人教版八年级数学练习试题第一章第二章，难题，好题

2014-2015八年级数学练习试题

一．选择题（共6小题） 1．（2014?黄石）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 2．（2014?台湾）如图，△ABC中，BC=AC，D、E两点分别在BC与AC上，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于F点．若AD=4，CD=3，则关于∠FBD、∠FCD、∠FCE的大小关系，下列何者正确？（ ） A．∠FBD＞∠FCD B．∠FBD＜∠FCD C．∠FCE＞∠FCD D．∠FCE＜∠FCD 3．（2014?绵阳）在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．（2014?湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（ ） A． B． C．1 D．2 5．（2014?道外区三模）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（ ）

二．填空题（共9小题）

A． B． C． D． 6．（2014?博野县模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4． 则S1+S2+S3+S4等于（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 7．（2015?永州模拟）如果|a|+a=0，则= _________ ． 8．（2014?绥化）使二次根式有意义的x的取值范围是 _________ ． 9．（2014?白银）已知x、y为实数，且y=﹣+4，则x﹣y= _________ ． 10．（2014?镇江）读取表格中的信息，解决问题． n=1 a1=+2 b1=+2 n=2 a2=b1+2c1 b2=c1+2a1 n=3 a3=b2+2c2 b3=c2+2a2 … … … 满足的n可以取得的最小整数是 _________ ． 11．（2014?淮北模拟）若=2﹣a，则a的取值范围是 _________ ． 12．（2013?雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标 _________ ． 13．（2013?包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=

三．解答题（共15小题）

_________ 度． 14．（2013?昌平区一模）如图，△ABC中，AB=AC=2，若P为BC的中点，则AP2+BP?PC的值为 _________ ；若BC边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，记mi=APi2+BPi?PiC（i=1，2，…，100），则m1+m2+…+m100的值为 _________ ． 15．（2012?德州）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为 _________ ． 16．（2014?荆门）（1）计算：×﹣4××（1﹣）0； （2）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0． 17．（2014?绵阳）（1）计算：（2014﹣）0+|3﹣|

﹣； （2）化简：（1﹣ ）÷（﹣2） 18．（2014?广东一模）已知+有意义，求的值． 19．（2012?巴中）先化简，再求值：（﹣）? ，其中x=． 20．（2014?相城区一模）计算化简 （1）计算： （2）化简：个合适的x的值代入上式求值． 21．（2014?建宁县质检）（1）计算：，然后选择一 （2）先化简，再求值：，其 中x=﹣4． 22．（2013?贵阳）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a+b=c时，△ABC是直角三角形；222222当a+b≠c时，利用代数式a+b和c的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． （1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 _________ 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 _________ 三角形． 222（2）猜想，当a+b _________ c时，△ABC为锐角222三角形；当a+b _________ c时，△ABC为钝角三角形． （3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围． 23．（2012?崇安区一模）如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点． 222

（1）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数． （3）如图2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4 cm，DM=8 cm，AN=5 cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1 cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t（s），点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上． ①当t=4时，求PH的长． ②探究满足条件的点H的个数（直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明）． 24．（2011?抚顺）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF． （1）判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由； （2）若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BCEF能形成哪些特殊四边形； （3）如图2，将△ABC中AB=BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1）中的两个结论同时成立． 25．（2014?增城市一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15， （1）求AB的长； （2）求CD的长．

26．（2013?威海）操作发现 将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合． 问题解决 将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②． （1）求证：△CDO是等腰三角形； （2）若DF=8，求AD的长． 27．（2010?杭州）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米． （1）说明本次台风是否会影响B市； （2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间． 28．（2007?安徽）如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等．设BC=a，AC=b，AB=c． （1）求AE和BD的长； （2）若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，求证：S=AE?BD． 29．（2014?海淀区二模）在△ABC中，∠ABC=90°，D为平面内一动点，AD=a，AC=b，其中a，b为常数，且a＜b．将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E．连接BE． （1）如图1，若D在△ABC内部，请在图1中画出△FCE； （2）在（1）的条件下，若AD⊥BE，求BE的长（用含a，b的式子表示）； （3）若∠BAC=α，当线段BE的长度最大时，则∠BAD

