第二讲习题辅导

线代辅导2

1．检验下列集合对指定的加法和数量乘法, 是否构成所给域上的线性空间.若是，给出基和维数。

(5,6) C(C); C(R); R(C); R(R)；Q(R) 对通常数的加法和数量乘法。

解 {1}；{1, i}; 不是; {1}; 不是。

(2) R2(R) 对向量加法和如下定义的数量乘法： 1．????0;2.?????。

解 都不是。因为1中1????;2中(k?l)??k??l?。

(10） V1(R)?{f|x?R,f(x)?R,且f(?x)??f(x)}；

V2(R)?{f|x?R,f(x)?R,f(0)?1,且f(?x)?f(x)}.

对通常的函数加法和数与函数的乘法。 解 V1是，V2不是。

(12) 平面上终点在第一象限的向量对向量加法数量乘法。 解 不是。

2. 判断下列子集是否为给定线性空间的子空间(对R3中的子集并说明其几何意义)： (1)

W?{(x1,?,xn)?F|a1x1?a2x2???anxn?0,ai?F为固定数}n

答 是。与向量（a1,a2,?an）正交的过原点的n维平面上的全体向量。

(5) W1?{p(x)?F[x]|p(1)?0},

W2?{p(x)?R[x]n|p(1)?p(0)}.

答 是。(p+q)(1)=0; (kp)(1)=0, ?p(x), q(x) ?Wi.

(6) W?{f?F(R,R)|f(?x)?f(x),?x?R},其中F(R,R)是所有实变量的实值函数对通常的函数加法及数与函数的乘法在实数域上构成的线性空间.

答：是。偶函数的和与数乘还是偶函数。

加题 f(-x)= f(x)偶函数集且f(0)=1，则不是其子空间.因为加法没有单位元。

4. 设?1,?2,?3?Rn, c1,c2,c3?R, 如果

c1?1?c2?2?c3?3?0,且c1c3?0.证明.L(?1,?2)?L(?2,?3).

证明

?3??1c3(c1?1?c2?2),又?1??1c1(c3?3?c2?2)

所以{?1, ?2}与{?2, ?3}等价。

6.设?1?(1,0,1),?2?(1,1,0),?3?(1,?1,2), 问下列?1,?2属于

L(?1,?2,?3)吗？如属于, 它们由?1,?2,?3线性表示唯一吗？为什

么？

(1) ?1?(1,?1,?1). (2) ?2?(1,2,?1).

答：

?1?x1?1?x2?2?x3?3无解，?1?L(?1,?2,?3);?2???1?2?2,?2?L(?1,?2,?3);?3?2?1??2;不唯一。

7. 判别下列向量组的线性相关性： (1) ?1?(1,1,1),?2?(0,2,5),?3?(1,3,6). 答: ?2= ?3 -?1.相关 (2) ?1?(1,?1,2,4),?2?(0,3,1,2),?3?(3,0,7,14). 答：?3= 3?1 +?2相关 (3) R[x]3中：p1(x)?1, x0?R.

p2(x)?(x?x0),p3(x)?(x?x0),2其中常数

答：k1+k2 (x-x0)+k3 (x-x0)2=0? k1=k2 =k3=0. 无关。

10. 下列命题是否正确？如正确, 证明之, 如不正确, 举反例.

(1) 若?1,?,?m(m?2)线性相关, 则其中每一向量都是其余向量的线性组合.

答：否。如?2, ?1线性无关, ?2, -?1, ?1线性相关.?2不是其余向量的线性组合.

(2) 若?1,?,?m线性无关, 则其中每一向量都不是其余向量的线性组合, 这个命题的等价命题应如何叙述？

答：若存在一向量是其余向量的线性组合,则?1,?,?m线性相关。 (3) ?1,?,?m(m?2)线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关.

答：?对；?不对

(4) 若?1,?2线性相关, ?1,?2线性相关, 则?1??1、?2??2也线性相关.

答：否。?2?2?1,?2??1,?1?k?1.

(5) 若?1,?,?n线性无关, 则?1??2,?2??3,?,?n?1??n,?n??1也线性无关.

