北京邮电大学版 线性代数 课后题答案

习题 三 （A类）

1. 设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3. 解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)

2. 设3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α3＝(4，1，-1，1).求α.

解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)

11整理得：α=6(3α1+2α2-5α3),即α=6 (6,12,18,24)

=(1,2,3,4)

3.（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）×

4. 判别下列向量组的线性相关性.

（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);

(2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3);

(3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);

(4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1). 解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关.

5. 设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关. 证明：设 即

k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0,

(k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0. ?,?,?由123线性无关，有

?k1?k2?k3?0,??k2?k3?0,?k?0.?323所以1即

6.问a为何值时，向量组

k?k?k?0,

?1,?1??2,?1??2??3线性无关.

?1?(1,2,3)',?2?(3,?1,2)',?3?(2,3,a)'

??,?线性相关，并将3用12线性表示.

132A?2?13?7(5?a),32a111?1??2.77

解：

当a=5时，

?3?7. 作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵. 解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关,

所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，0）

?10??1?1?10?线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵的一个行向量.所以方阵可为?10 8. 设

10000??0?0??1?.

?1,?2,?,?s的秩为r且其中每个向量都可经?1,?2,?,?r线性表出.证明：?1,?2,?,?r为

?1,?2,?,?r (1)

?1,?2,?,?s的一个极大线性无关组.

【证明】若 线性相关，且不妨设

?1,?2,?,?t (t

是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是秩为r矛盾，故9. 求向量组【解】把

?1,?2,?,?s的一个极大无关组，这与?1,?2,?,?s的

?1,?2,?,?r必线性无关且为?1,?2,?,?s的一个极大无关组.

?1=(1,1,1,k),?2=(1,1,k,1),?3=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.

1?0??1??0?

?1,?2,?3按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.

11k1?1?1A???1??k1??111??111??11?0??0??0k?12?0101?????????1??0k?10??0k?10??00??????1??01?k1?k??001?k??00?,?,?2,?1,?3为其一极大无关组.

当k=1时，123的秩为

当k≠1时，

?1,?2,?3线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.

10. 确定向量【解】由于

?3?(2,a,b),使向量组?1?(1,1,0),?2?(1,1,1),?3与向量组?1=(0,1,1),

?2=(1,2,1),?3=(1,0,?1)的秩相同，且?3可由?1,?2,?3线性表出.

?0A?(?1,?2,?3)??1???1?1B?(?1,?2,?3)??1???01211111??1??00????1????02??1??0a???b????00?;?1?1??00??12?,1b??0a?2??2而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又

a??0112??120?,c?(?1,?2,?3,?3)??120a???0112??????11?1b????000b?a?2??

??,?,??要使3可由123线性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即3=(2,2,0).

11. 求下列向量组的秩与一个极大线性无关组. (1) α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);

(2) α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)；

(3) α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α5＝(2，1，5，6). 解：（1）把向量组作为列向量组成矩阵Α，应用初等行变换将Α化为最简形矩阵B，则

可知：R（Α）=R（B）=2，B的第1，2列线性无关，由于Α的列向量组与B的对应的列向量有相同的线性组合关系，故与B对应的Α的第1，2列线性无关，即α1,α2是该向量组的一个极大无关组.

（2）同理，

11???1 4 1??1 0 ???1 4 1??1 4 1??9??5???????2 ?1 ?30 ?9 ?55??????0 1 9???0 1 ??BA????1 ?5 ?4??0 ?9 ?5??9???????0 0 0??0 0 0???3 ?6 ?7??0 ?18 ?10??0 0 0???????0 0 0?

可知R(Α)=R(B)=4,Α的4个列向量线性无关,即α1,α2,α3,α4是该向量组的极大无关组. (3)同理,

? 6 1 1 7??0 -11 55 7??1 2 -9 0??????? 4 0 4 10 ?8 40 10 -11 55 7??????? 1 2 -9 0???1 2 -9 0???0 -8 40 1?????????1 3 -6 ?10 5 -15 -10 5 -15 -1??????? 2 ?4 22 3??0 ?8 40 1??0 0 0 0????????1 2 -9 0???7?0 1 -5 -??1 2 -9 0??1 0 0 0??11??0 1 -5 0??0 1 0 0?????45???0 0 0 -???0 0 10 0???0 0 1 0??B11??????0 0 0 10 0 0 1????24??????0 0 10 ???0 0 0 0??0 0 0 0?11???0 0 0 0????1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2?????????-1 3 0 -1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1??????????A???2 1 7 2 5??0 1 1 0 1??0 0 0 -4 -4??0 0 0 1 1??????????4 2 14 0 6??0 2 2 -4 -2??0 0 0 0 0??0 0 0 0?,

可知R(Α)=R(B)=3,取线性无关组α1,α3,α5为该向量组的一个极大无关组.