的大小为 _________ ；当线段BE的长度最小时，则∠BAD的大小为 _________ （用含α的式子表示）． 30．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．

2014-2015八年级数学练习试题

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题） 1．（2014?黄石）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ）

A30° ． 考点： 专题： 分析： 解答： 直角三角形的性质． 常规题型． 根据直角三角形两锐角互余解答． 解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形， 所以，∠1+∠2=90°． 故选：C． 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键． B60° ． C90° ． D120° ． 点评： 2．（2014?台湾）如图，△ABC中，BC=AC，D、E两点分别在BC与AC上，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于F点．若AD=4，CD=3，则关于∠FBD、∠FCD、∠FCE的大小关系，下列何者正确？（ ）

A∠FBD＞FCD ． ∠ 考点： 分析： 勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性． 利用勾股定理列式求出AC，即为BC的长度，然后求出BD，再根据∠FBD和∠FCD的正切值判断两个角的大小即可；根据三角形的高线的性质可得FC⊥AB，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠FCE=∠FCD． 解：∵AD⊥BC，AD=4，CD=3， B∠FBD＜FCD ． ∠C∠FCE＞∠FCD D∠FCE＜∠FCD ． ． 解答： ∴AC===5， ∴BC=AC=5， BD=BC﹣CD=5﹣3=2， ∵tan∠FBD=，

tan∠FCD=， 点评： ∴tan∠FBD＞tan∠FCD， ∴∠FBD＞∠FCD， ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴FC⊥AB（三角形的三条高相交于同一点）， 又∵BC=AC， ∴∠FCE=∠FCD． 故选A． 本题考查了勾股定理，三角形的高线的定义，锐角三角函数的增减性，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 3．（2014?绵阳）在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（ ） ABCD ． ． ． ． 考点： 勾股定理；三角形的面积；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 分析： 设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，再根据题意列出关于x、n、y的方程组，用n表示出x、y的值，由三角形的三边关系舍去不符合条件的x、y的值，由n是正整数求出△ABC面积的最小值即可． 解答： 解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得 或， 解得或， ∵2×＜（此时不能构成三角形，舍去） ∴取，其中n是3的倍数 ∴三角形的面积S△=××S△=n=2=n， 2n，对于2当n＞0时，S△随着n的增大而增大，故当n=3时，S△=

取最小．

点评： 故选：C． 本题考查的是三角形的面积及三角形的三边关系，根据题意列出关于x、n、y的方程组是解答此题的关键． 4．（2014?湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（ ）

A． 考点： 分析： 等腰直角三角形． 由已知可得Rt△ABC是等腰直角三角形，得出 B． C1 ． D2 ． AD=BD=AB=1，再由Rt△BCD是等腰直角三角形得出CD=BD=1． 解：∵∠ACB=90°，CA=CB， ∴∠A=∠B=45°， ∵CD⊥AB， ∴AD=BD=AB=1，∠CDB=90°， ∴CD=BD=1． 故选：C． 本题主要考查了等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质求角及边的关系． 解答： 点评： 5．（2014?道外区三模）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（ ）

A． 考点： 专题： 分析： 勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质． 几何图形问题． 在直角△ABC中，根据勾股定理得到：AC=5，设AC与MN交于点E，则AE=2.5．根据条件可以得到：△ANE∽△ACB，根据相似三角形的对应边的比相等，求出AN，进而得到BN．在直角△BCN中根据勾股定理求出CN． B． C． D．

解答： 解：在直角△ABC中，根据勾股定理得到：AC=5，则AE=2.5 在△ANE和△ACB中：∵∠CAB=∠NAE，∠AEN=∠ABC=90° ∴△ANE∽△ACB ∴ ，∴BN=4﹣= =． 解得：AN=在直角△BCN中，CN=点评： 6．（2014?博野县模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4． 则S1+S2+S3+S4等于（ ）

