高等数学（经管类）下、林伟初 郭安学主编、复旦大学出版社、课

习题7-1

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：

A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).

解：A在V卦限，B在y轴上，C在xOz平面上，D在VIII卦限。

2. 已知点M(-1，2，3)，求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x，y，z)，则

(1) 由x-1=0，y+2=0，z+3=0，得到点M关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x=-1，y+2=0，z+3=0，得到点M关于x轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M关于y轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).

(3)由x=-1，y=2，z+3=0，得到点M关于xOy面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).

同理，M关于yOz面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M关于zOx面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).

3. 在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M(0，0，z)，依题意有|MA|2=|MB|2，即

(-4?0)2?(1?0)2?(7?z)2?(3?0)2?(5?0)2?(-2?z)2?

解之得z=11，故所求的点为M(0，0，

14). 9224. 证明以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得M1M22?14，M1M3?6,M2M3?6

所以以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a=2,b=－3,c=5,求这个平面的方程.

yz解：所求平面方程为x???1。

2?356. 求通过x轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x轴，故可设其方程为

Ay+Bz =0.

又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A-B =0.即B=-3 A代入并化简可得 y-3z =0. 7. 求平行于y轴且过M1(1,0,0)，M2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y轴，故可设其方程为

Ax+Cz+D=0.

又点M1和M2都在平面上，于是

?A?D?0 ?C?D?0?可得关系式：A=C=－D,代入方程得：－Dx－Dz+D=0.

显然D≠0,消去D并整理可得所求的平面方程为x+z－1=0. 8. 方程x2+y2+z2－2x+4y=0表示怎样的曲面？

解：表示以点（1，-2，0）为球心，半径为5的球面方程。

9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x－2y=1； (2) x2+y2=1； (3) 2x2+3y2=1； (4) y=x2.

解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

- 1 -

习题7-2

1. 下列各函数表达式:

(1) 已知f(x,y)=x2+y2,求f(x?y,xy)； (2) 已知f(x?y,xy)?x2?y2,求f(x,y).

解：（1）f(x?y,xy)?(x?y)2?(xy)2?x2?xy?y2 （2）f(x?y,xy)?x2?y2?(x?y)2?2 所以f(x,y)?x2?2y2

2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形： (1) z?sin212； (2) z?1?x2?y2?1; x?y?1arcsin(3?x2?y2)(3) f(x,y)?1?xln(x?y)； (4) f(x,y)? 2x?y解：（1）由x2?y2?1?0可得x2?y2?1

故所求定义域为D={(x,y)| x2?y2?1}表示xOy平面上不包含圆周的区域。 （2）由

?1?x2?0 ?2

?y?1?0??1?x?1 可得?

y?1或y??1??xy?

2 故所求的定义域为D={(x,y)| ?1?x?1且y?1或y??1}，表示两条带形闭域。 （3）由

?1?x?0 ?

x?y?0? 可得

?x?1 ?

y?x? 故所求的定义域为D={(x,y)| x?1且y?x}，表示xOy平面上直线y=x以下且横坐

标x?1的部分。 （4）由

??1?3?x2?y2?1 ? 2x?y?0? 可得

?2?x2?y2?4 ? 2y?x? 故所求的定义域为D={(x,y)| 2?x2?y2?4且y2?x}。 3. 说明下列极限不存在：

x?y (1) lim； x?0x?yy?0(2) limy?0x3y. x?0x6?y2解：（1）当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时，有

x?y(k?1)xk?1?lim? lim。

(x,y)?(0,0)x?yx?0(k?1)xk?1 y?kx - 2 -

显然，此时的极限值随k的变化而变化。 因此，函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。 （2）当点P(x,y)沿曲线y?kx趋于点(0,0)时，有 x3ykx6k lim。 ?lim2?2626(x,y)?(0,0)x?yx?0(k?1)xk?13 y?kx3显然，此时的极限值随k的变化而变化。 因此，函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在。

4. 计算下列极限：

sin(xy)ex?y(1) lim； (2)lim;

x?0x?y(x,y)?(0,3)xy?1sin(x3?y3)(3) lim；

(x,y)?(0,0)x?y(4)

(x,y)?(0, 0)limxy?4?2.

xyex?y解：（1）因初等函数f(x,y)?在(0,1)处连续，故有

x?yex?ye0?1??2 limx?0x?y0?1y?1（2）

sin(xy)sin(xy)?limy?3

(x,y)?(0,3)(x,y)?(0,3)xxylimsin(x3?y3)sin(x3?y3)2（3）lim?lim(x?xy?y2)?0 33(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)x?yx?y（4）lim(x,y)?(0, 0)xy?4?2(xy?4?2)(xy?4?2)11?lim?lim?。 (x,y)?(0, 0)(x,y)?(0, 0)xy4xy(xy?4?2)xy?4?25. 究下列函数的连续性：

?x2?y2,(x,y)?(0,0)?(1) f(x,y)??x?y

?0,(x,y)?(0,0)??x2?y2,(x,y)?(0,0)?(2) f(x,y)??x2?y2

?0,(x,y)?(0,0)?x2?y2解：(1)lim?lim(x?y)?0?f(0,0)

(x,y)?(0,0)x?y(x,y)?(0,0) 所以f(x,y)在(0,0)处连续.

x2?y2x2?kx21?k2?lim2? (2) lim 2(x,y)?(0,0)x2?y2x?0x?k2x21?k y?kx 该极限随着k的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续.

6. 下列函数在何处间断？ (1) z?212； (2) z?ln1?x2?y2. x?y解：(1)z在{(x,y)| x?y}处间断. (2)z在{(x,y)| x?y?1}处间断.

- 3 -

22

习题7-3

1. 求下列函数偏导数：

3

xy+y3

； (2) z?siny2(1) z=x+3x;

(3) z?ln(x?3y)； (4) z?xy?lnxy(x?0，y?0,x?1)

z(5) u?xy；

(6) u?cos(x2?y2?e?z)

解：(1) ?z?3x2?3y,?z?3x?3y2?x?y.

2 (2) ?z??siny?z1?xx2,?y?xcosy2?2y.

(3) ?z?1?3y,?z?y??3?xxx?3y.

(4) ?z?yxy?1y1?z1?x?xy?yxy?1?x,?y?xylnx?y.

zz (5) ?u?x?zyxy?1,?u?y?xylnx?(?zy2).

z ?u?z?xylnx?(1y) (6) ?u??sin(x2?y2?e?z?x)?2x, ?z?y??sin(x2?y2?e?z)?(?2y)?2ysin(x2?y2?e?z).

