【解析版】四川省宜宾市2013年高考数学二模试卷(理科)

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2013年四川省宜宾市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题．本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

2．（5分）（2013 宜宾二模）复数的共轭复数是（）

3．（5分）（2013 宜宾二模）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则该几何体的体积为（）

．（5分）（2013 宜宾二模）如果执行如图所示的框图，输入N=10，则输出的数等于（）

5．（5分）（2013 宜宾二模）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面． ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m∥α，n∥α，则m∥n； ④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．

6．（5分）（1999 广东）若

=a0+a1x+a2x+a3x+a4x，

则（a0+a2+a4）﹣（a1+a3）的值是（）

7．（5分）（2013 宜宾二模）设、

、是同一平面的三个单位向量，且，则

8．（5分）（2013 宜宾二模）设直线l的斜率为2且过抛物线y=ax（a≠0）的焦点F，又与y轴交于点A，

9．（5分）（2013 宜宾二模）用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田“字形的4个小方格内，一格涂一种

10．（5分）（2013 宜宾二模）如图，轴截面为边长为面α，且α与底面所成二面角为

等边三角形的圆锥，过底面圆周上任一点作一平

，已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆，则此椭圆的离心率为（）

OC 是椭圆的短半轴，延长 SC 交底面圆于点 A,连结 AB.根据正△ SEF 中∠ HEF= ∠ SEF 得 FH⊥ SE, 算出 FH=6,即椭圆的长轴 2a=6.利用△ SBE 的中位线和△ OBF≌ △ OGH,算出 BF= EF= 在底面圆中算出 AB= 短半轴 b= 解答： ,进而在△ SAB 中，利用平行线分线段成比例，得 OC= AB= ,从而可得该椭圆的离心率. , α 与母线 SE 交于点 H, ,从而，即椭圆

.最后由椭圆的平方关系算出 c=

解：设圆锥的顶点为 S, 轴截面为 SEF, 过 F 的一平面 α 与底面所成角为

α 与圆锥侧面相交所得的椭圆中心设为 0,延长 S0 交 EF 于点 B,取 SB 中点 G,连结 GH 设 OC 是椭圆的短半轴，则 OC⊥ 平面 SEF,延长 SC 交底面圆于点 A,连结 AB ∵ △ SEF 是等边三角形，∠ HEF 就是 α 与底面所成角 ∴ 由∠ HEF= = ∠ SEF,得 FH⊥ SE =4 × =6,即椭圆的长轴 2a=6 BE

Rt△ EFH 中，FH=EFcos

∵ GH 是△ SBE 的中位线，得 GH

∴ 结合△ OBF≌ △ OGH,得 BF=GH= BE,可得 BF= EF= 设 M 为底面圆的圆心，则可得 BM= EF= ∴ ⊙ M 中，可得 AB= ∵ △ SAB 中，OC∥ AB 且 ∴ ,可得 OC= AB= ,椭圆的短半轴 b= = ,椭圆的离心率 e= = = =

因此，椭圆的半焦距 c= 故选：C

点评：本题给出圆锥的轴截面为正三角形，求与底面成 30 度角的平面截圆锥的侧面所得椭圆的离心率.着

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡对应的题中横线上. 11．（5分）（2013 宜宾二模）如果（fx）是周期为2的奇函数，当0≤x

≤1时，（fx）=2x（1﹣x），那么

．

12．（5分）（2013 宜宾二模）若a、b是直线，α、β是平面，a⊥α，b⊥β，向量在a上，向量在b上，

，

，则α、β

所成二面角中较小的一个余弦值为

．

13．（5分）（2009 湖北）已知函数f（x）=f′（

）cosx+sinx，则f（

）的值为

14．（

5分）（2013 宜宾二模）已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组

给定，若M（x，

y）为D上的动点，A的坐标为（﹣1，1），则的取值范围是．

15．（5分）（2013 宜宾二模）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数n使得对于任意x∈M（M D），有x+n∈D，且f（x+n）≥f（x），则称f（x）为M上的n高调函数，如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）2

=x为[﹣1，+∞）上的k高调函数，那么实数k的取值范围是 [2，+∞）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.

