2009届高考数学快速提升成绩题型训练 - 圆锥曲线

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——圆锥曲线

1. 已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以λa+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以λb- 4a为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．

(1) 求点P的轨迹E； (2) 若m?25，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的

5圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =3存在，试说明理由．

．若存在求出k的值；若不

2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为3，它的两焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为?，且tan??212，l与线段F1F2的垂直平分线的交点

为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且PQ:QF2?2:1，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.

3. 在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，|OM|?5,ON?255OM. 过点M作MM1

⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，OT?M1M?N1N. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）. （1）求曲线C的方程；

（2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；

（3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若AP?tAQ，证明SB?tBQ.

4. 已知离心率为

52的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在x轴上，

双曲线C的右支上一点A使AF1?AF2?0且?F1AF2的面积为1。 （1） 求双曲线C的标准方程；

（2） 若直线l:y?kx?m与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），

且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线l过定点，并求出

该定点的坐标。

5.求与双曲线

6、已知F1,F2分别是双曲线3x2?5y2?75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且

?F1PF2x29?y216?1有公共渐进线，且经过点A?3,23的双曲线的方程。

??=120?，求?F1PF2的面积

7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值

8、已知半圆x2?y2?1(y?0)的直径为AB，点P在半圆上，双曲线以A,B为焦点，且过点P。若?PAB?

9. 已知圆：x2+y2=c2(c＞0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得一椭圆。

⑴求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数； ⑵设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足MN?2PQ，求直线l的倾斜角。

10. 已知点（x,y）在椭圆C：

y?3，求双曲线的方程。

xa22?yb22?1（a＞b＞0）上运动

′

⑴求点(,xy)的轨迹C方程；

x⑵若把轨迹C′的方程表达式记为：y=f(x)，且在?0,???3??内3??y=f(x)有最大值，试求

椭圆C的离心率的取值范围。

11. 已知过椭圆

Bxa22?yb22?1(a?b?0)右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A、

两点，N为弦的中点；又函数y?a?sinx?3b?cosx的图像的一条对称轴的方

?6程是x?。

（1） 求椭圆C的离心率e与kON;

（2） 对于任意一点M?C,试证:总存在角?(??R)使等式:

OM?cos?OA?sin?OB成立.

12. 已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.

(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？

(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？

13. 如图，已知椭圆

x2m?y2m?1=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与

椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD|| (1)求f(m)的解析式； (2)求f(m)的最值.

14. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为l:x?的方程是y?3x.过双曲线

12,一条渐近线

C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两

点，R是弦PQ的中点. （1）求双曲线C的方程；

（2）若在l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足

PS?QS?0，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.

15. 设F1,F2分别是椭圆的

x24?y2?1左，右焦点。

54（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1?PF2?求点P的坐标。

，

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点A,B，且?AOB为锐角

（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。

16. 抛物线C的方程为y?ax2(a?0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0?0)，作斜率为k1,k2的两条直线，分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点（P、A、B三点互不相同），且满足k2??k1?0(??0且???1). （1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

（2）设直线AB上一点M满足BM??MA,证明：线段PM的中点在y轴上； （3）当??1时，若点P的坐标为（1，—1），求∠PAB为钝角时，点A的纵

坐标的取 值范围.

17. 如图，已知点F（1，0），直线l:x??1为平面上的动点，过P作直线l的垂

线，垂足为点Q，若QP?QF?FP?FQ.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点M（－1，0）作直线m交轨迹C于A，B两点。

（Ⅰ）记直线FA，FB的斜率分别为k1,k2，求k1+k2

的值；

（Ⅱ）若线段AB上点R满足

RF⊥MF。

|MA||MB|?|RA||RB|,求证：

18. 已知椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直

线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使

2MF1?MF2?|MF1|?|MF2|,|MF1|?|MF2|.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若PQ为过椭圆焦点F2的弦，且PF2??F2Q，求?PF1Q内切圆面积最大

时实数?的值.

19. 已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成

等边三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=－4于点E，

点Q分AB 所成比为λ，点E分AB所成比为μ，求证λ+μ为定值，

并计算出该定值.

20. 已知⊙M：x2?(y?2)2?1,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果|AB|?423，求直线MQ的方程；

（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.

