b1?log1，loga?2n?1，loga?1，∴2?1?1 bn?1?22?1?22?2an?22n?1?1

六、奇偶分析法 1、数列递推公式为an?1?an?c(c为常数) ?a?a=c则?n?1n?an?1=an-1,数列隔项相等,通项公式分奇数项和偶数项讨论,即a1=a3=a5=....;a2=a4=a6=....?an?an?1=c2、数列递推公式为an?1.an?r(r为常数) ?a.a=c则?n?1n?an?1=an-1,数列隔项相等,通项公式分奇数项和偶数项讨论,即a1=a3=a5=....;a2=a4=a6=....?an.an?1=c3、数列递推公式为an?1?an?pn?q(p,q为常数)?an?1?an=pn?q 则??an?2?an?p,数列隔项成等差数列?an?2?an?1=pn?p?q奇数项构成以a1为首项，以p为公差的等差数列；偶数项构成以a2为首项，以p为公差的等差数列。4、数列递推公式为an?1.an?p.qn(p,q为常数)?an?1an=p.qnan?2 则???p,数列隔项成等比数列n?1aa?a=p.qn?n?2n?1奇数项构成以a1为首项，以p为公比的等比数列；偶数项构成以a2为首项，以p为公比的等比数列。 七、利用an与Sn的关系 ?S1，n＝1，?

利用an＝?求通项公式，特别注意检验n=1的情形

?S－S，n≥2.?nn－1

(1)消去Sn，将已知关系式转化为an与an－1的关系式，求解得an的通项公式

(2)消去an，将已知关系式转化为Sn与Sn－1的关系式，先求解Sn的公式，再利用an＝Sn－Sn－1求解得an的通项公式

1

例11、已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)(an＋2)．若a2，a4，a9成等比数列，求数列{an}

6

的通项公式．

11

解析：因为Sn＝(an＋1)(an＋2)，①,所以当n＝1时，有S1＝a1＝(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2；

66

1

当n≥2时，有Sn－1＝(an－1＋1)(an－1＋2)．②;①－②并整理，得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0 (n≥2)．

6

因为数列{an}的各项均为正数，所以an－an－1＝3 (n≥2)．

2

当a1＝1时，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，此时a4＝a2a9成立．

2

当a1＝2时，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，此时a4＝a2a9不成立． 所以a1＝2舍去．故an＝3n－2.

例12、已知数列{an}的首项a1=3，且2an=SnSn-1（n≥2）,求数列{an}的通项公式an； 由已知得当n≥2时，2（Sn-Sn-1）=SnSn-1， ∴2(

)=1,即

∴{

}是公差为-，首项为

的等差数列.

∴

∴Sn= .

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an=当n=1时，a1=3.∴

例13、已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m(m，n∈N*)且a1＝6，那么a10＝( ) A．10 B．60 C．6 D．54 解析：令m=1,可得Sn＋S1＝Sn＋1,S1＝Sn＋1?Sn?an?1，an＋1＝a1＝6

例14、(2012·全国高考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )

3?n-1 ?2?n－11－

A．2n1 B.?C. D.n－1 ?2??3?2

Sn＋133?n－1

法一、由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，Sn＝??2?. Sn2法二 由Sn=2an+1①，可知a2=

S1=

,

an(n≥2),即{an}从第二项起是首项为

,公比为

的等比数列,

-②当n≥2时,Sn-1=2an, ②由①得an+1=

∴Sn=a1+

=1+

n-1

-1=

n-1

(n≥2),当n=1时,满足上式.

八、其他方法

例15、(2014·宁波模拟)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2an＋1＋1，则a13＝( ) A．143 B．156 C．168 D．195

由an＋1＝an＋2an＋1＋1，可知an＋1＋1＝an＋1＋2an＋1＋1＝(an＋1＋1)2，即an＋1＋1＝an＋1＋1，故数列{an＋1}是公差为1的等差数列，所以a13＋1＝a1＋1＋12＝13，则a13＝168.

1

，a＝2，则a1＝________. 1－an8

周期性数列：先求出数列的周期，再进一步求解首项，

1－an－111111

∵an＋1＝，∴an＋1＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，

111－an1－an－an－1an－1

1－

1－an－11－an－2

11

∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝，∴a1＝.

21－a1例16、(2014·新课标全国卷)数列{an}满足an＋1＝

例17、已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?3an?2?3n?1两边除以3则

n?1，得

an?1an21???， 3n?13n33n?1an?1an21???，故 n?1nn?13333ananan?1an?1an?2an?2an?3?(?)?(?)?(?n?3)?nnn?2n?233an?1an?1333212121?(?n)?(?n?1)?(?n?2)?333333?(a2a1a1?1)?2333?1)?1232132(n?1)1111?(?2)???(n?n?n?1?n?2?33333333

1(1?3n?1)n21n1an2(n?1)32n11na??n?3??3?. 因此n，则???1???n322331?3322?3n

1

，a＝2，则a1＝________. 1－an8

周期性数列：先求出数列的周期，再进一步求解首项，

1－an－111111

∵an＋1＝，∴an＋1＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，

111－an1－an－an－1an－1

1－

1－an－11－an－2

11

∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝，∴a1＝.

21－a1例16、(2014·新课标全国卷)数列{an}满足an＋1＝

例17、已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?3an?2?3n?1两边除以3则

n?1，得

an?1an21???， 3n?13n33n?1an?1an21???，故 n?1nn?13333ananan?1an?1an?2an?2an?3?(?)?(?)?(?n?3)?nnn?2n?233an?1an?1333212121?(?n)?(?n?1)?(?n?2)?333333?(a2a1a1?1)?2333?1)?1232132(n?1)1111?(?2)???(n?n?n?1?n?2?33333333

1(1?3n?1)n21n1an2(n?1)32n11na??n?3??3?. 因此n，则???1???n322331?3322?3n

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