12.求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示. (1) α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);

(2) α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7). 解：(1)以向量组为列向量组成Α,应用初等行变换化为最简形式.

3???1 -1 5 -1??1 0 1??1 -1 5 -1??1 -1 5 -1??2???7???????1 1 -2 30 2 -7 470 1 - 2???????A??2???0 1 - 2??B?3 -1 8 1??0 2 -7 4??2??????0 0 0 0??0 0 0 0???1 3 -9 7??0 4 -14 8 ??0 0 0 0?????0 0 0 0???,

可知,α1,α2为向量组的一个极大无关组.

?x1?x2?5?x?x??2?12??3x1?x2?837x?,x???x?3x2??91222 设α3=x1α1+x2α2,即?1解得,

?x1?x2??1?x?x?3?12??3x1?x2?1?x?3x2?7x?1,x2?2

设α4=x3α1+x4α2,即?1解得,137a3?a1?a2,a4?a1?2a2.22所以

?1 1 1 4 -3??1 1 1 4 -3??1 0 2 1 -2???????1 -1 3 -2 -10 -2 2 -6 20 1 -1 3 -1????????BA???2 1 3 5 -5??0 -1 1 -3 1??0 0 0 0 0???????3 1 5 6 -70 -2 2 -6 20 0 0 0 0??????(2)同理,

可知, α1、α2可作为Α的一个极大线性无关组，令α3=x1α1+x2α

2

?x1?x2?1?x?x2?3可得：?1即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2,

?x1?x2?4?x?x2??2可得：?1即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2,

?x1?x2??3?x?x2??1可得：?1即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-α

α4=α1+3α2,α5=-2α1-α

13. 设向量组

2

2

?1,?2,?,?m与?1,?2,?,?s秩相同且?1,?2,?,?m能经?1,?2,?,?s线性表出.

?1,?2,?,?s等价.

m与证明12【解】设向量组

?,?,?,??1,?2,?,?m (1)

与向量组

?1,?2,?,?s (2)

的极大线性无关组分别为

?1,?2,?,?r (3)

和

?1,?2,?,?r (4)

由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即

r?i??aij?jj?1(i?1,2,?,r).

因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由（*）解出j,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.

14. 设向量组α1,α2,…,αs的秩为r1,向量组β1,β2,…,βt的秩为r2,向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩为r3,试证:

max{r1,r2}≤r3≤r1+r2. 证明：设α

s1,…，

?(j?1,2,?,r)?Sr1为α1,α2,…，αs的一个极大线性无关组, βt1,βt2,…,

?t

r2

为β1,

β2,…,βt的一个极大线性无关组. μ1，…，极大线性无关组，则α

s1,

?r3为α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一个

tr2可分别由μ1，…，

…，

?Sr1和βt1，…，β

?r3线性表示，所以，r1

≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，r3可由αs1, …，αsr1，βt1，…，βtr2线性表示及线性无关性可知：r3≤r1+r2.

15. 已知向量组α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩为3,试确定a的值.

解：以向量组为列向量，组成矩阵A，用行初等变换化为最简形式：

??1 a a a??1 a a a??1?3a a a a???????a 1 a aa-1 1?a 0 00 1-a 0 0?????????a a 1 a??a-1 0 1-a 0??0 0 1-a 0???????a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a??????

1由秩A=3.可知a≠1,从而1+3a=0，即a=-3.

16. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.

1743??1122?021553132????203?154134???2048?； (2)?1104??1?????2???3?????,?,?【解】(1) 矩阵的行向量组?4?的一个极大无关组为123;

??1?????2???3?????,?,?(2) 矩阵的行向量组?4?的一个极大无关组为124.

17. 集合V1＝{(

为什么?

?25?75??75?(1)?25319494321??1??3???1?.

x1,x2,?,xn)｜x1,x2,?,xn∈R且x1?x2???xn＝0}是否构成向量空间?

【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设则

??(x1,x2,?,xn)?V1,??(y1,y2,?,yn)?V2,k?R)

因为

????(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)k??(kx1,kx2,?,kxn).