16．（12分）（2013 宜宾二模）已知函数f（

x）=图象上两相邻最高点的坐标分别为（（Ⅰ）求m与ω的值；

（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，求

的取值范围．

，2）和（

msin（π﹣ωx）﹣msin（，2）．

﹣ωx）（m＞0，ω＞0）的

(Ⅱ )由 f(A)=2,结合(1)中所求 f(X)及 0<A<π 可求 A,结合三角形的内角和可求 B+C, 利用正弦定理可得，代入已知角即可求

解答：

解： (Ⅰ )∵ f(x)= =

msin(π﹣ωx)﹣msin(

﹣ωx)

msinωx﹣mcosωx ) ,2)和( ,2)

=2msin(ωx﹣

∵ 图象上两相邻最高点的坐标分别为( ∴ 2m=2 即 m=1, ∴ T= ∴ ω= = =π =2 )=1

(Ⅱ )∵ f(A)=2,即 sin(2A﹣ 又 0<A<π ∴ 则 ∴ 所以，解得 A=

= = =cosC﹣ =2sin( 因为所以所以 2sin( 即， )∈(﹣2,1) sinC ﹣C)

∈(﹣2,1)

点评：本题主要考查了利用正弦函数的性质求解函数的解析式，三角函数的诱导公式及辅助角公式、和差角公式、正弦定理在三角函数化简中的应用

17．（12分）（2013 宜宾二模）在数列{an}中，a1=1，an+1=an+c（c为常数，n∈N），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）设

，求数列{bn}的前n项和Sn．

18．（12分）（2013 宜宾二模）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，

BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面A1DC；（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的余弦值；（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．

程组，解出

是平面 A1BC 的一个法向量，利用向量的夹角公式算出

的夹角

余弦值，即可得到 BE 与平面 A1BC 所成角的余弦值； (III)设 CD=x,得 A1D=6﹣x,从而得到 A1、B 的坐标，由两点的距离公式得到用 x 表示|A1B|的式子，利用二次函数的性质即可求出 A1B 的长度的最小值. 解答：解： (Ⅰ )在图 1 中△ ABC 中，DE∥ BC,AC⊥ BC,∴ DE⊥ AC 由此可得图 2 中，DE⊥ AD,DE⊥ DC, 又∵ A1D∩ DC=D,∴ DE⊥ 平面 A1DC. ∵ DE∥ BC,∴ BC⊥ 平面 A1DC, 又∵ BC 平面 A1BC,∴ 平面 A1BC⊥ 平面 A1DC…(4 分) (Ⅱ )由(1)知 A1D⊥ DE,A1D⊥ DC,DC⊥ DE, 故以 D 为原点，DE、DC、DA1 分别为 x、y、z 轴建立直角坐标系. 则 E(2,0,0) ,B(3,2,0) ,C(0,2,0) ,A1(0,0,4) ∴ 设平面 A1BC 的一个法向量为， ,

则

,取 y=2 可得

设直线 BE 与平面 A1BC 所成角 θ, 可得 =

即直线 BE 与平面 A1BC 所成角的余弦值为 .…(8 分) (Ⅲ )设 CD=x,则 A1D=6﹣x, 在(II)的坐标系下，可得 B(3,x,0) ,A1(0,0,6﹣x) , ∴2 2

, 的最小值为 .

∵ 2x ﹣12x+45=2(x﹣3) +27,∴ 当 x=3 时，由此可得当 x=3 时，|A1B|最小值为 .…(12 分)

19．（12分）（2013 宜宾二模）某市城调队就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1500，2000），单位：元）．

（Ⅰ）求随机抽取一位居民，估计该居民月收入在[2500，3500）的概率，并估计这10000人的人均月收入；（Ⅱ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在[2500，3500）上居民人数x的数学期望．

20．（13分）（2006 山东）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．

21．（14分）（2013 宜宾二模）已知函数ft（x）=（Ⅰ）求函数ft（x）在（0，+∞）上的最大值；

（Ⅱ）设数列{an}满足：a1=，3an+1=an+2，（1）求数列{an}的通项公式an；（2）证明：对任意的x＞0，

（x）（n∈N）；