?u?z??sin(x2?y2?e?z)?(?e?z)

?e?zsin(x2?y2?e?z) 2. 求下列函数在指定点处的偏导数： (1) f(x,y)=x2－xy+y2，求fx(1,2)，fy(1,2);

(2) f(x,y)?arctanx2?y2x?y;求fx(1,0)

(3) f(x,y)?lnx2?y2?sin(x2?1)earctan(x2?x2?y2); 求fx(1,2)；

(4) f(x,y,z)?ln(x?yz), 求fx(2,0,1),fy(2,0,1),fz(2,0,1). 解：(1) fx(x,y)?2x?y,fy(x,y)??x?2y. ?fx(1,2)?2?2?0,fy(1,2)??1?4?3. (2) f(x,0)?arctanx,故fx(x,0)?11?x2 因此fx(1,0)?11?1?12.

(3) f(x,2)?1ln(x2?4)?sin(x2?1)earctan(x2?x2?4)2

因此

fx,2)?12x2x2?4?cos(x2?1)?2x?earctan(x2?x2?4)x(2x?12x ?sin(x2?1)earctan(x2?x2?4)2x2?41?(x2?x2?4)2. - 4 -

所以fx(1,2)?1?2earctan(1?5).

5?y (4) fx(x,y,z)?1,fy(x,y,z)??z,fz(x,y,z)?.

x?yzx?yzx?yz 故fx(2,0,1)?1,fy(2,0,1)??1,fz(2,0,1)?0.

223．设r?x2?y2?z2，证明： ?r????r????r??1; (1) ?????????x???y???z?222?r?r?(2) ?2?r?2; 22r?x?y?z?2(lnr)?2(lnr)?2(lnr)1(3) ???2.

?x2?y2?z2rx证明：?r??x,

?xrx2?y2?z2222y利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：?r?,?r?z.

?yr?zr2x2?y2?z2r2??r??r??????2?1

?zr2r??y?2?rxr?xr??2rr2?x2?xr??(2) 2? ?xr2r2r3?r(1)

?x??22??22?2rr?y?2rr2?z2利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：2? ,2??yr3?zr3222?2r?2r?2r3r?x?y2r22?2?2?2??3?.

r?x?y?zr3r?(lnr)xx(3) lnr?1ln(x2?y2?z2),?2?2 222?xx?y?zr?r2?2(lnr)r?x?2r?xr2?2x2?? ?x2r4r4?2(lnr)r2?2y2?2(lnr)r2?2z2利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：?,?.

?y2r4?z2r4?2(lnr)?2(lnr)?2(lnr)3r2?2(x2?y2?z2)1?????2.

?x2?y2?z2r4r222?z?z?4. 求下列函数的二阶偏导数2,2,z： ?x?y?y?x(1) z?4x3?3x2y?3xy2?x?y； (2) z?xln(x?y).

2?z?z22解：(1) ?12x?6xy?3y?1,2?24x?6y.

?x?x?z?2z?3x2?6xy?1,2??6x. ?y?yx?y?xx?2y?z1?2z1(2) ?ln(x?y)?x,2???.

?xx?y?xx?y(x?y)2(x?y)2?zx?2zx?,2??. ?yx?y?y(x?y)25. 某水泥厂生产A,B两种标号的水泥，其日产量分别记作x,y(单位：吨)，总成本(单位：

- 5 -

(2) 再求f(x,y)在D的边界上的最值.

这里啊

在边界x2+y2=16上，f(x,y)=48－x3, 因此最大值为f(0,4)=48，最小值为f(4,0)=-16； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f(0,4)=48为最大值，f(4,0)=-16为最小值. 4. 求下列函数的条件极值： (1) z=xy，x+y=1；

(2) u=x－2y+2z， x2+y2+z2=1.

解：(1) 作拉格朗日函数L(x,y,λ)=xy+λ(x+y－1).写出方程组

?Lx?y???0??Ly?x???0 ?L?x?y?1?0??得到P(1,1),因此，z=xy在P(1,1)处取得最大值1.

22224(2) 作拉格朗日函数L(x,y,z,λ)= x－2y+2z +λ(x2+y2+z2－1).写出方程组

Lx?1?2?x?0???Ly??2?2?y?0 ?L?2?2?z?0z??L?x2?y2?z2－1?0??122122得到P1(,?,),P1(-,,-). 333333122因此，u=x－2y+2z在P1(-,,-)处取得最小值-3. 3335. 要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体水箱，如何设计才能使用料最省？ 解 设长方体的三棱长分别为x，y，z，则问题就是在约束条件

xyz=8

下求函数S=2(xy+yz+xz)的最大值. 构成辅助函数

F(x，y，z)= 2(xy+yz+xz)+λ(xyz－8)，

解方程组

?Fx(x,y,z)?2y?2z??yz?0,??Fy(x,y,z)?2x?2z??xz?0,??F(x,y,z)?2x?2y??xy?0,?z?xyz?8?得x?y?z?2?这是唯一可能的极值点.

因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即：体积为8m3的有盖长方体水箱中,以棱长为2的正方体的表面积为最小，最小表面积S?24.

6. 某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x件和y件，总成本函数为

C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元),

要求每天生产这两种产品的总量为42件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？

解：问题是在约束条件x+y=42(x>0，y>0)下，函数

- 11 -

C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元)

的条件极值问题.令

L(x,y,λ)?1000?8x2－xy?12y2??(x?y?42) 由Lx?16x?y???0,Ly??x?24y???0,x?y?42得x=25,y=17.

根据问题本身的意义及驻点的唯一性知，当投入两种产品的产量分别为25件和17件时，可使成本最低.

7. 某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R(单位:万元)与电视广告费x(单位:万元)和报纸广告费y(单位:万元)之间的关系为

R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2，

(1) 若广告费用不设限，求最佳广告策略.

(2) 若广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策

略.

解：(1)令Rx?14?8y?4x?0,Ry?32?8x?20y?0.得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当电视广告费为1.5万元，报纸广告费为1万元时，广告策略最佳。 (2) 问题是在约束条件x+y=2(x>0，y>0)下，函数

R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2

的条件极值问题.令

10y2??(x?y?2) L(x,y,λ)?15?14x?32y－8xy－2x2－由Lx?14?8y?4x???0,Ly??8x?32?20y???0,x?y?2

解得x=0.75,y=1.25. 由此可知，当电视广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元

时，广告策略最佳。

由x+y=2，可得y =2-x,代入R得

R(x,y)=-4 x2+6x+39

令Rx?0,得x?0.75.因此y=1.25.

复习题7 （A）

1. 设z?y?f(3x?1)，且已知y=1时，z=x则f(x)?(x?1)3?1,z?y?x?1. 解：由y=1时，z=x，得f(3x?1)=x?1.

