第十章 概率与统计

第一节 算法

考点梳理 1．算法

(1)算法通常是指按照 解决某一类问题的 和的步骤． (2)应用：算法通常可以编成计算机 ，让计算机执行并解决问题． 2．程序框图定义

程序框图又称流程图，是一种用 、流程线及 来表示算法的图形． 3．程序框图 程序框 名称 功能 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的. 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置. 赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等，分别写在不同的用以处理数据的处理框内. 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”. 算法进行的前进方向以及先后顺序 用来表达算法中重复操作以及运算

1

例1、1.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的s＝( )

A．2450 B．2700 C．3825 D．2652

2.下面的程序框图，输出的结果为( )

A．1 B．2 C．4 D．16

1题图

2题图

例2、1.运行如下所示的程序，输出的结果是________．

2.运行如下所示的程序，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为________． INPUT a，b IF a＞b THEN m＝a ELSE m＝b PRINT m

2

练习巩固 1.如图所示是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．

2.右图是某个函数求值的程序框图，则满足该程序的函数解析式为________．

3.如右图所示算法程序框图运行时，输入a＝tan315°，b＝sin315°，

c＝cos315°，则输出结果为( )

A.

4．下右图输出的S是126，则①应为( )

A．n≤5? B．n≤6? C．n≤7? D．n≤8?

5．执行如下左图的程序框图，如果输入a＝10，b＝11，则输出的S等于( ) 9

A. 10

22

B．－ C．－1 D．1 22

1011

B. C.

1112

3

12

D. 13

6．下右面的程序框图能判断任意输入的数x的奇偶性．其中判断框内的条件是( ) A．m＝0? B．m＝1? C．x＝0?

D．x＝1?

7.执行下左图所示的程序框图，若输入x＝10，则输出y的值为______．

8.执行下中间的程序框图，则输出T＝________. 9.如下右图所示的程序框图中输出的s＝________.

4

第2节 用样本估计总体

考点梳理 1．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中________与________的差)． (2)决定_____与______． (3)将数据_______． (4)列____________． (5)画_______________．

2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连结频率分布直方图中各小长方形上端的_______，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着_________的增加，作图时____________增加，______减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

3．茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数． 4．标准差和方差

(1)标准差是样本数据到平均数的一种____________． (2)标准差： s＝

1[?x1－x?2＋?x2－x?2＋?＋?xn－x?2]. n

(3)方差：____________________________________________ (xn是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数)．

例1、某市2012年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)： 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成频率分布表； (2)作出频率分布直方图；

(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染． 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．

5

例2．某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下： 甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538 乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531 (1)用茎叶图表示两学生的成绩；

(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分．

例3．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验． 试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：

品种甲 403 品种乙 419 397 403 390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

6

考点巩固 1.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12

[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3

根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) 1112A. B. C. D. 63232.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[15,20)内的频数为( )

A．20 B．30 C．40 D．50 3.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差为________.

4．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：

90 89 90 95 93 94 93

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A．92,2 B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8

5．A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计茎叶图如图所示，若A，B 两人的平均成绩分别是XA，XB，则下列结论正确的是( ) A．XA＜XB，B比A成绩稳定 B．XA＞XB，B比A成绩稳定 C．XA＜XB，A比B成绩稳定 D．XA＞XB，A比B成绩稳定

6．某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是( )

A．130 B．140 C．134 D．137

7．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于________．

7

三、解答题

8．某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下： 组 别 频数 频率 145.5～149.5 149.5～153.5 153.5～157.5 157.5～161.5 161.5～165.5 165.5～169.5 合计 (1)求出表中字母m、n、M、N所对应的数值；

(2)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm范围内有多少人？

8 6 14 10 8 0.16 0.12 0.28 0.20 0.16 m M n N 8

第3节 变量间的相关关系、统计案例

考点梳理 1．两个变量的线性相关

(1)在散点图中，点散布在从_________到__________的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．

(2)在散点图中，点散布在从__________到_________的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在_____________，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程

两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)、(x2，y2)，?，(xn，yn)．其回归方程

∧

∧

∧

为y＝bx＋a，则b= a=

其中___________称为样本点的中心． 3．残差分析

(1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi∧

∧

∧

∧

∧

－a，i＝1,2，?，n，其估计值为ei＝yi－yi＝yi－bxi－a，i＝1,2，?，n.ei称为相应于点(xi，yi)的残差．

n∧

2

(2)残差平方和为∑ (yi－yi). i＝1

(3)相关指数：R＝_________________.

4．独立性检验

(1)利用随机变量____来判断“两个分类变量_______”的方法称为独立性检验．

(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表 y y 总计 122

x1 x2 总计 a c a＋c b d b＋d a＋b c＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量K2＝________________________________，其中n＝________________为样本容量．

9

例1.下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：

施化肥量 水稻产量 15 320 20 330 25 360 30 410 35 460 40 470 45 480 (1)将上述数据制成散点图； (2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？

例2.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份 需求量(万吨) 2002 236 2004 246 2006 257 2008 276 ∧2010 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a； (2)利用(1) 中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．

10

例3：独立性检验

某地区甲校高二年级有1 100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：(已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%) 甲校高二年级数学成绩： 分组 [50,60) 频数 10 [60,70) 25 [70,80) 35 [80,90) 30 [90,100] x 乙校高二年级数学成绩： 分组 频数 [50,60) 15 [60,70) 30 [70,80) 25 [80,90) y [90,100] 5 (1)计算x，y的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到1分)．

(2)若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分的为非优秀，根据以上统计数据写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异？”

一、选择题

1.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )

∧

∧

∧

∧

A.y＝－10x＋200 B.y＝10x＋200 C.y＝－10x－200 D.y＝10x－200

2.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示

∧

年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：.y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

11

3.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(填有关或无关)． 4．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，?，10)，得散点图（1）；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，?，10)，得散点图（2）．由这两个散点图可以判断( )

A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关

5．已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点( )

x y 1 1.2 2 1.8 3 2.5 4 3.2 5 3.8 A.(0,0) B．(2,1.8) C．(3,2.5) D．(4,3.2) 6．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：

多看电视 少看电视 总计 冷漠 68 20 88 不冷漠 42 38 80 总计 110 58 168 则大约有多大的把握认为多看电视与人变冷漠有关系( ) A．99% B．97.5% C．95% D．90%

7．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

男 女 50×?13×20－10×7?2

≈4.844.

