张军《西方经济学学习精要与习题集》（第2章 消费者行为理论）

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张军《西方经济学》第二章 消费者行为理论

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一、选择题

1．对于同一个消费者来说，同样数量的商品总是提供同量效用，这种说法（ ）。 A．正确 B．错误

C．可能正确也可能错误 D．无法回答 【答案】B

【解析】对于同一个消费者来说，在一定时间内，在其他商品消费数量保持不变的条件下，连续增加对某种产品的消费，消费者从对连续增加的产品的消费中获得的满足程度即边际效用是递减的。这就是边际效用递减规律。

2．商品x和商品y的价格按同一比例上升，收入不变，则预算线（ ）。

A．向左下方平行移动 B．向右上方平行移动 C．不变动

D．向左下方或右上方平行移动 【答案】A

【解析】预算约束方程为pxx?pyy?m，可以推出y??pxm?x?，两种商品的价格按pypy同一比例上升，预算线斜率保持不变，截距变小，所以预算线应该向左下方平行移动。

3．如果消费者的偏好序如下：A组合比B组合好，C组合比A组合好，B组合和C组合一样好，这个消费者的偏好序（ ）。

A．违反了完备性公理 B．违反了反身性公理 C．违反了传递性公理 D．没有违反任何公理 【答案】C

【解析】偏好的传递性指对于商品空间X上任意三个向量x，y和z，如果x?y，且y?x，则必有x?z。本题中，A?B，C?A，根据偏好的传递性，应该有C?B。

4．当两种商品x和y的效用函数为U?x,y??xy时，下列效用函数中，（ ）描述了相同的偏好次序。

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A．u?x,y???x?5??y?5? B．u?x,y???x/5??y/5? C．u?x,y???x?5??y?5? D．u?x,y???x?5??y?5?

【答案】B 【解析】效用函数经过单调变换以后也是一个效用函数，且二者描述了相同的偏好次序。B项，新的效用函数u??x,y???x/5??y/5??11u?x,y?，且u???是原效用函数u???的严格单2525增函数。其他选项的效用函数则不具备这样的变换关系。

5．以下选项中，（ ）不是序数效用的特点。 A．主观感受 B．可以度量 C．能够比较

D．单调变换不变性 【答案】B 【解析】序数效用强调的是效用间的可比性，并不要求像基数效用那样给予每个商品组合一个固定的效用数值。因此，只要没有破坏组合间的序关系，任何一组数字都可以被视为该组合效用的代表。

6．有四个商品束，分别为a、b、c、d，如果有a?b，b?c，d?a，按照偏好的传递性假设，下列选项中，（ ）一定是不正确的。

A．a?a B．a?c C．c?d D．d?b 【答案】C

【解析】由于a偏好于c，d偏好于a，因此不应有c偏好于d。A项，为偏好的自反性；B项，根据a?b，b?c和偏好的传递性可得；D项，根据d?a，a?b和偏好的传递性可得。

7．在两商品的情况下，能够确保偏好无差异集是一条曲线的偏好性质是（ ）。 A．完备性 B．连续性 C．自反性

D．局部非饱和性 【答案】D 【解析】局部非饱和性意味着商品空间任意一点的任意一个去心邻域内一定可以找到至少一点优于该点。因此，如果无差异集不是一条曲线，而是平面内一个区域，那么这个区域的所有内点必包含于区域内的去心邻域，即区域内可以找到优于内点的点，则该区域就不可985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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能是一个等价类。

8．某一偏好的效用函数可能是不存在的，当该偏好不具备（ ）。 A．凸性 B．单调性 C．连续性

D．局部非饱和性 【答案】C

【解析】根据偏好表示定理，在商品空间X上满足完备性、自反性、传递性且连续的偏好关系必存在连续效用函数，故而连续的偏好是效用函数存在的重要基础。

9．当偏好关系是商品空间上的一个等价关系，且连续时，则效用函数（ ）。 A．存在

B．不一定存在 C．存在且唯一 D．存在但不唯一 【答案】D

【解析】根据偏好表示定理，在商品空间X上满足完备性、自反性、传递性且连续的偏好关系必存在连续效用函数。当效用函数存在时，任何一个单调变换仍然是同一偏好的效用函数。因此，效用函数存在但不唯一。

10．边际效用递减对应下列偏好的（ ）性质。 A．严格凸性 B．局部非饱和性 C．完备性 D．可微性 【答案】A

【解析】偏好的严格凸意味着无差异曲线凸向原点，而这表示边际替代率是递减的，由于边际替代率可以表示为边际效用之比。

11．边际效用递减规律意味着（ ）。 A．同样多的商品一定带来同样多的效用 B．同样多的商品一定带来不同的效用 C．数量多的商品一定带来较多的效用 D．数量较少的商品可能带来较多的效用 【答案】D

【解析】边际效用递减规律的内容是：在一定时间内，在其他商品的消费数量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量即边际效用是递减的。因此数量较少的商品可能带来较多的效用。

12．无差异曲线描述的是（ ）。 A．花费同样数额的两种物品的组合 B．在每一价格水平下一种物品的需求量 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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C．优于其他组合的两种物品的组合

D．给消费者带来相同效用的商品组合的集合 【答案】D 【解析】无差异曲线表示能给消费者带来相同效用水平或满足程度的两种商品不同数量的各种组合。

13．无差异曲线凸向原点是因为（ ）。 A．边际成本递增 B．机会成本递增 C．边际替代率递减 D．边际技术替代率递减 【答案】C 【解析】商品的边际替代率递减决定了无差异曲线的斜率的绝对值是递减的，进而决定了无差异曲线凸向原点。

14．无差异曲线上某一点切线的斜率的绝对值表示（ ）。 A．商品价格的比率 B．要素价格的比率 C．边际替代率 D．收入水平 【答案】C

【解析】在由两种商品组成的二维商品空间X?Y中，等式MRSxy??其中?dyMUx?恒成立。dxMUyPdy是无差异曲线斜率的绝对值。只有当消费者均衡时，MRSxy?x才成立。

Pydx

15．无差异曲线上任一点的斜率为-1/4，这意味着消费者愿意放弃（ ）单位的x而获得1单位的y。

A．5 B．1 C．1/4 D．4 【答案】D 【解析】MRSxy???y11意即消费者愿意放弃4单位的x而获得1单位的y。 ????，

?x?x4

16．无差异曲线上任一点商品x和y边际替代率等于它们的（ ）。

A．价格之比 B．数量之比 C．边际效用之比 D．边际成本之比 【答案】C

【解析】商品的边际替代率递减规律表明，在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品消费量的连续增加，消费者为得到一单位的这种商品所需放弃的另一种商品的消费量是递减的。由效用函数U?x,y?可得：

?U?UdyMUx?dx??dy?0，即MRSxy???。 ?x?ydxMUy985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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17．假定商品x和y的价格px、py已定，当MRSxy?px时，消费者为达到最大的满足py将（ ）。