令3x?1=t.得x?(t?1)3,因此f(t)?(t?1)3?1.即f(x)?(x?1)3?1，z?y?x?1. ?x3,(x,y)?(0,0)?2. 设f(x,y)??x2?y2，则fx(0,0)? 1 , fy(0,0)? 0 . ?0,(x,y)?(0,0)?f(0??x,0)?f(0,0)?x?lim?1,

?x?0?x?0?x?xf(0,0??y)?f(0,0)0 fx(0,0)?lim?lim?0. ?x?0?x?0?y?y解：fx(0,0)?limx?y,,则dz? . x?y解：令u?x?y,v?x?y,则z?arctanu

vu111udz?d(arctan)?du?dv 2uv1?(u)2v2v1?()vv而du?dx?dy,dv?dx?dy

3. 设z?arctan - 12 -

(x?y)(dx?dy)11[dx?dy?] 2x?yx?y?x?y?1????1?xy?xdy?ydx ?2.

x?y222yx?u?4. 设u?yf()?xg(),其中f,g具有二阶连续偏导数,则x2?yu? . xy?x?y?xy?y?解：?u?yf'()??2??g(x)?xg'(x)1,

?xx?x?yyy2y?y2?y2y?ux1 2?yf''(?)4??yf'()3?gx'1(?)gx1'?()xg''(),x?x?xxyyyyyy2?x故dz?22y?y2?y2y?u 2??f''()?3??f'()2?g'(x)x2?g''(x)x3?g'(x)x2, x?x?xxyyyyyy?x22?u?所以x2?yu?0.

?x?y?x5. 若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数存在，则在该点处函数z?f(x,y) ( D )

A 有极限 B连续

C 可微 D以上三项都不成立

解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC三项不一定正确. 6. 偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续的( D ) A 充分条件 B 必要条件

C 充要条件 D 即非充分也非必要条件 解：同5.

22

7. 设函数f(x,y)=1－x+y,则下列结论正确的是( D )

A 点(0,0)是f(x,y)的极小值点 B 点(0,0)是f(x,y)的极大值点 C 点(0,0)不是f(x,y)的驻点 D f(0,0)不是f(x,y)的极值 8. 求下列极限：

(1) lim(x2?y2)sin1； (2)

(x,y)?(0,0)xy解：(1) 因为 (2)

(x,y)?(0, 0)(x,y)?(0, 0)limxy?1?1.

x?y(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)?0，而sin11有界.所以lim(x2?y2)sin?0.

(x,y)?(0,0)xyxylimxy?1?1(xy?1?1)(xy?1?1)xy?lim?lim (x,y)?(0, 0)(x,y)?(0, 0)x?y(x?y)(xy?1?1)(x?y)(xy?1?1) =0

9. 设u=e3xy，而x2+y=t2,x－y=t+2,求du.

dtt?0－

解：由x2+y=t2,x－y=t+2,可得 dxdydxdy2x??2t,??1,所以 dtdtdtdtdx2t?1dy2t?2x. ?,?dt2x?1dt2x?1dy2t?13x?y2t?2x因此，du?dudx?du. ?3e3x?y?edtdxdtdydt2x?12x?1令t?0,得x??2,y??4或x?1,y??1.

- 13 -

?2du5e4故?e或. dtt?03322?z?z?10. 设z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所确定,求,2,z. ?x?x?x?y解：两边同时对x求偏导，得

y?z?z?z?z?zx?z.

y?y?z?x?0,因此??,由对称性可得???x?x?xx?y?yx?yy?z?z(x?y)?(y?z)?(x?y)?y?z2x?y2y?2z?z?x?????. 222?x(x?y)(x?y)(x?y)2(1??z)(x?y)?(y?z)(1?x?z)(x?y)?y?z2?yx?y?z2z?????. 22?x?y(x?y)(x?y)(x?y)2?2f?2f11. 设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足2?2?1，又g(x,y)?f[xy,1(x2?y2)],

2?u?v试证

?2g?2g?2?x2?y2. 2?x?y证：设u?xy,v?1(x2?y2),则g(x,y)?f(u,v).则

2?g?f?u?f?v?f?f?g?f?u?f?v?f?f???x?y, ???y?x,?v?x?u?x?v?x?u?v?y?u?y?v?y?u?2g?2f?u?2f?2y?22?x?x?u?v22?g?f?u?2f?x?2?y2?u2?y?v?f?2f2?2f2?f?vx??y?2x?, ?x?v?u2?v?v?f?2f2?2f2?f?vy??x?2y?, ?y?v?u2?v?v?2g?2g所以2?2?x2?y2.

?x?y12. 求函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值.

2??fx(x,y)?2x(2?y)?0解：先解方程组? 2f(x,y)?2xy?lny?1?0??y得驻点为(0,1).

fxx?2(2?y2),fxy?x,y??4xy,fyy?x,y??2x2?1

,y

在点(0，1)处,Δ=AC-B2=6×1-0>0,又A>0,所以函数在(0，1)处有极小值f(0，1)=0.

（B）

－

1. 设z=ex+f(x－2y)，且已知y=0时，z=x2,则?z? .

?x2xx解：令y?0得f(x)?x?e,因此，z?e?(x?2y)2?ex?2y,

所以?z?ex?2(x?2y)?ex?2y.

?x2. 设f(x,y,z)=exyz2，其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx(0,1,?1)? . 解：由x?y?z?xyz?0可得1??z?y(z?x?z)?0.

?x?x - 14 -

1?yz故?z??. ?x1?xyfx(x,y,z)?y(exz2?ex?2z1?yz?z)?y(exz2?2exz) ?x1?xy因此fx(0,1,?1)?1.

3. 设z?ln(x?y),则x?z?y?z? . ?x?y11112y2x?z解：?z?， ,??x?yx?yx?y1(x?y)1所以x?z?y?z?2?.

?x?y2x?y21?4. 设z?f(xy)?yg(x?y),,其中f,g具有二阶连续偏导数,则z? .

?x?yxy解：?z??12f(xy)?f'(xy)?yg'(x?y),

?xxxy?2z11??f'(xy)?f'(xy)?f''(xy)x?g'(x?y)?yg''(x?y) ?x?yxxx ?yf''(xy)?g'(?xy?)yg''?(x. y5. 函数f(x,y)?eA B C D

x2?y4在点(0,0)处的偏导数存在的情况是( C ).

fx(0,0)，fy(0,0)都存在 fx(0,0)存在，fy(0,0)不存在

fx(0,0)不存在，fy(0,0)存在 fx(0,0)，fy(0,0)都不存在

2f(0??x,0)?f(0,0)e?x?1?x2解：fx(0,0)?lim?lim=lim不存在,

?x?0?x?0?x?0?x?x?x?y4f(0,0??y)?f(0,0)e?y?1fy(0,0)?lim?lim=lim=0.

