必修五-第二章-数列通项公式基本解法
更新时间:2024-05-16 09:37:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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通项公式基本解法
一、累加法(“an?1?an?f(n)型”) 将通项变形为an?1?an?f(n),从而就有an?a1??an?an?1??...??a3?a2???a2?a1??f(n?1)?例1、已知数列{an}满足an?1?an?2n?1,a1?1,求数列{an}的通项公式。 解:由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1
?f(2)?f(1)
an?a1?(an?an?1)?(an?1?an?2)?的通项公式为an?n2。
?(a3?a2)?(a2?a1)?2(n?1)n?(n?1)an?(n?1)(n?1)?1所以数列{an}2例2、已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1,a1?3,求数列{an}的通项公式。
an?a1?(an?an?1)?(an?1?an?2)??2(3n?1?(a3?a2)?(a2?a1)?3n?2? 3(1?3n?1)n?3?3)?(n?1)?2?(n?1)?3?n?41?321所以an?3n?n?1.
二、累乘法(“an?1?an?f(n)型”) 将通项变形为
an?1aaa?f(n),从而就有n?n?n?1?ana1an?1an?2?a3a2??f(n?1)?a2a1?f(2)?f(1)
例3、设数列?an?满足a1?1,an?1?an?2n(n?1,2,3,?),求?an?的通项公式 解:由an?1?an?2n(n?1,2,3,?)可知,
aaa2a?2;3?22;4?23??n?2n?1 a1a2a3an?1n(n?1)an23n?1上述等式累乘可得,?2?2?2?2?an?22
a1
三、待定系数法(构造法)(“an?1?p?an?q型”,“an?1?pan?(型”“an?1?pan?qan?1(其中p,q为常数)型” fn)1、an?1?p?an?q型 构造出an+1+k=p(an+k)等比数列
例4、设数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?1,2,3,?),求?an?的通项公式
解 :设an?1?x?2(an?x),即an?1?2an?x与递推式比较,可得x?1,所以递推式转化为an?1?1?2(an?1),
?an?1??a1?1?.2n?1?an?2n?1
2、an?1?pan?(型 fn)(1)若f(n)为指数式, 则①方法一:an加上关于n的指数式构成一个an?1?kbn?1?q?p(an?kbn?q)等比数列.
②方法二:两边同除bn?1,转化为an?1?p?an?q型
(2)若f(n)为n的一次函数,则an加上关于n的一次函数构成一个an?1?k(n?1)?q?p(an?kn?q)等比数列 (3)若f(n)为n的二次函数, 则an加上关于n的二次函数构成一个等比数列.
例5、在正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5,则数列{an}的通项公式为________.
n
方法一:设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n),解得x??1,
an+1=2an+3?5n?an+1-5n?1=2?an?5n??an?5n??a1?51?.2n?1?an?5n?3.2n?1
an+12an3
方法二:递推公式an+1=2an+3×5n两边同除5n+1,得n+1=5×5n+5,①
5
an232a1
令5n=bn,则①式变为bn+1=5bn+5,即bn+1-1=5(bn-1),所以数列{bn-1}是首项为b1-1=5-1
323?2?an=-5,公比为5的等比数列,bn=1-5×?5?n-1=5n,故an=5n-3×2n-1.
??
例6、已知数列{an}满足an?1?3an?5?2n?4,a1?1,求数列{an}的通项公式。 解:设an?1?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y) 将an?1?3an?5?2n?4代入⑥式,得
⑥
3an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)
整理得(5?2x)?2?4?y?3x?2?3y。 令?nn?x?5?5?2x?3x,则?,代入⑥式得
?y?2?4?y?3y
⑦
an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)
由a1?5?21?2?1?12?13?0及⑦式,
an?1?5?2n?1?2得an?5?2?2?0,则?3, nan?5?2?2n1故数列{an?5?n2?2是}以a1?5?2?2?1?12?为1首3项,以3为公比的等比数列,因此
an?5?2n?2?13?3n?1,则an?13?3n?1?5?2n?2。
例7、已知数列?an?满足a1?1,当n?2时,an?方法一:待定系数法,构造等比数列
1an?1?2n?1,求an. 2作
bn?an?An?B,则an?bn?An?B,
an?1?bn?1?A(n?1)?B代入已知递推式中
?1A?2?0??A??41111?2得:bn?bn?1?(A?2)n?(A?B?1).令? ??112222B?6??A?B?1?0??221bn?1且bn?an?4n?6 233显然,bn?n?1,所以an?n?1?4n?6.