A．增加x减少y B．减少x增加y C．同时增加x，y D．同时减少x，y

【答案】A 【解析】由MRSxy?pxMUxMUy?可得，这意味着每花费1元钱从x商品的消费中所

pypxpy获得的满足程度大于从y的消费中所获得的满足程度，因此消费者应该增加x减少y的消费。

18．在达到消费者均衡时，消费者（ ）。 A．从各种商品中得到相同的效用 B．在各种商品上的支出相同 C．从各种商品中获得的效用相同

D．花在每种商品上的每元钱都具有相同的边际效用 【答案】D

【解析】根据基数效用论，消费者均衡条件MU/??P，其中MU、P、?分别表示消费商品的边际效用、消费者消费该数量商品的保留价格以及货币的边际效用。

19．序数效用论者认为，不同消费者从相同商品中获得的效用大小（ ）。 A．取决于商品的使用价值 B．取决于商品的价格 C．不可比较 D．可以比较 【答案】C 【解析】效用是消费者在某种商品的消费中所感受到的满足程度，它和人的欲望联系在一起，是消费者的一种主观评价，不存在人与人之间的比较，只有个人对不同商品的比较。

20．基数效用和序数效用的主要差异在于两种商品的（ ）。 A．边际替代率是否递增 B．边际替代率是否递减 C．效用是否可加

D．边际替代率是否不变 【答案】C 【解析】基数效用论认为效用是可以衡量和加总的，序数效用论则认为效用不可以度量，而且度量也没有实际意义，效用只能排序。

21．垂直的无差异曲线意味着（ ）。

A．当消费者增加横轴上商品的消费时，他的满足不会增加 B．当消费者增加纵轴上商品的消费时，他的满足不会增加 C．当两种商品的消费量都增加时，消费者的满足程度会增加 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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D．以上说法都不正确 【答案】B 【解析】当消费者增加横轴上商品的消费时，无差异曲线向右移动，离原点的位置更远，可见此时消费者的满足程度是增加的。同时垂直的无差异曲线表明，消费者的效用与纵轴上商品的消费量无关，因此当消费者增加纵轴上商品的消费时，他的满足程度不会增加。

22．如果效用函数是拟线性的，那么（ ）。

A．补偿性收入变化可以用消费者剩余的变化量来衡量 B．收入效应不等于0

C．补偿性收入变化不等于等价性收入变化

D．补偿性收入变化等于等价性收入变化，但不等于消费者剩余的变化量 【答案】A

【解析】在效用函数是拟线性偏好的情况下，对同一个消费者来说，所有无差异曲线都是平行的，无论在哪一点测量，补偿性收入变化、等价性收入变化以及消费者剩余的变化量均是相等的。

23．假设消费者的效用函数为u?x,y??ln?x0.5?y?，同时消费者面临的商品空间由商品x和商品y构成。在二维的商品空间中，如果我们以y的数量为纵轴，以x的数量为横轴，那么消费者在此商品空间中的无差异曲线的斜率为（ ）。

A．?1/?2x0.5? B．??y?x0.5?/?2x? C．?1/?2x0.5?1? D．??y?x0.5?/?2yx0.5?

【答案】A

【解析】无差异曲线的斜率为两商品的边际效用比值的负数，即：

0.5x?0.5/?y?x0.5?MUx?0.5 k??????0.5xMUy1/?y?x0.5?

24．某消费者对商品1和商品2的效用函数为min?3x1,x2?，则在该消费者看来，两种商品属于（ ）。

A．不完全替代 B．完全互补品

C．替代比例为1：3 D．替代比例为3：1 【答案】B

【解析】该消费者的效用函数如图2-1所示。对于此效用函数，最佳的消费组合为985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

互补品。

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3x1?x2，即两种商品?x1,x2?必须按照固定的比例（1，3）同时被消费，所以应该属于完全

图2-1 消费者的效用函数

25．边际效用递减规律陈述的是（ ）。

A．随着消费某商品的数量增加，该商品的总效用递减 B．随着消费某商品的数量减少，该商品的总效用递减 C．随着收入的增加，边际效用递减

D．随着消费某商品的数量增加，该商品的边际效用递减 【答案】D

【解析】在一定时间内，在其他商品的消费量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一单位消费中得到的效用增量即边际效用是递减的。

26．如果一个商品的边际效用为0，则（ ）。 A．该商品没有效用，所以没人会消费它 B．它的总效用达到最大

C．消费者对该商品的购买是均衡购买量 D．它的总效用也等于0 【答案】B

【解析】从极值的必要条件可知总效用是最大的。A项，边际效用为零表示增加该单位商品的消费与上一单位商品的消费带来的效用是一样的，不是没有效用；C项，根据

MU??，P由于P、?为正，所以MU?0时不满足均衡条件；D项，边际效用是总效用的增加量，增量为零不代表总量也为零。

27．某种商品的边际效用是指（ ）。 A．对该商品最后一次的消费 B．等于商品的价格

C．消费该商品获得的效用与消费其他商品所获得的效用的比 D．消费最后一单位商品所获得的新增的效用 【答案】D

【解析】边际效用指消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量。

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28．假定商品x的价格为3/2，商品y的价格为1。一个消费者在某一消费组合达到均衡，如果他的两种商品消费量都严格为正，且商品y带给他的边际效用为30，那么商品x的边际效用是（ ）。

A．15 B．20 C．30 D．45 【答案】D

【解析】根据消费者效用最大化的均衡条件：代入该式，解得MUx?45。

29．如果消费者的收入和他所面临的所有商品的价格都增加了1倍，那么效用最大化的消费者将会（ ）。

A．将他现在消费的每种商品的数量增加1倍 B．依旧消费同样的商品组合

C．减少他所消费的各种商品的数量

D．增加一些商品的消费数量，同时减少另外一些商品的消费数量 【答案】B 【解析】消费者选择问题是在一个给定的消费可行集内寻找最大化个人效用的组合。当价格和收入都增加一倍时，消费者面临的可行集合并没有改变，因此他的消费组合也不会发生变化。

30．如果u?x?是定义在一个偏好上的效用函数，则下列函数中，（ ）不是该偏好的效用函数。

A．lnu?x? B．eu?x? C．

x D．u?x??8 u?x?MUxPx3?，将Px?、Py?1和MUy?30MUyPy2【答案】C

【解析】效用函数的任何单调变换依然是同一偏好的效用函数，四个选项中只有C不是原来效用函数的单调变换。

31．无差异曲线是一条具有负斜率的直线，则说明（ ）。 A．商品是完全替代的 B．边际效用不再递减 C．偏好是非凸的 D．偏好不具有单调性 【答案】A

【解析】在这样的无差异曲线上，边际替代率是一个常数。一定数量的一种商品始终与一定数量的另一种商品具有相同的效用。因此它们是可以完全替代的商品。

32．如果两个商品束（xi）和（yi）满足偏好关系?xi???yi?，则下列选项一定正确的是（ ）。

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A．?xi??yi

ii

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B．?xi??yi

iiC．?xi??yi

iiD．以上都有可能 【答案】D 【解析】商品束间的偏好关系除了受到数量的影响外，商品间的相对价格也会对偏好产生影响。因此，ABC三项所描述的数量关系在不同的比价结构下都有可能出现。

33．在两商品情况下，有两个商品束（x1，y1）和（x2，y2），如果有立，则一定有（ ）。 A．x1?x2且y1?y2 B．x1?x2且y1?y2 C．x1?y1?x2?y2

D．以上都不正确 【答案】D

【解析】边际效用的比值不能提供商品束绝对数量的信息，因此，ABC三种情况都有可能发生。

34．有三个商品束，分别为（x1，0），（x2，y1），（0，y2），在（ ）的情况下，消费者均衡点是（x1，0）。

A．两商品互补，且x商品价格高于y商品 B．两商品完全替代，且x商品价格高于y商品 C．两商品互补，且y商品价格高于x商品 D．两商品完全替代，且y商品价格高于x商品 【答案】D