23×27×20×30

则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．

12

理科 13 7 文科 10 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025. 根据表中数据，得到k＝

第四节 随机事件的概率

基础知识： 1．概率和频率

(1)在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝____为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用___________来估计概率P(A)． 2．事件的关系与运算

名称 包含关系 相等关系 并事件 定义 如果事件A______，则事件B________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) 若B?A，且_______，那么称事件A与事件B相等 某事件发生当且仅当___________或____________，符号表示 B?A (或_______) A＝B A∪B (或__________) A∩B (或AB) (和事件) 则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 交事件 某事件发生当且仅当___________且____________，则(积事件) 称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 互斥事件 若A∩B为_______事件，那么称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为_______事件，A∪B为____________，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝? 3.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：_____________. (2)必然事件的概率P(E)＝____. (3)不可能事件的概率P(F)＝___.

(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝___________． (5)对立事件的概率 ：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝__________．

例1： 掷一颗骰子，所得点数为a，设事件A＝“a为3”，B＝“a为4”，C＝“a为

奇数”，则下列结论正确的是( )

A．A与B为互斥事件 B．A与B为对立事件 C．A与C为对立事件 D．A与C为互斥事件．

13

例2、如图10－1－1，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到

达火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间(分钟) 选择L1的人数 选择L2的人数 10～20 6 0 20～30 12 4 30～40 18 16 40～50 18 16 50～60 12 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

例3、国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期

训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示： 命中环数 概率 10环 0.32 9环 0.28 8环 0.18 7环 0.12 求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)命中不足8环的概率．

14

考点巩固 一、选择题

1．总数为10万张的彩票，中奖率是1%，下列说法中正确的是( ) A．买1张一定不中奖 B．买1 000张一定有一张中奖 C．买2 000张一定中奖 D．买2 000张不一定中奖

2．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )

A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5

3．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝________.(结果用最简分数表示)．

4.某城市2010年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 概率P 30 1 1060 1 6100 1 3110 7 30130 2 15140 1 30其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2010年空气质量达到良或优的概率为( ) 3115A. B. C. D. 5180196

11

5．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是( )

23

11

A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是 6221

C．乙输了的概率是 D．乙不输的概率是 32

6．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表： (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] 组别 12 13 24 15 16 13 7 频数 试估计总体落在(10,40]上的概率是________．

7．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为________．

15

8．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只

71

取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的

1515

概率为________；至少取得一个红球的概率为________．

三、解答题

9．某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示： 抽取球数n 优等品数m m优等品频率 n50 45 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1902 (1)计算表中乒乓球优等品的频率． (2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)

16

第五节 古典概型

考点梳理 1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是__________的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__________的和． 2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ① _______________②_________________ 1． 古典概型的概率公式：

P(A)＝________________________.

例1、有编号为A，A，…，A的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下

1

2

10

面数据： 编号 A1 直径 1.51 A2 1.49 A3 1.49 A4 1.51 A5 1.49 A6 1.51 A7 1.47 A8 1.46 A9 1.53 A10 1.47 其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．

(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从一等品零件中，随机抽取2个． ①用零件的编号列出所有可能的基本事件； ② 求这2个零件直径相等的概率．

17

例2、甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．

例3、为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)．

高校 A B C (1)求x，y；

(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．

相关人数 18 36 54 抽取人数 x 2 y

18

考点巩固 1． 一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是__________

2．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________

3．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________ 4．欲寄出两封信，现有两个信箱供选择，则两封信投到一个信箱的概率是( ) 1133A.2 B.4 C.4 D.8 5．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) 1123A.3 B.2 C.3 D.4

6．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．

三、解答题

7．编号分别为A1，A2，?，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下： A3 A4 A5 A6 A7 A8 运动员编号 A1 A2 15 35 21 28 25 36 18 34 得分 运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 17 26 25 33 22 12 31 38 得分 (1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格． [10,20) [20,30) [30,40] 区间 人数 (2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人， ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率．

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8．在深圳世界大学生运动会，有8名大运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A1被选中的概率；

(2)求B1和C1不全被选中的概率．

20

第六节 几何概型

考点梳理 1．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2． 几何概型的两个基本特点

①___________________②_____________________

3．几何概型的概率公式

P(A)＝_______________________________________

例1.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是_______________

例2、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到11

圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在24家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．

21

例3、已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．

(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率； (2)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．

22

考点巩固：

1、一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_____________

2．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大S

于4的概率是( ) 1132A.4 B.2 C.4 D.3

3．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为( ) 11π

A.4 B.2 C.4 D．π

4．正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在锥内任取一点P，

1

使得VP—ABC＜2VS－ABC的概率是( ) 7311A.8 B.4 C.2 D.4

6

5．在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于5的概率是( ) 12181617A.25 B.25 C.25 D.25 6．用橡皮泥做成一个直径为6 cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒，求这个砂粒距离球心不小于1 cm的概率__________

23

24

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0bv3.html