第七章 矩阵函数

第七章 矩阵函数

在定义了矩阵范数之后，便可以度量线性空间中矩阵的大小和矩阵间的接近程度，进而引入极限的概念，并基于此建立矩阵分析理论。本章将介绍矩阵序列和矩阵级数的定义和收敛性判断，并给出矩阵函数的定义和计算方法。

§7.1 矩阵序列与极限

本章中数域F均指R(或C)，所讨论矩阵均为方阵，非方阵的情况按照相应的范数也可类似定义。

我们把n?n阶矩阵序列A1，A2，?，Ak，?，简记为{Ak}，其中

(k)?a11?(k)aAk=?21???(k)?an1?(k)k)?a12?a1(n(k)(k)?a22?a2n?，k?1,2,? ????(k)(k)?an?a?2nn?显然，一个n?n阶矩阵序列{Ak}?Ak?Cn?n?中各矩阵的所有对应位置构成n?n(k)个数列?aij?，其中aij(k)?C(i,j?1,2,?,n)。

(k)定义1 设矩阵序列{Ak} (k?1,2,...)，其中Ak?(aij)?Cn?n，若n?n个数列(k){aij}(i,j?1,2,...,n)都收敛，即存在数aij?C，使得

(k)limaij?aij,i,j?1,2,...,n k??则称矩阵序列{Ak}是收敛的，并把矩阵A?(aij)?Cn?n称为{Ak}的极限，或称矩阵序列{Ak}收敛于A，简记为

limAk?A 或Ak?A(k??)

k??(k)若这n?n个数列{aij则称矩阵序列{Ak}是}(i,j?1,2,...,n)中至少有一个不收敛，

发散的。

例1 讨论2?2阶矩阵序列{Ak}和{Bk}的敛散性，其中

1k?(1?)?kAk??k?(?1)??k1sink??(0.5)k??k?，Bk???1?0????ek??k?k?1,2,?。 2k+1??2k?1?6

?e0?1ksink(?1)k=0，故有limAk??=0，lim解 因为lim(1?)?e，lim，?k??k??k??k??kkk?01??ek即矩阵序列{Ak}是收敛的。又因为数列??k??的极限不存在，故矩阵序列{Bk}是?发散的。

若把向量看做是特殊的矩阵序列，则向量序列收敛的定义类似可得。 由定义1可知，一个矩阵序列的收敛等价于n?n个数列的收敛，但用初等分析的方法来研究未免有些繁琐，因此可以借助矩阵范数将矩阵序列的敛散性与一个数列的敛散问题等价。

定理1 n?n阶矩阵序列{Ak}收敛于矩阵A?Cn?n的充要条件是

limAk?A?0，其中范数?为任一种矩阵范数。

k??证明 由矩阵范数的等价性可知，必存在实数k2?k1?0，使得对于任意的矩阵B?Cn?n都有

k1Bm1?B?k2Bm1

故有

k1Ak?Am1?Ak?A?k2Ak?Am1

即可通过矩阵的m1范数来进行定理证明。

(k)?aij，即 必要性。 设limAk?A，由定义1可知，对于每一个i,j都有limaijk??k??(k)lim|aij?aij|?0,i,j?1,2,...,n k??于是

(k)lim??|aij?aij|?0 k??i?1j?1nn即

limAk?Ak??k??m1?0

故有对于矩阵的任意范数?都有limAk?A?0 充分性。 因为limAk?A?0，则有limAk?Ak??k??m1(k)?lim??|aij?aij|?0。因k??i?1j?1nn此，对于每一个i,j都有

6

(k)lim|aij?aij|?0 k??此即

(k)limaij?aij,i,j?1,2,...,n k??于是

limAk?A

k??根据矩阵范数的等价性可知，定理1对于任何一种矩阵范数都成立。 定理2若矩阵序列{Ak}收敛，则其极限是唯一的。

证明 假设矩阵序列收敛极限不唯一。不妨设n?n阶矩阵序列{Ak}收敛于矩阵A?(aij)?Cn?n，同时收敛于矩阵B?(bij)?Cn?n，且A?B。则至少存在一组

