08届高三数学三角函数的化简求值与证明

高三数学

g3.1049 三角函数的化简、求值与证明

一、知识回顾

1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如 ( ) ,2 ( ) ( )等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

二、基本训练

51、已知 是第三象限角，且sin4 cos4 ，那么sin2 等于 （ ） 9

22 A

、 B

、 C、 D、 3333

2

、函数y sin2x2x 的最小正周期 （ ） 2

A、2 B、 C、3 D、4

3

、tan70 cos10 20 1)等于 （ ）

A、1 B、2 C、－1 D、－2

4m 6(m 4)，则实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 4

、已知sin 4 m

15、设0 ,sin cos ，则cos2 ＝＿＿＿＿＿。 2

三、例题分析

12cos4x 2cos2x . 例1、化简：

2tan( x)sin2( x)44

317 7 sin2x 2sin2x x 例2、设cos(x ) ,，求的值。 451241 tanx

sin(2 )sin 2cos( ) . 例3、求证：sin sin

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11例4、已知sin( )cos [sin(2 ) cos ] ,0 ，求 的值。 22

例5、（05北京卷） 已知tan=2，求 2

6sin cos （I）tan( )的值； （II）的值． 43sin 2cos

例6、（05全国卷Ⅲ）

已知函数f(x) 2sin2x sin2x,x [0,2 ].求使f(x)为正值的x的集合.

例7、(05浙江卷)已知函数f(x)＝－sinx＋sinxcosx．

(Ⅰ) 求f(2 25 1

)的值； (Ⅱ) 设 ∈(0， )，f()＝sin 的值． 246

四、作业 同步练习 g3.1049 三角函数的化简、求值与证明

1 1、已知sin( ) ，则cos( )的值等于 （ ） 434

11 A

、 B

、 C、 D、 3333

2、已知tan 、tan

是方程x2 4 0的两根，且 、 ( ,)，则 等于 （） 22

2 2 2 A、 B、 C、或 D、 或 333333

3cosx x3、化简(1 sinx)[ 2tan( )]为 （ ） 422cos2( )42

A、sinx B、cosx C、tanx D、cotx

2sin2 cos2 4、（全国卷Ⅲ）1 cos2 cos2

(A) tan (B) tan2 (C) 1 (D)1 2

2 sin( x), 1 x 05、（山东卷）函数f(x) x 1，若f(1) f(a) 2，则a的所有可能值为（ ） e,x 0

（A）1 （B）1, 222 （C） （D）1, 222

sin3a13 ，则tan 2a =______________. sina5

4 7、（北京卷）已知tan =2，则tanα，tan( ) 3426、（全国卷Ⅱ）设a为第四象限的角，若

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8、已知tan( ) 3，则sin2 2cos2 的值为＿＿＿＿＿＿＿。 4

9、已知A、B为锐角，且满足tanAtanB tanA tanB 1，则cos(A B)＝＿＿.

10、求证：

sin2 2sin2 k( )，试用k表示sin cos 的值。 11、已知1 tan 42

3)csc12

12

、求值：. 4cos212 2

13

、已知tan tan ，求(2 cos2 )(2 cos2 )的值。

答案： 1 sin 1 2sin21 tan 1 tan2 . 2

基本训练、1、A 2、B 3、D 4、[－1，7] 5

、 34

128 例题、例1、cos2x 例2、 例3、略 例4、 2752

2 2 4; =2, ∴ tan 1 4231 tan2

2

4 1tan tan 1 tan 1=所以tan( ) ； 41 tan tan1 tan 1 47

43

46( ) 1746sin cos 6tan 1（II）由(I), tanα=－, 所以== . 33sin 2cos 3tan 23( ) 26

3例5、解：（I）∵ tan

例6、解：∵f(x) 1 cos2x sin2x 2分 2tan

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1x ) 4分 4

f(x) 0 2sinx

4 )s0in(x2 4 )6分

4 2k 2x

4 5 2k 8分 4

3 k 10分 4

3 7 又x [0,2 ]. ∴x (0,) ( ,) 12分 44

例7、解：(Ⅰ

) sin25 1,cos25

f(25 ) 225 sin25 cos25 0 k x 6266666 (Ⅱ

) f(x) 12x

sin2x 222

11 f() sin 224 16sin2 4sin 11 0 解得sin

1 5 81 3 8 (0, ) sin 0 sina

作业、1—5、DBBBB

6、

13、3

431 7、- 8、 9

、 10、略 11

12

、 574

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