故选B． 能够得到两个三角形的相似是解决本题的关键． A14 ． 考点： 分析： 解答： 勾股定理． 过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S1+S2+S3+S4=Rt△ABC的面积×3，依此即可求解． 解：图中S4=SRt△ABC．S3=S△FPT， ∴S1+S3=SRt△ABC． S2的左上方的顶点为F，过F作AM的垂线交AM于D，可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，而图中Rt△DFK全等于①， 所以S2=SRt△ABC． S1+S2+S3+S4 =（S1+S3）+S2+S4 =Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积 =Rt△ABC的面积×3 =4×3÷2×3 =18． 故选：C． B16 ． C18 ． D20 ． 点评： 本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．

二．填空题（共9小题）

7．（2015?永州模拟）如果|a|+a=0，则 考点： 二次根式的性质与化简． = 1﹣2a ．

分析： 解答： 先确定a的取值，再开方求解即可． 解：∵|a|+a=0， ∴a=﹣a， ∴a为非正数， ∴点评： =1﹣a﹣a=1﹣2a， 故答案为：1﹣2a． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是确定a的取值． 有意义的x的取值范围是 x≥﹣3 ．

8．（2014?绥化）使二次根式 考点： 二次根式有意义的条件． 专题： 分析： 解答： 点评： 计算题． 二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 解：根据二次根式的意义，得x+3≥0， 解得x≥﹣3． 故答案为：x≥﹣3． 用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

9．（2014?白银）已知x、y为实数，且y= 考点： 专题： 分析： 解答： 二次根式有意义的条件． 计算题． 根据一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0可得x可能的值，进而得到y的值，相减即可． 2解：由题意得x﹣9=0， 解得x=±3， ∴y=4， ∴x﹣y=﹣1或﹣7． 故答案为﹣1或﹣7． 考查二次根式有意义的相关计算；得到x可能的值是解决本题的关键；用到的知识点为：一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0． ﹣+4，则x﹣y= ﹣1或﹣7 ．

点评： 10．（2014?镇江）读取表格中的信息，解决问题． n=1 a1=+2 b1=+2 n=2 a2=b1+2c1 b2=c1+2a1 n=3 a3=b2+2c2 b3=c2+2a2 … … … 满足 考点： 专题： 分析： c1=1+2 c2=a1+2b1 c=a2+2b2 … 的n可以取得的最小整数是 7 ．

二次根式的应用． 新定义． 由表格可知当n=1时，a1+b1+c1=+2++2+1+2=3（++1），同n理得出a2+b2+c2=9（++1），…由此得出an+bn+cn=3（++1），进一步整理，求得n的最小值即可． 解：由a1+b1+c1=（++1）， a2+b2+c2=9（+… an+bn+cn=3（∵∴an+bn+cn≥2014×（（++1）， n∴3≥2014， 67则3＜2014＜3， ∴n最小整数是7．

n解答： +2++2+1+2=3+1）， +1）， ﹣+1）（+）=2014+

点评： 11．（2014?淮北模拟）若 考点： 分析： 解答： 二次根式的性质与化简． 根据二次根式的性质，等式左边为算术平方根，结果为非负数． 故答案为：7 此题考查二次根式的运用，注意找出运算的规律，进一步利用估算的方法找出解决问题的方法． =2﹣a，则a的取值范围是 a≤2 ．

解：∵=2﹣a， 点评： ∴a﹣2≤0． 即a≤2． 本题主要考查了根据二次根式的意义化简． 二次根式=﹣a． 规律总结：当a≥0时，=a，当a≤0时， 12．（2013?雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标 （0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0） ． 考点： 勾股定理；坐标与图形性质． 专题： 压轴题；分类讨论． 分析： 需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点C的坐标；②当点C位于y轴上时，根据勾股定理求点C的坐标． 解答： 解：如图，①当点C位于y轴上时，设C（0，b）． 则+=6，解得，b=2或b=﹣2， 此时C（0，2），或C（0，﹣2）． 如图，②当点C位于x轴上时，设C（a，0）． 则|﹣﹣a|+|a﹣|=6，即2a=6或﹣2a=6， 解得a=3或a=﹣3， 此时C（﹣3，0），或C（3，0）． 综上所述，点C的坐标是：（0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0）． 故答案是：（0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0）．