【解析】因为商品间是完全替代的，当y商品的价格高于x商品时，消费者将会把所有的预算用于x商品的购买。一个隐含的条件是x商品和y商品都是经过标准化了的，从而它们的无差异曲线的斜率为-1。

35．如果一偏好的无差异曲线凹向原点，则可能是因为（ ）。 A．边际替代率递增 B．边际效用不变 C．某商品是吉芬商品 D．某商品是劣质品 【答案】A

【解析】边际替代率递增也就是无差异曲线的斜率的绝对值递增，因此，可以使无差异曲线凹向原点。

36．如果一个消费者的两条无差异曲线在某点相交，则该消费者的偏好一定不具备985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

MUx1MUx2?成MUy1MUy2

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（ ）的性质。

A．完备性 B．传递性 C．自反性 D．连续性 【答案】B

【解析】由传递性的定义可知。设A、B分别为无差异曲线U1上的两消费组合，B、C为无差异曲线U2上的两消费组合（交点为B）。在U1上有A?B，在U2上有B?C，从而根据传递性有A?C，但A、C分处于不同的无差异曲线上，从而代表不同的效用水平。

37．?x1,y1?，?x2,y2?和?x3,y3?是位于同一条无差异曲线上的任意三点。另有t满足0?t?1，那么在（ ）的情况下，一定存在一价格向量使得消费者均衡点有无数个。

A．t?x1,y1???1?t??x2,y2???x1,y1? B．t?x1,y1???1?t??x2,y2???x2,y2? C．t?x1,y1???1?t??x2,y2???x3,y3? D．t?x1,y1???1?t??x2,y2???x1,y1?

【答案】C

【解析】C项，说明无差异曲线是一条直线，当价格比等于这条直线的斜率时，无差异曲线上的任意一点都可以作为消费者均衡点。

38．下列函数中，（ ）是可能来自一个风险偏好者的效用函数。

A．x B．lnx C．x2 D．ax 【答案】Ｃ

d2U【解析】风险偏好者的预期效用函数是一个凸函数，即2?0，只有C项符合这一特

dx点。

39．如果一个人的效用函数具有lnx的形式，那么他的相对风险规避度量是（ ）。 A．1 B．2 C．x D．1/x 【答案】A

xu???x??1/x2??x???【解析】根据相对风险规避度量公式，r?x???u??x??1/x???1。 ?

40．某消费者有效用函数u?ln?x1/2?y?，如果以商品y的数量为纵轴，以商品x的数量985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

A．?y?x2x?2yx

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为横轴，则该消费者的无差异曲线应该具备的斜率是（ ）。

B．?y?xxy?x C．? D．? 2x2x?x2yx【答案】A

【解析】利用隐函数求导法则计算，可得消费者的无差异曲线的斜率为：

11?1?2?2x/?x?y?y?x2dydu/dxy?x????1?? ??????1dxdu/dy??2x2x?2yx2x?y?x1/?x2?y???????

41．如果两商品是互补商品，那么消费者的无差异曲线的斜率可以是（ ）。 A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】两商品为互补品时，无差异曲线的水平部分具有零斜率。无穷大和零之外的斜率不存在。

42．下列说法正确的是（ ）。

A．消费者均衡点一定要在预算集的边界上

B．消费者均衡点可以在预算集的边界上，也可以在预算集的内部，视无差异曲线的具体形状而定

C．消费者均衡点应该位于预算集的内部，因为保留一部分货币也可以带来效用 D．只有在商品完全替代时，消费者均衡点才可能位于角点上 【答案】A

【解析】当偏好满足局部非饱和性的假设时，消费者均衡点一定位于预算线上。

43．消费者均衡的一阶条件

px?MRSxy是消费者取得均衡的（ ）。 pyA．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件

D．既非充分也非必要条件 【答案】Ｄ

【解析】当消费者在角点获得均衡时，题中所给一阶条件不被满足。只有在消费者对每种商品都有严格正的消费量时，这个一阶条件才可以作为必要条件来使用。

44．对某位消费者有以下两组观测数据?pt,xt?和?ps,xs?，当这些数据满足下列（ ）条件时，我们说?pt,xt?显示性偏好于?ps,xs?。

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A．ptxt?ptxs且u?xt??u?xs? B．ptxt?ptxs且u?xt??u?xs? C．psxs?psxt且u?xs??u?xt? D．psxs?psxt且u?xs??u?xt? 【答案】A

【解析】根据显示偏好的定义可知，ptxt?ptxs表示在价格pt下消费者既买得起xt，也买得起xs，但根据u?xt??u?xs?表明消费者更偏好xt。

二、问答题

1．用西方经济学原理说明为什么“水的效用很大，但价格却很低，钻石的效用很小，但价格却很高”。

答：（1）“水和钻石的价值悖论”意为水对人们很有用，必不可少，但水却很便宜；金刚钻对人们的用途很有限，但却很昂贵。钻石对人的用处确实没有水大，所以人们从水的消费中所获得的总效用远远大于从消费钻石的过程中所获得总效用。这一悖论可以从需求和供给两方面来共同说明，因为价格是由需求和供给共同决定的。

（2）在西方经济学者看来，商品的需求价格并不是由消费商品的总效用所决定的，而是由边际效用所决定的，即p?MU/?。由于水的数量巨大而导致其边际效用很低，这样一来，尽管人们从水的消费中获得了很大的总效用，但却只愿意支付很低的价格。相反，钻石用处远远不如水的用处大，但是钻石的数量稀少，导致其边际效用非常高，尽管消费钻石获得的总效用非常低，人们却非常愿意支付高价格来消费钻石。

（3）从供给一方看，由于水源充足，生产人类用水的成本很低，因而其价格也低。钻石则很稀缺，生产钻石的成本也很大，因而钻石很昂贵。

以上分析就是西方基数效用论者对“水与钻石之谜”的经典解释。

2．略述消费者平衡消费的理论基础。 答：（1）消费者平衡消费的理论基础是边际效用递减规律。消费的边际效用递减规律表明，应该将富裕时期的消费转用于匮乏时期，这样将会获得更大的效用。并且这种由于消费转移而增加的效用，只要这两个时期内消费方面有任何差别，就会始终存在。因而消费者有将其所有收入平均消费于各个时期的倾向，即消费者愿意平稳消费。

（2）在各种可供选择的商品或劳务中，消费者总是选择和购买那些能够使他们得到最大限度满足的商品。但是，人们的货币总是有限的。而且，消费者不能一直挣钱，他总有退休、生病或其他无法挣钱的时候。那么，为了达到一生的平衡消费，在消费者能挣钱的时候还是该存一部分，以应付不时之需。

3．如果某人意外地接受了一笔财产，他的收入—闲暇预算约束线如何变化？工作时间上升了还是下降了？

答：假设以纵轴表示收入（y），横轴表示闲暇时间（R），那么其收入—闲暇约束线如985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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图2-2所示。若某人意外接受一笔财产，则其预算约束向外平行移动，因而与效用更高的无差异曲线相切。切点的位置和切点上的斜率有关。切点不同，则可能导致其或者增加工作时间或者减少工作时间，这从根本上说取决于其工资多少及无差异曲线的形状。

