2019云南省中考数学一轮复习《第24讲：与圆有关的位置关系》

第一部分第六章第24讲

1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)连接BC，若∠BCF＝30°，BF＝2，求CD的长．

(1)证明：连接OD，如答图，

答图

∵CF是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°，

∴∠OCD＋∠DCF＝90°.

∵直径AB⊥弦CD，∴CE＝ED，即OF为CD的垂直平分线，∴CF＝DF，∴∠CDF＝∠DCF.

∵OC＝OD，∴∠CDO＝∠OCD，

∴∠CDO＋∠CDF＝∠OCD＋∠DCF＝90°，

∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．

(2)解：连接BC，

∵∠OCF＝90°，∠BCF＝30°，∴∠OCB＝60°.

∵OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，

∴∠COB＝60°，∴∠CFO＝30°，

∴FO＝2OC＝2OB，∴FB＝OB＝OC＝2.

在Rt△OCE中，∵∠CEO＝90°，∠COE＝60°，

∴sin∠COE＝CE

OC＝

3

2，∴CE＝3，

∴CD＝2CE＝2 3.

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.

(1)求证：BE＝EC；

(2)若∠B＝30°，AC＝23，求DB的长．

(1)证明：如答图，连接DO，CD，

答图

∵∠ACB＝90°，AC为⊙O的直径，

∴EC为⊙O的切线．

又∵ED为⊙O的切线，∴EC＝ED．

又∵∠EDO＝90°，∴∠BDE＋∠ADO＝90°，

∴∠BDE＋∠A＝90°.

又∵∠B＋∠A＝90°，∴∠BDE＝∠B，

∴BE＝ED，∴BE＝EC．

(2)解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝23，

∴AB＝2AC＝43，∴BC＝AB2－AC2＝6.

∵AC为⊙O的直径，∴∠BDC＝∠ADC＝90°.

又∵∠B＝30°，∴CD＝1

2BC＝3，

∴DB＝CB2－CD2＝3 3.

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