点评： 本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质．解题时，要分类讨论，以防漏解．另外，当点C在y轴上时，也可以根据两点间的距离公式来求点C的坐标． 13．（2013?包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 135 度．

考点： 专题： 分析： 解答： 勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质． 压轴题． 首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′=∠BE′E=45°，即可得出答案． 解：连接EE′ ∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′ ∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形， ∵△ABE与△CE′B全等 ∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C ∴∠BEE′=∠BE′E=45°， 222∵EE′=2+2=8，AE=CE′=1，EC=3， 222∴EC=E′C+EE′， ∴△EE′C是直角三角形， ∴∠EE′C=90°， ∴∠AEB=135°． 故答案为：135．

点评： 14．（2013?昌平区一模）如图，△ABC中，AB=AC=2，若P为BC的中点，则AP+BP?PC的值为 4 ；若BC边

2

上有100个不同的点P1，P2，…，P100，记mi=APi+BPi?PiC（i=1，2，…，100），则m1+m2+…+m100的值为 400 ．

2

此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出△EBE′是直角三角形是解题关键．

考点： 专题： 分析： 勾股定理；等腰三角形的性质． 压轴题；规律型． 第一个空可通过构建直角三角形利用勾股定理和等腰解答： 直角三角形的性质证明∴AB=AP+BP?PC即可； 第二个空可作AD⊥BC于D．根据勾股定理，得2222222APi=AD+DPi=AD+（BD﹣BPi）=AD+BD﹣22BD?BPi+BPi，PiB?PiC=PiB?（BC﹣PiB）=2BD?BPi﹣222BPi，从而求得Mi=AD+BD，即可求解． 解：过A作AF⊥BC于F． 222在Rt△ABF中，AF=AB﹣BF； 222在Rt△APF中，AF=AP﹣FP； 2222∴AB﹣BF=AP﹣FP； 22222即AB=AP+BF﹣FP=AP+（BF+FP）（BF﹣FP）； ∵AB=AC，AF⊥BC， ∴BF=FC； ∴BF﹣FP=CF﹣FP=PC； 22∴AB=AP+BP?PC=4， 故答案为：4； 作AD⊥BC于D，则BC=2BD=2CD． 根据勾股定理，得 APi=AD+DPi=AD+（BD﹣BPi）=AD+BD﹣22BD?BPi+BPi， 2又PiB?PiC=PiB?（BC﹣PiB）=2BD?BPi﹣BPi， 222∴Mi=AD+BD=AB=4， ∴M1+M2+…+M100=4×100=400． 故答案为：400． 222222222

点评： 此题主要运用了勾股定理和等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造直角三角形是解本题的突破点，另外代入进行整理后代换出PC也是同学们不容易考虑到的． 15．（2012?德州）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为 （2，1006） ．

考点： 专题： 分析： 等腰直角三角形；点的坐标． 压轴题；规律型． 解答： 由于2012是4的倍数，故A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即可解答． 解：∵2012是4的倍数， ∴A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组， ∵2012÷4=503…0 ∴A2012在x轴上方，横坐标为2， ∵A4、A8、A12的纵坐标分别为2，4，6， ∴A2012的纵坐标为2012×=1006． 故答案为：（2，1006）． 本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，主要是根据坐

点评：

标变化找到规律，再依据规律解答． 三．解答题（共15小题） 16．（2014?荆门）（1）计算：

×

﹣4×

×（1﹣

）；

0

（2）先化简，再求值：（ 考点： 专题： 分析： +）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．