?x?0?x?0?x?0?y?y?y6. 设f(x,y),g(x,y)均为可微函数，且gy(x,y)≠0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件g(x,y)=0下的一个极值点，下列结论正确的是( D ) A 若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)=0 B 若fx(x0,y0)=0,则fy(x0,y0)≠0 C 若fx(x0,y0)≠0,则fy(x0,y0)=0 D 若fx(x0,y0)≠0,则fy(x0,y0)≠0

解：作拉格朗日函数L(x,y,?)?f(x,y)??g(x,y)，则有

4 Lx(x,y,?)?fx(x0,y0)??gx(x0,y0)?0， Ly(x,y,?)?fy(x0,y0)??gy(x0,y0)?0.

由于gy(x,y)≠0，所以当fx(x0,y0)≠0，??0,因此?gy(x0,y0)?0，从而fy(x0,y0)≠0. 7. 设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，且z=z(x,y)是由xex－yey=zez所确定的隐函数，求du.

xx?ey?yey?z?ze?xe?zxyzxxzz?z解：由xe－ye=ze可得e?xe?e?ze. .故?,同理?z?x?x?xez?zez?ye?zez因此du?fxdx?fydy?fzdz

xxe?yee?xe ?fxdx?fydy?fz(zdx?dy)

e?zezez?zezyy - 15 -

ey?yeyex?xex?(fx?fzz)dx?(fy?fzz)dy.

e?zeze?zez8. 设函数u=f(x,y,z)有连续偏导数，且y=y(x),z=z(x)分别由下列两式确定：

x?zexy?xy?2,ex??sintdt，

0t求du. dxdydydyexyy?yyxyxy解：由e?xy?2,可得e(y?x)?(y?x)?0,因此，???.

dxdxdxx?exyxxx?zsintsin(x?z)ex(x?z)dzdzxx由e??. dt,可得e?(1?)，因此?1?0tx?zdxdxsin(x?z)

dyyex(x?z)dudz故?fx?fy?fz?fx?fy?fz[1?]. dxdxdxxsin(x?z)9. 设z=z(x,y)由方程x2+y2－z=g(x+y+z)所确定，其中g具有二阶连续偏导数且g′≠－1. (1) 求dz;

(2) u(x,y)?1(?z??z),求?u.

?xx?y?x?y解：(1)由x2?y2－z?g?x?y?z?,两边分别同时对x、y求偏导得 2x??z?z?z?z?g'?x?y?z?(1?),2y??g'?x?y?z?(1?). ?x?x?y?y2x?g'?x?y?z??z2y?g'?x?y?z?因此?z?,?.

?xg'?x?y?z??1?yg'?x?y?z??1dz?2x?g'?x?y?z?2y?g'?x?y?z?dx?dy.

g'?x?y?z??1g'?x?y?z??1(2) u(x,y)?2x?2y1?z?z12, (?)??x?y?x?yx?yg'?x?y?z??1g'?x?y?z??12x?g'?x?y?z??z?2g''(x?y?z)[1?]?2g''(x?y?z)(1?)g'x?y?z?1???u?x??. 2?x[g'(x?y?z)?1][g'(x?y?z)?1]210. 求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值.解：由z=x2?y2,x?y?z?4可得x2?y2?4?x?y.因此，问题转化为求 u?4?x?y?(4?x?2y)在约束条件22x?y?4

. ?x下的极值问题?y令L(x,y,?)?4?x?y?(4?x?y)2??(x2?y2?4?x?y), Lx(x,y,?)??1?2(4?x?y)?2?x???0， Ly(x,y,?)??1?2(4?x?y)?2?y???0.

x2?y2?4?x?y?0,

解得: x??2,y??2或x?1,y?1.因此, z=8或z=2.

又f(?2,?2,8)?72,f(1,1,2)?6. 所以最大值为72，最小值为6.

习题8-1

1. 设有一平面薄片，在xOy平面上形成闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，且μ(x,y)在D连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：m????(x,y)d?.

D - 16 -

2. 试比较下列二重积分的大小： (1) (2)

??(x?y)dσ与??(x?y)dσ，其中D由x轴、y轴及直线x+y=1围成；

DD23?ln(x?y)??dσ，其中D是以A(1,0)，B(1,1)，C(2，0）为顶点??ln(x?y)dσ与???DD2的三角形闭区域.

解：(1)在D内，0?x?y?1，故?x?y???x?y?，??(x?y)2d????(x?y)3d?.

DD23 (2) 在D内，1?x?y?2，故0?ln(x?y)?1,从而ln(x?y)?ln2(x?y),

习题8-2

1. 画出积分区域，并计算下列二重积分：

(1) ??(x?y)dσ，其中D为矩形闭区域：x?1,y?1；

D??ln(x?y)d????[ln(x?y)]d?

DD2(2) ??(3x?2y)dσ，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；

D(3) ??(x2?y2?x)dσ,其中D是由直线y=2,y=x,y=2x所围成的闭区域；

D(4) ??x2ydσ,其中D是半圆形闭区域:x2+y2≤4,x≥0；

D(5) ??xlnydσ,其中D为:0≤x≤4,1≤y≤e；

D2(6) ??x2dσ其中D是由曲线xy?1,x?1,y?x所围成的闭区域.

2yD解：(1) ??(x?y)d???dx?(x?y)dy??2xdx?0.

D?1?1?1111 (2) ??(3x?2y)d???dx?D022?x0(3x?2y)dy??[3x(2?x)?(2?x)2]dx

0222 ??[?2x2?2x?4]dx??2x3?x2?4x?20.

030319y332 (3) ??(x?y?x)d???dy?y(x?y?x)dx??(?y)dy

002482D222y2222 19y4?1y3?13.

96806 (4) 因为被积函数是关于y的奇函数，且D关于x轴对称，所以??x2yd??0.

D4e4ee4 (5) ??xlnyd???dx?xlnydy??x(ylny?lny)dx?e?1x2?2(e?1).

0102110D111222411x21xxx3xxxdx??1(x?x)dx?(?)1?9. (6) ??2d???1dx?2dy???1xy2464y22y2Dx22. 将二重积分??f(x,y)dσ化为二次积分（两种次序）其中积分区域D分别如下：

D(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；

(2) 由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域；

- 17 -

(3) 由直线y=x,x=2及双曲线y?1所围成的闭区域；

x(4) 由曲线y=x2及y=1所围成的闭区域. 解：(1) ?dx?f(x,y)dy??dx?0011x22?x0f(x,y)dy??dy?012?yyf(x,y)dx.

(2) ?dx?01242xx2f(x,y)dy??dy?10221y4yy2f(x,y)dx.

2x14(3) ?1dy?1f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx??dx?1f(x,y)dy.

yx(4) ?dx?2f(x,y)dy??dy??1x01y111y?yf(x,y)dx.