答：n为偶数时相关；n为奇数时无关.因为

k1(?1??2)?k2(?2??3)???kn(?n??1)?0,即(k1?kn)?1?(k1?k2)?2???(kn?1?kn)?n?0，

?k1?kn?0?0偶数?k1?k2?0,方程组的系数行列式当n为时为?非0奇数??????kn?1?kn?0(6) 若?1,?2,?3线性相关, 则?1??2,?2??3,?3??1也线性相关.

答：是。不妨设

?3可用?1，?2线性表示，则可用?1，?2线性表示。?1??2，?2??3，?3??1

(7)* 设B?{?1,?2,?3}是R3的一组基, 非零向量?0?R3, 则

{?0??1,?0??2,?0??3}也是R3的一组基.

答：不对。取

?0??1??2??3,则有?0??1?（?0??2）?（?0??3）线性相关，

(8) 设B?{?1,?2}是R2的一组基, 则{?1??2,?1??2}也是R2的一组基. 答：是。因为

111?1?0.

(9) 一个有限维线性空间只含有有限个子空间. 答：否，如过原点的平面，其上过原点的直线。

(10)* 如果W1,W2是Rn的两个子空间, B1,B2分别是W1,W2的基,则存在Rn的一组基B, 使得B?{B1?B2}. 答：否，如

W1是R中平面x1?x2?0,W2是R中平面x1?x2?0B1?{(1,?1,0）（,0，0，1)},B2?{(1,1,0）（,0，0，2)}33

12. 设在线性空间V(F)中, 向量?是{?1,?,?r}的线性组合, 但不

是{?1,?,?r?1}的线性组合, 证明：

L(?1,?,?r?1,?r)?L(?1,?,?r?1,?).

答：

??k1?1??kr?1?r?1?kr?r,kr?0,??r可用?1,?,?r?1,?线性表示??1,?,?r?1,?与?1,?,?r等价。

13．若{?1,?2,?3,?4}线性相关, 但其中任意三个向量线性无关, 则存在一组全不为零的数?1,?2,?3,?4, 使得

?1?1??2?2??3?3??4?4?0.

答：

?1?1??2?2??3?3??4?4?0.?1,??4全不为零,若一个如?4?0则?1,?2,?3线性相关，若两个如??1,?2,?3线性相关，如三个为?3??4?0，则?1,?2线性相关0，同理，矛盾。

16．证明：若向量?可经向量组{?1,?,?r}线性表示, 则表示法唯一的充要条件是{?1,?,?r}线性无关. 证明：

若有??k1?1???kr?r?l1?1???lr?,则（k1?l1)?1???(kr?lr)?r?0,

?1,?,?r线性无关?k1?l1,?,kr?lr.17. 在线性空间V(F)中, 对于给定的一个向量组{?1,?,?n}, 如

何判断它是否是V(F)的一组基向量. 如果已知dimV=n,又如

何判断{?1,?,?n}是否是V(F)的一组基向量. 什么是有限维线性空间的维数? 答：

{?1,?,?n}线性无关；若dimV?n,???V,?可经?1,?,?n线性表示；?1,?,?n线性无关,即为基向量。

18. 求下列线性空间的维数及其一组基(向量)：

(1) 全体二元复数向量在复数域上构成的线性空间.

答：2; {(1,0), (0,1)}

(3)* 全体二元复数向量在实数域上构成的线性空间. 答：4; {(1,0), (0,1)，(i,0); (0,i)}

21．已知{?1,?,?n}是线性空间V(F)的一组基向量, 如何求V(F)中任一向量关于这一基的坐标？ 解 解方程x1?1???xn?n?0,得X?(x1,?,xn) 23. 已知R2的两组基为：{?1,?2}和{e1,e2}, 其中?1?(2,?1),?2?(5,?4),

2e1?(1,0),e2?(0,1). 试求一个非零向量??R, 使?关于这两组基

有相同的坐标, 并求这个?关于基{?1,?2}的坐标, 其中?1?(?1,1),?2?(1,1). 解：

解方程x1?1?x2?2?x1e1?x2e2,即x（?1?e1）?x（?2?e2）?0，12得即X?（x1，x2）,??x1e1?x2e2?(?5,1);??y1?1?y2?2;得Y?(y1,y2)?(3,?2).TTT

24. 证明：{1,x?2,(x?2)2}是R[x]3的一组基, 并求

f(x)?a?bx?cx2关于这组基的坐标.