二次根式的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；分式的化简求值；零指数幂． 计算题． （1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=﹣4××1=2﹣，然后合并即可； （2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入计算即可． 解答： 解：（1）原式==2﹣=； ﹣4××1 （2）原式=[﹣]? =（﹣]? =? =， ∵+|b﹣|=0， ∴a+1=0，b﹣=0， 解得a=﹣1，b=， 当a=﹣1，b=点评： 时，原式=﹣=﹣ 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值． ）+|3﹣

0

17．（2014?绵阳）（1）计算：（2014﹣

|﹣

；

（2）化简：（1﹣ 考点： 二次根式的混合运算；分式的混合运算；零指数幂． 计算题． （1）根据零指数幂和分母有理化得到原式=1+2﹣3﹣2，然后合并即可； （2）先把前面括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 解：（1）原式=1+2﹣3﹣2 =﹣2； （2）原式=）÷（﹣2）

专题： 分析： 解答： ÷=?=点评： ． 本题考查了二次根式的

混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分式的混合运算． 18．（2014?广东一模）已知 考点： 分析： 二次根式有意义的条件． 先根据二次根式的基本性质：+有意义，求的值．

有意义，则a≥0可求x=a，再代入解答： 即可求值． 解：∵+有意义， ∴x﹣a≥0且a﹣x≥0， ∴x=a， ∴点评： 19．（2012?巴中）先化简，再求值：（﹣ 考点： 二次根式的化简求值；分式的化简求值． 压轴题；分类讨论． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． ==2． 考查了二次根式有意义的条件，解决此题的关键：掌握二次根式的基本性质：有意义，则a≥0． ）?，其中x=．

专题： 分析：

解答： 解：原式=?， 当x=时，x+1＞0， 可知=x+1， 故原式=?===； 点评： 本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当x=时得出=x+1，此题难度不大． 20．（2014?相城区一模）计算化简 （1）计算：

（2）化简： 考点： 分析： ，然后选择一个合适的x的值代入上式求值．

二次根式的混合运算；分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． （1）首先化简二次根式，代入角的三角函数值，分母有理化，最后合并同类二次根式即可； （2）首先对括号内的两个分式通分相加，然后把除法

转化成乘法运算，即可把分式进行化简，然后代入x的值求解即可． 解答： 解：（1）原式=2=2+2﹣（2﹣=； （2）原式=[== 当x=1时，原式=1． 本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．第二个题目的计算中要注意分式有意义的条件，x的值不能取0和±3． ? +2﹣） ﹣]÷ 点评： 21．（2014?建宁县质检）（1）计算：

（2）先化简，再求值： 考点： 二次根式的混合运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂． 计算题． （1）根据零指数幂、负整数指数幂得到原式=3﹣+1﹣3，然后合并即可； （2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分式分母因式分解后约分得到原式，其中x=﹣4．

专题： 分析： =，再把x的值代入计

解答： 算． 解：（1）原式=3﹣+1﹣3 =1﹣； （2）原式=?=， 当x=﹣4时，原式=点评： ． 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和分式的化简求值． 2

2

2

2

2

2

22．（2013?贵阳）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a+b=c时，△ABC是直角三角形；当a+b≠c

222

时，利用代数式a+b和c的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． （1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 锐角 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 钝角 三角形．

（2）猜想，当a+b ＞ c时，△ABC为锐角三角形；当a+b ＜ c时，△ABC为钝角三角形． （3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围． 考点： 勾股定理的逆定理；勾股定理． 专题： 压轴题． 分析： （1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可； （2）根据（1）中的计算作出判断即可； （3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解． 222222

解答： 解：（1）两直角边分别为6、8时，斜边==10， ∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形； 当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形； 故答案为：锐角；钝角； （2）当a+b＞c时，△ABC为锐角三角形； 222当a+b＜c时，△ABC为钝角三角形； 故答案为：＞；＜； （3）∵c为最长边，2+4=6， ∴4≤c＜6， a+b=2+4=20， 2222①a+b＞c，即c＜20，0＜c＜2， ∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形； 2222②a+b=c，即c=20，c=2， ∴当c=2时，这个三角形是直角三角形； 2222③a+b＜c，即c＞20，c＞2， ∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形． 本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键． 2222222点评： 23．（2012?崇安区一模）如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．