(x1?y1)?(x2?y2)???(xn?yn)?(x1?x2???xn)?(y1?y2???yn)?0,kx1?kx2???kxn?k(x1?x2???xn)?0,

????V1,k??V1,故V1是向量空间. 所以

18. 试证：由【证明】把

?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1),生成的向量空间恰为R3.

?1,?2,?3排成矩阵A=(?1,?2,?3),则

110A?101??2?0011,

所以

?1,?2,?3线性无关，故?1,?2,?3是R3的一个基，因而?1,?2,?3生成的向量空间恰为R3.

219. 求由向量1的向量空间的一组基及其维数.

??(1,2,1,0),??(1,1,1,2),?3?(3,4,3,4),?4?(1,1,2,1),?5?(4,5,6,4)所生

【解】因为矩阵

A?(?1,?2,?3,?4,?5)?11314??11314??11314??21415??0?1?2?1?3??0?1?2?1?3????????,???11326??00012??00012???????024140241400000?????? ?,?,?∴124是一组基，其维数是3维的.

20. 设

?1?(1,1,0,0),?2?(1,0,1,1),?1?(2,?1,3,3),?2?(0,1,?1,?1),证明:

L(?1,?2)?L(?1,?2).

【解】因为矩阵

A?(?1,?2,?1,?2)0??1120??0?1?31?0?11?????,13?1??0000????13?1??0000?

?,??,??,??,?由此知向量组12与向量组12的秩都是2，并且向量组12可由向量组12线性表出.

由习题15知这两向量组等价，从而

?1?1???0??012?1,?2也可由?1,?2线性表出.所以

L(?1,?2)?L(?1,?2).

?21. 在R3中求一个向量，使它在下面两个基

(1)?1?(1,0,1),?2?(?1,0,0)?3?(0,1,1)下有相同的坐标.

(2)?1?(0,?1,1),?2?(1,?1,0)?3?(1,0,1)

?【解】设在两组基下的坐标均为(

x1,x2,x3)，即

?x1??x1???(?,?,?)?x?,??(?1,?2,?3)?x2123?2??????x3???x3???1?10??x1??011??x1??001??x????1?10??x????2????2???101????101????x3????x3??即

求该齐次线性方程组得通解

?1?2?1??x1??111??x??0,???2???000????x3??

x1?k,x2?2k,x3??3k (k为任意实数)

故

??x1?1?x2?2?x3?3?(k,2k,?3k).

??(1,?1,0),?2?(2,1,3),?3?(3,1,2)为R3的一个基，并把?1?(5,0,7),

22. 验证1?2?(?9,?8,?13)用这个基线性表示.

【解】设 又设 即

A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2),

?1?x11?1?x21?2?x31?3,?2?x12?1?x22?2?x32?3,

?x11(?1,?2)?(?1,?2,?3)??x21??x31x12?x22??,x32??

记作 B=AX.

则

?1235?9??12r2?r1(A?B)???1110?8??????03??????0327?13???03?1235?9??1作初等行变换?0327?13????????0??????002?2?4???0?,?,?因有A?E,故123为R3的一个基，且

354527001001?9?r2?r3?????17??r2?r3?13??23?3?3???1?2??

即

?23?(?1,?2)?(?1,?2,?3)?3?3?,?????1?2??

?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?3?2?2?3.

（B类）

1.A

2.B 3.C 4.D

5.a=2，b=4 6.abc≠0

7.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1) α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论. (2) α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论.

解：(1)由向量组α1，α2，α3线性相关，知向量组α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4线性无关，所以α2, α3线性无关，故α2, α3是α1, α2, α3的极大线性无关组，所以α1能由α2, α3线性表示.

（2）不能.若α4可由α1，α2，α3线性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的极大线性无关组,所以α4可由α2，α3线性表示.与α2，α3，α4线性无关矛盾.

8.若α1,α2,…,αn,αn+1线性相关,但其中任意n个向量都线性无关,证明:必存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使

k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.

证明:因为α1，α2，…，αn，αn+1线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，…，kn，kn+1使k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0

若k1=0，则k2α2+…+kn+1αn+1=0，由任意n个向量都性线无关，则k2=…=kn+1=0,矛盾.从k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.

9. 设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n＜m,E为n阶单位矩阵.若AB=E,证明:B的列向量组线性无关.

证明：由第2章知识知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小结所给矩阵秩的性质，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩为n，即线性无关.

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