22这时bn?方法二:两递推式相减,转化为bn?pbn?1?q型(较繁琐)
1?a?a?2n?1?11?n2n?1?a?a?a?a?2?a?a?4????an?an?1?4? ?n?1nnn?1n?1n122?a?a?2n?1n?1n??2
3、an?1?pan?qan?1(其中p,q为常数)型 构造an?1??an???an??an?1?等比数列。
例8、 已知数列{an}满足an?2?5an?1?6an?0,且a1?1,a2?5,且满足,求an. 解:令an?2?xan?1?y(an?1?xan),即an?2?(x?y)an?1?xyan?0,与已知
?x?2?x?3?x?y?5,故?或? an?2?5an?1?6an?0比较,则有?y?3y?2???xy?6?x?2下面我们取其中一组?来运算,即有an?2?2an?1?3(an?1?2an),则数列?an?1?2an?是以a2?2a1?3为首项,
y?3?3为公比的等比数列,故an?1?2an?3?3n?1?3n,即an?1?2an?3n,可得an?3n?2n
四、倒数法(“an?1?B.an或Aa) .nan?1?B.an?C.an?1型”A.an?C将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,转化为an?1?pan?q型数列。 例9、①已知数列?an?满足a1?2,an?1?2an,求an. an?2解:两边取倒数得:
2111111n??,所以??(n?1)??,故有an?。
nan?1an2ana1225an5
②设数列?an?满足a1=,an+1=.求?an?的通项公式
64an+1
5an141111
-1?. ∵an+1=,∴=+,∴-1=?a?5n?4an+1an+155anan+1
11?1?1111115n又-1=,∴?a-1?是以为首项,为公比的等比数列,∴-1=·n-1=n,∴an=. a1555an555?n?1+5n
2n?1?an③数列{an}中,an?1?n?1,a1?2,求{an}的通项。
2?an r五、对数变换法(“ an?1?pan(其中p,r为常数)型”) 2例10、设正项数列?an?满足a1?1,an?2anan?的通项公式. ?1(n≥2).求数列?an?1ananan?1n解:两边取对数得:loga,,设bn?是?1?2loglog?1?2(log?1)b?log2222n2?1,则bn?2bn?1,?n?1n?1n?1nn以2为公比的等比数列,b1?log1,loga?2n?1,loga?1,∴2?1?1 bn?1?22?1?22?2an?22n?1?1
六、奇偶分析法 1、数列递推公式为an?1?an?c(c为常数) ?a?a=c则?n?1n?an?1=an-1,数列隔项相等,通项公式分奇数项和偶数项讨论,即a1=a3=a5=....;a2=a4=a6=....?an?an?1=c2、数列递推公式为an?1.an?r(r为常数) ?a.a=c则?n?1n?an?1=an-1,数列隔项相等,通项公式分奇数项和偶数项讨论,即a1=a3=a5=....;a2=a4=a6=....?an.an?1=c3、数列递推公式为an?1?an?pn?q(p,q为常数)?an?1?an=pn?q 则??an?2?an?p,数列隔项成等差数列?an?2?an?1=pn?p?q奇数项构成以a1为首项,以p为公差的等差数列;偶数项构成以a2为首项,以p为公差的等差数列。4、数列递推公式为an?1.an?p.qn(p,q为常数)?an?1an=p.qnan?2 则???p,数列隔项成等比数列n?1aa?a=p.qn?n?2n?1奇数项构成以a1为首项,以p为公比的等比数列;偶数项构成以a2为首项,以p为公比的等比数列。 七、利用an与Sn的关系 ?S1,n=1,?
利用an=?求通项公式,特别注意检验n=1的情形
?S-S,n≥2.?nn-1
(1)消去Sn,将已知关系式转化为an与an-1的关系式,求解得an的通项公式
(2)消去an,将已知关系式转化为Sn与Sn-1的关系式,先求解Sn的公式,再利用an=Sn-Sn-1求解得an的通项公式
1
例11、已知数列{an}的各项均为正数,且前n项和Sn满足Sn=(an+1)(an+2).若a2,a4,a9成等比数列,求数列{an}
6
的通项公式.