（1）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．

（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数． （3）如图2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4 cm，DM=8 cm，AN=5 cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1 cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t（s），点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上． ①当t=4时，求PH的长． ②探究满足条件的点H的个数（直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明）． 考点： 勾股定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 压轴题；新定义． 分析： （1）以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点就是A，B两点在CD上的勾股点； （2）当矩形ABCD中，AB=3，BC=1时，此时以线段

解答：

AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点； （3）①如图，当t=4时，PM=8﹣4=4，QN=5﹣4=1，分三种情况： 当∠MHN=90°时，根据已知条件可以证明△PMH∽△QHN，然后利用相似三角形对应线段成比例即可求出PH； 当∠H''NM=90°时，设PH=x，那么H''Q=4﹣x，根据勾股定理得到PM2+PH''2=QN2+H''Q2+MN2，而MN==5，依次即可求出PH''； 当∠H'MN=90°时，根据勾股定理得到H'P2+PM2+QH'2+QN2=MN2，而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，依次即可求出PH'． ②利用①的结果可以探究满足条件的点H的个数及相应t的取值范围． 解：（1）如图，以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点E就是所勾股点； （2）∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1时， ∴以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点4个； （3）①如图，当t=4时，PM=8﹣4=4，QN=5﹣4=1， 当∠MHN=90°时， ∵∠MPH=∠HQN=90°， ∴△PMH∽△QHN， ∴PH：QN=PM：HQ， 而PH+HQ=BC=4， ∴PH=2； 当∠H''NM=90°时，设PH=x，那么H''Q=4﹣x 依题意得PM2+PH''2=QN2+H''Q2+MN2， 而MN==5， ∴PH=； 当∠H'MN=90°时，QH'2+QN2﹣（H'P2+PM2）=MN2， 而H'Q=PH'+PQ=PH'+4， ∴PH=3． ∴PH=或PH=2或PH=3． ②当0≤t＜4时，有2个勾股点； 当t=4时，有3个勾股点； 当4＜t＜5时，有4个勾股点； 当t=5时，有2个勾股点； 当5＜t＜8时，有4个勾股点； 当t=8时，有2个勾股点． 综上所述，当0≤t＜4或t=5或t=8时，有2个勾股点；当t=4时，有3个勾股点；当4＜t＜5或5＜t＜8时，有4个勾股点．

点评： 此题比较复杂，难度很大，综合性比较强，是一个探究性试题，利用了直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质、等多个知识点，对于学生是能力要求很高，解题关键是正确理解题目所给材料，然后充分利用材料解题． 24．（2011?抚顺）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF． （1）判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；

（2）若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BCEF能形成哪些特殊四边形； （3）如图2，将△ABC中AB=BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1）中的两个结论同时成立．

考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的判定；等腰梯形的判定；旋转的性质． 压轴题． （1）根据已知条件得出BD=AD=CD．∠ADB=∠BDC=90°，再根据△ABD旋转得到△EFD，得出∠EDB=∠FDC，从而证出△BED≌△CFD，得出BE=CF，∠DEB=∠DFC，再根据∠DNE=∠FNB，得出∠DEB+∠DNE=∠DFC+∠FNB，最后证出专题： 分析：

∠FMN=∠NDE=90°，得出FC⊥BE． （2）根据已知条件得出四边形BEFC是等腰梯形和正方形． （3）根据△ABC中AB=BC改成AB≠BC，得出α=90°时（1）两个结论同时成立． 解：（1）FC=BE，FC⊥BE． 证明：∵∠ABC=90°，BD为斜边AC的中线，AB=BC， ∴BD=AD=CD．∠ADB=∠BDC=90°． ∵△ABD旋转得到△EFD， ∴∠EDB=∠FDC． DF=BD，ED=AD=CD． ∴△BED≌△CFD． ∴BE=CF． ∴∠DEB=∠DFC． ∵∠DNE=∠FNB， ∴∠DEB+∠DNE=∠DFC+∠FNB． ∴∠FGN=∠NDE=90°． ∴FC⊥BE． （2）等腰梯形和正方形． 解答： 如图过F作FM∥BE交CE的延长线于M，则得出平行四边形BFME，推出BF∥CM，即可得出等腰梯形BCEF； 当F与A重合时，所得的四边形是正方形，如图： （3） 当α=90°（1）中的两个结论同时成立， ∵∠BDF=∠EDC=90°， ∴∠FDC=∠BDE，