22y3. 交换下列二次积分的积分次序：

(1) ?dy?f(x,y)dx； （2）?dy?2f(x,y)dx；

000y (3) ?dx?110elnx0yf(x,y)dy； (4) ?dy?0110x12y0f(x,y)dx??dy?133?y0f(x,y)dx.

解：(1) ?dy?f(x,y)dx??dx?f(x,y)dy.

0(2) ?dy?2f(x,y)dx??dx?xf(x,y)dy.

0y022y4x(3) ?dx?1elnx0f(x,y)dy??dy?yf(x,y)dx

0e12e(4) ?dy?012y0f(x,y)dx??dy?133?y0f(x,y)dx??dx?x023?xf(x,y)dy.

24. 求由平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体体积.

111解：V??dx?(6?2x?3y)dy??(6?2x?3)dx?7.

000225. 求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及曲面x2+y2=6－z截得的立体体积.

11?x1(1?x)334222解：V??dx?(6?x?y)dy??[6(1?x)?(1?x)x?)dx?.

000312

习题8-3

1. 画出积分区域，把二重积分??f(x,y)dσ化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D

D是：

(1) x2+y2≤a2 (a>0)； (2) x2+y2≤2x；

(3) 1≤x2+y2≤4； (4) 0≤y≤1－x,0≤x≤1. 解：(1) (2) (3) (4)

??Df(x,y)d???d??f(rcos?,rsin?)rdr.

002?a??Df(x,y)d???2?d???2?2cos?0f(rcos?,rsin?)rdr.

??DDf(x,y)d???d??f(rcos?,rsin?)rdr.

012?2??f(x,y)d????20d??1cos??sin?0f(rcos?,rsin?)rdr.

2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： (1)

?a0dy?a2?y20a(x2?y2)dx；

a2?y222(2)

?20?10dx?2x2?y2dx;

xx解：(1)

?0dy?0(x?y)dx??d??a0?a4?a4. rdr???3248 - 18 -

?sin?cos2?0(2)

?dx?01xx2x?ydx??d??40221sin3?rdr??4d? 30cos6?2?21?co?s1141 ???d(co?s?)??4[d6630cos?30cos???14(?co?s)d4?0cos???( cos)]?5?31cos?cos?)4?2(2?1). ??(??353450?3. 在极坐标系下计算下列二重积分： (1)??exD2?y222

dσ,其中D是圆形闭区域: x+y≤1；

2(2) 区域；

(3)

??ln(1?xD22

?y2)dσ,其中D是由圆周x+y=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭

??arctanxdσ，其中D是由圆周x+y=1,x+y=4及直线y=0,y=x所围成的在第一

Dy2222

象限内的闭区域；

(4)

??DR2?x2?y2dσ其中D由圆周x2+y2=Rx(R>0)所围成.

2解：(1) ??exD?y22?12121d???d??errdr?2??er??(e?1).

0020(2)

2??ln(1?x?y)d???2d??ln(1?r)rdr?D0022?1?[r2ln(1?r2)1?22r3dr]

0?01?r2121r(1?r)?r??(2ln2?1). ?[ln2?2?dr]?2401?r4??2222y?33?44(3) ??arctand???d??arctan(tan?)?rdr???d??rdr???.

0101x32264D(4)

??DR?x?ydσ???d??2?2222?Rcos?0?3122222Rcos?R?rrdr????(R?r)d? 2?2302231?R3332 ????(Rsin. ??Rd?)?3?23?4. 求由曲面z=x2+y2与z?x2?y2所围成的立体体积.

解：两条曲线的交线为x2+y2=1，因此，所围成的立体体积为：

V???[x2?y2?(x2?y2)]d???d??(r?r2)rdr?D002?1?.

6

习题8-4

1. 计算反常二重积分??e?(x?y)dxdy，其中D：x≥0,y≥x.

D2. 计算反常二重积分??Ddxdy，其中D：x2+y2≥1. 222(x?y)a?2x?x?a?2ae?1?2a解：1. ?dx?edy??(e?e)dx???e?e?a

0x02?2a 所以??e?(x?y)dxdy?lim(?e?1?e?2a?e?a)?1.

a???22Daa?x?y - 19 -

2?Rdxdy11112. 由?d??1?lim2?(?2)??. dr?2?(?2)，得??222301rR???22R22R(x?y)D

复习题8

（A）

1. 将二重积分??f(x,y)dxdy化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D是：

D(1) ︱x︱≤1,︱y︱≤2;

(2) 由直线y=x及抛物线y2=4x所围成. 解：(1) ?1dx?2f(x,y)dy??2dy?1?1?2?2?1f(x,y)dx.

(2) ?42x4y0dx?xf(x,y)dy??0dy?y2f(x,y)dx.

42. 交换下列两次积分的次序： (1)?1dyy0?yf(x,y)dx;

2a2ax?x2(2)?0dx?0f(x,y)dy;

(3)?10dx?x0f(x,y)dy+?22?x1dx?0f(x,y)dy．

解：(1) ?11x0dy?yyf(x,y)dx??0dx?x2f(x,y)dy. 2(2) ?2af(x,y)dy??ada?a2?y20dx?2ax?x00y?a?a2?y2f(x,y)dx.

(3)

?1?xf(x,y)dy+?2dx?2?x010f(x,y)dy??1dy?2?y0dx0yf(x,y)dx.

3. 计算下列二重积分：

(1) ??ex?ydσ， D: ︱x︱≤1,︱y︱≤1;

D(2) ??x2ydxdy,D由直线y?1,x?2及y?x围成；

D(3) ??(x?1)dxdy,D由y?x和y?x３

围成；

D(4) ??(x2?y2)dxdy，D:︱x︱?︱y︱≤1;

D(5) ??1sinydσ，D由y2Dy??2x与y?x围成；

(6) ??(4?x?y)dσ，D是圆域x2＋y2≤R2；

D解: (1) ??ex?yd???1dx?1ex?y1x?1x?1x?1x?111?1dy???1(e?e)dx?(e?e)D??1?(e?1)2e.

(2)

??x2ydxdy?D?2xx2ydy?12421x5x32291dx?12?1(x?x)dx?2(5?3)1?15. (3) ??(x?1)dxdy?D?10dx?xx?13(x?1)dy?0(x2?x?x4?x3)dx?13?12?15?14??760.

(4)

??(x2?y2)dxdy?411?xdy

D?0dx?0(x2?y2)?4?120(2x?x?4x312x3x2x41123?3)dx?4(3?2?3?3x)0?3.