答案：

1. 解 (1) ∵λa+b = ( m,λ)，∴ 直线AP方程为

y?λm(x?m)；…………………………①

又λb - 4a =(λm, - 4), ∴ 直线NP方程为

y??4?m(x?m)；…………………………②

y2由①、②消去λ得

??4m2(x2?m)2，即

xm22?y24?1．

故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x2 + y2 = 4； 当m > 2时，轨迹E是以原点为中心，以(?m?4,0)2为焦点的椭圆：

4?m)2当0 < m <2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为(0,?的椭圆．

(2) 假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x- k)2 + y2 = (4- k)2 ; 椭圆E：

x220?y24?1；其右焦点为F(4 , 0 )，且e?255．

由圆Q与椭圆E的方程联立得2y2- 5kx + 20k- 30 = 0, 设M(x1, y1), N(x2, y2), 则有

x1?x2?52k， ………………………………………………③

△=25k2- 4×2(20k- 30)， 又 |MF| =2∴

25?255?255x1, |NF| =25x2?355?255x2, 而|MF|?|NF|?35；

5x1+25?25,

由此可得

x1?x2?52，……………………………………………………………………④

由③、④得k = 1，且此时△＞0．故存在实数k = 1满足要求．

2. 解 以F1F2的中点为原点，F1、F2所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为

y?212x22ab(x?c)，它与y轴交点P(0,?221c)，由点

?y22，设F2（c，0），不妨设l的方程为?1（a>0，b>0）

212c)，由定比分点坐标公式，得Q

点的，

坐标为(c,?3∴a?1，b?

69a2y23，∴双曲线方程为x??1.

3Q在双曲线上可得

4c22?21c36b22?1，又ab?33. （1）设点T的坐标为(x,y)，点M的坐标为(x?,y?)，则M1的坐标为（0，y?），

ON?255OM?255(x?,y?)，于是点N的坐标为(255x?,255y?)，N1的坐标

为(255x?,0)，所以M1M?(x?,0),N1N?(0,255y?).

?x?x?,25?由OT?M1M?N1N,有(x,y)?(x?,0)?(0, y?),所以?255?y.?y?5? 由此得x??x,y??522y.

22

由|OM|?5,有x?2?y??5,所以x2?(52y)2?5,得x5?y4?1,

即所求的方程表示的曲线C是椭圆. ……………………3分

（2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C

无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为y?k(x?5).

2?x2y??1,?2222由方程组?5得(5k?4)x?50kx?125k?20?0. 4?y?k(x?5)?

依题意??20(16?80k)?0,得?255?k?55.

当?55?k?55时，设交点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为R(x0,y0)，

则x1?x2?50k5k22?4,x0?25k5k22x1?x22?5)??25k5k22?4.

.

?y0?k(x0?5)?k(?20k5k2?4?4又|BP|?|BQ|?BR?l?k?kBR??1,

20k22

k?kBR?k?5k1?2?4225k2?20k4?20k??1?20k2?20k2?4,

5k?4 而20k2?20k2?4不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.…………7分

（3）由题意有S(x1,?y1),AP?(x1?5,y1),AQ?(x2?5,y2)，则有方程组

?x1?5?t(x2?5),(1)?y?ty2,(2)?12?x2y11???1,(3) 由（1）得x1?t(x2?5)?5 （5）

4?52?x2y22???1.(4)4?52将（2），（5）代入（3）有4[t(x2?5)?5]2?5t2y2?20.

整理并将（4）代入得(t2?1)?2(1?t)tx2?5(1?t)2?0， 易知t?1,解得x2?3t?2t.

因为B（1，0），S(x1,y1)，故SB?(1?x1,y1),BQ?(x2?1,y2)，所以

SB?tBQ?(1?x1,y1)?t(x2?1,y2)?(1?x1?t(x2?1),y1?ty2)

?(1?t(x2?5)?5?t(x2?1),0)?(?4?t(2x2?6),0)?(?4?t(6t?4t?6),0)?(0,0),

?SB?tBQ.

4. 解： （1）由题意设双曲线的标准方程为

caa?ba22xa22?yb22?1(a?0,b?0)，由已知

得：e???52解得a?2b

∵AF1?AF2?0且?F1AF2的面积为1 ∴|F1A|?|F2A|?2a,S?FAF?1212|F1A|?|F2A|?1,|F1A|?|F2A|?|F1F2|222

∴(|F1A|?|F2A|)2?4c2?4?4a2 ∴b?1,a?2

∴双曲线C的标准方程为

x24?y2?1。

?y?kx?m?222（2）设E(x1,y1),F(x2,y2)，联立?x2得(4k?1)x?8kmx?4m?4?02?y?1??4

显然k??212否则直线l与双曲线C只有一个交点。

22??(8km)?4(4m?4)(4k?1)?0即4k2?m2?1?0

8km?x?x??122??4k?1则? 2?xx?4m?4122?4k?1?又y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k2x1x2?km(x1?x2)?m2 ∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0) ∴DE?DF?0即(x1?2,y1)?(x2?2,y2)?0 ∴(k2?1)x1x2?(km?2)(x1?x2)?m2?4?0 ∴(k?1)?24m?44k22?1?(km?2)??8km4k2?1?m?4?0

2化简整理得3m2?16km?20k2?0 ∴m1??2k,m2??103k ，且均满足4k2?m2?1?0

当m1??2k时，直线l的方程为y?k(x?2)，直线过定点（2，0），与已知矛盾！

当m2??103k103103时，直线l的方程为y?k(x?)，直线过定点（，0）

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