?2101??2?2?(1.x,x)A.?1???122?(1,x?2,(x?2))?(1.x,x)0???0?a??22解：f(x)?(1.x,x2)?b?(1.x,x)X?(1,x?2,(x?2))Y, ????c??Y?AX?(a?2b?4c,b?4c,c).?1T26. 求下列子空间的交与和的维数及其一组基：

W1?{(x1,?,x4)x1?x2?x3?x4?0};W2?{(x1,?,x4)x1?x2?x3?x4?0;x1?x2?x3?x4?0};解

W1?L(?1,?2,?3),?1,?(1,?1,0,0);?2,?(1,0,?1,0);?1,?(1,0,0,?1);W2?L(?1,?2),?1,?(1,1,0,0);?2,?(0,0,1,1);W1?W2?L(?1,?2,?3,?1,?2)?L(?1,?2,?1,?2);dim(W1?W2)?4;W1?W2?L(?),??(?1,?1,1,1)是三个联立方程的解。TTTTT

加题。求 W(R)?{(x1,?,x4)x1?a1x2?a2x3?a3x4?0}的基和维数,

并将基扩充为R4的基.

解：解空间=L((-a1,1,0,0)T,(-a2,0,1,0)T,(-a3,0,0,1)T); dimW=3; 添加 e4=(1,0,0,0).

28. 设W1,W2是线性空间V的两个子空间, dimW1?m,dimW2?n,m?n, 证明：(1) dim(W1?W2)?m； (2) dim(W1?W2)?m?n.

证明：

（1）(W1?W2)是W1的子空间；(2）dim(W1?W2)?dimW1?dimW2?dim(W1?W2)?m?n

29．设W是Rn的k维子空间(0

解： 把的W基?1,? ?k扩大为Rn的基?1,? ?k,?k+1,? ?n则L(?k+1,? ?n)是W的补空间

32. 求与向量?1=(1,1,?1,1),?2?(1,?1,?1,1),?3?(2,1,1,3)都正交的单位向量.

解法1：设所求向量为?=(x1, ?,x4), 由(?,?i)=0(i=1,2,3,4),解非常组

?x1?x2?x3?x4?0?0

?x1?x2?x3?x4?0得?=(-4,0,-1,3);单位化得?=(-4,0,-1,3)/?26。 ?2x?x?x?3x?0234?1解法2：取?使?1，?2，?3，?线性无关，再正交化，单位化得?0

35. ???(x1,x2),??(y1,y2)?R2, 定义：

(?,?)?ax1y1?bx1y2?cx2y1?dx2y2

(其中a,b,c,d?R), 问：a,b,c,d满足什么条件时,(?,?)是R2上的

一个内积.

解：由(?,?)=(?,?),得b=c;

由(?,?)=ax12?2bx1x2?cx22?0,得??4b2?4ac?0. 38. 求齐次线性方程组

?2x1?x2?3x3?x4?0,??3x1?2x2?2x4?0, ?3x?x?9x?x?0.234?1的解空间S的正交补S?

解：设?1=(2,1,3,-1)T,?2=(3,2,0,-2 ) T,?3=(3,1,9,-1) T,则

S?=L(?1,?2,?3)=L(?1,?2).

?n39. 设W是Rn的非平凡子空间, ??W, 证明：???R使??W,

且(?,?)?0. 解：

??R?W?W???2?W),n?????1??2(?1?W,0??2?W,若?2?0，则?取???2,(?,?)?(?1??2,?2)?(?2,?2)?0.

40. 设{?1,?,?n}是n维欧氏空间V的一组单位正交基, 证明： (1) 如果??V,且(?,?i)?0(i?1,?,n), 则??0.

(2) 如果?1,?2?V,且???V, 均有(?1,?)?(?2,?),则?1??2. 解：

(1)(2)??k1?1???kn?n,(?,?i)?ki?0(i?1,?n)???0;令???1??2,由(1),??0,得?1??2.

41. 设?是n维欧氏空间中的一个固定的非零向量, 证明： (1) W?{?|(?,?)?0,??V}是V的一个子空间. (2) dimW?n?1.

证明：(1)??1,?2?W, (?1+?2, ?)=0. ?1+?2?W; ?k?R, k??W.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0cdf.html