- 20 -

??ysiny122(5) ??sinyd???dy?2y2dx??2(siny?ysiny)dy

00yy??D ??2sinydy?0?2?R??20yd(cosy)?1?2(ycosy?siny)2?1?. ??02?02?(6)

2(4?x?y)d??d?(4?rcos??rsin?)rdr?[2R??????D002?R3(cos??sin?)]d? 332?R ?[2R??(sin??cos?)]?4?R2. 3024. 已知反常二重积分??xe?ydσ收敛，求其值．其中D是由曲线y=4x2与y=9x2在第一

D2象限所围成的区域．

解：设Da是由曲线y?4x、y?9x和y?a(a?0)在第一象限所围成.则 ??xeDa?y222d???dy?02ay4y9xe?ydx?2215a?y25a?y255?a22??yedy??ed(?y)??e. 2360144?0144144所以??xe?yd??limDa????y??xed??Da5. 1445. 计算?e?xdx．

????2解：由第四节例2以及y=e?x是偶函数，可知?e?xdx??. ??2??26. 求由曲面z=0及z=4-x2-y2所围空间立体的体积．

解：曲面z=0和z=4-x2-y2的交线为x2+y2 =4.因此，所围空间立体的体积为：

2?2 ??(4?x2?y2)dxdy??d??(4?r2)rdr?2?(8?16)?8?.

004D7. 已知曲线y=lnx及过此曲线上点(e，1）的切线y??x．

e(1) 求由曲线y=lnx，直线y??x和y=0所围成的平面图形D的面积；

e(2) 求以平面图形D为底，以曲面z=ey为顶的曲顶柱体的体积．

ee解：(1) S?e??lnxdx?e?(xlnx?x)?e?1.

21212(2) V??dy?01eyye2ye23yy1edx??(e?ye)dy?(?ye?e)??.

02022y12yy

（B）

1. 交换积分次序：

(1) ?dx?3f(x,y)dy； （2）?dy??1x?11x01?y2f(x,y)dx；

(3) ?2?2dx?2x14?x2f(x,y)dy； (4) ?dx?011?1?x2xf(x,y)dy.

解：(1) ?dx?3f(x,y)dy??dy??1x0x13yyf(x,y)dx.

(2) ?dy??101?y2f(x,y)dx??dx?2101?xf(x,y)dy.

y?y(3) ?2?2dx?2x4?x2f(x,y)dy??dy?02f(x,y)dx??dy?244?y?4?yf(x,y)dx.

- 21 -

1?1?x2x1(4) ?dx?01f(x,y)dy??dy?0xx1y20f(x,y)dx??dy?122y?y20f(x,y)dx.

2. 计算积分?dx?20xdy.

x?y22解：?dx?20x1xx4cos2?rcos?rdr?4d?cos2?cos?dr dy?d??0?0?0?0x2?y2r2?4?sin??sin? ??3. 计算积分?dy?011y0sin?ln2.

d??(?lncos?)4?cos?20dx.

1cos??y1?x?y2?402解：?dy?011yy1?x2?y2dx??d??0rsin?sin?rdr??4d?[?cos?sin?dr??cos?dr] 20001?r1?r2??11 ??(tan??sin??arctan1)d??ln2??4arctan1d(cos?)

00cos?2cos?令cos??t,则

4?222ln21ln21ln211222原式??arctandt??arctandt??(tarctan?ln(1?t)2 2?1t2?1t2t21 ?ln2?2arctan2?1ln3???ln2?2arctan2?1ln3??.

22224222244. 设函数f(x)在区间??0,1??上连续，且?f(x)dx?A，求?dx?f(x)f(y)dy.

00x1111解：设F'(x)?f(x)，则?f(x)dx?F(1)?F(0)?A.

0?10dx?f(x)f(y)dy??f(x)[F(1)?F(x)]dx?F(1)?f(x)dx??F(x)d(F(x))

x0001111F2(x)1111?F(1)A??F(1)A?[F(1)?F(0)][F(1)?F(0)]?F(1)A?AF(1)?AF(0)

202221A2.

?A[F(1)?F(0)]?225. 计算??x2ydσ，其中D是由直线y=0,y=1及双曲线x2－y2=1所围成的闭区域.

D2解：??xyd??2?dy?D011?y20x2ydx?21y(1?y2)1?y2dy ?303511122222221??(1?y)d(1?y)??(1?y)?(42?1). 30350156. 计算?dx?eydy.

0x222222y222222解：?dx?eydy??dy?eydx??yeydy?1ey?1(e4?1).

0x000202bxb7. 证明?dx?(x?y)n?2f(y)dy?1?(b?y)n?1f(y)dy，其中n为大于1的正整数.

aan?1a证：?dx?(x?y)n?2f(y)dy??dy?(x?y)n?2f(y)dx

aaaybxbb??ba1(x?y)n?1n?1byf(y)dy?1b(b?y)n?1f(y)dy ?n?1a习题9-1

1. 判定下列级数的收敛性：

- 22 -

(1) ?(n?1?n); (2) ?1; (3)

n?1n?1n?3(5) ?n?1; (6) nn?1nk?1???lnn; (4) ?n?1n?1??(?1)2;

nn?1?(?1)n?n． ?2n?1n?0?解：（1）Sn??(k?1?k)?n?1?1，则limSn=lim(nnn+1-1)=+ ，级数

发散。

（2）由于

1=邋n+3n=1nゥn=41，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在n一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。

nn（3）Sn=邋ln=[lnn-ln(n+1)]=ln1-ln(n+1)=-ln(n+1)，则

n+1k=1k=1limSn=li-m[n+ln(=-1 )]，级数发散。

nnì?-2 , n=2k-1, k=1,2,3,L;因而limSn不存在，级数发散。 （4）Sn=?ín??? 0 , n=2knn+1（5）级数通项为un=，由于lim=1 0，不满足级数收敛的必要条件，

nn+1n原级数发散。

(-1)nn（6）级数通项为un=，而limSn不存在，级数发散。

n2n+12. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： 11(1) ???n?n3n?1?2???； (2) ??1; ?n(n?1)(n?2)n?1??(3) ?n?sinπ; (4)

2nn?1解：（1）因为

?cosn2π．

n?0骣11÷?Sn=邋+=?kk÷÷?桫3k=12nnk=11+k211113111=1-+(1-)=-n- n. k=13knn2232223n所以该级数的和为

3111S=limSn=lim(-n-?n)nn2223即

￥3, 2骣11÷3?+=. ??nn÷÷?桫32k=121111=[-]，则 （2）由于

n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)nn1111111=[-]=[-] Sn=邋(k+1)(k+2)22(n+1)(n+2)k=1k(k+1)(k+2)k=12k(k+1)

所以该级数的和为

即

1111S=limSn=lim[-]=,

nn22(n+1)(n+2)4 - 23 -

￥

?n=111=.

n(n+1)(n+2)4psinppp（3）级数的通项为un=nsin，由于limnsin=lim(2n?)np2n2nn22n不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。