图2-2 消费者的收入—闲暇约束线

如图2-2所示，最初的无差异曲线与约束线切于A点，此时他选择的闲暇量为R0。当意外接受一笔财产而使得约束线向外移动以后，代表更高效用水平的无差异曲线则可能是u1（此时闲暇量为R1，即闲暇时间增加，而劳动时间减少了），也可能是u2（此时闲暇量为R2，即闲暇时间减少，而劳动时间增加了）。究竟新的均衡点是B点还是C点，取决于约束线的斜率和无差异曲线的形状。

4．如果你有一辆需要四个轮子才能开动的车子有了三个轮子，那么当你有第四个轮子时，这第四个轮子的边际效用似乎超过第三个轮子的边际效用，这是不是违反了边际效用递减规律呢？

答：不违背边际效用递减规律。

因为边际效用指物品的消费量每增加（或减少）一个单位所增加（或减少）的总效用的量。这里的“单位”指一完整的商品单位，这种完整的商品单位，是边际效用递减规律有效性的前提。比如，这个定律适用于一双鞋子，但不适用于单只鞋子。对于四轮车而言，必须是有四个轮子的车才成为一单位。三个轮子不能构成一辆四轮车，因而每个轮子都不是一个有效用的物品，增加一个轮子才能使车子有用。因此，不能说第四个轮子的边际效用超过第三个轮子。

5．一个风险回避者有机会在以下两者之间选择，在一次赌博中，他有25%的概率得到1000美元，有75%的概率得到100美元，或者，他不赌可以得到325美元，他会怎样选择？如果他得到的是320美元，他会怎样选择？

答：该消费者现在在无风险条件下（即不赌博条件下）可以持有的确定的货币财富是325美元，而在风险条件下即进行赌博的财富的期望值也是325美元（0.25?1000?0.75?100），由于他是风险回避者，他认为持有一笔确定的货币财富的效用大于在风险条件下赌博的期望效用，因而他会选择不赌博。

如果他得到的是320美元，他是否会选择赌博，取决于他的效用函数的形式。如果他是风险回避者，他可能会也可能不会选择赌博；如果他是风险爱好者，他会选择赌博。如果他是风险中立者，他也会选择赌博，因为风险中立者关心的是货币期望值极大，而不管风险多大，显然，在325?320的情况下，他会选择赌博。

6．指出下列期望效用函数所代表的风险偏好类型（风险规避、风险中性还是风险偏爱）：（1）u?100?3c；（2）u?lnc；（3）u?c2；（4）u?ac?bc2（a,b?0）。这里c代表消费。 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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答：由于消费者对风险的偏好完全可以由期望效用函数推得，通过直接考察效用函数的

u/?c2?0，则为风二阶导数便可以确定。如果效用函数关于消费量的二阶导数大于0，即?2u/?c2?0，则代表风险中立者的效用函数；小于0，即险爱好者的效用函数；等于０，即?2?2u/?c2?0，则代表风险规避者的效用函数。

u/?c2?0，u代表风险中性偏好； （1）?u/?c?3，?2u/?c2??1/c2?0，u代表风险规避偏好； （2）?u/?c?1/c，?2u/?c2?2?0，u代表风险偏爱偏好； （3）?u/?c?2c，?2u/?c2??2b?0，u代表风险规避偏好。 （4）?u/?c?a?2bc，?2

7．试比较基数效用论与序数效用论两派观点的异同。

答：效用是商品和劳务给消费者带来的满足程度，对于效用是否可加的争论产生了两种既相互区别又紧密联系的理论：基数效用论和序数效用论。对这两种理论的比较如下：

（1）基数效用论和序数效用论的联系 ①都是从市场的需求一方着手，通过推导需求曲线，说明需求曲线上的任一点都表示消费者获得了效用最大化。

②二者都建立在一些相同的假设基础之上，如假设消费者都有一定的收入，其行为都是理性的，都把消费者的行为看作是在既定的收入限制条件下追求最大化效用的过程。

③基数效用论建立在边际效用递减的假设之上，序数效用论也得出了边际替代率递减的结论。它们都以边际效用理论为基础，认为商品的价值或价格是由商品带给消费者的边际效用的大小来决定的。

④它们推导的曲线具有相同的趋势，都符合需求规律，即都得到了一条向右下方倾向的需求曲线。

⑤效用函数的形式基本相同，消费两种商品时的效用函数都可以写作U?U?q1,q2?。并且二者得到的消费者效用最大化的均衡条件有联系，经过适当的数学变换可以得到一样的形式，基数分析与序数分析具有一致性。

（2）基数效用论与序数效用论的区别 ①假设不同。基数效用论假设消费者消费商品所获得的效用是可以度量的，可以用基数（1，2，3，?）表示。每个消费者都可以准确地说出自己所获得的效用值，这样任意两个消费者的消费函数可以比较和加总。边际效用具有递减规律；序数效用论则认为消费所获得的效用只可以进行排序，只可以用序数（第一，第二，第三?）来表示，效用的大小及特征表现在无差异曲线中。

②效用函数形式虽然相同，但含义不同。基数效用论的效用函数指的是可以以基数计量的效用；序数效用论的效用函数则指的是效用指数。

③使用的分析方法不同。基数效用论使用MU即在预算约束下求效用值的最大化作为工具。而序数效用论则使用无差异曲线、预算线作为分析工具。

④均衡条件的表达不同。基数效用论使用表达式为MU／iPi??，即每一单位货币所购买到的任何商品的边际效用相等。序数效用论则表达为MRSxy?MUx／MUy?Px／Py，即两种商品的边际替代率等于两种商品的价格之比。

8．两种商品的边际替代率（MRSxy）的含义是什么？为什么它是递减的？

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答：（1）边际替代率是指在维持效用水平不变的条件下，消费者每增加一个单位某种商品的消费数量所必须放弃的另一种商品的消费数量。商品x对商品y的边际替代率为：

MRSxy???y/?x

在保持效用水平不变的条件下，消费者增加一个单位某种商品的消费所带来的效用增加量和相应的另一种商品消费数量减少所带来的效用量必定是相等的，即：?x·MUx??y·MUy，亦即MRSxy???y/?x?MUx/MUy，可见两种商品的边际替代率等于

两种商品的边际效用之比。

（3）边际替代率递减的原因在于，随着商品x消费数量的增加，其所带来的边际效用是递减的，同时，随着y的消费数量的减少，其所带来的边际效用是递增的。因此，随着x消费数量的增加，其所能够替代的y的比例也会越来越少。所以说商品的边际替代率递减是由于消费商品的边际效用递减所造成的。

9．证明无差异曲线互不相交。

证明：用反证法。假设消费者具有满足一般公理（完备性、反身性和传递性）的偏好，且其无差异曲线A和无差异曲线B相交于一点C。其中A和B代表不同效用水平下的无差异商品束集合。

不妨设A代表的效用高于B代表的效用，则对于A上一点D和B上一点E必有D偏好于E；又因为D与C同在A无差异曲线上，可知D无差异于C，依照传递性假设，必有C偏好于E，但C与E又同在无差异曲线B上，必有C无差异于E。引出矛盾，因此，满足一般公理的偏好不会有相交的无差异曲线。

