数学建模习题3答案

2.某种山猫在较好的，中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别是1.68%，0.55%，-4.5%。假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：

（1）三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；

解：首先讨论紫檀环境下山猫的数量的演变。记k年山猫的数量为xk，设自然条件下的年平均增长率为r(相当于假设年增长率r为常数)，则列式得： Xk+1=xk*(1+r)，k=0,1,2,…… 解为等比数列

Xk=x0*(1+r)k ，k=0,1,2,……

在以下的Matlab的程序里，分别取r=0.0168,0.0055,-0.045，取初始值x0 =100，用循环语句迭代计算出25年不同自然环境下山猫的数量的演变过程，将结果列表并绘图：

n=25;r=[.0168,.0055,-.045];x=[100,100,100]; for k=1:n

x(k+1,:)=x(k,:).*(1+r); end

disp('自然条件下（b=0）山猫的数量的演变')%列表 自然条件下（b=0）山猫的数量的演变

disp(' 年 较好 中等 较差') %每列项目的名称 年 较好 中等 较差

disp([(0:n)',round(x)]) %舍入为整数，列表 0 100 100 100 1 102 101 96 2 103 101 91 3 105 102 87 4 107 102 83 5 109 103 79 6 111 103 76 7 112 104 72 8 114 104 69 9 116 105 66 10 118 106 63 11 120 106 60 12 122 107 58 13 124 107 55 14 126 108 52 15 128 109 50 16 131 109 48 17 133 110 46 18 135 110 44 19 137 111 42 20 140 112 40 21 142 112 38 22 144 113 36

23 147 113 35 24 149 114 33

25 152 115 32

plot(0:n,x(:,1),'k^',0:n,x(:,2),'ko',0:n,x(:,3),'kv') legend('r=0.0168','r=0.0055','r=-0.045',2) axis([-1,n+1,0,200])

title('自然条件下（b=0）山猫数量的演变') xlabel('第k年'),ylabel('山猫的数量')

（2）如果每年捕获三只，山猫的数量将会如何变化？会灭绝吗？如果每年捕获一只呢？

解：讨论每年捕获三只条件下山猫数量的演变。设自然环境下的年平均增长率为r,并且每年捕获的数量为b只，则列式得： Xk+1=(1+r)xk+b,k=1,2,3…… 其解为数列

Xk=(x0+b/r)(1+r)k-b/r，k=1,2,3……

在以下的Matlab程序里，分别取r=0.0168,0.0055,-0.045，取b=-3，取初始值x0 =100，用循环语句迭代计算出25年内捕获条件，在不同自然环境下的山猫数量的演变过程，将结果列表，并绘图：

n=25;r=[.0168,.0055,-.045];x=[100,100,100];b=-3; for k=1:n

x(k+1,:)=x(k,:).*(1+r)+b; end

disp('自然条件下（b=-3）山猫的数量的演变')%列表

disp(' 年 较好 中等 较差') %每列项目的名称 disp([(0:n)',round(x)]) %舍入为整数，列表 0 100 100 100 1 99 98 93

2 97 95 85 3 96 93 78 4 95 90 72 5 93 88 66 6 92 85 60 7 90 83 54 8 89 80 49 9 87 77 43 10 86 75 39 11 84 72 34 12 83 70 29 13 81 67 25 14 79 64 21 15 78 62 17 16 76 59 13 17 74 56 10 18 73 54 6 19 71 51 3 20 69 48 0 21 67 46 -3 22 65 43 -6 23 63 40 -9 24 61 37 -11

25 59 35 -14

plot(0:n,x(:,1),'k^',0:n,x(:,2),'ko',0:n,x(:,3),'kv') axis([-1,n+1,-15,100])

legend('r=0.0168','r=0.0055','r=-0.045',2) title('捕获条件下（b=-3）山猫数量的演变') xlabel('第k年'),ylabel('山猫的数量')

（3）在较差的自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁

殖多少只？

解：讨论每年人工繁殖条件下山猫数量的演变。设自然环境下的年平均增长率为r,并且每年人工繁殖的数量为b只，则列式得： Xk+1=(1+r)xk+b,k=1,2,3…… 其解为数列

Xk=(x0+b/r)(1+r)k-b/r，k=1,2,3…… 取r=-0.045，x0=100,令xk =100

因将山猫的数量稳定在60只，则： 由上式推知：

b=[xk-x0(1+r)k]r/[(1+r)k-1]

其中Xk=60，x0=100,xk=60,r=-0.045;带入其中，通过Matlab绘制其山猫数量变化图得： 解得： b≈3

5.有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取方式（指本金一次存入，分次支取本金的一种储蓄）存入，以第一个月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率0.3%把上个月结余金额利息自动存入养老金。请你计算老人多少岁时将养老金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？

解：记第养老金第k月末银行账户余额为xk元，b为每月支取的金额，r为银行每月的月利率，则列式得： Xk+1=(1+r)xk-b ，k=0,1,2,……

分别取r=0.003 ,b=1000, 取初始值为x0=100000； 作n月将养老金用完，即xn=0. 由上式解得：

Xk=(x0-b/r)(1+r)k+b/r，k=0,1,2,……

由于月利率r，支取金额b,和本金初始总额x0必然满足x0

k=[ln(b/r)-ln(b/r-x0)]/ln(1+r);

r=0.003 ,b=1000, 取初始值为x0=100000;带入数值得： k=120

即120个月把养老金用完。

如果已知月数k和每月支取金额b,想知道x0 ,则由上式推知： x0 =b/r[(1+r)k-1]/(1+r)k

r=0.003,b=1000,k=240带入解得 x0=170908

即如果养老金用到80岁，那么得再60岁存入170908元。