（4）由于

np 0，2Sn=?n-1cosk=0ì1 , n=4k或n=4k+1kp?=?,k=0,1,2,3,L; í?2??0 , n=4k+2或n=4k+3因而limSn不存在，原级数发散。

习题9-2

1. 判定下列正项级数的敛散性： 1(1) ?; (2)

n?1(n?1)(n?2)n(5) ?3n； (6)

n?1n?2???n?1?； (3) ?1n (a＞0); (4)

n?11?an(n2?5)3?5?7???(2n?1); (8) ?4?7?10???(3n?1)n?1?1??1； ?2nn?1n?1?4?nn; (7) ?n?1n!?n?n?3n?1n；

(9)

?n?1?(n!)22n2n?; (11) ； (10) ????n?1?2n?1??2sinnn?1?π3nncos2n3π; (12) ?． n2n?1?解：

?￥n=111（1）由于0<<2，而级数

(n+1)(n+2)n1收敛。

(n+1)(n+2)12?￥n=11收敛，由比较判别法知2n（2）因为limn收敛，由比较判别法的极限形式知

￥n(n+5)1n1=lim=lim=1，而p-级数?3n1n=1n(n2+5)n1+5n232nn2￥132?n=1n(n+5)2收敛。

￥111（3）若a=1，通项un=，级数显然发散； =?nn1+a1+a2n=1￥11ilunmil=1n=，若0

￥骣11骣11÷÷??<=若a>1，有0<，而级数收敛，由比较判别法知÷÷???nn÷÷??桫1+aaaan=1桫￥1收敛。 ?nn=11+ann - 24 -

n+111+3￥41n(n+1)12n-1n（4）因为lim，而p-级数收敛，=lim=lim=?34nnn11n2n-1n=12-423nn￥n+1由比较判别法的极限形式知?收敛。 4n=12n-13n+1un+13n33n(n+1)2n+1lim=lim=lim=>1，所（5）通项un=，则nnn2(n+1)3nun2n′2nn′2n以由比值判别法知，级数发散。

（

6

）

通

项

nnun=n!n，则

nlun+1=iun(n+n+1(n+mnnnn!1)1(n+n)=nlnn1!i)m=e+li=，所以由比值判别法知，

nn1m>级数发散。

（7）通项un=则limnun+1un3创57创L(2n+1)，

4创410创L(3n+1)3创57创L[2(n+1)+1]2(n+1)+124创410创L[3(n+1)+1]=lim=lim=<1，所以由nn3(n+1)+13创57创L(2n+1)34创410创L(3n+1)比值判别法知，级数收敛。

n+1n+1un+1nn+113（8）通项un=n，则lim=lim=lim=<1，所以由比值判别

nnnn3un3n3n3法知，级数收敛。

[(n+1)!]2（9）通项un=(n!)22n2u，则limn+1=limnnun2(n+1)(n!)22n22(n+1)2=lim2n+1=0<1，所以由n2比值判别法知，级数收敛。

骣n÷（10）通项un=?，则lim÷?÷?n桫2n+1以由根值判别法知，级数收敛。

n骣n÷n1nu=limn?=lim=1<，所÷?n÷?nn桫2n+12n+12￥骣骣2÷2÷?p?÷，而级数??收敛，由比较判别法推÷?÷÷??桫桫3n=13nnnppn（11）由于0＃2sinn2?n33￥pn论知级数?2sinn收敛。

3n=1n - 25 -

an?1(n?1)2?lim?1，则原级数收敛半径为R?1。当x?1解：（1）由于??lim2n??an??nn时，原级数为

?nn?1?2，此时级数发散；当x??1时，原级数为

?(?1)n?1?n?1n2，此时级数发散。

因此，原级数的收敛域为(?1,1)。

级数的和为

?nx2n?1?n?1??n(n?1)xn?1?n?1??nxn?1?n?1??n?1?????n?????x????x??n?1??n?1?211?x?1????1?? ???1?x????1????.3231?x1?x(1?x)(1?x)(1?x)????（2）由于??lim?n??

an?1n?2?lim?1，则原级数收敛半径为R?1。当x?1时，原n??ann?1?n?1级数为

?(n?1)，此时级数发散；当x??1时，原级数为?(?1)n?1(n?1)，此时级数发

n?1散。因此，原级数的收敛域为(?1,1)。

级数的和为

x??n?1???1??(n?1)x?x(n?1)x?xx?x?1?. ???????21?x(1?x)??n?0n?0?n?0??11（3）由于??limnn?1?，则原级数收敛半径为R?2。当x?2时，原级数为?2，

n??22n?1?n?1?n此时级数发散；当x??2时，原级数为为(?2,2)。

级数的和为

?2(?1)n?1?n，此时级数发散。因此，原级数的收敛域

?xn11?x??2?2??. ????n?1x2?xn?02n?0?2?1?21a(n?1)(n?2)（4）由于??limn?1?lim则原级数收敛半径为R?1。当x?1?1，

n??an??1nn(n?1)??(?1)n?11时，原级数为?，此时级数收敛；当x??1时，原级数为?，此时级数

n?1n(n?1)n?1n(n?1)收敛。因此，原级数的收敛域为[?1,1]。

n?由于

?????11n?1?n?1， x?x?????1?xn?1?n?1n(n?1)?而

- 36 -

1?01?xdx??ln(1?x) , x?(?1,1)

x所以

xx1xn?1x??ln(1?x)dx??xln(1?x)?dx??xln(1?x)?ln(1?x)?x.????n?1n(n?1)001?x

6. 将下列函数展开成x的幂级数：

（1）3x； （2）x21?x2； （3）ln(1?x?2x2)； （4）

1(x?1)(x?2)； （5）?xsint0tdt； （6）?x0et2dt.

?解：（1）3x?exln3??(xln3)n??(ln3)nnn?0n!?x , x?(??,?)；n?0n!

n（2）x21?x2?1?11?x2?1??x2nn??x2n , x?(?n?0?1,1)； n?1（3）ln(1?x?2x2)?ln[(2x?1)(1?x)]?ln(2x?1)?ln(1?x) ????(?1)n?11(2x)n??(?1)n?11(?x)nn?1nn?1n

???(?1)n?12nn?1n?(?1)n?12nnx??x??1n11n?1n?1n?x , x?(?n?1n2,2]. （4）

1(x?1)(x?2)?11?x?1?n2?x??xn?1n?02???n?0?x??2?? ??n?x?1n?02??xn??(1?1n?n?1)xn , x?(?1,1).

n?02n?02（5）

?xsint0tdt??x??0???(?1)nt2n??(?1)nx2nn?0(2n?1)!??dt??n?0(2n?1)!?0tdt ??(?1)n?x2n?1 , x?(??,?).