(k)i,j，使得aij?bij，其中i,j?1,2,...,n。即对于数列?aij?来说有

(k)(k)limaij=aij且limaij=bij k??k??这与收敛数列极限的唯一性相悖，故假设不成立，得证矩阵序列收敛极限唯一。

由于矩阵序列{Ak}收敛的充分必要条件是各元素组成的数列收敛，而数列的极限是唯一的，因此矩阵序列的极限也是唯一的。

定理3若矩阵序列{Ak}收敛，则此矩阵序列有界。即存在正数M，使得对一切k都有Ak?M。

||0证明 设序列{Ak}收敛于A，即lim||Ak?A?，亦即对??0?0，存在

k??N?0，使得k?N时，有

||Ak?A||??0

从而

Ak?Ak?A?A?Ak?A?A??0?A

其中，k?N?1。取M?max{A1,A2,...,AN,A??0}，即有

||Ak||?M,k?1,2,...

利用数列收敛的概念和定理1，容易得到矩阵序列如下的性质。 (1) 设limAk?A，limBk?B，其中Ak?Cn?n,Bk?Cn?n，则

k??k??6

lim(?Ak??Bk)??A??Bk??k??k???,??C

(2)设limAk?A，limBk?B，其中Ak?Cn?n,Bk?Cn?n，则

limAkBk?AB

k??(3) 设limAk?A，且Ak?Cn?n,P,Q?Cn?n，则

k??limPAkQ?PAQ

k??(4) 设limAk?A，且Ak,A均可逆，则矩阵序列{Ak?1}也收敛，且

k??limAk?1?A?1

k??证明 (1) 因为

(?Ak??Bk)?(?A??B)??(Ak?A)??(Bk?B)?|?|Ak?A?|?|Bk?B?0(k??)

故

lim(?Ak??Bk)??A??Bk???,??C

(2) 由于

AkBk?AB?AkBk?ABk?ABk?AB?Ak?ABk?ABk?Bk??k??

又由已知条件可知lim||Ak?A||?0，lim||Bk?B||?0，再由||Bk||有界，故知

lim||AkBk?AB||?0

k??即

limAkBk?AB

k??(3) 由(2)，令Bk?Q，则limBk?Q，故有lim(AkQ)?AQ。

k??k??再将P看成Ak，AkQ看成Bk，则有limPAkQ?PAQ。

k??(4) 因为此时detAk?0，detA?0，(k?1,2,...)，设adjA为A的伴随矩阵，则有

limdetAk?detA

k??limadjAk?adjA

k??6

故

limAk?1?limk??adjAkadjA??A?1

k??detAdetAk注：性质(4)中的A的可逆性是不可少的，因为Ak的可逆不能保证A一定可逆。

?1?1?1例2 讨论矩阵序列Ak??k?的收敛性及其极限的可逆性。

??11???k??k解答 显然每个Ak都是可逆的，且A???。 ?kk?1???1k而Ak的极限为

?11?limAk????A k??11??它是不可逆的。

T定理4 设Ak?Ak ,P?PT?Rn?n,且Ak?Ak?1?P，则矩阵序列?Ak?收敛。

证明 先证对角线上元素序列收敛。 由已知条件有，对任意的x?Rn，有

xTAkx?xTAk?1x?xTPx

取x?ei?(0,0,...,0,1,0,...,0)T即第i个位置为1，其余位置均为0，(i?1,2,...)，

(k)代入上式得(设Ak?(aij),P?(pij))，

(k)(k?1)aii?aii?pii,(i?1,2,...)

(k)故{aii}的极限存在。

(k) 再证一般的元素序列{aij}收敛(i?j)。

将上面的x换成x?ei?ej(k)(k)aij?aii?a(jik)?a(jjk)(i?1,2,...)，得

(k)(k)?aii?a(jjk)?2aij?a(k?1)ii?a(k?1)jj?2a(k?1)ij

(i,j?1,2,...,n,i?j,k?1,2,...)k???pii?pjj?2pij(k)(k)(k)(k)故{aii?a(jjk)?2aij}收敛。再由{aii}收敛，因此limAk存}和{a(jjk)}都收敛知{aij在。

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0bst.html