在△BDE和△FDC中， ， ∴△BDE≌△FDC， ∴BE=CF， ∠DFC=∠DBE， ∵∠DNF=∠BNM， ∴∠BMN=∠FDN=90°， ∴BE⊥CF． 此题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识点；要注意知识的综合应用，是一道常考题型． 点评： 25．（2014?增城市一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15， （1）求AB的长； （2）求CD的长．

考点： 勾股定理；三角形的面积． 分析： （1）根据勾股定理AB=解答： ，代入计算即可； （2）根据三角形的面积公式，代入计算即可求出CD的长． 解：（1）在Rt△ABC中， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20， ∴AB==

=25； ∴AB的长是25； （2）∵S△ABC=AC?BC=AB?CD， ∴AC?BC=AB?CD ∴20×15=25CD， ∴CD=12． 本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是本题的关键． 点评： 26．（2013?威海）操作发现 将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合． 问题解决 将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②． （1）求证：△CDO是等腰三角形； （2）若DF=8，求AD的长．

考点： 专题： 分析： 等腰直角三角形；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质． 压轴题． （1）根据题意可得BC=DE，进而得到∠BDC=∠BCD，再根据三角形内角和定理计算出度数，然后再根据三角形内角与外角的性质可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，进而算出度数，根据角度可得△CDO是等腰三角形；

（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，首先根据∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4，HF=4，DB=8，BF=16，进而得到BC=8，再根据等腰三角形的性质可得BG=AG=4，证明四边形AGHD为矩形，根据线段的和差关系可得AD长． （1）证明：由图①知BC=DE， ∴∠BDC=∠BCD， ∵∠DEF=30°， ∴∠BDC=∠BCD=75°， ∵∠ACB=45°， ∵∠DCO+∠BCO=75° ∴∠DCO=30° ∵∠DCO+∠CDO+∠DOC=180°， ∴∠DOC=30°+45°=75°， ∴∠DOC=∠BDC， ∴△CDO是等腰三角形； （2）解：作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H， 在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8， ∴DH=4，HF=4， 在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8， ∴DB=8，BF=16， ∴BC=BD=8， ∵AG⊥BC，∠ABC=45°， ∴BG=AG=4， ∴AG=DH， ∵AG∥DH，AG⊥BC， ∴四边形AGHD为矩形， ∴AD=GH=BF﹣BG﹣HF=16﹣4﹣4=12﹣4． 解答： 点评： 此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 27．（2010?杭州）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米． （1）说明本次台风是否会影响B市；

（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．

考点： 专题： 分析： 勾股定理；垂径定理的应用． 压轴题． （1）作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，利用特殊角的三角函数值求出BH的长与260千米相比较即可． 解答： （2）以B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1、P2两点，根据垂径定理即可求出P1P2的长，进而求出台风影响B市的时间． 解：（1）作BH⊥PQ于点H． 在Rt△BHP中， 由条件知，PB=480，∠BPQ=75°﹣45°=30°， ∴BH=480sin30°=240＜260， ∴本次台风会影响B市． （2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束． 由（1）得BH=240，由条件得BP1=BP2=260， ∴P1P2=2∴台风影响的时间t==200， =5（小时）． 故B市受台风影响的时间为5小时． 点评： 本题考查的是直角三角形的性质及垂径定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是构造出直角三角形及圆． 28．（2007?安徽）如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等．设BC=a，AC=b，AB=c． （1）求AE和BD的长； （2）若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，求证：S=AE?BD．