n?0(2n?1)?(2n?1)!（6）?xet2dt??x??00???t2n???1x2n?x2n?1 , x?(??,?).n?0n!?dt??n?0n!?0tdt??n?0(2n?1)?n!7. 求下列函数在指定点处的幂级数展开式：

（1）f(x)?ex,x0?1； （2）f(x)?1x,x0?2. 解：（1）ex?e?ex?1?e?(x?1)n? , x?(??,?).

n?0n!（

2

1x?12?(x?2)?112?11?x?22???x?2?n?(?1)nn?0???2????n?1(x?2)n , x?2?2. n?022(B)

）

- 37 -

1. 讨论级数?(n?1)!的敛散性. n?1nn?1?解：由于limun?1n??un(n?2)!??n?2?n(n?2)1?1(n?1)由比值判别法知，?lim?lim???1，

n??(n?1)!n??(n?1)21n?e?(1?)?n?1nn????2n?2n?原级数收敛。

2. 已知正项级数?un收敛，证明级数?u也收敛.反之，若?u收敛，?un是否一

n?1n?1n?1n?1定收敛？

证：由于正项级数?un收敛，由级数收敛的必要条件有limun?0，那么存在充分大

n?1?n??的正整数N，使得当n?N时，成立un?1，于是当n?N时，un?un?1。则由比较判别法的推论，可知级数

?2?un?12?2n也收敛。

??2?1?1? 反之，若?un收敛，则?un不一定收敛。例如，级数?????2收敛，

n?1?n?n?1nn?1n?1?1但调和级数?发散。

n?1n3. 已知级数?u收敛，证明级数?2nn?1?un绝对收敛. nn?1?证：由柯西不等式，有

骣nun??邋??桫k=1n亦即

n骣n1鼢骣n2÷÷￡珑un， 珑2鼢 ÷鼢÷珑桫桫k=1nk=1n12n122骣1鼢骣2珑￡u鼢珑邋n2鼢 珑桫桫k=1nk=1nk=1un令Sn=，

￥?nunnSn￠=，

k=1?nk=11，Snⅱ=2n?nk=1分别是级数?un，

2￥unn、

的部分和。由上式，可知成立Sn￡SnⅱSn 。由于级数?n=112和?un收敛，那么部分和2nn=1n=1￥?￥n=1￥12和?un2nn=1数列Sn￠和Snⅱ收敛，因此数列Sn￠和Snⅱ有界。而Sn￡{}{}n{}{}SnⅱSn ，所以正项级数n?￥un的部分和数列{Sn}单调有界。由数列的单调有界定理，可知极限limSn存在，所

n=1以级数

?￥unn收敛，亦即级数

?n?1n=1un绝对收敛。 ?n=1n￥4. 求幂级数?(?1)n?1(3x?2)n的收敛半径和收敛域.

2n?1nn?3n?2?n?1(3x?2)n?1??(?1)x?解：原级数?(?1)??，则

2n?12n?13??n?1n?1? - 38 -

3n?1(?1)2n?3?lim3(2n?1)?3， ??limn??n??2n?33nn?1(?1)2n?111级数的收率半径为R??。

?3?11n?1 当x?1时，原级数为?(?1)，此时级数收敛；当x?时，原级数为

2n?13n?1??111，此时级数发散。因此，原级数的收敛半径为，收敛域为R?(,1]。 ?33n?12n?1n5. 将函数f(x)?arctan1?x展开为x的幂级数，并求其收敛域.

1?x?1?x??11?解：由于?arctan，而??(?1)nx2n , x?(?1,1)；所以 ??221?x?1?x1?x?n?0xx??1?x1n2n?arctan??dx?(?1)x?dx ??0?1?x01?x2?n?0???(?1)n?0??n?x0x2n?1xdx??(?1) , x?(?1,1).

2n?1n?02n?n?6. 利用幂级数展开式求下列级数的和：

n(n?1)（1）?21n； （2）?(?1)n. 2n(n?1)22n?2n?1解：（1）由于

xn??ln(1?x) , x?(?1,1)； ?nn?1?所以

nnn?1n?1??11??1?1?1?1??1??1?1?1?1???????????????????????2n???2?n?2n?1?2?n?2n?1?2??2?n?2(n?1)2n?3n?2??n?1n?2?? ??1?1?1?1?1?1111?53??????????ln2???ln(1?)?????ln2.4n?1n?2?n?3n?2?4228?84?nn（2）由于

?n(n?1)xn?1?n?x?n(n?1)xn?1?n?12x??n?1????1????x??x??x??1?x?? , x?(?1,1)31?x(1?x)???n?1?

所以

?1?2??????n(n?1)?1??4???32. (?1)n?n(n?1)??????122n125?4?n?1n?1(1?)34nnc7. 利用级数敛散性，证明lim?0，其中，c>1是常数。 n??n! - 39 -

?xncn证：由于e?? , x?(??,?)；则对于任意常数c，级数??ec收敛。由级

n?0n!n?0n!x?cn数收敛的必要条件，可知lim?0。

n??n!28. 设数列?nan?有界，证明级数?an收敛.

n?1?证：由于数列{nan}有界，则存在正数M，使得对于数列{nan}的任意项，成立

M2M2nan?M，亦即an?。那么对于任意an，成立an?2；由于M是常数，显然级

nn???M212数?2?M?2收敛。因此，由比较判别法可知级数?an2收敛。 n?1nn?1nn?1习题10-1

1. 指出下列方程的阶数：

2d(1)xy????y???2xy?0． (2)LQ?RdQ?Q?0． 2dtcdtdρ(3)?ρ?cos2θ． (4)(y?xy)dx?2x2dy?0．

dθ46解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶

2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)xy??2y, y?Cx2．

(2)(x+1)dy?y2dx, y?x+1．

(3)y???2y??y?0， y?xe?x．

2(4)ds??0.4， s??0.2t2?c1t?c2． 2dt解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可；

(3)是，因为 y??e?x?xe?x,y????2e?x?xe?x，满足y???2y??y?0；

2s (4)是，代入，ds??0.4t?C1,d2??0.4，显然满足.

dtdt3. 验证:函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程

d2x?k2x?0 dt2的通解.

2d解：x?(t)??C1ksinkt?C2kcoskt,x??(t)??C1kcoskt?C2ksinkt,满足x?k2x?0，所以2dt是解，又因为含有两个任意常数C1,C2，且方程是二阶的，故是通解.

224. 已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程dx?k2x?0的通解,求满足初始条件 2dtx| t?0 ?2? x?| t?0 ?0 的特解.

解：上题可知是微分方程通解，且x?(t)??C1ksinkt?C2kcoskt,代入初值条件x|t?0?2,x?|t?0?0，得C1?2,C2?0，所以特解为x?2coskt(k?0).

2

习题10-2

- 40 -

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