11
解析:因为Sn=(an+1)(an+2),①,所以当n=1时,有S1=a1=(a1+1)(a1+2),解得a1=1或a1=2;
66
1
当n≥2时,有Sn-1=(an-1+1)(an-1+2).②;①-②并整理,得(an+an-1)(an-an-1-3)=0 (n≥2).
6
因为数列{an}的各项均为正数,所以an-an-1=3 (n≥2).
2
当a1=1时,an=1+3(n-1)=3n-2,此时a4=a2a9成立.
2
当a1=2时,an=2+3(n-1)=3n-1,此时a4=a2a9不成立. 所以a1=2舍去.故an=3n-2.
例12、已知数列{an}的首项a1=3,且2an=SnSn-1(n≥2),求数列{an}的通项公式an; 由已知得当n≥2时,2(Sn-Sn-1)=SnSn-1, ∴2(
)=1,即
∴{
}是公差为-,首项为
的等差数列.
∴
∴Sn= .
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an=当n=1时,a1=3.∴
例13、已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m(m,n∈N*)且a1=6,那么a10=( ) A.10 B.60 C.6 D.54 解析:令m=1,可得Sn+S1=Sn+1,S1=Sn+1?Sn?an?1,an+1=a1=6
例14、(2012·全国高考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( )
3?n-1 ?2?n-11-
A.2n1 B.?C. D.n-1 ?2??3?2
Sn+133?n-1
法一、由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,Sn=??2?. Sn2法二 由Sn=2an+1①,可知a2=
S1=
,
an(n≥2),即{an}从第二项起是首项为
,公比为
的等比数列,
-②当n≥2时,Sn-1=2an, ②由①得an+1=
∴Sn=a1+
=1+
n-1
-1=
n-1
(n≥2),当n=1时,满足上式.
八、其他方法
例15、(2014·宁波模拟)已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+2an+1+1,则a13=( ) A.143 B.156 C.168 D.195
由an+1=an+2an+1+1,可知an+1+1=an+1+2an+1+1=(an+1+1)2,即an+1+1=an+1+1,故数列{an+1}是公差为1的等差数列,所以a13+1=a1+1+12=13,则a13=168.
1
,a=2,则a1=________. 1-an8
周期性数列:先求出数列的周期,再进一步求解首项,
1-an-111111
∵an+1=,∴an+1====1-=1-=1-(1-an-2)=an-2,
111-an1-an-an-1an-1
1-
1-an-11-an-2
11
∴周期T=(n+1)-(n-2)=3.∴a8=a3×2+2=a2=2.而a2=,∴a1=.
21-a1例16、(2014·新课标全国卷)数列{an}满足an+1=
例17、已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1,a1?3,求数列{an}的通项公式。 解:an?1?3an?2?3n?1两边除以3则
n?1,得
an?1an21???, 3n?13n33n?1an?1an21???,故 n?1nn?13333ananan?1an?1an?2an?2an?3?(?)?(?)?(?n?3)?nnn?2n?233an?1an?1333212121?(?n)?(?n?1)?(?n?2)?333333?(a2a1a1?1)?2333?1)?1232132(n?1)1111?(?2)???(n?n?n?1?n?2?33333333
1(1?3n?1)n21n1an2(n?1)32n11na??n?3??3?. 因此n,则???1???n322331?3322?3n
1
,a=2,则a1=________. 1-an8
周期性数列:先求出数列的周期,再进一步求解首项,
1-an-111111
∵an+1=,∴an+1====1-=1-=1-(1-an-2)=an-2,
111-an1-an-an-1an-1
1-
1-an-11-an-2
11
∴周期T=(n+1)-(n-2)=3.∴a8=a3×2+2=a2=2.而a2=,∴a1=.
21-a1例16、(2014·新课标全国卷)数列{an}满足an+1=
例17、已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1,a1?3,求数列{an}的通项公式。 解:an?1?3an?2?3n?1两边除以3则
n?1,得
an?1an21???, 3n?13n33n?1an?1an21???,故 n?1nn?13333ananan?1an?1an?2an?2an?3?(?)?(?)?(?n?3)?nnn?2n?233an?1an?1333212121?(?n)?(?n?1)?(?n?2)?333333?(a2a1a1?1)?2333?1)?1232132(n?1)1111?(?2)???(n?n?n?1?n?2?33333333
1(1?3n?1)n21n1an2(n?1)32n11na??n?3??3?. 因此n,则???1???n322331?3322?3n
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