10．如果有一个定义在两商品空间C上的偏好关系满足下列条件：x,y?C，x??x1,x2?，y??y1,y2?，若x1?y1，则x?y，若x1?y1，且x2?y2，则x?y。若x1?y1，x2?y2，则

x?y。这种偏好关系被称为字典排序式的。这种偏好满足完备性、自反性、传递性和连续

性吗？请证明你的判断。

答：字典式偏好显然满足完备性、自反性和传递性，不满足连续性。 现在证明其不满足连续性。

设X中有收敛序列xn?x0，n??，其中x1n递减地趋于x10，另y0??x10,x20?1?则有

xn?y0，?n，也即序列xn,y0??。?n，且xn,y0?x0,y0，当n??时。但y0?x0，

??????，因此?不是X?x,y???，

002中的闭集，从而偏好是不连续的。

11．对于常替代弹性效用函数：u?x1,x2????1x1??2x2?12??1?，证明：

（1）当??0时，该效用函数趋近于u?x1,x2??x１?x2?。 （2）当????时，该效用函数趋近于u?x1,x2??min?x1,x2?。

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?证明：（1）当??0时，此时对效用函数u?x1,x2????1x1??2x2?1?两边变换求极限有：

??ln??1x1???2x2???limu?x1,x2??limexp?lnu?x1,x2???limexp???0??0??0?????

??xlnx1??2x2lnx2?exp?lim11??1x1???2x2???0???????exp??1lnx1??2lnx2??x11x22??1??2?1????（2）当????时，对效用函数u?x1,x2????1x1??2x2?????1?两边变换求极限有：

limu?x1,x2??limexp?lnu?x1,x2?????????ln??1x1???2x2????1x1?lnx1??2x2lnx2??exp?lim?limexp???????????1x1??2x2????????

??最后一个等号用到洛必达法则，下面分情况讨论： ①当x1?x2时：

???x1???1??lnx1??2lnx2x?limu?x1,x2??exp?lim?2????????????x??1?1???2??x2???????exp?lnx2??x2 ?????x?x上式中倒数第二个等号成立是因为当1?1时，lim?1???。

????xx2?2?②当x1?x2时：

????x2???2??lnx1??1lnx1????x1?limu?x1,x2??exp?lim??exp?lnx1??x1 ???????????x2???????21???x1???当x1?x2时，有u?x??x1?x2?min?x1,x2?。 综上可知：

????limu?x1,x2??min?x1,x2?

三、计算题

1．效用函数为u?x1,x2??min?x2?2x1,x1?2x2?。

（1）当p1/p2为何值的时候，唯一的最优解是x1?0？ （2）当p1/p2为何值的时候，唯一的最优解是x2?0？ 解：令横轴代表x1的消费数量，纵轴代表x2的消费数量。 当x2?2x1?x1?2x2，即x1?x2时，u?x1,x2??x2?2x1；

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同理，当x2?2x1?x1?2x2，即x1?x2时，u?x1,x2??x1?2x2。

令u?x1,x2??x2?2x1?a，可得：x2?a?2x1，x1?x2，此时无差异曲线斜率为-2； ax11?，x1?x2，此时无差异曲线斜率为?。 222根据已知条件，预算线的斜率为?p1/p2。

令u?x1,x2??x1?2x2?a，可得：x2?（1）如果预算线陡于2，则x1?0。所以条件为p1/p2?2。

（2）同理，如果预算线比1/2更平坦，x2将等于0。所以条件是p1/p2?1/2。

2．某消费者的效用函数为u?xy，x和y是他所消费的两种商品，其价格分别为Px?1 和Py?2，他的收入为100，试问他对x和y的需求量各为多少？

解：由题意得消费者效用最大化问题可以表述为：

maxU?xyx,y s.. tx?2y?100

构造拉格朗日函数：

L?xy???10?x?2y?

效用最大化的一阶条件为：

?L1?11?x2y2???0 ?x2?L11?1?x2y2?2??0 ?y2?L?10?x?2y ?y有上述三式解得：x?50，y?25。

此即为消费者效用最大化时对两种商品的均衡消费量。

3．消费者的效用函数为U?x4y3，则他在y商品上的支出占总支出的比例是多少？对y的需求与x的价格有什么关系？

解：消费者效用最大化时必然是总支出等于总收入m。消费者效用最大化的问题可以表述为：

max U?x4y3x,y

s.. tpxx?pyy?mpxMUxpx4x3y34y3??42?消费均衡的条件为，即，亦即pyy?pxx。 pyMUypy3xy3x4985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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pyym?3。 7将该等式关系代入预算约束方程pxx?pyy?m中可以得到：3所以，此消费者在y商品上的支出占总支出的比例是。

7对该式变形可以得到对y的需求函数：y??3m。 7py可见对y的需求只与该商品本身的价格以及消费者的收入水平有关，而与x的价格无关。

4．一退休老人有一份固定收入，他现在需在北京、上海与广州三地之间选择一城市去居住。假设他只按消费的效用来选择，不考虑地理、气候与文化因素。他的效用函数是

aabbu?x1x2，其中x1,x2?Rt2。已知北京的物价是P，上海的物价是P1,P21,P2。广州的物价ababPPababc１?P１２?P２是P?，P2?，已知P1P2?P1P2。问：他会选择哪个城市去居住？

22解：设该退休老人的收入为m，则他的效用最大化问题可以表述为：

c1????max x1x2x1,x2

s.t．Px11?P2x2?m由均衡条件

PMU11?可得P1x1?P2x2。 P2MU2mm，x2?。 2P12P2代入预算约束条件可得该老人对两种商品的需求函数为x1?代入效用函数可以得到老人的总效用为：u?m2。 4PP12再将各个城市的物价水平代入老人的总效用函数可得： 在北京的效用为：ua?在上海的效用为：ub?在广州的效用为：uc?m2； aa4PP12m2； bb4PP12m2。 cc4PP12ab?P??P2a?P2b?ababaabb1?P1由于PP??????P1?P1?P2?P2?P1P2?P1P2，从而ua?ub?uc，22????cc12abab因此他可能会选择去北京或上海，但不会选择去广州，除非P1?P1，P2?P2。

1。他可参与一次赌博，可以概率p得到财w富w1，以概率1?p得到财富w2。他现在需要多少财富使其保持现有财富水平与接受赌博恰

5．一个消费者具有预期效用函数u?w???好是无差异的？

解：保持现有财富与接受赌博无差异时，有：

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?1??1p??????1?p?????w1??w2?1???

w?解得：w?w1w2。

pw2??1?p?w1w1w2才能是其保持不变现有财富水平与接收赌博

pw2??1?p?w1所以，他现在需要财富w?恰好是无差异的。

6．消费者A的效用函数为uA?x1,x2??x1?x2，消费者B的效用函数为 。 uB?x1,x2??max?x1,x2?。A和B有相同的初始禀赋（1/2，1/2）

（1）均衡时，p1和p2之间的关系如何？ （2）均衡时的分配情况如何？

?uA?uB?u?u?u?u解：（1）由于A?A，B?B，所以，p2??x2??x2?1，p1?p2。

?x1?x2?x1?x2p1?uA?uB?x1?x1（2）均衡分配是：一个人获得一种产品的所有数量，另一个人获得另一种产品的所有数量。因此有两个均衡点（0，1）和（1，0）、（1，0）和（0，1）。如果x1?x2，A和B的均衡配置分别是（0，1）和（1，0）；如果x1?x2，A和B的均衡结果配置是（1，0）和（0，1）。

7．某人的效用函数形式为u?lnw。他有1000元钱，如果存银行，一年后他可获存款的1.1倍，若他买彩票，经过同样时间后他面临两种可能：有50%的机会他获得买彩票款的0.9倍，50%的可能获得彩票款的1.4倍。请问：他该将多少钱存银行？多少钱买彩票？

解：假设此人将其所拥有的1000元中的x用于购买彩票，这时有两种可能： 获得0.9x元，其概率为0.5；获得1.4x元，其概率为0.5。

他将剩余的（1000?x）元存入银行。对于这（1000?x）元的银行存款而言，在一年后连本带息将有1.1??1000?x?元。

综上所述，此人的期望效用为：

EU?0.5?ln??1.1??1000?x??0.9x???0.5?ln??1.1??1000?x??1.4x???0.5?ln?1100?0.2x??0.5?ln?1100?0.3x?