考点： 专题： 分析： 勾股定理；三角形的面积． 计算题；证明题；压轴题． （1）根据，△ABD与△ACD的周长相等，我们可得出：AB+BD=AC+CD，等式的左右边正好是三角形ABC周长的一半，即，有AB，AC的值，那么就能求出解答： BD的长了，同理可求出AE的长； （2）根据（1）中求出的AE，BD的值，先求出AE?BD是多少，在化简过程中，可以利用一些已知条件比如勾股定理等，来使化简的结果和三角形ABC的面积得出的结果相同． （1）解：∵△ABD与△ACD的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c， ∴AB+BD=AC+CD=∴BD=同理AE=﹣c=； ． ， （2）证明：∵∠BAC=90°， ∴c+b=a，S=bc， 由（1）知AE?BD=b﹣c+2bc）=22222×， ==（a﹣2点评： 即S=AE?BD 本题中通过周长相等得出线段的长是解题的关键．要注意在（2）中化简AE?BD的式子的过程中要多使用已知或间接知道的条件． 29．（2014?海淀区二模）在△ABC中，∠ABC=90°，D为平面内一动点，AD=a，AC=b，其中a，b为常数，且a＜b．将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E．连接BE． （1）如图1，若D在△ABC内部，请在图1中画出△FCE； （2）在（1）的条件下，若AD⊥BE，求BE的长（用含a，b的式子表示）； （3）若∠BAC=α，当线段BE的长度最大时，则∠BAD的大小为 180°﹣α ；当线段BE的长度最小时，则∠BAD的大小为 α （用含α的式子表示）．

考点： 分析： 解答：

勾股定理；平移的性质． （1）把A、D向右平移BC的距离即可得到对应点F、E，然后连接EF、FC、EC即可； （2）易证四边形ABCF为矩形，则AC=BF，在直角△BEF中，利用勾股定理即可求解； （3）当线段BE的长度最大时，E点在BF的延长线上，当线段BE的长度最小时，E点在BF上，再求出∠BAD． 解：（1）如图， （2）连接BF． ∵将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE， ∴AD∥EF，AD=EF；AB∥FC，AB=FC． ∵∠ABC=90°， ∴四边形ABCF为矩形． ∴AC=BF． ∵AD⊥BE， ∴EF⊥BE． ∵AD=a，AC=b， ∴EF=a，BF=b． ∴． （3）①如图，当线段BE的长度最大时，E点在BF的延长线上，

∵四边形ABCF是矩形，∠BAC=α， ∴∠BFC=α， ∴∠EFC=180°﹣α． ∴∠BAD=180°﹣α． ②如图，当线段BE的长度最小时，E点在BF上， ∵四边形ABCF是矩形，∠BAC=α， ∴AC=BF，且互相平分， ∴∠BAC=∠ABF，∠BFC=∠ACF， ∵∠AOB=∠COF， ∴∠BAC=∠ABF=∠BFC=∠ACF， ∴∠BFC=∠BAC=α， ∴∠BAD=α． 故答案为：180°﹣α，α． 本题主要考查勾股定理及图形平移的性质，一定要掌握图形平移后边的大小，形状不变． 点评： 30．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．

考点： 专题： 分析： 等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线． 几何综合题． 由△OBD和△OCA是等腰直角三角形得到∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，由M为AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得到DM=AM=BM，CM=AM=BM，则CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，理由三角形外角性质得∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，则∠AMD﹣∠AMC=2（∠MBD﹣∠MBC）

解答： 点评： =2∠OBD=90°，于是可得到△CDM为等腰直角三角形． 解：△CDM为等腰直角三角形．理由如下： ∵△OBD和△OCA是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°， 而M为AB的中点， ∴DM=AM=BM，CM=AM=BM， ∴CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC， ∴∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC， ∴∠AMD﹣∠AMC=2（∠MBD﹣∠MBC）=2∠OBD=90°， 即∠CMD=90°， ∵CM=DM， ∴△CDM为等腰直角三角形． 本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质、三角形外角的性质，灵活利用直角三角形的斜边上的中线的性质是关键．

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