期望效用最大化的一阶条件为：

EU??0.5??0.20.3?0.5??0

1100?0.2x1100?0.3x解得x?916.7。

所以，此人为了使其预期效用最大化，他将花费916.7元用于购买彩票，将剩余的83.3元用于银行存款。

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8．假使某消费者具有效用函数u?x,y??ln?2x?y?，当消费者拥有100元人民币，且x的价格为每个5元，y价格为每个7元时，为了最大化个人效用：

（1）消费者会选择购买多少数量的x和y？ （2）此时x对y的边际替代率是多少？ （3）如果让他减少1单位x的消费，必须给他多少数量的y才能使他的效用不会降低？

（4）既然两个组合带给他的效用是一样的，消费者为什么没有选择第二个消费组合？ 解：（1）由效用函数的形式可知商品x和y是完全替代品，且无差异曲线的斜率为

MUxPMUxP5MUxMUydy5????2。消费者预算线的斜率为?x??。?2?x???，因dxMUyPy7MUyPy7PxPy此，消费者将会把所有预算用于x的购买，对y的购买量为0。这可以从图2-3中直观看出：消费者均衡点为A点，购买的商品组合为（20，0）。

图2-3 消费者均衡

（2）由于无差异曲线是一条直线，斜率为常数，因此，x对y的边际替代率也是一个常数，其值等于无差异曲线斜率的绝对值2。

（3）由MRSxy?2可知，减少一单位的x的消费，为了保持消费者效用不变，需要给他2单位的y，也就是从A点沿无差异曲线向上移动到B点。

（4）虽然A点和B点带给消费者的效用是一样的，但显然B点位于消费者预算集之外，因此，消费者不可能在B点取得均衡。

9．消费者具有效用函数u?x,y??10?x2?y2?2xy??20时，要求：

（1）画出消费者的无差异曲线。

（2）如果x商品的价格高于y商品的价格，那么用于购买x商品的货币占这两种商品总支出的比例是多少？

解：（1）题中所给的效用函数其实是u?x,y??x?y的一个单调变换（因为x和y都是大于或等于0的），因此，这两个效用函数具有相同形状的无差异曲线图。单调变换后的效用函数无差异曲线的斜率为-1，因此，原效用函数的无差异曲线如图2-4；原有效用函数的无差异曲线的斜率用隐函数求导法则也可以方便地得出：

MUxdy20x?20y??????1。 dxMUy20y?20x985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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图2-4 消费者的无差异曲线

（2）当x价格高于y时，此，其支出比例也为0。

10．某消费者具有效用函数u?x,y??x?lny，请推导出他的无差异曲线。如果他现在拥有m元人民币，商品x的价格为p元，商品y的价格等于1，则他最多能够获得多少效用？

解：（1）把效用值u?x,y?固定为k，即可得出无差异曲线的隐函数形式：

k?x?lny

MUxPMUxMUy?1?x??，消费者对x的购买量为0，因MUyPyPxPy解此隐函数可得y?ce?x，此即是该效用函数对应的无差异曲线。 （2）消费者的效用最大化问题为：

maxu?x,y??x?lnys.t. px?y?m

建立拉格朗日函数：

L?x,y,???x?lny???m?px?y?

效用最大化的一阶条件为：

?L?1??p?0 ① ?x?L1????0 ② ?yy?L?m?px?y?0 ③ ??联立三个方程，解得：x?m?p，y?p。 pm?p?lnp。 p因此，消费者可获得的最大效用为umax?x?lny?

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11．如果消费者具有效用函数u?x,y??max?x,y?，请描述消费者均衡的情况，消费者能够同时消费两种商品吗？

1?x?y?x?y?。 2当x大于y时，效用等于x的消费量；当x小于y时，效用等于y的消费量。因此，由

解：消费者的效用函数等价于：u?x,y??图2-5可知，当两商品相对价格不等于1时，消费者会将所有收入购买价格相对便宜的那种商品。当两商品相对价格等于1时，消费者会选择任意一种商品来用完预算。这种效用函数具有数量至上的特点，完全替代性也可能导致只消费一种商品，但两者有很大不同。

图2-5 完全替代商品无差异曲线

12．某人效用函数为：u?x,y??min?2x,3y?，要求：

（1）画出他的无差异曲线。

（2）他的偏好符合偏好的一般假设吗？ 解：（1）这种效用函数意味着两种商品间具有互补性，因此无差异曲线如图2-6所示。

图2-6 完全互补品的无差异曲线

（2）对任意两个商品束（x1，y1）和（x2，y2），或者有u?x1,y1??u?x2,y2?，或者有u?x1,y1??u?x2,y2?，或者有u?x1,y1??u?x2,y2?，三者必有其一，因此偏好满足完备性。

因为有u?x1,y1??u?x1,y1?和u?x2,y2??u?x2,y2?，可知偏好满足自反性。

如果有u?x1,y1??u?x2,y2?和u?x2,y2??u?x3,y3?，必有u?x1,y1??u?x3,y3?，所以偏好也满足传递性。故此人的偏好符合偏好的一般假设。

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13．消费者具有效用函数u?x,y??xayb，a?0，b?0，要求：

（1）为了最大化个人效用，消费者会把收入的多少用于x的消费和y的消费？ （2）什么时候消费者是风险规避的？ 解：（1）构造拉格朗日函数：

L?x,y,???xayb???pxx?pyy?m?

拉格朗日函数极值的必要条件为：

?L?axa?1yb??px?0 ① ?x?L?bxayb?1??py?0 ② ?y?L?m?pxx?pyy?0 ③ ??联立方程①、②可得：

pxxa? ④ pyyb将④式代入③式，有：pxx?因此消费者会把收入的

abm，pyy?m。 a?ba?bab用于x的消费，用于y的消费。 a?ba?b?2u???x?y??a?a?1?xa?2yb??2?abxa?1yb?1??u??2??x???2u?2?x（2）利用海塞矩阵判别。当H??2??u???x?y?abxa?1yb?1??半负定，

b?b?1?xayb?2??即??1?rrHr??0时，效用函数u?x,y?为凹函数。

112即：??1?a?a?1?xa?2yb?0，??1?b?b?1?xayb?2?0，??1?H?ab?1?a?b?x2a?2y2b?2?0 由a?0，b?0得三个不等式的解分别为：a?1，b?1，a?b?1。

故当a?b?1，a?0，b?0时，效用函数u?x,y?为凹函数，因此消费者是风险规避的。

14．某人对于商品x和y有如下偏好：在组合一（x1，y1）和组合二（x2，y2）中，如果x1、y1中的最大值大于x2、y2中的最大值，则此人偏好组合一（x1，y1），反之偏好组合二。如果两个组合的最大值相同，则某人在这两个组合间无差异。要求：

（1）写出代表此人偏好的效用函数。 （2）某人是否具有凸的偏好？ 解：（1）代表该偏好的一个效用函数是：

u?x,y??max?x,y?

它的任何一个单调变换也是该偏好的效用函数。

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（2）该偏好不能满足凸性的要求，例如：?3,1???3,3?，?1,3???3,3? 但对于（3，1）和（1，3）的任何凸组合，当??0,1时，都有：

?3???1???,??3?1??????3,3?

15．有三个消费者A、B、C，他们的效用函数分别为： A：uA?x,y??xy； B：uB?x,y??lnxy；

C：uc?x,y???xy?。

2（1）如果消费者A对两个商品组合（x1，y1）和（x2，y2）是无差异的，你认为消费者B对这两个商品组合的偏好是怎样的呢？消费者C又如何呢？给出你的理由。

（2）分别计算消费者A、B、C在商品组合（5，8）上的边际替代率，它们间有什么联系吗？这说明了什么问题？

解：（1）消费者B的效用函数可以表示为uB?lnuA，消费者C的效用函数可以表示为uC?uA2。 可见，他们对商品空间所有商品束的偏好排序是相同的，区别只在于他们赋予商品束的效用值有所不同。因此，如果A在商品组合（x1，y1）和（x2，y2）之间无差异的话，B和C在这两个组合间也是无差异的。

dyy??。 dxx（2）消费者无差异曲线的斜率均为：

将（5，8）代入式，结果均为-8/5，因此，A、B、C三者在（5，8）上的边际替代

率均为8/5。边际替代率相同说明三人的偏好序是完全相同的。

16．某人有柯布—道格拉斯效用函数：u?x,y??x1/3y2/3，要求： （1）分别求出他对商品x和y的边际效用函数。 （2）当x/y逐渐增大时，他的MRSxy是如何变化的？

解：（1）求消费者对x商品的边际效用就是固定效用函数中y的值，对x求导数。此时y被视为常量。因此，消费者对x的边际效用函数为：

221?3MU?x???xy3

?x3同理可以求出消费者对商品y的边际效用函数为：

?u?x,y?MU?y???u?x,y??y1?213?xy3 3（2）边际替代率为：MRSXY?减。

MU?x?MU?y??y，因此，当x/y逐渐增大时，边际替代率递2x985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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17．假定某人效用函数为：u?x??x1/2。他面临这样一种不确定性，未来收入有1/3的可能是25元，有2/3的可能是81元。要求计算：

（1）多少元的稳定收入会使他觉得境况与不确定情况下一样好？ （2）这一不确定性的风险溢价是多少？

（3）如果有一保险合同使他无论何种情况发生都能够得到81元的收入，他最多愿意花多少钱来购买这份合同？

1223解：（1）消费者的预期效用为：u?25??u?81??。

333为了获得这样的效用，消费者需要无风险收入x?1223529（元）。 ?x?39（2）风险溢价等于不确定情况下收入的期望值减去能够使其获得不确定情况下预期效1252932用的稳定收入值，因此，风险溢价为：?25??81?（元）。 ?3399（3）设他最多愿意花R元购买保险合同，则购买保险后的确定性收入81?R带来的效用不应低于无风险收入

x1?a18．如果预期效用函数为u?x??（a?0，a?1），它的阿罗普拉特相对风险规避度

1?a529529200带来的效用，故他最多愿意花81?（元）。 ?999量是多少？该效用函数的阿罗普拉特相对风险度量有什么特点？

x1?a解：（1）由预期效用函数u?x??，可得：

1?au??x???1?a?x?a1?a?x?a

u???x????a?x?a?1

从而阿罗普拉特相对风险规避度量为：

x???axxu??r????u?x?a?a?1??a

（2）该效用函数的阿罗普特相对风险度量为一常数，这种形式的效用函数被称为不变

相对风险规避效用函数。

19．有人在x商品价格为1元，y商品的价格也为1元时购买了6单位的x和4单位的y。在x商品价格为0.5元，y商品价格为1.5元时购买了2单位的x和6单位的y。请问他的购买行为符合显示偏好理论吗？

答：显示性偏好理论要求如果甲商品组合显示偏好于乙商品组合的话，就不能有乙商品组合显示偏好于甲商品组合。

通过检验，当两种商品价格均为1元时，有：1?6?1?4?1?2?1?6，这说明（6，4）组合显示偏好于（2，6）组合。

当价格分别为0.5元和1.5元时，有：0.5?2?1.5?6?0.5?6?1.5?4，这说明（2，6）985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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组合显示偏好于（6，4）组合。

因此，消费者的购买行为不符合显示偏好理论。

20．抛一枚硬币，正面向上的概率为p，你参与一次打赌，如果抛第i枚时正面向上，你将得到2i美元。

／2时，此次打赌的预期值为多少？ （1）当p?1（2）假设你的预期效用函数为u?x??lnx，描述这次博弈的效用之和。 （3）求效用和的值。

解：（1）在第i次抛掷时才第一次出现正面的概率为?1?p?因此，当p?1/2时，赌注的期望值为：

i?1p。

??1?p?i?1?i?1?1?p?2???1??2?i?1?i?i?1??1i?1?i?2?????2??1?? 2i?1?2?i?1i（2）期望效用为：

??1?p?i?1?i?1?i?1p?ln?2i????1?p?i?1i?1?i?1p?iln2?pln2?i?1?p?i?1?i?1

（3）先求无穷级数?i?1?p?。 令A??i?1?p?i?1??i?1?1?2?1?p??3?1?p??????i?1?p?i22i?1??i?1??1?p????? ①

i?1ii则?1?p?A??i?1?p??1?p?2?1?p???????i?1??1?p??i?1?p????? ②

i?1①－②可得：

pA?1??1?p???1?p???????1?p?2i?1??1?p??????i11?

1??1?p?p从而A??i?1?p?i?1?i?1??11ln2i?1pln2i1?p?pln2??，所以。 ???2pp2pi?1

21．设张三仅消费x和y两种商品，他的效用函数为U?L0.57x0.06y0.09，其中L是张三每周的闲暇小时数。试求他最大化其效用函数时：

（1）他将选择每周工作多少小时？

（2）他将把收入的多大比例用于购买x？ （3）他消费x的需求价格弹性。

（4）如果他的收入下降30%，y的价格下降50%，他将过得更好还是更坏？

解：（1）闲暇的价格可以被认为是工资率w，则每周的总收入为?24?7?L?w?168w?Lw。假设商品x和y的价格分别为Px和Py。

因此，张三的效用最大化问题为：

570．maxU?L0．x06y0.09s..t Px?x?Py?y??168?L?w

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拉格朗日函数为： 一阶条件为：

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570．??L0．x06y0.09???Px?x?Py?y?w?L?168w?

???0.57L?0.43x0.06y0.09??w?0 ① ?L???0.06L0.57x?0.94y0.09??Px?0 ② ?x???0.09L0.57x0.06y?0.91??Py?0 ③ ?y???168w?Px?x?Py?y?w?L?0 ④ ??由①②可得：由①③可得：

57xw2???Pxx?wL ⑤ 6LPx1957yw3???Pyy?wL ⑥ 9LPy192wL266w14w24??，wL?0，解得L?133。从而x?19Px19PxPx19将⑤⑥代入④中，化简得168w?y?3wL399w21w??。 19Py19PyPy因此，该工人每周工作的时间为：168?L?168?133?35（小时）。 （2）该工人每周的总收入为：

?168?L?w?35w

所以，该消费者用于x的商品的支出比例为：

Px?x14w??0.4。 35w35w（3）由x??14w?Px14w?xPx?????2???1。可得，消费x的需求价格弹性为：E??

Px?Pxx14w/PPxx??（4）原先消费者的效用为：

?14w?U?1330.57???Px?0.06?21w???P???y?0.09??1330.57?140.06?210.09?w0.15Px?0.06Py?0.09

由（1）可知，收入增加、商品y的价格变化不会改变张三的工作与休闲的时间。收入下降30%主要表现为工资率减少30%。

因此，当收入下降30%，y的价格下降50%时，张三的效用为：

U??1330.57?140.06?210.09?0.7w? ??1330.570.15Px?0.06?0.5Py?Py?0.09?0.09?140.06?210.09?w0.15Px?0.06?0.70.150.5?0.09

因为0.70.150.5?0.09?1，所以，U??U，因而消费者将过得更好。

22．一个消费者仅消费两种物品，表2-1是他实际消费的部分信息。

表2-1 消费者的消费信息

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物品1 物品2 Born to win

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第二年 第一年 数量 100 100 价格 100 100 数量 120 ？ 价格 100 80 问该消费者在第二年购买物品2的数量y在什么范围内： （1）表明他的消费行为是不一致的，即违背了偏好显示的弱定理。 （2）消费者第一年的消费束显示偏好于第二年的消费束。 （3）消费者第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束。

（4）物品1对于消费者而言是劣等品（假设满足偏好显示的弱定理）。 （5）物品2对于消费者而言是劣等品（假设弱定理满足）。 解：（1）若消费者违背了偏好显示的弱公理，则有：

120?100?100y?100?100?100?100 100?100?100?80?120?100?80y 可得：y?[75,80]。

（2）若第一年的消费束显示偏好于第二年的消费束，则有：

120?100?100y?100?100?100?100 100?100?100?80?120?100?80y 则第一年的消费显示偏好于第二年的消费束。此时y?75。 （3）若第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束，则有：

100?100?100?80?120?100?80y

120?100?100y?100?100?100?100时

可得：y?80。即当y?80第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束。 （4）当y?75时，物品1是劣等品。证明如下： 当y?75时，有：

120?100?100y?100?100?100?100 100?100?100?80?120?100?80y

显然，由第一年到第二年，真实财富下降，而物品1的相对价格上升。

但是由于y?75?100，物品2的需求下降。这意味着物品1的收入效应为负，因而是劣等品。

（5）当80?y?100时，物品2是劣等品。证明： 当80?y?100，有：

100?100?100?80?120?100?80y 120?100?100y?100?100?100?100

因此，由第一年到第二年，真实财富增加。而且物品2的相对价格下降。但是由于y?100，物品2的需求下降。这意味着物品２的收入效应为负，因而是劣等品。

23．用显示性偏好理论证明替代效应是负的。

证明：假设有两种商品x和y。对于两个商品束A?xa,ya?和B?xb,yb?而言，对应的价格

aa分别为?px,py?，?pxb,pby?，并且这两个商品束由于处于同一条无差异曲线上而对消费者具有

相同的偏好。

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aa消费者在?px,py?的价格空间下选择A而不选择B（实际上根据假定A和B是无差异

的），根据显示性偏好公理，可知此时选择A的支出至少不会比选择B的支出高，即：

aaaapxxa?pyya?pxxb?pyyb

aa亦即：px?xa?xb??py?ya?yb??0 ①

b同理，消费者在?px,pby?的价格空间下选择B而不选择A，可知此时选择B的支出至少

不会比选择A的支出高，即：

baapxxb?pbyyb?pxxa?pyya

b亦即：px?xb?xa??pby?yb?ya??0 ②

将①式和②式相加就可以得到：

a?pb?xa?xb??pxa?pxb???ya?yb??pyy??0 ③

a假设y商品的价格保持不变，即py则③式就可以写成：?x??px?0。不取等号是?pby，

因为商品x的价格和数量同时变动，所以二者乘积必不为零。

此式亦可以写成：一定为负。

24．设某消费者面临两时期的消费决策。效用函数是U?C1C20.6，两时期的收入分别为

y1?1000，y2?648，市场利率为0.08。确定消费者的各个时期的消费量C1，C2，并指出

?x?px?0。这就是当商品x价格变动所引起的替代效应，并且符号

U?U0消费者在第一期将会借入还是会贷出。

解：该消费者面临的最优决策问题为：

maxC1C20.6C1,C2

C2648s.. tC1??1000??16001?0.081?0.08

构造拉格朗日函数可得：

C2??L?C1C20.6???1600?C1?? 1?0.08??一阶条件为：

?L0.6?C2???0 ?C1?L??0.6C1C2?0.4??0 ?C21?0.08985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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C2?L?1600?C1??0 ??1?0.08解得：C1?1000，C2?648。

可见，该消费者在第一期既没有借入也没有贷出。

26．假设一个消费者的效用函数为：U?x,y??x2y，x为食品的消费量，y为所有其他商品的消费量。假设食品的价格为p1，所有其他商品的价格为p2，收入为m元。 （1）求最优的食品需求量。食品对该消费者来说是低档品吗？食品对该消费者来说是吉芬商品吗？

（2）在许多国家，穷人的食品消费得到政府的补贴。常见的补贴办法是，政府向穷人出售食品券，当然，食品券的价格低于食品的市场价格。假如我们这里考虑的消费者是一个受补贴的穷人。而且食品券的价格为p1?1，食品的市场价格为pt?2。所有其他商品的价格被标准化为p2?1。消费者的收入为m?150。问得到补贴后，消费者的消费行为会发生怎样的变化？

解：（1）由消费者均衡条件

MU1p2xyp?1可以得到：2?1，即p1x?2p2y。 MU2p2p2x将该式代入预算约束方程p1x?p2y?m， 可得最优消费数量y??由于由于

m2m，x??。

3p23p1?x2??0，所以食品属于正常商品。 ?m3p1?x2m??2?0，价格与需求量反向变动，符合需求法则，所以食品不是吉芬商品。 ?p13p1m2m?50，x???100 3p23p1m2m?50，x???50 3p23p1（2）当m?150，发放补贴时，p1?1，p2?1，此时：

y??而不发补贴时，p1?2，p2?1，此时：

y??可见，发放补贴的结果是使得食品x的消费增加了一倍，而其他商品的消费支出并不会

发生变化。

27．一个人年轻时候的收入为y，一生分为两个时期，maxU?lnC1??lnC2，C1?a?y，C2?a?1?r?，1???0，这些参数都大于0。

（1）求效用最大化时两个时期分别消费多少，并用图形表示。 （2）当?和r变大时，C1、C2怎么变，并用图形表示。 （3）当y增大时，C1、C2怎么变，并用图形表示。 解：（1）这个两时期最优消费问题可以重新表述为：

maxU?lnC1??lnC2C1,C2Cs.. tC1?2?y1?r

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